- ¿Qué significa
"Hacer Matemática"? - ¿Lo
necesario? - Una Tecnología para la
Matemática - Conclusiones
- Referencias
La clave para el desarrollo de
nuestros países es la educación formal
de los recursos
humanos en todos los niveles. Parte de ese proceso
imprescindible de educación es la
"Educación en Valores" por
la que tanto ha abogado la
Organización de Estados Iberoamericanos
(OEI).
La enseñanza de la matemática en la
escuela ha sido y
es fuente de preocupaciones para padres, maestros y especilistas.
En todo tiempo, el
estudio de la enseñanza de la matemática ha
mostrado constantes obstáculos y dificultades de
diferentes órdenes, no salvadas aún de manera
eficiente por matemáticos, psicólogos y
educadores.
Sin embargo, desde tiempos inmemorables el hombre
comenzó a contar, no se sabe en que momento ni como,
probablemente lo hizo con los dedos de la mano y otras partes del
cuerpo o haciendo marcas sencillas
en las paredes de las cavernas, ¿por qué es
importante la matemática en nuestra vida?, Por qué
es tan dificultoso entenderla o enseñarla?,
¿Cuál es la mejor forma de enseñar matemáticas?, en la presente investigación se intentará dar
respuesta a estas interrogantes.
CAPITULO I
¿QUÉ SIGNIFICA HACER
MATEMÁTICAS?
Podría parecer evidente que son las
matemáticas, o por lo menos, saber si una persona
está o no haciendo matemáticas, al profundizar en
el tema se que esto no es tan claro como parece. Las
matemáticas como actividad humana, permiten al sujeto
organizar los objetos y los acontecimientos de su mundo. A
través de ellas se pueden establecer relaciones,
clasificar, seriar, contar, medir, ordenar. Desde muy chicos en
nuestras escuelas se observa que Estos procesos los
aplica diariamente el niño cuando selecciona sus juguetes, los
cuenta, los organiza. A través de estas interacciones, el
niño de preescolar
aprende las operaciones
lógico – matemáticas del pensamiento
que el curriculum
establece como prioridad cognitiva del nivel. La educación
tiene un alto interés de
que a muy temprana edad se aprenda matemáticas, casi
después de empezamos a hablar, ¿por qué?,
¿será indispensable para la substancia?,
¿será un requisito para aprobar los diferentes
niveles?, ¿desde cuando el hombre hace
matemáticas?
¿Cuándo y cómo
surgió?
Las matemáticas son tan antiguas como la propia
humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las
pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del
sentido geométrico y del interés en figuras
geométricas. Los sistemas de
cálculo
primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos
de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran
abundancia de sistemas
numéricos en los que las bases son los números
5 y 10.
¿Cómo hemos llegado
hasta aquí?
Las primeras referencias a matemáticas avanzadas
y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y
Egipto. Estas
matemáticas estaban dominadas por la aritmética,
con cierto interés en medidas y cálculos
geométricos y sin mención de conceptos
matemáticos como los axiomas o las
demostraciones.
Los primeros libros
egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un
sistema de
numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10
(1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos.
Los números se representaban escribiendo el símbolo
del 1 tantas veces como unidades tenía el número
dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas
había en el número, y así sucesivamente.
Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,
las decenas, las centenas… de cada número. La
multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y
la división era el proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad
(1/n), junto con la fracción 2/3, para expresar todas las
fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces
de resolver problemas
aritméticos con fracciones, así como problemas
algebraicos elementales.
En geometría encontraron las reglas correctas
para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios,
y el volumen de
figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto,
pirámides. Para calcular el área de un
círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del
diámetro del círculo, valor muy
cercano al que se obtiene utilizando la constante pi
(3,14).
El sistema babilónico de numeración era
bastante diferente del egipcio. En el babilónico se
utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de
cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba
al 1 y una marca en forma de
flecha representaba al 10.
Los números menores que 59 estaban formados por
estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las
matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se
representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de
ahí, el valor de un símbolo venía dado por
su posición en el número completo. Por ejemplo, un
número compuesto por el símbolo del 2, seguido por
el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 +
27 × 60 + 10.
Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas
matemáticas más sofisticadas que les permitieron
encontrar las raíces positivas de cualquier
ecuación de segundo grado.
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas
de los babilonios y de los egipcios, y fueron capaces de
descubrir fórmulas para calcular el área de ciertas
figuras planas y el volumen a ciertos sólidos.
En Grecia,
después de Tolomeo, se estableció la
tradición de estudiar las obras de los matemáticos
de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que
dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se
debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los
primeros avances matemáticos son consecuencia del estudio
de estas obras aparecieron en el mundo árabe.
Después de un siglo de expansión en la que
la religión
musulmana se difundió desde sus orígenes en la
península Arábiga hasta dominar un territorio que
se extendía desde la península Ibérica hasta
los límites de
la actual China, los
matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de
posiciones decimales en aritmética de números
enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales,
generalizaron los métodos
indios de extracción de raíces cuadradas y
cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de
grado superior, inventaron el álgebra de
los polinomios.
Ya en el renacimiento,
durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos
signos
matemáticos y algebraicos, con Europa dominando
el mundo de las matemáticas. Durante el siglo XVII
tuvieron lugar los más importantes avances en las
matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo
comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el
matemático escocés John Napier (Neper),
descubrimiento de la geometría
analítica, que mostraba cómo utilizar el
álgebra para investigar la geometría
de las curvas. Otro avance importante en las matemáticas
del siglo XVII fue la aparición de la teoría
de la probabilidad.
Sin embargo, el acontecimiento matemático
más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el
descubrimiento por parte de Newton de los
cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666 y una
definición adecuada para los números reales, a
partir de los números racionales, que todavía se
enseña en la actualidad
A pesar de que a través de la historia de la raza humana
la matemática a esta a su lado pareciera una odisea
titánica tratar de aprender o más bien, de
enseñar matemática. En las últimas
décadas han surgido inquietudes en los educadores
investigadores, sobre la problemática de la
enseñanza – aprendizaje de la
matemática, como lo es Guzmán (2005) que intenta
dar respuesta a la interrogante ¿Por qué es
difícil enseñar matemáticas?, a su vez
Aleman (2005), intenta resolver el problema con el uso de
tecnología, en específico las
computadoras,
existen revistas electrónicas que tratan sólo la
didáctica de las matemáticas y se
discuten sobre trabajos como el de Arteaga (2003), las tareas de
contenido y las tareas formales como diagnóstico en la asignatura
matemática, otros tratan de hacer un enfoque netamente
significativo basándose en Asubel, como Vilchez (2004) en
su trabajo la
importancia de la enseñanza de la matemática para
el desarrollo del país, hasta incluso en Venezuela
existe iniciativas de parte del gobierno regional
olimpiada infantiles de matemáticas cuya finalidad es
estimular y fortalecer el estudio de la matemática en las
escuelas básicas municipales de Baruta.
Así mismo, aportar información sobre las dificultades y el
nivel alcanzado por los alumnos, tomando en cuenta los resultados
de las pruebas.
Incluso se ha intentado encontrarla raíz del problema,
enfocándolo desde puntos de vista afectivos, como lo
plantea Zavarce (2003) en estrategias
emocionales aplicables a estrategias racionales para la
enseñanza de la matemática en educación
superior.
Con estas investigaciones y
otras más de numerosos autores se quiere explicar cual es
la situación actual de las matemáticas.
CAPITULO II
El ser matemático tiene el significado social de
que es la persona que se dedica crear las nuevas
matemáticas, lo no conocido. Atendiendo a lo que nos dice
Chevallard el ser matemático significa que puede ser
cualquier persona que se dedique a utilizar las
matemáticas como una herramienta para resolver problemas
que se le presenten en la sociedad,
ejemplo el profesor al
tratar de explicarle a sus alumnos, un alumno al apoyar a sus
compañeros, o uno mismo al aplicar lo que sabe para
solucionar un problema que requiera de aspectos
matemáticos para su solución.
Al tratar de dar respuesta a lo que es ser
matemático podremos también responder a la
interrogante ¿Para qué estudiar
matemáticas?. Dado que el ser matemático requiere
de las herramientas
que le proporcionan los estudios de matemáticas para
solucionar problemas no únicamente matemáticos sino
problemas de la realidad, es cuando se le encuentra el mayor
significado al estudio de las matemáticas, dejando
atrás el concepto de que
aprender matemáticas sólo le sirven al que las
aprende.
Uno de los múltiples problemas que conciernen a
la Didáctica de las Matemáticas es la
reflexión sobre los saberes, porque ella los considera
objetos sujetos a evolución y cambio
conforme al entorno social donde ellos nacen o se arraigan. De
manera particular, el estudio de las relaciones que los
estudiantes establecen con los saberes matemáticos que les
son presentados debe ser el centro de reflexión sobre las
condiciones y las naturalezas de los aprendizajes
matemáticos.
Modelos
matemáticos.
Un modelo es una
forma de atacar un problema Al estudiar matemáticas es muy
importante poder
construir un modelo real de la situación matemática
en cuestión, ya que al trabajar por medio de un modelo le
permite al estudiante interpretar los resultados y poder
contestar cuestiones planteadas inicialmente.
Al utilizar la modelización permite que el trabajo se
convierta en un estudio de un sistema no matemático en el
estudio de problemas matemáticos que se resuelven
utilizando adecuadamente ciertos modelos y para
éstos se recomiendan tres tipos que son: la
utilización rutinaria de modelos matemáticos ya
conocidos; el aprendizaje de
modelos de enseñanza y de la manera de utilizarlos; y la
creación de conocimientos matemáticos, es decir de
nuevas maneras de modelizar los sistemas de los
estudiantes.
Por ejemplo si tenemos una bolsa de caramelos que
queremos repartir, a partes iguales, entre unos amigos. Lo
primero que haremos es colocarlos en círculo y repartir
los caramelos de uno en uno hasta que se terminen, tomando en
cuenta que si en la última ronda no logramos darles a
todos debemos recoger los últimos caramelos
repartidos.
De esta manera podemos realizar el reparto sin ninguna
noción matemática explícita. Este procedimiento es
simple y eficaz, pero de alcance limitado, pues hay que suponer
que todos los amigos están presentes y bastante cerca los
unos de los otros. Ahora representemos a los amigos por un
círculo en suelo, en los que
iremos colocando los caramelos, y obtenemos el mismo
resultado.
Al aplicar este procedimiento nos hemos alejado un poco
de la realidad inicial del problema, reemplazando a los amigos
por un modelo de más fácil manipulación. Se
puede ampliar un poco el modelo anterior asociando una piedrecita
a cada caramelo, para no manosearlos tanto. Al final cambiamos
las piedras por los caramelos.
El procedimiento ha mejorado pero sigue siendo
limitativo, ya que el número de amigos si llegase a ser
muy grande, tendríamos que dibujar demasiados
círculos y colocarles muchas piedras.
Pero, si se supiera que la repartición de
caramelos, es una simple división, que se resuelve con
lápiz y papel, se estaría construyendo un modelo
matemático de la situación del problema, que no
requiere tener presentes ni a los amigos ni a los caramelos, ni a
las piedras. Si alguien observa el procedimiento, no
dudaría en decir que se esta haciendo matemáticas.
Enseñanza –
aprendizaje.
Durante mucho tiempo se consideró que el
aprendizaje era sinónimo de cambio de conducta, esto,
porque dominó una perspectiva conductista de la labor
educativa; sin embargo, se puede afirmar con certeza que el
aprendizaje humano va más allá de un simple cambio
de conducta, conduce a un cambio en el significado de la
experiencia.
La experiencia humana no solo implica pensamiento, sino
también afectividad y únicamente cuando se
consideran en conjunto se capacita al individuo para
enriquecer el significado de su experiencia.
Para entender la labor educativa, es necesario tener en
consideración otros tres elementos del proceso educativo:
los profesores y su manera de enseñar; la estructura de
los conocimientos que conforman el currículo y el modo en que éste se
produce y el entramado social en el que se desarrolla el proceso
educativo.
Lo anterior se desarrolla dentro de un marco
psicoeducativo, puesto que la psicología
educativa trata de explicar la naturaleza del
aprendizaje en el salón de clases y los factores que lo
influyen, estos fundamentos psicológicos proporcionan los
principios
para que los profesores descubran por si mismos los
métodos de enseñanza más eficaces, puesto
que según Ausubel (1983)
"intentar descubrir métodos por ‘Ensayo y
error’ es un procedimiento ciego y, por tanto
innecesariamente difícil y
antieconómico"
En este sentido una "teoría del aprendizaje"
ofrece una explicación sistemática, coherente y
unitaria del ¿cómo se aprende?,
¿Cuáles son los límites del aprendizaje?,
¿Porqué se olvida lo aprendido?, y complementando a
las teorías del
aprendizaje encontramos a los "principios del aprendizaje",
ya que se ocupan de estudiar a los factores que contribuyen a que
ocurra el aprendizaje, en los que se fundamentará la labor
educativa; en este sentido, si el docente desempeña su
labor fundamentándola en principios de aprendizaje bien
establecidos, podrá racionalmente elegir nuevas técnicas
de enseñanza y mejorar la efectividad de su
labor.
Ausubel plantea que el aprendizaje del alumno depende de
la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva
información, debe entenderse por "estructura cognitiva",
al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un
determinado campo del conocimiento,
así como su organización.
En el proceso de orientación del aprendizaje, es
de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno;
no sólo se trata de saber la cantidad de
información que posee, sino cuales son los conceptos y
proposiciones que maneja así como de su grado de
estabilidad.
Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel,
ofrecen el marco para el diseño
de herramientas metacognitivas que permiten conocer la
organización de la estructura cognitiva del educando, lo
cual permitirá una mejor orientación de la labor
educativa, ésta ya no se verá como una labor que
deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de
los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que,
los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos
que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su
beneficio, convirtiéndolo en significativo.
Gráfico 1.
Manera de aprendizaje en la ecuación tradicional
(memorístico). Tomado de Méndez (2001)
En contraste con el aprendizaje
significativo, el aprendizaje memorístico tiene lugar
cuando el que aprende no relaciona la nueva información
con la ya existente en su estructura cognitiva. Como
consecuencia, los nuevos conocimientos se aprenden de manera
aislada y sin relación entre sí por lo que no
contribuyen al aprendizaje ulterior y más bien lo
dificultan. Según Ausubel (ob. cit.), entre estos dos
extremos existiría un continuo que permitiría
encuadrar la mayoría de las situaciones de aprendizaje
escolar. La distinción entre aprendizaje significativo y
aprendizaje memorístico es independiente de que
éste se lleve a cabo por recepción o por
descubrimiento.
Opacidad de social de las matemáticas.
El primer aspecto de la actividad matemática
consiste en resolver problemas a partir de las herramientas
matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar.
Es el caso del fontanero, utiliza sus conocimientos para resolver
problemas que le presentan como rutinarios, ya sean
pequeños problemas parciales que surgen de sus
investigaciones, ya sean cuestiones que otros vienen a
consultarte.
También se encuentran en esta situación el
estudiante de matemáticas cuando su hermano menor le pide
que le ayude con sus tareas, el profesor de matemáticas
que resuelve un ejercicio para sus alumnos, o el alumno de
secundaria cuando, en medio de un problema de una
multiplicación de decimales de varias cifras y ha dejado
la calculadora en casa.
También establece Aja (2000) que:
Está claro que la mayoría de conocimientos
(la ortografía, el inglés
la biología,
entre otros) se utilizan en un sin fin de circunstancias, pueden
parecer mucho más raras aquellas situaciones en la que uno
mismo utiliza la matemática de un modo natural y
rutinario. (p. 1003)
Reafirmando el hecho de que las matemáticas no
gozan de gran visibilidad en nuestra sociedad y cuesta ver sus
usos más habituales, así como nuestra necesidad de
ellas.
Esto es debido según Aja (ob. cit.) porque "las
matemáticas que se necesitan y se utilizan no aparecen en
estado puro",
están entremezcladas con otras áreas de las
ciencias a las
que le sirven de herramienta, mostrando de esta manera su
utilidad.
Al igual que la computarización y la economía,
también la biología, la medicina y la
sociología recurren cada vez más
para describir los fenómenos que estudian, pero al estar
cristalizadas en las ciencias y tecnologías pareciera que
no existiesen.
Las personas no se dan cuenta que se utiliza las
matemáticas para actuar con mayor eficacia en la
toma de
decisiones y en numerosos aspectos de la vida cotidiana.
Aunque no parezca, las matemáticas aparecen todos los
días en nuestras vidas.
Aprender a enseñar
matemática
En la enseñanza de la matemática,
durante las primeras etapas de la Educación
Básica, debe evitarse la abstracción precipitada,
deben propiciarse las referencias a lo concreto
así como a situaciones con interés cultural que
permitan apreciarla posibilidad de integrar la
matemática con la realidad y con otras áreas. Se
precisa el uso de materiales
atractivos para apoyar el proceso de
enseñanza.
Aquí se incluye categorías tan amplias y
hasta desiguales como son objetos cotidianos, material hecho en
el aula y nuevas tecnologías (calculadora, computadora,
etc.), que incorporan no sólo herramientas para
simplificar los cálculos sino también la
posibilidad de "experimentar", con lo que se enriquecen los
recursos para
la formación de conceptos y estructuración de
contenidos. Todos ellos tienen en común que estimulan la
concreción de aprendizaje y refuerzan el contenido
empírico de la formación.
El alumno puede investigar, diseñar juegos,
resolver problemas, integrarse al grupo de
estudiantes y descubrir sus habilidades a través de
métodos de enseñanza que recurran a estos objetos
didácticos.
Es posible en la vida encontrarse ante un problema de
matemáticas que no se puede resolver por falta de los
instrumentos apropiados; por ejemplo, el artesano tiene que ir
al taller por otras herramientas, pero desconoce medidas o para
que debe emplearse. En este caso, la mejor solución es
hacerse de los conocimientos de medidas de esos instrumentos,
ya sea por nosotros mismos, ya sea recurriendo algún
matemático para que nos facilite la tarea.
Este segundo aspecto del trabajo matemático es
muy conocido por los propios matemáticos, así
como por los usuarios habituales de la matemática (el
físico, el biólogo o el economista), cuando se
encuentran con un problema matemático nuevo para ellos y
que no saben cómo abordar. Una posible actuación
consiste en consultar a algún matemático para ver
si aquel problema es "conocido" y permite obtener
fácilmente la solución. Existe también
otra posibilidad: la de consultar libros y artículos en
busca de lo que uno necesita para abordar el problema en
cuestión.
En los casos indicados, el estudio de un sistema
matemático o extramatemático genera instrumentos
que pueden ser abordadas mediante instrumentos
matemáticos que ya existen, pero que son desconocidos
para el que desarrolla la actividad. Surge así la
necesidad de aprender matemáticas ya existentes, para
poder responder las cuestiones propuestas. Y en consecuencia,
aparece la actividad de enseñar matemáticas: el
profesor ayuda a sus alumnos –matemáticos en
apuros- a buscar y poner a puntos los instrumentos
matemáticos que estos necesitan para modelizar y
resolver ciertas cuestiones, desconocidas para ellos aunque muy
familiares para un matemático profesional.
Pero, no se debe olvidar que el hecho de que se
enseñe matemáticas en la escuela responde a una
necesidad a la vez individual y social: todos juntos hemos de
mantener el combustible matemático que hace funcionar
nuestra sociedad. La presencia de las matemáticas en las
escuelas es una consecuencia de su presencia en la sociedad y,
por tanto, las necesidades matemáticas que surgen en los
institutos de enseñanza deberían estar siempre
subordinadas a las necesidades de la vida en
sociedad.
Cuando por las razones que sea, se invierte esta
subordinación, cuando se cree que las únicas
necesidades matemáticas son las que derivan de la
escuela, entonces aparece la enfermedad docente. Se reduce
así el valor social de las matemáticas (el
interés social de que todos tengamos una cultura
matemática básica) a un simple
valor escolar, convirtiendo la enseñanza escolar de las
matemáticas en un fin en sí mismo.
Este tipo de reduccionismo puede conducir a no tomarse
en serio las matemáticas que se hacen en la escuela,
considerándolas como un mero artefacto
escolar.
Estrategias de aprendizaje y enseñanza
más amplias que las convencionales
La resolución de problemas es la estrategia
básica para el aprendizaje de la matemática. En
ella se destacan características y bondades que la hacen
compatible con los planteamientos que se han venido
desarrollando. La estrategia de resolución de problemas
permite que se considere y respete la realidad del alumno, se
le escuche, se le invite a razonar y llegue a conclusiones por
sí mismo, y no por imposición del
docente.
Esta recomendación es válida y constante
en cada uno de los pasos o etapas que constituyen esta
estrategia. La resolución de problemas plantea retos,
exige perseverancia, es un ejercicio permanente de creatividad
e inventiva, lo cual ejercita la autoestima,
la
motivación al logro y valores que hemos declarado
esenciales en la formación del ser.
La estrategia es constructivista por naturaleza, la
persona plantea posibles soluciones,
las ensaya, construye y reconstruye sobre nuevas hipótesis hasta alcanzar una
solución válida. La resolución de
problemas contribuye a la integración de áreas y ejes
curriculares. Por su naturaleza, los problemas pueden tratar
sobre cualquier tema o bloque, logrando con sus enunciados
cualquier globalización que pueda considerarse
lógica.
Es preciso estimular un conjunto de procesos y valores
simultáneamente con la enseñanza. Expresa Orbitas
que:
La idea de transversalidad, todas las áreas de
formación, incluyendo la matemática, forman parte
de un tejido pedagógico más amplio cuyos ejes
cognoscitivos están constituidos por cuatro ejes
transversales: lenguaje,
desarrollo del pensamiento, trabajo y valores, en los cuales
reside la formación cabal del individuo y su
inserción como ente proactivo en los procesos
sociales.
El eje transversal se define como una dimensión
global interdisciplinaria que incluye todas las áreas y se
desarrolla transversalmente a lo largo y a lo ancho de todo el
currículo. La transversalidad constituye el núcleo
de una renovadora aproximación cultural, donde la
educación está orientada hacia el ejercicio pleno
de las capacidades individuales indispensables para la vida
diaria. Estos cuatro ejes interactúan de manera permanente
en el proceso educativo y por ello se integran al desarrollo de
todos los contenidos programáticos impartidos en el
aula.
El eje transversal lenguaje se manifiesta en contenidos
que invitan al trabajo en
equipo, exaltando el respeto a las
normas
consensuadas en el grupo, la expresión oral y escrita de
los números, y la respuesta a los problemas, así
como también en la incorporación de términos
y símbolos propios del lenguaje matemático a
situaciones cotidianas.
El eje desarrollo del pensamiento encuentra en el
área de matemática un campo propicio para
desarrollar procesos tales como: identificar
características, propiedades y relaciones entre elementos,
secuenciar eventos,
establecer prioridades, usar la inducción, la deducción e inferencia, que permitan al
joven razonar, evaluar y tomar decisiones adecuadas.
El eje transversal trabajo se hace presente en la
realización de procesos tales como: construir, trazar,
medir, resolver problemas usando adecuadamente los instrumentos y
operaciones, así como también el mejoramiento del
logro y de la calidad en el
trabajo. El eje transversal valores se hace tangible en
contenidos que orientan a la honestidad, la
autoestima, la práctica de hábitos de orden, la
organización, la perseverancia, entre otros.
¿Por qué la
enseñanza de la matemática es tarea
difícil?
La matemática es una actividad vieja y
polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con
objetivos
profundamente diversos. Fue un instrumento para la
elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los
pueblos mesopotamios. Se consideró como un medio de
aproximación a una vida más profundamente humana y
como camino de acercamiento a la divinidad, entre los
pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento
disciplinador del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la
más versátil e idónea herramienta para la
exploración del universo, a
partir del Renacimiento. Ha
constituido una magnífica guía del pensamiento
filosófico, entre los pensadores del racionalismo y
filósofos contemporáneos. Ha sido un
instrumento de creación de belleza artística, un
campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de
todos los tiempos.
Según Guzmán (ob. cit.):
La matemática misma es una ciencia
intensamente dinámica y cambiante. De manera
rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun
en su propia concepción profunda, aunque de modo
más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la
actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje
sencillo, (p. 1)
El otro miembro del binomio
educación-matemática, no es tampoco nada simple. La
educación ha de hacer necesariamente referencia a lo
más profundo de la persona, una persona aún por
conformar, a la sociedad en evolución en la que esta
persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se
desarrolla, a los medios
concretos personales y materiales de que en el momento se puede o
se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta
educación se le quiera asignar, que pueden ser
extraordinariamente variadas.
La complejidad de la matemática y de la
educación sugiere que los teóricos de la
educación matemática, y no menos los agentes de
ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los
cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica
rápidamente mutante de la situación global venga
exigiendo.
La educación, como todo sistema complejo,
presenta una fuerte resistencia al
cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable
persistencia ante las variaciones es la característica de
los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se
conjuga con una capacidad de adaptación ante la
mutabilidad de las circunstancias ambientales.
En la educación matemática a nivel
internacional apenas se habrían producido cambios de
consideración desde principios de siglo hasta los
años 60. A comienzos de siglo había tenido lugar un
movimiento de
renovación en educación matemática, gracias
al interés inicialmente despertado por la prestigiosa
figura del gran matemático alemán Felix Klein, con
sus proyectos de
renovación de la enseñanza media y con sus famosas
lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de
vista superior (1908)
En los años 60, surgió un fuerte
movimiento de innovación. Se puede afirmar con
razón que el empuje de renovación de aquél
movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha
traído consigo en el panorama educativo internacional, ha
tenido con todo la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta
constante sobre la evolución del sistema
educativo en matemáticas a todos los niveles. Los
cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y
contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy día,
podemos afirmar con toda justificación que seguimos
estando en una etapa de profundos cambios.
La Irresponsabilidad
matemática
Uno de los principales problemas en la
enseñanza-aprendizaje, es la dificultad de hallar o
construir una situación en la que el alumno actúe,
no solamente cómo alumno, sino como un verdadero
matemático, responsabilizándose de las respuesta
que se le dan a las cuestiones que se le plantean. La
formulación de este problema didáctico parte de la
constatación de un hecho que se repite en todos los
niveles de educación: los alumnos tienden a delegar al
docente la responsabilidad de la validez de sus respuestas,
como si no importara el que estas sean verdaderas o falsa; como
si el único objetivo de su
actuación fuera contestar a las preguntas del docente y en
nada les comprometiera la coherencia o validez de
respuestas.
Para describir de forma sintética este hecho,
podría hablarse de cierta irresponsabilidad
matemática de los alumnos. ¿Puede la
didáctica dar cuenta de este tipo de hecho? Veamos un
ejemplo concreto:
Consideremos a un alumno ante la tarea de resolver la
ecuación:
Y supongamos que el alumno es capaz de resolverla
analíticamente y que recurre a la técnica habitual
de eliminar la raíz cuadrada elevando al cuadrado los dos
miembros de la ecuación. Obtendrá entonces la serie
de ecuaciones.
Que le levan a la ecuación de segundo
grado:
.
Al resolver esta ecuación, encontramos dos
soluciones distintas:
Al legar a este punto, es bastante probable que el
alumno considere estos dos valores como soluciones de la
ecuación inicial, dando así por finalizado su
trabajo.
La ecuación ya esta resuelta; él ha hecho
lo que le pedían; ahora le toca al profesor decir si la
resolución es correcto. No hay nada más en juego.
Pero supongamos por un momento que al alumno le va la
vida en ello, o que de ello dependiera la cantidad de dinero que
cobre por un
determinada trabajo. ¿Cual seria entonces la
actuación de un alumno que se sintiera realmente
responsable de su solución? ¿Que haría si
hubiera algo muy importante en juego?
La respuesta es sencilla. Cualquiera alumno del nivel
adecuado dispone de elementos para asegurar al ciento por ciento
la validez la solución; basta con que sustituya la x por
16 y por 9 en la ecuación:
Para comprobar que, cuando a la x se le da el valor de
9, la igualdad no se
cumple, mientras que el valor x = 16 corresponde a una
solución correcta.
Pareciera mentira pero en las instituciones
de Venezuela, que el alumno encuentre las dos raíces del
problema anterior es un éxito
indiscutible, dado la relación existente entre los alumnos
que "resuelven" el problema y los que no, pero aquel alumno que
logra encontrar las raíces, difícilmente entiende
que significan las respuestas que obtuvo.
La didáctica de la
matemática
El docente que ha sido formado en el pasado con ideas,
concepciones y técnicas del pasado se le exige que ponga
en práctica una metodología actualizada que dé
respuestas al mundo moderno y al avance de la ciencia. El
reto que tiene el docente en el mundo actual consiste en
contribuir en la formación de un estudiante a
través del desarrollo del pensamiento en un mundo
vertiginosamente cambiante.
A su vez expresa Rodríguez (1995) que:
La enseñanza de la matemática no
sólo es un desgarramiento entre un discurso
vacío y el fastidio— el aburrimiento que produce
en el niño y que termina en el odio hacia la
matemática— sino una abstracción, una
oquedad. Por eso hablo de la enseñanza de la
matemática en Venezuela como un cuento de
mendigo, que siempre está vacío.
Que es su forma de concebir la didáctica actual
de las matemáticas Hay una organización de la
actividad del aula que supuestamente comienza con el programa que, si
bien el docente no maneja, porque no le ha llegado, por razones
de edición
y distribución, establece cierta
concepción de la matemática y ciertas pautas
metodológicas que el maestro sigue cuando está en
el aula, cuando apenas abre el libro de
texto, ya que
éstos presentan un apego a los programas casi
rayano en la sumisión. Continúa Rodríguez
(ob. cit.) que "Es inconcebible que el Ministerio de
Educación, imponga a las editoriales y a los autores de
los libros un anillo de bronce que obliga a una
organización del conocimiento que parece un torbellino,
sin coherencia alguna ni organización", puesto que en los
colegios que conocemos, las maestras de matemáticas dictan
conceptos y hasta resultados. En quinto grado, por ejemplo, una
maestra preocupada por la geometría, pone lo mejor de
sí y, voluntariosa, dicta a los niños
el teorema que establece que los ángulos interiores de un
triángulo suman ciento ochenta grados. Sin un dibujo, sin
una representación. Dice: Considérese el
triángulo ABC. Por el vértice A se traza una recta
paralela al lado BC. Prolónguese tanto el lado AB como el
lado CA, etc.
Todo esto sin que el niño ni ella hagan un
dibujo. Y eso que el discurso lo que habla es de acciones que
el estudiante debe realizar: Dibujar (en lugar de considerar),
trazar, prolongar. El niño no puede representarse la
situación porque la concepción de la
matemática y de su enseñanza que se maneja niega
toda actividad del sujeto. La enseñanza de nuestra
disciplina se
afinca en el dictado, el caletre, la repetición
memorística. El niño sencillamente no dibuja, no
mide, no calcula. Ni siquiera tiene idea de lo que está
intentando hacer y el formalismo que domina la matemática
y su enseñanza en Venezuela ha impuesto una
matemática que no permite preguntas, ni comentarios que no
se hagan en leguaje puramente matemáticos, y ni diga de la
oposición del uso de la calculadora en nuestras
aulas.
El entrenamiento de
los maestros ha sido un punto
crucial en la experiencia en muchos países que han
introducido la computadora
en la educación. Casi invariablemente se ha subestimado el
costo de llevarlo
a cabo adecuadamente. No es suficiente un curso superficial sobre
cómo prender y operar el equipo. Es necesario estimular al
maestro y convencerlo de las bondades del uso de la computadora
como apoyo a la enseñanza. Algunas experiencias han
demostrado que conviene darle al maestro una cultura
computacional que incluya el hecho de aprender a usar la
computadora como herramienta personal.
Cuando el maestro se da cuenta de lo útil que le
es la computadora para llevar las listas de calificaciones,
elaborar anuncios, escribir circularse y labores de ese tipo,
empieza a apreciar la necesidad de copiar archivos y
discos, comienza a interesarse en aprender más cosas de
las máquinas y
su software, y
sólo hasta ese momento es adecuado intentar
enseñarle el uso de la computadora como auxiliar
didáctico. Otra experiencia, es percatarse de lo
conveniente de hacer lo mismo con los directores de escuela para
que se conviertan en agentes positivos de la computación en sus escuelas.
Contrato didáctico y
responsabilidad matemática
El contrato
didáctico es una de las nociones básicas de la
didáctica fundamental. Puede considerarse formado por el
conjunto de cláusulas que, de una forma más o menos
implícita, rigen en cada momento, las obligaciones
recíprocas de los alumnos y el profesor, en lo que
concierne al conocimiento matemático
enseñado.
Por otro lado, la interpretación de la irresponsabilidad
matemática de los alumnos requiere, por una parte,
relacionar este fenómeno con otros que aparecen asociados
a él dentro del sistema escolar, y por otra, tomar en
consideración aquellos elementos del contrato
didáctico relacionados con la asignación de la
responsabilidad matemática.
La pregunta que ahora puede plantearse es la siguiente:
¿por qué el contrato didáctico asigna de
forma casi exclusiva al docente la responsabilidad
matemática? Se trata de una cuestión muy
relacionada con la forma en que se interpretan las funciones
respectivas del alumno y del docente en las actuales
instituciones didácticas.
La forma en que se considera el estudio del alumno en la
cultura escolar tradicional puede resumirse en tres
puntos:
- Se considera que el estudio del alumno es un medio
auxiliar de la enseñanza escolar. Su actividad
matemática no se concibe como el objetivo principal del
proceso didáctico - Se ignoran la estructura y las funciones del trabajo
matemático del alumno. Se considera esté proceso
de estudio más como una actividad privada y subjetiva
del alumno que como un trabajo objetivable y analizable. De
hecho, nunca se ha tomado en serio el trabajo del alumno, nunca
se ha considerado como un verdadero trabajo matemático.
La prueba de ello es la poca importancia que suele darse a las
producciones y trabajos matemáticos que realiza el
alumno en su cuaderno, aceptándose como normal la
existencia de errores graves. - En coherencia con la opacidad del trabajo
matemático del alumno y de acuerdo con la ignorancia de
la estructura especifica del proceso de estudio de las
matemáticas, la actividad de estudio del alumno se
concibe como un magma uniforme, relativamente independiente de
la materia a
estudiar.
Esta forma de interpretar el estudio de los alumnos
está relacionada con la enfermedad docente y trae
como por lo menos 2 importantes consecuencias sobre el
funcionamiento de las instituciones escolares:
- Las actividades matemáticas del alumno,
incluso las del docente, se concentran de manera casi exclusiva
en el aula. Esta concentración trae consigo una gran
dependencia mutua entre los alumnos y el docente. - En las aulas actuales instituciones docentes se
adjudican al profesor funciones desmesuradas que están
completamente fuera de sus alcance como profesor.
En concordancia con lo dicho expone Mavárez
(2002) que
El alumno sólo dispone de lo que se hace en
clase, de
los apuntes que logra tomar y de los materiales que el profesor
pueda entregarle incidentalmente, y a este nivel
(educación universitaria), este proceso se encuentra
bajo la responsabilidad de profesionales de diversas
disciplinas que se dedican a la docencia en
sus respectivas especialidades. (p. 12)
Lo anterior exhibe que el alumno depende absolutamente
del docente y, recíprocamente al docente le recae toda
responsabilidad del aprendizaje matemático del alumno. En
la medida que se haga creer al docente que es él el que
decide los contenidos matemáticos a enseñar y que
sobre sus espaldas reside la responsabilidad de evaluación
de los alumnos, se estará aumentando la dependencia mutua
profesor – alumno, con todas sus consecuencias.
La lucha por mejorar la enseñanza de la
matemática es una realidad dentro de la formación
universitaria de los nuevos profesionales encargados de esta
tarea, sin embargo, sus voluntades parecen mermarse por todos los
factores y elementos que el sistema educativo implica en su
práctica cotidiana. Desde este punto de vista, muy pocos
docentes están comprometidos verdaderamente por inyectar
un cambio necesario y suficiente en las distintas instituciones
educativas en que laboran.
Lo más paradójico de esta
situación, es que para aquellos profesionales que asumen
este importante reto, no solo se les impone una gran inversión de tiempo y sacrificio personal, sino
también llevar a cuestas las duras críticas de sus
colegas o presiones burocráticas por parte de las
rígidas normativas ministeriales.
También es destacable frente a este panorama,
sumar el gran deterioro que a sufrido la estructura familiar, la
mayoría de los estudiantes se forman bajo una
concepción de mediocridad y conformismo; acostumbrados a
pretender que otros resuelvan sus problemas y no asumir con
seriedad las responsabilidades personales.
Este rasgo característico, se evidencia en las
aulas institucionales; si se le exige al alumno que rinda gran
parte de su potencial individual, los reclamos y disgustos no se
hacen esperar, la dirección, los padres de familia y el
estudiante, constituyen un jurado muy difícil de
convencer. La enseñanza de la matemática no
debería desvirtuarse mediante adaptaciones al "pobrecito
estudiante". Este círculo vicioso, a traído como
consecuencia que ella por sus condiciones actuales, no
esté contribuyendo de forma integral al desarrollo de los
alumnos y por ende del país.
Los estudiantes en los centros educativos no aprenden
matemática, aprenden algoritmos y
algunas reglas sin sentido que con mucha facilidad olvidan en
transcurso de semanas. Desde este punto de vista, la
educación secundaria no está llenando las
expectativas del tipo de ciudadano que el país requiere.
Los estudiantes no adquieren aprendizajes duraderos, por una
excesiva preocupación por aprobar los exámenes de
cada curso.
En mi experiencia como docente en la educación
superior, he podido comprobar la pésima formación
matemática que los estudiantes arrastran desde su
educación secundaria. Bajo esta perspectiva, el Estado
costarricense está invirtiendo muchos recursos tanto
económicos como humanos; obteniendo resultados que
reflejan una pérdida sustancial de las inversiones
puestas en juego.
La matemática es una ciencia naturalmente
formativa. Además de proporcionar conocimientos
indispensables en nuestras sociedades
tecnificadas y científicas, otorga toda una estructura de
pensamiento constituida bajo el estandarte de la duda. Una
persona debidamente formada en este campo, adquiere un carácter desconfiado y ecuánime
frente a la mayoría de las situaciones. El aspecto
más importante de este síndrome de la duda, es su
integración a la forma de vida cotidiana y los efectos
intrínsecos que la acompañan, tales como:
confianza, autoestima, criticidad y una modalidad de pensamiento
fundamentada bajo los principios de la lógica
matemática.
CAPITULO III
UNA
TECNOLOGÍA PARA LA MATEMÁTICA
La enseñanza es una actividad sumamente compleja,
y a través de la historia el hombre ha experimentado
diversos métodos y procedimientos
con el propósito de lograr en forma efectiva tanto la
enseñanza como el aprendizaje. Por esta razón,
desde la aparición de la computadora, se buscaron formas
para aprovechar, en educación, el gran potencial que ellas
presentaban, y que se ha popularizado con la aparición de
la computadora personal.
De acuerdo con Vaquero y Flamingo (1987)
Enseñar es mucho más que dejar aprender.
La enseñanza ha de crear los estímulos que
activen y aceleren el aprendizaje.
El problema radical de la enseñanza es acoplar
la mente del alumno a la materia objeto de aprendizaje. Esto
implica una enseñanza individualizada de forma que, dada
una materia a enseñar, lo ideal es encontrar para cada
individuo el transformador adecuado a su nivel de entendimiento
y formación, que hiciese el acoplo más adecuado
(p. 112).
En este sentido, el uso de la computadora en sus
diversas modalidades ofrecen, sobre otros métodos de
enseñanza, ventajas tales como:
- Participación activa del alumno en la construcción de su propio
aprendizaje. - Interacción entre el alumno y la
máquina. - La posibilidad de dar una atención individual
al estudiante. - La posibilidad de crear micromundos que le permiten
explorar y conjeturar. - Permite el desarrollo cognitivo del
estudiante. - Control del tiempo y secuencia del aprendizaje por el
alumno. - A través de la retroalimentación inmediata y efectiva,
el alumno puede aprender de sus errores.
Ciertamente, la presencia de la computadora es cada vez
más evidente en la vida cotidiana y desde luego en la
escuela. En Panamá,
las políticas
gubernamentales1 contemplan planes de
integración de la informática al currículo y la
creación de laboratorios de computadoras en todos los
colegios con lo que se busca modernizar la educación en
nuestro país.
En la enseñanza de la Matemática
particularmente, la computadora se utilizó en sus inicios
como herramienta de cálculo y en la aplicación de
las técnicas de análisis numérico pero,
posteriormente, en el intento de encontrar posibles soluciones a
los ya bien conocidos problemas en la enseñanza de la
matemática, se utilizó en la creación de
materiales de enseñanza computarizados.
Son diversos los usos que se le ha dado a la computadora
en la enseñanza de la matemática, algunos con mayor
efectividad que otros, pero todos contribuyentes a enriquecer el
proceso de aprendizaje. Entre ellos tenemos:
Computadora como pizarrón
electrónico
El uso de la computadora como pizarrón
electrónico se puede enmarcar dentro de la modalidad
Computador
como herramienta. Para que tanto docentes como estudiantes puedan
utilizar la computadora como pizarrón electrónico,
se requiere de un diseño de software especial.
Su objetivo principal es escribir, dibujar y calcular
con el fin de mostrar e ilustrar conceptos. Se pueden mostrar
procedimientos en detalle o evitar cálculos tediosos.
Generalmente, en esta aplicación hay un solo computador en
el aula el cual se utiliza para hacer la demostración a
todos los estudiantes. A continuación un ejemplo de uso en
esta modalidad.
Al enseñar el cálculo del volumen de un
sólido de revolución, el docente de
matemática, quién en general no ha recibido cursos
de dibujo, se ve limitado en la ilustración del sólido que se genera
al hacer girar la región plana, sobre el eje de
revolución debido a que es una figura en tres dimensiones.
Puede entonces recurrir a la pantalla de la computadora para
ilustrar en cada problema, tanto el procedimiento seguido en el
cálculo del volumen como el sólido
generado.
Gráfico 2.
Volumen de un sólido de revolución. Tomado de
Leithold (2003)
En Matemática, es frecuente utilizar el
pizarrón electrónico ligado a softwares de los
cuales algunos han sido diseñados con propósitos
educativos y otros no, pero todos útiles en la
enseñanza de la Matemática. Entre otros tenemos:
(a) Hojas Electrónicas; (b) Excel; (c)
Power Point; y
(d) Editor de Ecuaciones. Además, existen en el mercado paquetes
diseñados especialmente para el apoyo del trabajo
matemático. Hoy día, contamos con libros de
cálculo y ecuaciones diferenciales que traen ejercicios
propuestos, adicionales, que pueden realizarse únicamente
con calculadoras programables o micro computadoras. Estos libros
hacen referencia al uso de paquetes de matemática
simbólica para computadoras personales como:
- Maple: incluye funciones de Cálculo y
gráficas en dos
dimensiones. - MathCAD: incluye funciones de cálculo y
gráficas en dos y tres dimensiones; puede producir
documentos
con texto y gráficas; puede usar un coprocesador
matemático en las máquinas que lo tengan
incorporado. - Mathematica: incluye operaciones de cálculo
y gráficas en dos y tres dimensiones, animación
incluida. Puede producir documentos con texto y
gráficas. Lenguaje completo de programación. - The Math Utilities: Grfica cualquier tipo de
función. Incluye CURVES para
gráficas en dos dimensiones y SURFS para
gráficas en tres dimensiones. - CoPlot: Un paquete de gráficas
científicas. Puede generar gráficas
rectangulares y polares, así como otro tipo de
gráficas que incluyen las tres dimensiones. Varias
gráficas se pueden mostrar en un sencillo sistema de
ejes.
Computadora como tutor
La Computadora como tutor fue la primera de las
modalidades de uso de la computadora aplicada a la
enseñanza de la matemática ya que las primeras
experiencias de enseñanza impartida mediante computadora
comenzaron "en Estados Unidos
hacia principios de los años 60 cuando en el Computer
Aplications Laboratory de la Universidad de
Florida se realiza una investigación sobre la
enseñanza de la aritmética binaria" (p.131, Vaquero
y Fernández, ob. cit.). Esta es una de las modalidades
más utilizadas en Matemática debido, a que ayudan a
solucionar algunos problemas educativos tales
cómo:
- Numerosa población estudiantil que impide la
atención de las diferencias individuales - El alto índice de fracasos debido a la falta
de uniformidad en el desarrollo cognitivo de los integrantes de
los grupos - Falta de motivación hacia el estudio de la
materia - La posibilidad de una rápida
actualización de los materiales educativos - Falta de instrucción de alta calidad,
accesible a gran escala
En Matemática, se han aplicado desde los
más rudimentarios tutores lineales hasta los más
sofisticados tutores inteligentes, y según expresa, Hitt
(2001).:
Algunos de ellos, técnicamente muy bien
realizados, con diseños de pantallas sumamente
atractivos, pero con objetivos restringidos que llevaban
únicamente a la mecanización. Otros, la
mayoría realizado por investigadores en educación
matemática, con diseños de pantallas que no
llegan a competir en espectacularidad pero que consideran
elementos valiosos de análisis de errores y
experimentación (p.34)
El Sistema Tutorial.
Un ejemplo, el sistema BUGGY que proporciona un
mecanismo para detectar por qué un estudiante comete un
error aritmético, en lugar de simplemente identificar el
error. Este programa construye un modelo de conocimientos del
alumno, para así poder determinar la causa de sus
equivocaciones y corregirla adecuadamente. BUGGY parte de la
hipótesis de que
si un estudiante comete un error es porque no sigue el
procedimiento correcto. Por lo tanto el sistema no funciona
cuando el alumno comete errores totalmente arbitrarios e
imprevisibles. También se utiliza para enseñar al
profesor a diagnosticar los errores de los alumnos (Vaquero y
fernández, ob.cit.).
Volumen de un Sólido de Revolución,
desarrollado por estudiantes del Postgrado en Informática
Aplicada a la Educación de la Universidad
Tecnológica de Panamá, con el objetivo de
enseñar a estudiantes de Cálculo
Diferencial e Integral, a calcular el volumen de
sólidos de revolución tanto por el método del
disco como por el método del anillo.
Como un ejemplo más de sistema tutorial podemos
mencionar el confeccionado por las Profesoras Alba de Quiel
y Catalina González, para el estudio de Máximos y
Mínimos de una función, aplicando los criterios de
primera y segunda derivada. Este software posee las "cuatro fases
que según Gagné deben estar presentes en todo
proceso de enseñanza aprendizaje: introductoria,
orientación inicial, aplicación y
retroalimentación (Galvis 1998).
Este es un software de tipo hipermedia, el cual logra,
con la utilización de ventanas, proporcionar al estudiante
toda la información necesaria para determinar los valores
críticos de la función y clasificarlos como
máximos o mínimos relativos.
Los juegos y las
matemáticas
La actividad matemática ha tenido desde siempre
una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a
una buena parte de las creaciones más interesantes que en
ella han surgido.
Socas (2000), expresa que el juego presenta unas cuantas
características peculiares:
- es una actividad libre, en el sentido de la paideia
griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí
misma, no por el provecho que de ella se pueda
derivar - tiene una cierta función en el desarrollo
del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se
prepara con ello para la vida; también el hombre
adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de
liberación, de evasión, de
relajación - el juego no es broma; el peor revientajuegos es el
que no se toma en serio su juego - el juego, como la obra de arte, produce
placer a través de su contemplación y de su
ejecución - el juego se ejercita separado de la vida ordinaria
en el tiempo y en el espacio - existen ciertos elementos de tensión en
él, cuya liberación y catarsis
causan gran placer - el juego da origen a lazos especiales entre quienes
lo practican - a través de sus reglas el juego crea un
nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y
armonía.
Un breve análisis de lo que representa la
actividad matemática basta para permitirnos comprobar que
muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La
matemática, por su naturaleza misma, es también
juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el
científico, instrumental, filosófico, que juntos
hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos
ejes de nuestra cultura.
Si el juego y la matemática, en su propia
naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que
también participan de las mismas características en
lo que respecta a su propia práctica. Esto es
especialmente interesante cuando nos preguntamos por los
métodos más adecuados para transmitir a nuestros
alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las
matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera
familiarización con los procesos usuales de la actividad
matemática.
Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un
cierto número de objetos o piezas, cuya función en
el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma
forma en que se puede proceder en el establecimiento de una
teoría matemática por definición
implícita: Méndez (ob. cit.) "Se nos dan tres
sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos
puntos, los del segundo rectas,…"
Quien se introduce en la práctica de un juego
debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas,
relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en
matemáticas compara y hace interactuar los primeros
elementos de la teoría unos con otros. Estos son los
ejercicios elementales de un juego o de una teoría
matemática.
Quien desea avanzar en el dominio del juego
va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en
circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al
éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la
teoría que se hacen fácilmente accesibles en una
primera familiarización con los problemas sencillos del
campo.
Una exploración más profunda de un juego
con una larga historia proporciona el
conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que
han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las
estrategias de un nivel más profundo y complejo que han
requerido una intuición especial puesto que se encuentran
a veces bien alejadas de los elementos iniciales del
juego.
Esto corresponde en matemáticas a la fase en la
que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos
los grandes teoremas y métodos que han sido creados a
través de la historia. Son los procesos de las mentes
más creativas que están ahora a su
disposición para que él haga uso de ellas en las
situaciones más confusas y delicadas.
Más tarde, en los juegos más sofisticados,
donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto
trata de resolver de forma original situaciones del juego que
nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al
enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos
de la teoría.
Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear
nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones
capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar.
Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías
matemáticas, fértiles en ideas y problemas,
posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas
abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la
realidad más profundos que hasta ahora habían
permanecido en la penumbra.
La matemática y los juegos han entreverado sus
caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente
en la historia de las matemáticas la aparición de
una observación ingeniosa, hecha de forma
lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento.
En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del
pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se
puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat,
Pascal,
Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,…
Del valor de los juegos para despertar el interés
de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Gardner, el
gran experto de nuestro tiempo en la presentación
lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por
muchos años en sus columnas de la revista
americana Scientific American: "Con seguridad el
mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle
un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja,
pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una
veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar
porque parecen frívolas"
El matemático experto comienza su
aproximación a cualquier cuestión de su campo con
el mismo espíritu explorador con el que un niño
comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto
a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco
a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del
descubrimiento. Por qué no usar este mismo espíritu
en nuestra aproximación pedagógica a las
matemáticas?
A mi parecer el gran beneficio de este acercamiento
lúdico consiste en su potencia para
transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su
enfrentamiento con problemas matemáticos.
La matemática es un grande y sofisticado juego
que, además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte
intelectual, que proporciona una intensa luz en la
exploración del universo y tiene grandes repercusiones
prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran
provecho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su
historia, las biografías de los
matemáticos más interesantes, sus relaciones con la
filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero
posiblemente ningún otro camino puede transmitir
cuál es el espíritu correcto para hacer
matemáticas como un juego bien escogido.
Necesidad de integrar la
tecnología y el trabajo matemático
La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido
predominantemente la matemática del continuo en la que el
análisis, por su potencia y repercusión en las
aplicaciones técnicas, ha jugado un papel
predominante.
El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa
capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad,
potencia de representación gráfica, posibilidades
para la modelización sin pasar por la formulación
matemática de corte clásico,… ha abierto multitud
de campos diversos, con origen no ya en la física, como los
desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias
tales como la economía, las ciencias de la
organización, biología,… cuyos problemas
resultaban opacos, en parte por las enormes masas de
información que había que tratar hasta llegar a dar
con las intuiciones matemáticas valiosas que pudieran
conducir a procesos de resolución de los difíciles
problemas propuestos en estos campos.
Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos,
usados en las ciencias de la computación, en la
informática, así como en la modelización de
diversos fenómenos mediante el ordenador, ha dado lugar a
un traslado de énfasis en la matemática actual
hacia la matemática discreta. Ciertas porciones de ella
son suficientemente elementales como para poder formar parte con
éxito de un programa inicial de matemática. La
combinatoria clásica, así como los aspectos
modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la
geometría combinatoria, podrían ser considerados
como candidatos adecuados. La teoría elemental de
números, que nunca llegó a desaparecer de los
programas en algunos países, podría ser
otro.
Se han realizado intentos por introducir estos elementos
y otros semejantes pertenecientes a la matemática discreta
en la enseñanza matemática inicial. Sucede que esto
parece ser sólo posible a expensas de otras porciones de
la matemática con más raigambre de las que no se ve
bien cómo se puede prescindir. Aunque parece bastante
obvio que el sabor de la matemática del futuro será
bastante diferente del actual por razón de la presencia
del ordenador, aún no se ve bien claro cómo esto va
a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y
secundaria.
Impactos en los contenidos de los
métodos modernos de cálculo
Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras
escuelas elementales dedicar una gran energía y largo
tiempo a rutinas tales como la división de un
número de seis cifras por otro de cuatro. O a la
extracción a mano de la raíz cuadrada de un
número de seis cifras con tres cifras decimales exactas.
O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las
tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de
interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo
ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa
energía y ese tiempo están mejor empleados en otros
menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como
algoritmos inteligentes y profundos, pero como destrezas
rutinarias son superfluos.
En la actualidad, año 1991, en nuestra segunda
enseñanza así como en los primeros años de
nuestra enseñanza
universitaria, dedicamos gran energía y largo tiempo a
fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad en el
cálculo de derivadas,
antiderivadas, resolución de sistemas lineales,
multiplicación de matrices,
representación gráfica de funciones, cálculo
de la desviación típica,…
Ya desde hace unos años existen en el mercado
calculadoras de bolsillo que son capaces, sin más que
apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la
derivada de, de
dar su polinomio de
Taylor hasta el término de tercer grado, de
representar gráficamente esta función en un cierto
entorno que se pida o bien de hallar el valor de su integral
entre 2 y 3 con gran aproximación. La inversión de
una matriz 8×8 le
ocupa a la máquina unos pocos segundos, una porción
mínima del tiempo que se tarda en darle los datos. El
cálculo de la desviación típica de una gran
masa de datos es una operación inmediata. Las soluciones
de una ecuación de séptimo grado, incluidas las
raíces complejas, son proporcionadas por la máquina
en un abrir y cerrar de ojos.
Siendo así las cosas, es claro que nuestra
enseñanza del cálculo, del álgebra, de la
probabilidad y estadística, ha de transcurrir en el futuro
por otros senderos distintos de los que hoy seguimos.
Habrá que poner el acento en la comprensión e
interpretación de lo que se está haciendo, pero
será superflua la energía dedicada a adquirir
agilidad en las rutinas que la máquina realiza con mucha
mayor rapidez y seguridad. En la programación de nuestra
enseñanza habremos de preguntarnos constantemente
dónde vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzo
inteligente y cuáles son las rutinas que podemos confiar a
nuestras máquinas. El progreso de la inteligencia
humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas
operaciones que en un principio han representado un verdadero
desafío para nuestra mente y, si es posible, entregar la
realización de tales rutinas a nuestras máquinas.
Con ello podemos liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a
la resolución de los problemas que todavía son
demasiado profundos para las herramientas de que
disponemos.
Como reacción a un abandono injustificado de la
geometría intuitiva en nuestros programas del que fue
culpable la corriente hacia la "matemática moderna", hoy
se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista
didáctico, científico, histórico, volver a
recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la
matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la
geometría.
Es evidente que desde hace unos veinte años el
pensamiento geométrico viene pasando por una profunda
depresión en nuestra enseñanza
matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del
pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza
de la geometría más o menos fundamentada en los
Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico
y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la
matemática que provienen de y tratan de estimular la
capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio
físico en que vive, la figura, la forma
física.
Esta situación, que se hace patente sin
más que ojear nuestros libros de texto y los programas de
nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva
de nuestro entorno. En realidad es un fenómeno universal
que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución
misma de la matemática desde comienzos de siglo,
más o menos.
La crisis de los
fundamentos de principio de siglo empujó al
matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis
sobre el rigor, a una cierta huida de la intuición en la
construcción de su ciencia.
Lo que fue bueno para la fundamentación fue
considerado por muchos bueno también para la
transmisión de conocimientos. Las consecuencias para la
enseñanza de las matemáticas en general fueron
malas, pero especialmente nefastas resultaron para el pensamiento
geométrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez
juntamente con una mala interpretación de los
análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura
evolutiva del conocimiento del niño, se basa el
énfasis sobre la teoría de conjuntos y la
búsqueda de rigor. La geometría, a nivel elemental
es difícil de formalizar adecuadamente y así, en
este intento, se nos fue por el mismo agujero el pensamiento
geométrico, la intuición espacial y la fuente
más importante que por muchos siglos ha tenido la
matemática de verdaderos problemas y resultados
interesantes abordables con un número pequeño de
herramientas fácilmente asimilables.
El siglo XIX fue el siglo de oro del
desarrollo de la geometría elemental, del tipo de
geometría al que tradicionalmente se dedicaba la
enseñanza inicial de la matemática, que
vivía a la sombra de creaciones muy interesantes y muy de
moda de la
matemática superior tales como la geometría
descriptiva, geometría proyectiva, geometría
sintética, geometrías no euclídeas, … El
mismo sentido geométrico que estimuló los
desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo
también hoy en campos tales como la teoría de
grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría
combinatoria, algunos capítulos de la teoría de
optimización, de la topología, … Como rasgos comunes a todos
estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte
relación con la intuición espacial, una cierta
componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de
desarrollos analíticos excesivos.
De estas materias, cuya profundidad se va manifestando
cada vez más claramente, no se ha hecho eco en absoluto la
enseñanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta a
nivel superior y a nivel de matemática recreativa. Pero
esta matemática recreativa, en nuestro país, no ha
encontrado aún el camino hacia la escuela.
Paradójicamente, no permitimos jugar a quien
más le gusta y a quien más se beneficiaría
con el juego matemático.
La necesidad de una vuelta del espíritu
geométrico a la enseñanza matemática es algo
en lo que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo,
aún no es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es
necesario evitar llegar a los extremos en que se incurrió,
por ejemplo, con la geometría del triángulo, tan en
boga a finales del siglo XIX. También hay que evitar una
introducción rigurosamente sostenida de una
geometría axiomática. Posiblemente una
orientación sana podría consistir en el
establecimiento de una base de operaciones a través de
unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se
podrían levantar desarrollos locales interesantes de la
geometría métrica clásica, elegidos por su
belleza y profundidad. Las obras elementales de Coxeter pueden
ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.
La probabilidad y la estadística son componentes
muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras
ciencias específicas. Deberían constituir una parte
importante del bagaje cultural básico del ciudadano de
nuestra sociedad. Es este un punto en el que todos los sistemas
educativos parecen concordar. Y efectivamente son muchos los
países que incluyen en sus programas de enseñanza
secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se
lleva a cabo con la eficacia deseada. En España
este fenómeno, a mi parecer, se debe por una parte a la
dificultad misma de las materias en cuestión y a una
cierta carencia de preparación adecuada de los profesores
para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de
enseñanza de ellas.
En el momento actual, nos encontramos con que gran parte
del profesorado de las diferentes etapas educativas responsable
de llevar adelante toda esta tarea no tiene, como colectivo, la
formación adecuada para ello. Si observamos, por ejemplo,
la formación inicial del profesorado, nos encontramos con
un grupo de profesores en los que predomina la dimensión
educativa general sobre las competencias
específicas matemáticas, frente a otro en los que
el predominio en la transmisión de conocimientos
matemáticos no permite atender a los valores formativos
generales.
- La "necesidad" de contar animales,
pieles, comida o alguna otra cosa que servía de
intercambio comercial que sería indispensable para la
supervivencia, logró convertir el arte de contar en
primordial e inevitable - En estos tiempos modernos la matemática tiene
infinidad de aplicaciones, pero los conocimientos no se
trasmiten de generación en generación de la misma
forma que en sus inicios, actualmente la matemática se
enseña con la mera transmisión de conocimientos y
la memorización, sin tan siquiera saber, ¿para
qué? ni el ¿por qué de las
matemáticas? - Para que el proceso de enseñanza cambie, deben
cambiar los docentes. - Con el avance arrollador de la tecnología,
surgen nuevos instrumentos de trabajo que pueden ser usados a
la hora de enseñar, por ejemplo las computadoras,
posiblemente una solución para la problemática de
la enseñanza de la matemática sea unir la
línea del tiempo existente desde la antigüedad y la
actualidad: matemáticas en la vida real y las
computadoras.
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Participante:
Rodney Salcedo
Facilitador: Pablo Cuello
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL
LIBERTADOR
INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO
"LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA"
Barquisimeto, Abril de 2005