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¿Por qué la matemática no es pan comido?

Enviado por Rodney Salcedo



  1. ¿Qué significa "Hacer Matemática"?
  2. ¿Lo necesario?
  3. Una Tecnología para la Matemática
  4. Conclusiones
  5. Referencias

INTRODUCCIÓN

La clave para el desarrollo de nuestros países es la educación formal de los recursos humanos en todos los niveles. Parte de ese proceso imprescindible de educación es la "Educación en Valores" por la que tanto ha abogado la Organización de Estados Iberoamericanos (OEI).

La enseñanza de la matemática en la escuela ha sido y es fuente de preocupaciones para padres, maestros y especilistas. En todo tiempo, el estudio de la enseñanza de la matemática ha mostrado constantes obstáculos y dificultades de diferentes órdenes, no salvadas aún de manera eficiente por matemáticos, psicólogos y educadores.

Sin embargo, desde tiempos inmemorables el hombre comenzó a contar, no se sabe en que momento ni como, probablemente lo hizo con los dedos de la mano y otras partes del cuerpo o haciendo marcas sencillas en las paredes de las cavernas, ¿por qué es importante la matemática en nuestra vida?, Por qué es tan dificultoso entenderla o enseñarla?, ¿Cuál es la mejor forma de enseñar matemáticas?, en la presente investigación se intentará dar respuesta a estas interrogantes.

CAPITULO I

¿QUÉ SIGNIFICA HACER MATEMÁTICAS?

Podría parecer evidente que son las matemáticas, o por lo menos, saber si una persona está o no haciendo matemáticas, al profundizar en el tema se que esto no es tan claro como parece. Las matemáticas como actividad humana, permiten al sujeto organizar los objetos y los acontecimientos de su mundo. A través de ellas se pueden establecer relaciones, clasificar, seriar, contar, medir, ordenar. Desde muy chicos en nuestras escuelas se observa que Estos procesos los aplica diariamente el niño cuando selecciona sus juguetes, los cuenta, los organiza. A través de estas interacciones, el niño de preescolar aprende las operaciones lógico - matemáticas del pensamiento que el curriculum establece como prioridad cognitiva del nivel. La educación tiene un alto interés de que a muy temprana edad se aprenda matemáticas, casi después de empezamos a hablar, ¿por qué?, ¿será indispensable para la substancia?, ¿será un requisito para aprobar los diferentes niveles?, ¿desde cuando el hombre hace matemáticas?

¿Cuándo y cómo surgió?

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

¿Cómo hemos llegado hasta aquí?

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (1/n), junto con la fracción 2/3, para expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales.

En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10.

Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10.

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios, y fueron capaces de descubrir fórmulas para calcular el área de ciertas figuras planas y el volumen a ciertos sólidos.

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de los matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos son consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales, generalizaron los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior, inventaron el álgebra de los polinomios.

Ya en el renacimiento, durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos, con Europa dominando el mundo de las matemáticas. Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper), descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra para investigar la geometría de las curvas. Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666 y una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad

A pesar de que a través de la historia de la raza humana la matemática a esta a su lado pareciera una odisea titánica tratar de aprender o más bien, de enseñar matemática. En las últimas décadas han surgido inquietudes en los educadores investigadores, sobre la problemática de la enseñanza - aprendizaje de la matemática, como lo es Guzmán (2005) que intenta dar respuesta a la interrogante ¿Por qué es difícil enseñar matemáticas?, a su vez Aleman (2005), intenta resolver el problema con el uso de tecnología, en específico las computadoras, existen revistas electrónicas que tratan sólo la didáctica de las matemáticas y se discuten sobre trabajos como el de Arteaga (2003), las tareas de contenido y las tareas formales como diagnóstico en la asignatura matemática, otros tratan de hacer un enfoque netamente significativo basándose en Asubel, como Vilchez (2004) en su trabajo la importancia de la enseñanza de la matemática para el desarrollo del país, hasta incluso en Venezuela existe iniciativas de parte del gobierno regional olimpiada infantiles de matemáticas cuya finalidad es estimular y fortalecer el estudio de la matemática en las escuelas básicas municipales de Baruta.

Así mismo, aportar información sobre las dificultades y el nivel alcanzado por los alumnos, tomando en cuenta los resultados de las pruebas. Incluso se ha intentado encontrarla raíz del problema, enfocándolo desde puntos de vista afectivos, como lo plantea Zavarce (2003) en estrategias emocionales aplicables a estrategias racionales para la enseñanza de la matemática en educación superior.

Con estas investigaciones y otras más de numerosos autores se quiere explicar cual es la situación actual de las matemáticas.

CAPITULO II

¿LO NECESARIO?

El ser matemático tiene el significado social de que es la persona que se dedica crear las nuevas matemáticas, lo no conocido. Atendiendo a lo que nos dice Chevallard el ser matemático significa que puede ser cualquier persona que se dedique a utilizar las matemáticas como una herramienta para resolver problemas que se le presenten en la sociedad, ejemplo el profesor al tratar de explicarle a sus alumnos, un alumno al apoyar a sus compañeros, o uno mismo al aplicar lo que sabe para solucionar un problema que requiera de aspectos matemáticos para su solución.

Al tratar de dar respuesta a lo que es ser matemático podremos también responder a la interrogante ¿Para qué estudiar matemáticas?. Dado que el ser matemático requiere de las herramientas que le proporcionan los estudios de matemáticas para solucionar problemas no únicamente matemáticos sino problemas de la realidad, es cuando se le encuentra el mayor significado al estudio de las matemáticas, dejando atrás el concepto de que aprender matemáticas sólo le sirven al que las aprende.

Uno de los múltiples problemas que conciernen a la Didáctica de las Matemáticas es la reflexión sobre los saberes, porque ella los considera objetos sujetos a evolución y cambio conforme al entorno social donde ellos nacen o se arraigan. De manera particular, el estudio de las relaciones que los estudiantes establecen con los saberes matemáticos que les son presentados debe ser el centro de reflexión sobre las condiciones y las naturalezas de los aprendizajes matemáticos.

Modelos matemáticos.

Un modelo es una forma de atacar un problema Al estudiar matemáticas es muy importante poder construir un modelo real de la situación matemática en cuestión, ya que al trabajar por medio de un modelo le permite al estudiante interpretar los resultados y poder contestar cuestiones planteadas inicialmente.

Al utilizar la modelización permite que el trabajo se convierta en un estudio de un sistema no matemático en el estudio de problemas matemáticos que se resuelven utilizando adecuadamente ciertos modelos y para éstos se recomiendan tres tipos que son: la utilización rutinaria de modelos matemáticos ya conocidos; el aprendizaje de modelos de enseñanza y de la manera de utilizarlos; y la creación de conocimientos matemáticos, es decir de nuevas maneras de modelizar los sistemas de los estudiantes.

Por ejemplo si tenemos una bolsa de caramelos que queremos repartir, a partes iguales, entre unos amigos. Lo primero que haremos es colocarlos en círculo y repartir los caramelos de uno en uno hasta que se terminen, tomando en cuenta que si en la última ronda no logramos darles a todos debemos recoger los últimos caramelos repartidos.

De esta manera podemos realizar el reparto sin ninguna noción matemática explícita. Este procedimiento es simple y eficaz, pero de alcance limitado, pues hay que suponer que todos los amigos están presentes y bastante cerca los unos de los otros. Ahora representemos a los amigos por un círculo en suelo, en los que iremos colocando los caramelos, y obtenemos el mismo resultado.

Al aplicar este procedimiento nos hemos alejado un poco de la realidad inicial del problema, reemplazando a los amigos por un modelo de más fácil manipulación. Se puede ampliar un poco el modelo anterior asociando una piedrecita a cada caramelo, para no manosearlos tanto. Al final cambiamos las piedras por los caramelos.

El procedimiento ha mejorado pero sigue siendo limitativo, ya que el número de amigos si llegase a ser muy grande, tendríamos que dibujar demasiados círculos y colocarles muchas piedras.

Pero, si se supiera que la repartición de caramelos, es una simple división, que se resuelve con lápiz y papel, se estaría construyendo un modelo matemático de la situación del problema, que no requiere tener presentes ni a los amigos ni a los caramelos, ni a las piedras. Si alguien observa el procedimiento, no dudaría en decir que se esta haciendo matemáticas.

Enseñanza - aprendizaje.

Durante mucho tiempo se consideró que el aprendizaje era sinónimo de cambio de conducta, esto, porque dominó una perspectiva conductista de la labor educativa; sin embargo, se puede afirmar con certeza que el aprendizaje humano va más allá de un simple cambio de conducta, conduce a un cambio en el significado de la experiencia.

La experiencia humana no solo implica pensamiento, sino también afectividad y únicamente cuando se consideran en conjunto se capacita al individuo para enriquecer el significado de su experiencia.

Para entender la labor educativa, es necesario tener en consideración otros tres elementos del proceso educativo: los profesores y su manera de enseñar; la estructura de los conocimientos que conforman el currículo y el modo en que éste se produce y el entramado social en el que se desarrolla el proceso educativo.

Lo anterior se desarrolla dentro de un marco psicoeducativo, puesto que la psicología educativa trata de explicar la naturaleza del aprendizaje en el salón de clases y los factores que lo influyen, estos fundamentos psicológicos proporcionan los principios para que los profesores descubran por si mismos los métodos de enseñanza más eficaces, puesto que según Ausubel (1983) "intentar descubrir métodos por ‘Ensayo y error’ es un procedimiento ciego y, por tanto innecesariamente difícil y antieconómico"

En este sentido una "teoría del aprendizaje" ofrece una explicación sistemática, coherente y unitaria del ¿cómo se aprende?, ¿Cuáles son los límites del aprendizaje?, ¿Porqué se olvida lo aprendido?, y complementando a las teorías del aprendizaje encontramos a los "principios del aprendizaje", ya que se ocupan de estudiar a los factores que contribuyen a que ocurra el aprendizaje, en los que se fundamentará la labor educativa; en este sentido, si el docente desempeña su labor fundamentándola en principios de aprendizaje bien establecidos, podrá racionalmente elegir nuevas técnicas de enseñanza y mejorar la efectividad de su labor.

Ausubel plantea que el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del conocimiento, así como su organización.

En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como de su grado de estabilidad.

Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la organización de la estructura cognitiva del educando, lo cual permitirá una mejor orientación de la labor educativa, ésta ya no se verá como una labor que deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que, los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio, convirtiéndolo en significativo.

Gráfico 1. Manera de aprendizaje en la ecuación tradicional (memorístico). Tomado de Méndez (2001)

En contraste con el aprendizaje significativo, el aprendizaje memorístico tiene lugar cuando el que aprende no relaciona la nueva información con la ya existente en su estructura cognitiva. Como consecuencia, los nuevos conocimientos se aprenden de manera aislada y sin relación entre sí por lo que no contribuyen al aprendizaje ulterior y más bien lo dificultan. Según Ausubel (ob. cit.), entre estos dos extremos existiría un continuo que permitiría encuadrar la mayoría de las situaciones de aprendizaje escolar. La distinción entre aprendizaje significativo y aprendizaje memorístico es independiente de que éste se lleve a cabo por recepción o por descubrimiento.

Opacidad de social de las matemáticas.

El primer aspecto de la actividad matemática consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar. Es el caso del fontanero, utiliza sus conocimientos para resolver problemas que le presentan como rutinarios, ya sean pequeños problemas parciales que surgen de sus investigaciones, ya sean cuestiones que otros vienen a consultarte.

También se encuentran en esta situación el estudiante de matemáticas cuando su hermano menor le pide que le ayude con sus tareas, el profesor de matemáticas que resuelve un ejercicio para sus alumnos, o el alumno de secundaria cuando, en medio de un problema de una multiplicación de decimales de varias cifras y ha dejado la calculadora en casa.

También establece Aja (2000) que:

Está claro que la mayoría de conocimientos (la ortografía, el inglés la biología, entre otros) se utilizan en un sin fin de circunstancias, pueden parecer mucho más raras aquellas situaciones en la que uno mismo utiliza la matemática de un modo natural y rutinario. (p. 1003)

Reafirmando el hecho de que las matemáticas no gozan de gran visibilidad en nuestra sociedad y cuesta ver sus usos más habituales, así como nuestra necesidad de ellas.

Esto es debido según Aja (ob. cit.) porque "las matemáticas que se necesitan y se utilizan no aparecen en estado puro", están entremezcladas con otras áreas de las ciencias a las que le sirven de herramienta, mostrando de esta manera su utilidad.

Al igual que la computarización y la economía, también la biología, la medicina y la sociología recurren cada vez más para describir los fenómenos que estudian, pero al estar cristalizadas en las ciencias y tecnologías pareciera que no existiesen.

Las personas no se dan cuenta que se utiliza las matemáticas para actuar con mayor eficacia en la toma de decisiones y en numerosos aspectos de la vida cotidiana. Aunque no parezca, las matemáticas aparecen todos los días en nuestras vidas.

Aprender a enseñar matemática

En la enseñanza de la matemática, durante las primeras etapas de la Educación Básica, debe evitarse la abstracción precipitada, deben propiciarse las referencias a lo concreto así como a situaciones con interés cultural que permitan apreciarla posibilidad de integrar la matemática con la realidad y con otras áreas. Se precisa el uso de materiales atractivos para apoyar el proceso de enseñanza.

Aquí se incluye categorías tan amplias y hasta desiguales como son objetos cotidianos, material hecho en el aula y nuevas tecnologías (calculadora, computadora, etc.), que incorporan no sólo herramientas para simplificar los cálculos sino también la posibilidad de "experimentar", con lo que se enriquecen los recursos para la formación de conceptos y estructuración de contenidos. Todos ellos tienen en común que estimulan la concreción de aprendizaje y refuerzan el contenido empírico de la formación.

El alumno puede investigar, diseñar juegos, resolver problemas, integrarse al grupo de estudiantes y descubrir sus habilidades a través de métodos de enseñanza que recurran a estos objetos didácticos.

Es posible en la vida encontrarse ante un problema de matemáticas que no se puede resolver por falta de los instrumentos apropiados; por ejemplo, el artesano tiene que ir al taller por otras herramientas, pero desconoce medidas o para que debe emplearse. En este caso, la mejor solución es hacerse de los conocimientos de medidas de esos instrumentos, ya sea por nosotros mismos, ya sea recurriendo algún matemático para que nos facilite la tarea.

Este segundo aspecto del trabajo matemático es muy conocido por los propios matemáticos, así como por los usuarios habituales de la matemática (el físico, el biólogo o el economista), cuando se encuentran con un problema matemático nuevo para ellos y que no saben cómo abordar. Una posible actuación consiste en consultar a algún matemático para ver si aquel problema es "conocido" y permite obtener fácilmente la solución. Existe también otra posibilidad: la de consultar libros y artículos en busca de lo que uno necesita para abordar el problema en cuestión.

En los casos indicados, el estudio de un sistema matemático o extramatemático genera instrumentos que pueden ser abordadas mediante instrumentos matemáticos que ya existen, pero que son desconocidos para el que desarrolla la actividad. Surge así la necesidad de aprender matemáticas ya existentes, para poder responder las cuestiones propuestas. Y en consecuencia, aparece la actividad de enseñar matemáticas: el profesor ayuda a sus alumnos –matemáticos en apuros- a buscar y poner a puntos los instrumentos matemáticos que estos necesitan para modelizar y resolver ciertas cuestiones, desconocidas para ellos aunque muy familiares para un matemático profesional.

Pero, no se debe olvidar que el hecho de que se enseñe matemáticas en la escuela responde a una necesidad a la vez individual y social: todos juntos hemos de mantener el combustible matemático que hace funcionar nuestra sociedad. La presencia de las matemáticas en las escuelas es una consecuencia de su presencia en la sociedad y, por tanto, las necesidades matemáticas que surgen en los institutos de enseñanza deberían estar siempre subordinadas a las necesidades de la vida en sociedad.

Cuando por las razones que sea, se invierte esta subordinación, cuando se cree que las únicas necesidades matemáticas son las que derivan de la escuela, entonces aparece la enfermedad docente. Se reduce así el valor social de las matemáticas (el interés social de que todos tengamos una cultura matemática básica) a un simple valor escolar, convirtiendo la enseñanza escolar de las matemáticas en un fin en sí mismo.

Este tipo de reduccionismo puede conducir a no tomarse en serio las matemáticas que se hacen en la escuela, considerándolas como un mero artefacto escolar.

Estrategias de aprendizaje y enseñanza más amplias que las convencionales

La resolución de problemas es la estrategia básica para el aprendizaje de la matemática. En ella se destacan características y bondades que la hacen compatible con los planteamientos que se han venido desarrollando. La estrategia de resolución de problemas permite que se considere y respete la realidad del alumno, se le escuche, se le invite a razonar y llegue a conclusiones por sí mismo, y no por imposición del docente.

Esta recomendación es válida y constante en cada uno de los pasos o etapas que constituyen esta estrategia. La resolución de problemas plantea retos, exige perseverancia, es un ejercicio permanente de creatividad e inventiva, lo cual ejercita la autoestima, la motivación al logro y valores que hemos declarado esenciales en la formación del ser.

La estrategia es constructivista por naturaleza, la persona plantea posibles soluciones, las ensaya, construye y reconstruye sobre nuevas hipótesis hasta alcanzar una solución válida. La resolución de problemas contribuye a la integración de áreas y ejes curriculares. Por su naturaleza, los problemas pueden tratar sobre cualquier tema o bloque, logrando con sus enunciados cualquier globalización que pueda considerarse lógica.

Es preciso estimular un conjunto de procesos y valores simultáneamente con la enseñanza. Expresa Orbitas que:

La idea de transversalidad, todas las áreas de formación, incluyendo la matemática, forman parte de un tejido pedagógico más amplio cuyos ejes cognoscitivos están constituidos por cuatro ejes transversales: lenguaje, desarrollo del pensamiento, trabajo y valores, en los cuales reside la formación cabal del individuo y su inserción como ente proactivo en los procesos sociales.

El eje transversal se define como una dimensión global interdisciplinaria que incluye todas las áreas y se desarrolla transversalmente a lo largo y a lo ancho de todo el currículo. La transversalidad constituye el núcleo de una renovadora aproximación cultural, donde la educación está orientada hacia el ejercicio pleno de las capacidades individuales indispensables para la vida diaria. Estos cuatro ejes interactúan de manera permanente en el proceso educativo y por ello se integran al desarrollo de todos los contenidos programáticos impartidos en el aula.

El eje transversal lenguaje se manifiesta en contenidos que invitan al trabajo en equipo, exaltando el respeto a las normas consensuadas en el grupo, la expresión oral y escrita de los números, y la respuesta a los problemas, así como también en la incorporación de términos y símbolos propios del lenguaje matemático a situaciones cotidianas.

El eje desarrollo del pensamiento encuentra en el área de matemática un campo propicio para desarrollar procesos tales como: identificar características, propiedades y relaciones entre elementos, secuenciar eventos, establecer prioridades, usar la inducción, la deducción e inferencia, que permitan al joven razonar, evaluar y tomar decisiones adecuadas.

El eje transversal trabajo se hace presente en la realización de procesos tales como: construir, trazar, medir, resolver problemas usando adecuadamente los instrumentos y operaciones, así como también el mejoramiento del logro y de la calidad en el trabajo. El eje transversal valores se hace tangible en contenidos que orientan a la honestidad, la autoestima, la práctica de hábitos de orden, la organización, la perseverancia, entre otros.

¿Por qué la enseñanza de la matemática es tarea difícil?

La matemática es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotamios. Se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magnífica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos.

Según Guzmán (ob. cit.):

La matemática misma es una ciencia intensamente dinámica y cambiante. De manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje sencillo, (p. 1)

El otro miembro del binomio educación-matemática, no es tampoco nada simple. La educación ha de hacer necesariamente referencia a lo más profundo de la persona, una persona aún por conformar, a la sociedad en evolución en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educación se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas.

La complejidad de la matemática y de la educación sugiere que los teóricos de la educación matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica rápidamente mutante de la situación global venga exigiendo.

La educación, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable persistencia ante las variaciones es la característica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales.

En la educación matemática a nivel internacional apenas se habrían producido cambios de consideración desde principios de siglo hasta los años 60. A comienzos de siglo había tenido lugar un movimiento de renovación en educación matemática, gracias al interés inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemático alemán Felix Klein, con sus proyectos de renovación de la enseñanza media y con sus famosas lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de vista superior (1908)

En los años 60, surgió un fuerte movimiento de innovación. Se puede afirmar con razón que el empuje de renovación de aquél movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha traído consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido con todo la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolución del sistema educativo en matemáticas a todos los niveles. Los cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy día, podemos afirmar con toda justificación que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.

La Irresponsabilidad matemática

Uno de los principales problemas en la enseñanza-aprendizaje, es la dificultad de hallar o construir una situación en la que el alumno actúe, no solamente cómo alumno, sino como un verdadero matemático, responsabilizándose de las respuesta que se le dan a las cuestiones que se le plantean. La formulación de este problema didáctico parte de la constatación de un hecho que se repite en todos los niveles de educación: los alumnos tienden a delegar al docente la responsabilidad de la validez de sus respuestas, como si no importara el que estas sean verdaderas o falsa; como si el único objetivo de su actuación fuera contestar a las preguntas del docente y en nada les comprometiera la coherencia o validez de respuestas.

Para describir de forma sintética este hecho, podría hablarse de cierta irresponsabilidad matemática de los alumnos. ¿Puede la didáctica dar cuenta de este tipo de hecho? Veamos un ejemplo concreto:

Consideremos a un alumno ante la tarea de resolver la ecuación:

Y supongamos que el alumno es capaz de resolverla analíticamente y que recurre a la técnica habitual de eliminar la raíz cuadrada elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación. Obtendrá entonces la serie de ecuaciones.

Que le levan a la ecuación de segundo grado:

.

Al resolver esta ecuación, encontramos dos soluciones distintas:

Al legar a este punto, es bastante probable que el alumno considere estos dos valores como soluciones de la ecuación inicial, dando así por finalizado su trabajo.

La ecuación ya esta resuelta; él ha hecho lo que le pedían; ahora le toca al profesor decir si la resolución es correcto. No hay nada más en juego.

Pero supongamos por un momento que al alumno le va la vida en ello, o que de ello dependiera la cantidad de dinero que cobre por un determinada trabajo. ¿Cual seria entonces la actuación de un alumno que se sintiera realmente responsable de su solución? ¿Que haría si hubiera algo muy importante en juego?

La respuesta es sencilla. Cualquiera alumno del nivel adecuado dispone de elementos para asegurar al ciento por ciento la validez la solución; basta con que sustituya la x por 16 y por 9 en la ecuación:

Para comprobar que, cuando a la x se le da el valor de 9, la igualdad no se cumple, mientras que el valor x = 16 corresponde a una solución correcta.

Pareciera mentira pero en las instituciones de Venezuela, que el alumno encuentre las dos raíces del problema anterior es un éxito indiscutible, dado la relación existente entre los alumnos que "resuelven" el problema y los que no, pero aquel alumno que logra encontrar las raíces, difícilmente entiende que significan las respuestas que obtuvo.

La didáctica de la matemática

El docente que ha sido formado en el pasado con ideas, concepciones y técnicas del pasado se le exige que ponga en práctica una metodología actualizada que dé respuestas al mundo moderno y al avance de la ciencia. El reto que tiene el docente en el mundo actual consiste en contribuir en la formación de un estudiante a través del desarrollo del pensamiento en un mundo vertiginosamente cambiante.

A su vez expresa Rodríguez (1995) que:

La enseñanza de la matemática no sólo es un desgarramiento entre un discurso vacío y el fastidio— el aburrimiento que produce en el niño y que termina en el odio hacia la matemática— sino una abstracción, una oquedad. Por eso hablo de la enseñanza de la matemática en Venezuela como un cuento de mendigo, que siempre está vacío.

Que es su forma de concebir la didáctica actual de las matemáticas Hay una organización de la actividad del aula que supuestamente comienza con el programa que, si bien el docente no maneja, porque no le ha llegado, por razones de edición y distribución, establece cierta concepción de la matemática y ciertas pautas metodológicas que el maestro sigue cuando está en el aula, cuando apenas abre el libro de texto, ya que éstos presentan un apego a los programas casi rayano en la sumisión. Continúa Rodríguez (ob. cit.) que "Es inconcebible que el Ministerio de Educación, imponga a las editoriales y a los autores de los libros un anillo de bronce que obliga a una organización del conocimiento que parece un torbellino, sin coherencia alguna ni organización", puesto que en los colegios que conocemos, las maestras de matemáticas dictan conceptos y hasta resultados. En quinto grado, por ejemplo, una maestra preocupada por la geometría, pone lo mejor de sí y, voluntariosa, dicta a los niños el teorema que establece que los ángulos interiores de un triángulo suman ciento ochenta grados. Sin un dibujo, sin una representación. Dice: Considérese el triángulo ABC. Por el vértice A se traza una recta paralela al lado BC. Prolónguese tanto el lado AB como el lado CA, etc.

Todo esto sin que el niño ni ella hagan un dibujo. Y eso que el discurso lo que habla es de acciones que el estudiante debe realizar: Dibujar (en lugar de considerar), trazar, prolongar. El niño no puede representarse la situación porque la concepción de la matemática y de su enseñanza que se maneja niega toda actividad del sujeto. La enseñanza de nuestra disciplina se afinca en el dictado, el caletre, la repetición memorística. El niño sencillamente no dibuja, no mide, no calcula. Ni siquiera tiene idea de lo que está intentando hacer y el formalismo que domina la matemática y su enseñanza en Venezuela ha impuesto una matemática que no permite preguntas, ni comentarios que no se hagan en leguaje puramente matemáticos, y ni diga de la oposición del uso de la calculadora en nuestras aulas.

El entrenamiento de los maestros ha sido un punto crucial en la experiencia en muchos países que han introducido la computadora en la educación. Casi invariablemente se ha subestimado el costo de llevarlo a cabo adecuadamente. No es suficiente un curso superficial sobre cómo prender y operar el equipo. Es necesario estimular al maestro y convencerlo de las bondades del uso de la computadora como apoyo a la enseñanza. Algunas experiencias han demostrado que conviene darle al maestro una cultura computacional que incluya el hecho de aprender a usar la computadora como herramienta personal.

Cuando el maestro se da cuenta de lo útil que le es la computadora para llevar las listas de calificaciones, elaborar anuncios, escribir circularse y labores de ese tipo, empieza a apreciar la necesidad de copiar archivos y discos, comienza a interesarse en aprender más cosas de las máquinas y su software, y sólo hasta ese momento es adecuado intentar enseñarle el uso de la computadora como auxiliar didáctico. Otra experiencia, es percatarse de lo conveniente de hacer lo mismo con los directores de escuela para que se conviertan en agentes positivos de la computación en sus escuelas.

Contrato didáctico y responsabilidad matemática

El contrato didáctico es una de las nociones básicas de la didáctica fundamental. Puede considerarse formado por el conjunto de cláusulas que, de una forma más o menos implícita, rigen en cada momento, las obligaciones recíprocas de los alumnos y el profesor, en lo que concierne al conocimiento matemático enseñado.

Por otro lado, la interpretación de la irresponsabilidad matemática de los alumnos requiere, por una parte, relacionar este fenómeno con otros que aparecen asociados a él dentro del sistema escolar, y por otra, tomar en consideración aquellos elementos del contrato didáctico relacionados con la asignación de la responsabilidad matemática.

La pregunta que ahora puede plantearse es la siguiente: ¿por qué el contrato didáctico asigna de forma casi exclusiva al docente la responsabilidad matemática? Se trata de una cuestión muy relacionada con la forma en que se interpretan las funciones respectivas del alumno y del docente en las actuales instituciones didácticas.

La forma en que se considera el estudio del alumno en la cultura escolar tradicional puede resumirse en tres puntos:

  1. Se considera que el estudio del alumno es un medio auxiliar de la enseñanza escolar. Su actividad matemática no se concibe como el objetivo principal del proceso didáctico
  2. Se ignoran la estructura y las funciones del trabajo matemático del alumno. Se considera esté proceso de estudio más como una actividad privada y subjetiva del alumno que como un trabajo objetivable y analizable. De hecho, nunca se ha tomado en serio el trabajo del alumno, nunca se ha considerado como un verdadero trabajo matemático. La prueba de ello es la poca importancia que suele darse a las producciones y trabajos matemáticos que realiza el alumno en su cuaderno, aceptándose como normal la existencia de errores graves.
  3. En coherencia con la opacidad del trabajo matemático del alumno y de acuerdo con la ignorancia de la estructura especifica del proceso de estudio de las matemáticas, la actividad de estudio del alumno se concibe como un magma uniforme, relativamente independiente de la materia a estudiar.

Esta forma de interpretar el estudio de los alumnos está relacionada con la enfermedad docente y trae como por lo menos 2 importantes consecuencias sobre el funcionamiento de las instituciones escolares:

  1. Las actividades matemáticas del alumno, incluso las del docente, se concentran de manera casi exclusiva en el aula. Esta concentración trae consigo una gran dependencia mutua entre los alumnos y el docente.
  2. En las aulas actuales instituciones docentes se adjudican al profesor funciones desmesuradas que están completamente fuera de sus alcance como profesor.

En concordancia con lo dicho expone Mavárez (2002) que

El alumno sólo dispone de lo que se hace en clase, de los apuntes que logra tomar y de los materiales que el profesor pueda entregarle incidentalmente, y a este nivel (educación universitaria), este proceso se encuentra bajo la responsabilidad de profesionales de diversas disciplinas que se dedican a la docencia en sus respectivas especialidades. (p. 12)

Lo anterior exhibe que el alumno depende absolutamente del docente y, recíprocamente al docente le recae toda responsabilidad del aprendizaje matemático del alumno. En la medida que se haga creer al docente que es él el que decide los contenidos matemáticos a enseñar y que sobre sus espaldas reside la responsabilidad de evaluación de los alumnos, se estará aumentando la dependencia mutua profesor - alumno, con todas sus consecuencias.

La lucha por mejorar la enseñanza de la matemática es una realidad dentro de la formación universitaria de los nuevos profesionales encargados de esta tarea, sin embargo, sus voluntades parecen mermarse por todos los factores y elementos que el sistema educativo implica en su práctica cotidiana. Desde este punto de vista, muy pocos docentes están comprometidos verdaderamente por inyectar un cambio necesario y suficiente en las distintas instituciones educativas en que laboran.

Lo más paradójico de esta situación, es que para aquellos profesionales que asumen este importante reto, no solo se les impone una gran inversión de tiempo y sacrificio personal, sino también llevar a cuestas las duras críticas de sus colegas o presiones burocráticas por parte de las rígidas normativas ministeriales.

También es destacable frente a este panorama, sumar el gran deterioro que a sufrido la estructura familiar, la mayoría de los estudiantes se forman bajo una concepción de mediocridad y conformismo; acostumbrados a pretender que otros resuelvan sus problemas y no asumir con seriedad las responsabilidades personales.

Este rasgo característico, se evidencia en las aulas institucionales; si se le exige al alumno que rinda gran parte de su potencial individual, los reclamos y disgustos no se hacen esperar, la dirección, los padres de familia y el estudiante, constituyen un jurado muy difícil de convencer. La enseñanza de la matemática no debería desvirtuarse mediante adaptaciones al "pobrecito estudiante". Este círculo vicioso, a traído como consecuencia que ella por sus condiciones actuales, no esté contribuyendo de forma integral al desarrollo de los alumnos y por ende del país.

Los estudiantes en los centros educativos no aprenden matemática, aprenden algoritmos y algunas reglas sin sentido que con mucha facilidad olvidan en transcurso de semanas. Desde este punto de vista, la educación secundaria no está llenando las expectativas del tipo de ciudadano que el país requiere. Los estudiantes no adquieren aprendizajes duraderos, por una excesiva preocupación por aprobar los exámenes de cada curso.

En mi experiencia como docente en la educación superior, he podido comprobar la pésima formación matemática que los estudiantes arrastran desde su educación secundaria. Bajo esta perspectiva, el Estado costarricense está invirtiendo muchos recursos tanto económicos como humanos; obteniendo resultados que reflejan una pérdida sustancial de las inversiones puestas en juego.

La matemática es una ciencia naturalmente formativa. Además de proporcionar conocimientos indispensables en nuestras sociedades tecnificadas y científicas, otorga toda una estructura de pensamiento constituida bajo el estandarte de la duda. Una persona debidamente formada en este campo, adquiere un carácter desconfiado y ecuánime frente a la mayoría de las situaciones. El aspecto más importante de este síndrome de la duda, es su integración a la forma de vida cotidiana y los efectos intrínsecos que la acompañan, tales como: confianza, autoestima, criticidad y una modalidad de pensamiento fundamentada bajo los principios de la lógica matemática.

CAPITULO III

UNA TECNOLOGÍA PARA LA MATEMÁTICA

La enseñanza es una actividad sumamente compleja, y a través de la historia el hombre ha experimentado diversos métodos y procedimientos con el propósito de lograr en forma efectiva tanto la enseñanza como el aprendizaje. Por esta razón, desde la aparición de la computadora, se buscaron formas para aprovechar, en educación, el gran potencial que ellas presentaban, y que se ha popularizado con la aparición de la computadora personal.

De acuerdo con Vaquero y Flamingo (1987)

Enseñar es mucho más que dejar aprender. La enseñanza ha de crear los estímulos que activen y aceleren el aprendizaje.

El problema radical de la enseñanza es acoplar la mente del alumno a la materia objeto de aprendizaje. Esto implica una enseñanza individualizada de forma que, dada una materia a enseñar, lo ideal es encontrar para cada individuo el transformador adecuado a su nivel de entendimiento y formación, que hiciese el acoplo más adecuado (p. 112).

En este sentido, el uso de la computadora en sus diversas modalidades ofrecen, sobre otros métodos de enseñanza, ventajas tales como:

  1. Participación activa del alumno en la construcción de su propio aprendizaje.
  2. Interacción entre el alumno y la máquina.
  3. La posibilidad de dar una atención individual al estudiante.
  4. La posibilidad de crear micromundos que le permiten explorar y conjeturar.
  5. Permite el desarrollo cognitivo del estudiante.
  6. Control del tiempo y secuencia del aprendizaje por el alumno.
  7. A través de la retroalimentación inmediata y efectiva, el alumno puede aprender de sus errores.

Ciertamente, la presencia de la computadora es cada vez más evidente en la vida cotidiana y desde luego en la escuela. En Panamá, las políticas gubernamentales1 contemplan planes de integración de la informática al currículo y la creación de laboratorios de computadoras en todos los colegios con lo que se busca modernizar la educación en nuestro país.

En la enseñanza de la Matemática particularmente, la computadora se utilizó en sus inicios como herramienta de cálculo y en la aplicación de las técnicas de análisis numérico pero, posteriormente, en el intento de encontrar posibles soluciones a los ya bien conocidos problemas en la enseñanza de la matemática, se utilizó en la creación de materiales de enseñanza computarizados.

Son diversos los usos que se le ha dado a la computadora en la enseñanza de la matemática, algunos con mayor efectividad que otros, pero todos contribuyentes a enriquecer el proceso de aprendizaje. Entre ellos tenemos:

Computadora como pizarrón electrónico

El uso de la computadora como pizarrón electrónico se puede enmarcar dentro de la modalidad Computador como herramienta. Para que tanto docentes como estudiantes puedan utilizar la computadora como pizarrón electrónico, se requiere de un diseño de software especial.

Su objetivo principal es escribir, dibujar y calcular con el fin de mostrar e ilustrar conceptos. Se pueden mostrar procedimientos en detalle o evitar cálculos tediosos. Generalmente, en esta aplicación hay un solo computador en el aula el cual se utiliza para hacer la demostración a todos los estudiantes. A continuación un ejemplo de uso en esta modalidad.

Al enseñar el cálculo del volumen de un sólido de revolución, el docente de matemática, quién en general no ha recibido cursos de dibujo, se ve limitado en la ilustración del sólido que se genera al hacer girar la región plana, sobre el eje de revolución debido a que es una figura en tres dimensiones. Puede entonces recurrir a la pantalla de la computadora para ilustrar en cada problema, tanto el procedimiento seguido en el cálculo del volumen como el sólido generado.

Gráfico 2. Volumen de un sólido de revolución. Tomado de Leithold (2003)

En Matemática, es frecuente utilizar el pizarrón electrónico ligado a softwares de los cuales algunos han sido diseñados con propósitos educativos y otros no, pero todos útiles en la enseñanza de la Matemática. Entre otros tenemos: (a) Hojas Electrónicas; (b) Excel; (c) Power Point; y (d) Editor de Ecuaciones. Además, existen en el mercado paquetes diseñados especialmente para el apoyo del trabajo matemático. Hoy día, contamos con libros de cálculo y ecuaciones diferenciales que traen ejercicios propuestos, adicionales, que pueden realizarse únicamente con calculadoras programables o micro computadoras. Estos libros hacen referencia al uso de paquetes de matemática simbólica para computadoras personales como:

  1. Maple: incluye funciones de Cálculo y gráficas en dos dimensiones.
  2. MathCAD: incluye funciones de cálculo y gráficas en dos y tres dimensiones; puede producir documentos con texto y gráficas; puede usar un coprocesador matemático en las máquinas que lo tengan incorporado.
  3. Mathematica: incluye operaciones de cálculo y gráficas en dos y tres dimensiones, animación incluida. Puede producir documentos con texto y gráficas. Lenguaje completo de programación.
  4. The Math Utilities: Grfica cualquier tipo de función. Incluye CURVES para gráficas en dos dimensiones y SURFS para gráficas en tres dimensiones.
  5. CoPlot: Un paquete de gráficas científicas. Puede generar gráficas rectangulares y polares, así como otro tipo de gráficas que incluyen las tres dimensiones. Varias gráficas se pueden mostrar en un sencillo sistema de ejes.

Computadora como tutor

La Computadora como tutor fue la primera de las modalidades de uso de la computadora aplicada a la enseñanza de la matemática ya que las primeras experiencias de enseñanza impartida mediante computadora comenzaron "en Estados Unidos hacia principios de los años 60 cuando en el Computer Aplications Laboratory de la Universidad de Florida se realiza una investigación sobre la enseñanza de la aritmética binaria" (p.131, Vaquero y Fernández, ob. cit.). Esta es una de las modalidades más utilizadas en Matemática debido, a que ayudan a solucionar algunos problemas educativos tales cómo:

  1. Numerosa población estudiantil que impide la atención de las diferencias individuales
  2. El alto índice de fracasos debido a la falta de uniformidad en el desarrollo cognitivo de los integrantes de los grupos
  3. Falta de motivación hacia el estudio de la materia
  4. La posibilidad de una rápida actualización de los materiales educativos
  5. Falta de instrucción de alta calidad, accesible a gran escala

En Matemática, se han aplicado desde los más rudimentarios tutores lineales hasta los más sofisticados tutores inteligentes, y según expresa, Hitt (2001).:

Algunos de ellos, técnicamente muy bien realizados, con diseños de pantallas sumamente atractivos, pero con objetivos restringidos que llevaban únicamente a la mecanización. Otros, la mayoría realizado por investigadores en educación matemática, con diseños de pantallas que no llegan a competir en espectacularidad pero que consideran elementos valiosos de análisis de errores y experimentación (p.34)

El Sistema Tutorial.

Un ejemplo, el sistema BUGGY que proporciona un mecanismo para detectar por qué un estudiante comete un error aritmético, en lugar de simplemente identificar el error. Este programa construye un modelo de conocimientos del alumno, para así poder determinar la causa de sus equivocaciones y corregirla adecuadamente. BUGGY parte de la hipótesis de que si un estudiante comete un error es porque no sigue el procedimiento correcto. Por lo tanto el sistema no funciona cuando el alumno comete errores totalmente arbitrarios e imprevisibles. También se utiliza para enseñar al profesor a diagnosticar los errores de los alumnos (Vaquero y fernández, ob.cit.).

Volumen de un Sólido de Revolución, desarrollado por estudiantes del Postgrado en Informática Aplicada a la Educación de la Universidad Tecnológica de Panamá, con el objetivo de enseñar a estudiantes de Cálculo Diferencial e Integral, a calcular el volumen de sólidos de revolución tanto por el método del disco como por el método del anillo.

Como un ejemplo más de sistema tutorial podemos mencionar el confeccionado por las Profesoras Alba de Quiel y Catalina González, para el estudio de Máximos y Mínimos de una función, aplicando los criterios de primera y segunda derivada. Este software posee las "cuatro fases que según Gagné deben estar presentes en todo proceso de enseñanza aprendizaje: introductoria, orientación inicial, aplicación y retroalimentación (Galvis 1998).

Este es un software de tipo hipermedia, el cual logra, con la utilización de ventanas, proporcionar al estudiante toda la información necesaria para determinar los valores críticos de la función y clasificarlos como máximos o mínimos relativos.

Los juegos y las matemáticas

La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido.

Socas (2000), expresa que el juego presenta unas cuantas características peculiares:

  1. es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar
  2. tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación
  3. el juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego
  4. el juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución
  5. el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio
  6. existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer
  7. el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican
  8. a través de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía.

Un breve análisis de lo que representa la actividad matemática basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura.

Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características en lo que respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad matemática.

Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teoría matemática por definición implícita: Méndez (ob. cit.) "Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo rectas,..."

Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática.

Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos del campo.

Una exploración más profunda de un juego con una larga historia proporciona el conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un nivel más profundo y complejo que han requerido una intuición especial puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del juego.

Esto corresponde en matemáticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son los procesos de las mentes más creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en las situaciones más confusas y delicadas.

Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos de la teoría.

Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas, posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.

La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,...

Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas"

El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación pedagógica a las matemáticas?

A mi parecer el gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos.

La matemática es un grande y sofisticado juego que, además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes repercusiones prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografías de los matemáticos más interesantes, sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien escogido.

Necesidad de integrar la tecnología y el trabajo matemático

La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido predominantemente la matemática del continuo en la que el análisis, por su potencia y repercusión en las aplicaciones técnicas, ha jugado un papel predominante.

El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de representación gráfica, posibilidades para la modelización sin pasar por la formulación matemática de corte clásico,... ha abierto multitud de campos diversos, con origen no ya en la física, como los desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias tales como la economía, las ciencias de la organización, biología,... cuyos problemas resultaban opacos, en parte por las enormes masas de información que había que tratar hasta llegar a dar con las intuiciones matemáticas valiosas que pudieran conducir a procesos de resolución de los difíciles problemas propuestos en estos campos.

Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las ciencias de la computación, en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos mediante el ordenador, ha dado lugar a un traslado de énfasis en la matemática actual hacia la matemática discreta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar parte con éxito de un programa inicial de matemática. La combinatoria clásica, así como los aspectos modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la geometría combinatoria, podrían ser considerados como candidatos adecuados. La teoría elemental de números, que nunca llegó a desaparecer de los programas en algunos países, podría ser otro.

Se han realizado intentos por introducir estos elementos y otros semejantes pertenecientes a la matemática discreta en la enseñanza matemática inicial. Sucede que esto parece ser sólo posible a expensas de otras porciones de la matemática con más raigambre de las que no se ve bien cómo se puede prescindir. Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemática del futuro será bastante diferente del actual por razón de la presencia del ordenador, aún no se ve bien claro cómo esto va a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y secundaria.

Impactos en los contenidos de los métodos modernos de cálculo

Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escuelas elementales dedicar una gran energía y largo tiempo a rutinas tales como la división de un número de seis cifras por otro de cuatro. O a la extracción a mano de la raíz cuadrada de un número de seis cifras con tres cifras decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energía y ese tiempo están mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como algoritmos inteligentes y profundos, pero como destrezas rutinarias son superfluos.

En la actualidad, año 1991, en nuestra segunda enseñanza así como en los primeros años de nuestra enseñanza universitaria, dedicamos gran energía y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad en el cálculo de derivadas, antiderivadas, resolución de sistemas lineales, multiplicación de matrices, representación gráfica de funciones, cálculo de la desviación típica,...

Ya desde hace unos años existen en el mercado calculadoras de bolsillo que son capaces, sin más que apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la derivada de, de dar su polinomio de Taylor hasta el término de tercer grado, de representar gráficamente esta función en un cierto entorno que se pida o bien de hallar el valor de su integral entre 2 y 3 con gran aproximación. La inversión de una matriz 8x8 le ocupa a la máquina unos pocos segundos, una porción mínima del tiempo que se tarda en darle los datos. El cálculo de la desviación típica de una gran masa de datos es una operación inmediata. Las soluciones de una ecuación de séptimo grado, incluidas las raíces complejas, son proporcionadas por la máquina en un abrir y cerrar de ojos.

Siendo así las cosas, es claro que nuestra enseñanza del cálculo, del álgebra, de la probabilidad y estadística, ha de transcurrir en el futuro por otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habrá que poner el acento en la comprensión e interpretación de lo que se está haciendo, pero será superflua la energía dedicada a adquirir agilidad en las rutinas que la máquina realiza con mucha mayor rapidez y seguridad. En la programación de nuestra enseñanza habremos de preguntarnos constantemente dónde vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzo inteligente y cuáles son las rutinas que podemos confiar a nuestras máquinas. El progreso de la inteligencia humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas operaciones que en un principio han representado un verdadero desafío para nuestra mente y, si es posible, entregar la realización de tales rutinas a nuestras máquinas. Con ello podemos liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a la resolución de los problemas que todavía son demasiado profundos para las herramientas de que disponemos.

Como reacción a un abandono injustificado de la geometría intuitiva en nuestros programas del que fue culpable la corriente hacia la "matemática moderna", hoy se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista didáctico, científico, histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la geometría.

Es evidente que desde hace unos veinte años el pensamiento geométrico viene pasando por una profunda depresión en nuestra enseñanza matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza de la geometría más o menos fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la figura, la forma física.

Esta situación, que se hace patente sin más que ojear nuestros libros de texto y los programas de nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad es un fenómeno universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución misma de la matemática desde comienzos de siglo, más o menos.

La crisis de los fundamentos de principio de siglo empujó al matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis sobre el rigor, a una cierta huida de la intuición en la construcción de su ciencia.

Lo que fue bueno para la fundamentación fue considerado por muchos bueno también para la transmisión de conocimientos. Las consecuencias para la enseñanza de las matemáticas en general fueron malas, pero especialmente nefastas resultaron para el pensamiento geométrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez juntamente con una mala interpretación de los análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura evolutiva del conocimiento del niño, se basa el énfasis sobre la teoría de conjuntos y la búsqueda de rigor. La geometría, a nivel elemental es difícil de formalizar adecuadamente y así, en este intento, se nos fue por el mismo agujero el pensamiento geométrico, la intuición espacial y la fuente más importante que por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y resultados interesantes abordables con un número pequeño de herramientas fácilmente asimilables.

El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometría elemental, del tipo de geometría al que tradicionalmente se dedicaba la enseñanza inicial de la matemática, que vivía a la sombra de creaciones muy interesantes y muy de moda de la matemática superior tales como la geometría descriptiva, geometría proyectiva, geometría sintética, geometrías no euclídeas, ... El mismo sentido geométrico que estimuló los desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo también hoy en campos tales como la teoría de grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría combinatoria, algunos capítulos de la teoría de optimización, de la topología, ... Como rasgos comunes a todos estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte relación con la intuición espacial, una cierta componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de desarrollos analíticos excesivos.

De estas materias, cuya profundidad se va manifestando cada vez más claramente, no se ha hecho eco en absoluto la enseñanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta a nivel superior y a nivel de matemática recreativa. Pero esta matemática recreativa, en nuestro país, no ha encontrado aún el camino hacia la escuela.

Paradójicamente, no permitimos jugar a quien más le gusta y a quien más se beneficiaría con el juego matemático.

La necesidad de una vuelta del espíritu geométrico a la enseñanza matemática es algo en lo que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo, aún no es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es necesario evitar llegar a los extremos en que se incurrió, por ejemplo, con la geometría del triángulo, tan en boga a finales del siglo XIX. También hay que evitar una introducción rigurosamente sostenida de una geometría axiomática. Posiblemente una orientación sana podría consistir en el establecimiento de una base de operaciones a través de unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se podrían levantar desarrollos locales interesantes de la geometría métrica clásica, elegidos por su belleza y profundidad. Las obras elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.

La probabilidad y la estadística son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras ciencias específicas. Deberían constituir una parte importante del bagaje cultural básico del ciudadano de nuestra sociedad. Es este un punto en el que todos los sistemas educativos parecen concordar. Y efectivamente son muchos los países que incluyen en sus programas de enseñanza secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se lleva a cabo con la eficacia deseada. En España este fenómeno, a mi parecer, se debe por una parte a la dificultad misma de las materias en cuestión y a una cierta carencia de preparación adecuada de los profesores para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de enseñanza de ellas.

En el momento actual, nos encontramos con que gran parte del profesorado de las diferentes etapas educativas responsable de llevar adelante toda esta tarea no tiene, como colectivo, la formación adecuada para ello. Si observamos, por ejemplo, la formación inicial del profesorado, nos encontramos con un grupo de profesores en los que predomina la dimensión educativa general sobre las competencias específicas matemáticas, frente a otro en los que el predominio en la transmisión de conocimientos matemáticos no permite atender a los valores formativos generales.

CONCLUSIÓN

  1. La "necesidad" de contar animales, pieles, comida o alguna otra cosa que servía de intercambio comercial que sería indispensable para la supervivencia, logró convertir el arte de contar en primordial e inevitable
  2. En estos tiempos modernos la matemática tiene infinidad de aplicaciones, pero los conocimientos no se trasmiten de generación en generación de la misma forma que en sus inicios, actualmente la matemática se enseña con la mera transmisión de conocimientos y la memorización, sin tan siquiera saber, ¿para qué? ni el ¿por qué de las matemáticas?
  3. Para que el proceso de enseñanza cambie, deben cambiar los docentes.
  4. Con el avance arrollador de la tecnología, surgen nuevos instrumentos de trabajo que pueden ser usados a la hora de enseñar, por ejemplo las computadoras, posiblemente una solución para la problemática de la enseñanza de la matemática sea unir la línea del tiempo existente desde la antigüedad y la actualidad: matemáticas en la vida real y las computadoras.

REFERENCIAS

Aja, J. M. y otros (2000). Enciclopedia general de la educación. Tomo 2España: Océano.

Alemán, A (2005). La enseñanza de la matemática asistida por computadora. Página Wed en línea. Disponible en: http://www.utp.ac.pa/articulos/ensenarmatematica.html [Consulta 2005 Febrero 22]

Alexis Rodríguez Gómez.(2004) Enseñanza de la matematica en venezuela: ¿Un cuento de mendigo?. Boletín Vol. II, Nº2, Año 1995 Documento en línea. Disponible en: http://purl.org/dc/elements/1.1/vol2n2p73.pdf . [Consulta 2005 Febrero 22]

Alvaro Galvis (1998). Ingeniería de Software Educativo. Universidad de Santa Fé. Bogotá Colombia.

Arteaga Eloy (2003) Las tareas de contenido y las tareas formales Disponible en: http://www.uaq.mx/matematicas/redm/articulos.html?1102 [Consulta 2005 Febrero 22]

AUSUBEL-NOVAK-HANESIAN (1983)

Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS México

Enciclopedia Temática Lúmina siglo XXI. (2000). Matemáticas Informática. Editorial Norma. Colombia

Guzman, M. (2005). Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. Página wed en línea.Disponible en: http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm [Consulta 2005 Febrero 22]

Hitt F. A. (2001). Las Microcomputadoras en la Educación Matemática. Segundo Siposio Internacional Sobre Investigación en Educación Matemática.

Investigadores Orbitas.(2004). El niño y el pensamiento logico-matematico Documento en línea. Disponible en: http://members.tripod.com.ve/investigacion/capitulo12.html [Consulta 2005 Febrero 22]

Leithold, L. (2003). Cálculo con geometría analítica. Prentice - Hall

Los elementos propuestos, conducen a establecer estrategias de aprendizaje y enseñanza más amplias que las convencionales.(2005). Documento en línea. Disponible en: http://www.portaleducativo.edu.ve/planificacion/cbn/programaestudioeducacionbasicaprimergrado/Programadematematica/lineamientosgenerales.htm [Consulta 2005 Febrero 22]

Méndez R. (2001) Qué es el aprendizaje significativo y en qué se diferencia del aprendizaje memorístico. [Disponible en] http://www2.uah.es/jmc/webens/refs.htm [Consulta 2005 Febrero 22]

Microsoft (2004). Encarta. Biblioteca de Consulta. Microsoft Corporation: EE.UU

Mirian L. Mavárez R. EDUCERE La Revista Venezolana de Educación Año 6 - Número 19 Octubre - Noviembre - Diciembre 2002 (p -12)

Socas M, (2000) Nuevas formas de la didactica de la matemática http://docentes.uacj.mx/flopez/Cursos/Didactica/LaInnovacionyLaInvestigacion.htm

Valente Amaya disponible en: http://www.enesonora.edu.mx/editori/tabla21_021.htm [Consulta 2005 Febrero 22]

Vaquero A. y Fernández de Ch. C. (1987). La Informática Aplicada a la Enseñanza. P 37 Madrid: Eudema. S.A.

 Vilchez E (2004) La importancia de la Enseñanza de la

Matemática para el desarrollo del país. Disponible en: Http://Jaco2.Una.Ac.Cr/Mate/Publicac/Ensenanz.Htm. [Consulta 2005 Febrero 22]

Zavarce, X. (2003). Estrategias emocionales aplicables a estrategias racionales para la enseñanza de la matemática en educación superior. Trabajo de Grado de Maestría no publicado: Universidad Pedagógica Experimental Libertador; Instituto Pedagógico de Barquisimeto.

 

Participante:

Rodney Salcedo

Facilitador: Pablo Cuello

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO

"LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA"

Barquisimeto, Abril de 2005


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