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¿Por qué la matemática no es pan comido?




Enviado por Rodney Salcedo



    1. ¿Qué significa
      "Hacer Matemática"?
    2. ¿Lo
      necesario?
    3. Una Tecnología para la
      Matemática
    4. Conclusiones
    5. Referencias

    INTRODUCCIÓN

    La clave para el desarrollo de
    nuestros países es la educación formal
    de los recursos
    humanos en todos los niveles. Parte de ese proceso
    imprescindible de educación es la
    "Educación en Valores" por
    la que tanto ha abogado la
    Organización de Estados Iberoamericanos
    (OEI).

    La enseñanza de la matemática en la
    escuela ha sido y
    es fuente de preocupaciones para padres, maestros y especilistas.
    En todo tiempo, el
    estudio de la enseñanza de la matemática ha
    mostrado constantes obstáculos y dificultades de
    diferentes órdenes, no salvadas aún de manera
    eficiente por matemáticos, psicólogos y
    educadores.

    Sin embargo, desde tiempos inmemorables el hombre
    comenzó a contar, no se sabe en que momento ni como,
    probablemente lo hizo con los dedos de la mano y otras partes del
    cuerpo o haciendo marcas sencillas
    en las paredes de las cavernas, ¿por qué es
    importante la matemática en nuestra vida?, Por qué
    es tan dificultoso entenderla o enseñarla?,
    ¿Cuál es la mejor forma de enseñar matemáticas?, en la presente investigación se intentará dar
    respuesta a estas interrogantes.

    CAPITULO I

    ¿QUÉ SIGNIFICA HACER
    MATEMÁTICAS?

    Podría parecer evidente que son las
    matemáticas, o por lo menos, saber si una persona
    está o no haciendo matemáticas, al profundizar en
    el tema se que esto no es tan claro como parece. Las
    matemáticas como actividad humana, permiten al sujeto
    organizar los objetos y los acontecimientos de su mundo. A
    través de ellas se pueden establecer relaciones,
    clasificar, seriar, contar, medir, ordenar. Desde muy chicos en
    nuestras escuelas se observa que Estos procesos los
    aplica diariamente el niño cuando selecciona sus juguetes, los
    cuenta, los organiza. A través de estas interacciones, el
    niño de preescolar
    aprende las operaciones
    lógico – matemáticas del pensamiento
    que el curriculum
    establece como prioridad cognitiva del nivel. La educación
    tiene un alto interés de
    que a muy temprana edad se aprenda matemáticas, casi
    después de empezamos a hablar, ¿por qué?,
    ¿será indispensable para la substancia?,
    ¿será un requisito para aprobar los diferentes
    niveles?, ¿desde cuando el hombre hace
    matemáticas?

    ¿Cuándo y cómo
    surgió?

    Las matemáticas son tan antiguas como la propia
    humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las
    pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del
    sentido geométrico y del interés en figuras
    geométricas. Los sistemas de
    cálculo
    primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos
    de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran
    abundancia de sistemas
    numéricos en los que las bases son los números
    5 y 10.

    ¿Cómo hemos llegado
    hasta aquí?

    Las primeras referencias a matemáticas avanzadas
    y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y
    Egipto. Estas
    matemáticas estaban dominadas por la aritmética,
    con cierto interés en medidas y cálculos
    geométricos y sin mención de conceptos
    matemáticos como los axiomas o las
    demostraciones.

    Los primeros libros
    egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un
    sistema de
    numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10
    (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos.
    Los números se representaban escribiendo el símbolo
    del 1 tantas veces como unidades tenía el número
    dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas
    había en el número, y así sucesivamente.
    Para sumar números, se sumaban por separado las unidades,
    las decenas, las centenas… de cada número. La
    multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y
    la división era el proceso inverso.

    Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad
    (1/n), junto con la fracción 2/3, para expresar todas las
    fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces
    de resolver problemas
    aritméticos con fracciones, así como problemas
    algebraicos elementales.

    En geometría encontraron las reglas correctas
    para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios,
    y el volumen de
    figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto,
    pirámides. Para calcular el área de un
    círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del
    diámetro del círculo, valor muy
    cercano al que se obtiene utilizando la constante pi
    (3,14).

    El sistema babilónico de numeración era
    bastante diferente del egipcio. En el babilónico se
    utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de
    cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba
    al 1 y una marca en forma de
    flecha representaba al 10.

    Los números menores que 59 estaban formados por
    estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las
    matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se
    representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de
    ahí, el valor de un símbolo venía dado por
    su posición en el número completo. Por ejemplo, un
    número compuesto por el símbolo del 2, seguido por
    el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 +
    27 × 60 + 10.

    Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas
    matemáticas más sofisticadas que les permitieron
    encontrar las raíces positivas de cualquier
    ecuación de segundo grado.

    Los griegos tomaron elementos de las matemáticas
    de los babilonios y de los egipcios, y fueron capaces de
    descubrir fórmulas para calcular el área de ciertas
    figuras planas y el volumen a ciertos sólidos.

    En Grecia,
    después de Tolomeo, se estableció la
    tradición de estudiar las obras de los matemáticos
    de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que
    dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se
    debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los
    primeros avances matemáticos son consecuencia del estudio
    de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

    Después de un siglo de expansión en la que
    la religión
    musulmana se difundió desde sus orígenes en la
    península Arábiga hasta dominar un territorio que
    se extendía desde la península Ibérica hasta
    los límites de
    la actual China, los
    matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de
    posiciones decimales en aritmética de números
    enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales,
    generalizaron los métodos
    indios de extracción de raíces cuadradas y
    cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de
    grado superior, inventaron el álgebra de
    los polinomios.

    Ya en el renacimiento,
    durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos
    signos
    matemáticos y algebraicos, con Europa dominando
    el mundo de las matemáticas. Durante el siglo XVII
    tuvieron lugar los más importantes avances en las
    matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo
    comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el
    matemático escocés John Napier (Neper),
    descubrimiento de la geometría
    analítica, que mostraba cómo utilizar el
    álgebra para investigar la geometría
    de las curvas. Otro avance importante en las matemáticas
    del siglo XVII fue la aparición de la teoría
    de la probabilidad.

    Sin embargo, el acontecimiento matemático
    más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el
    descubrimiento por parte de Newton de los
    cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666 y una
    definición adecuada para los números reales, a
    partir de los números racionales, que todavía se
    enseña en la actualidad

    A pesar de que a través de la historia de la raza humana
    la matemática a esta a su lado pareciera una odisea
    titánica tratar de aprender o más bien, de
    enseñar matemática. En las últimas
    décadas han surgido inquietudes en los educadores
    investigadores, sobre la problemática de la
    enseñanza – aprendizaje de la
    matemática, como lo es Guzmán (2005) que intenta
    dar respuesta a la interrogante ¿Por qué es
    difícil enseñar matemáticas?, a su vez
    Aleman (2005), intenta resolver el problema con el uso de
    tecnología, en específico las
    computadoras,
    existen revistas electrónicas que tratan sólo la
    didáctica de las matemáticas y se
    discuten sobre trabajos como el de Arteaga (2003), las tareas de
    contenido y las tareas formales como diagnóstico en la asignatura
    matemática, otros tratan de hacer un enfoque netamente
    significativo basándose en Asubel, como Vilchez (2004) en
    su trabajo la
    importancia de la enseñanza de la matemática para
    el desarrollo del país, hasta incluso en Venezuela
    existe iniciativas de parte del gobierno regional
    olimpiada infantiles de matemáticas cuya finalidad es
    estimular y fortalecer el estudio de la matemática en las
    escuelas básicas municipales de Baruta.

    Así mismo, aportar información sobre las dificultades y el
    nivel alcanzado por los alumnos, tomando en cuenta los resultados
    de las pruebas.
    Incluso se ha intentado encontrarla raíz del problema,
    enfocándolo desde puntos de vista afectivos, como lo
    plantea Zavarce (2003) en estrategias
    emocionales aplicables a estrategias racionales para la
    enseñanza de la matemática en educación
    superior.

    Con estas investigaciones y
    otras más de numerosos autores se quiere explicar cual es
    la situación actual de las matemáticas.

    CAPITULO II

    ¿LO NECESARIO?

    El ser matemático tiene el significado social de
    que es la persona que se dedica crear las nuevas
    matemáticas, lo no conocido. Atendiendo a lo que nos dice
    Chevallard el ser matemático significa que puede ser
    cualquier persona que se dedique a utilizar las
    matemáticas como una herramienta para resolver problemas
    que se le presenten en la sociedad,
    ejemplo el profesor al
    tratar de explicarle a sus alumnos, un alumno al apoyar a sus
    compañeros, o uno mismo al aplicar lo que sabe para
    solucionar un problema que requiera de aspectos
    matemáticos para su solución.

    Al tratar de dar respuesta a lo que es ser
    matemático podremos también responder a la
    interrogante ¿Para qué estudiar
    matemáticas?. Dado que el ser matemático requiere
    de las herramientas
    que le proporcionan los estudios de matemáticas para
    solucionar problemas no únicamente matemáticos sino
    problemas de la realidad, es cuando se le encuentra el mayor
    significado al estudio de las matemáticas, dejando
    atrás el concepto de que
    aprender matemáticas sólo le sirven al que las
    aprende.

    Uno de los múltiples problemas que conciernen a
    la Didáctica de las Matemáticas es la
    reflexión sobre los saberes, porque ella los considera
    objetos sujetos a evolución y cambio
    conforme al entorno social donde ellos nacen o se arraigan. De
    manera particular, el estudio de las relaciones que los
    estudiantes establecen con los saberes matemáticos que les
    son presentados debe ser el centro de reflexión sobre las
    condiciones y las naturalezas de los aprendizajes
    matemáticos.

    Modelos
    matemáticos.

    Un modelo es una
    forma de atacar un problema Al estudiar matemáticas es muy
    importante poder
    construir un modelo real de la situación matemática
    en cuestión, ya que al trabajar por medio de un modelo le
    permite al estudiante interpretar los resultados y poder
    contestar cuestiones planteadas inicialmente.

    Al utilizar la modelización permite que el trabajo se
    convierta en un estudio de un sistema no matemático en el
    estudio de problemas matemáticos que se resuelven
    utilizando adecuadamente ciertos modelos y para
    éstos se recomiendan tres tipos que son: la
    utilización rutinaria de modelos matemáticos ya
    conocidos; el aprendizaje de
    modelos de enseñanza y de la manera de utilizarlos; y la
    creación de conocimientos matemáticos, es decir de
    nuevas maneras de modelizar los sistemas de los
    estudiantes.

    Por ejemplo si tenemos una bolsa de caramelos que
    queremos repartir, a partes iguales, entre unos amigos. Lo
    primero que haremos es colocarlos en círculo y repartir
    los caramelos de uno en uno hasta que se terminen, tomando en
    cuenta que si en la última ronda no logramos darles a
    todos debemos recoger los últimos caramelos
    repartidos.

    De esta manera podemos realizar el reparto sin ninguna
    noción matemática explícita. Este procedimiento es
    simple y eficaz, pero de alcance limitado, pues hay que suponer
    que todos los amigos están presentes y bastante cerca los
    unos de los otros. Ahora representemos a los amigos por un
    círculo en suelo, en los que
    iremos colocando los caramelos, y obtenemos el mismo
    resultado.

    Al aplicar este procedimiento nos hemos alejado un poco
    de la realidad inicial del problema, reemplazando a los amigos
    por un modelo de más fácil manipulación. Se
    puede ampliar un poco el modelo anterior asociando una piedrecita
    a cada caramelo, para no manosearlos tanto. Al final cambiamos
    las piedras por los caramelos.

    El procedimiento ha mejorado pero sigue siendo
    limitativo, ya que el número de amigos si llegase a ser
    muy grande, tendríamos que dibujar demasiados
    círculos y colocarles muchas piedras.

    Pero, si se supiera que la repartición de
    caramelos, es una simple división, que se resuelve con
    lápiz y papel, se estaría construyendo un modelo
    matemático de la situación del problema, que no
    requiere tener presentes ni a los amigos ni a los caramelos, ni a
    las piedras. Si alguien observa el procedimiento, no
    dudaría en decir que se esta haciendo matemáticas.

    Enseñanza –
    aprendizaje.

    Durante mucho tiempo se consideró que el
    aprendizaje era sinónimo de cambio de conducta, esto,
    porque dominó una perspectiva conductista de la labor
    educativa; sin embargo, se puede afirmar con certeza que el
    aprendizaje humano va más allá de un simple cambio
    de conducta, conduce a un cambio en el significado de la
    experiencia.

    La experiencia humana no solo implica pensamiento, sino
    también afectividad y únicamente cuando se
    consideran en conjunto se capacita al individuo para
    enriquecer el significado de su experiencia.

    Para entender la labor educativa, es necesario tener en
    consideración otros tres elementos del proceso educativo:
    los profesores y su manera de enseñar; la estructura de
    los conocimientos que conforman el currículo y el modo en que éste se
    produce y el entramado social en el que se desarrolla el proceso
    educativo.

    Lo anterior se desarrolla dentro de un marco
    psicoeducativo, puesto que la psicología
    educativa trata de explicar la naturaleza del
    aprendizaje en el salón de clases y los factores que lo
    influyen, estos fundamentos psicológicos proporcionan los
    principios
    para que los profesores descubran por si mismos los
    métodos de enseñanza más eficaces, puesto
    que según Ausubel (1983)
    "intentar descubrir métodos por ‘Ensayo y
    error’ es un procedimiento ciego y, por tanto
    innecesariamente difícil y
    antieconómico"

    En este sentido una "teoría del aprendizaje"
    ofrece una explicación sistemática, coherente y
    unitaria del ¿cómo se aprende?,
    ¿Cuáles son los límites del aprendizaje?,
    ¿Porqué se olvida lo aprendido?, y complementando a
    las teorías del
    aprendizaje encontramos a los "principios del aprendizaje",
    ya que se ocupan de estudiar a los factores que contribuyen a que
    ocurra el aprendizaje, en los que se fundamentará la labor
    educativa; en este sentido, si el docente desempeña su
    labor fundamentándola en principios de aprendizaje bien
    establecidos, podrá racionalmente elegir nuevas técnicas
    de enseñanza y mejorar la efectividad de su
    labor.

    Ausubel plantea que el aprendizaje del alumno depende de
    la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva
    información, debe entenderse por "estructura cognitiva",
    al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un
    determinado campo del conocimiento,
    así como su organización.

    En el proceso de orientación del aprendizaje, es
    de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno;
    no sólo se trata de saber la cantidad de
    información que posee, sino cuales son los conceptos y
    proposiciones que maneja así como de su grado de
    estabilidad.

    Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel,
    ofrecen el marco para el diseño
    de herramientas metacognitivas que permiten conocer la
    organización de la estructura cognitiva del educando, lo
    cual permitirá una mejor orientación de la labor
    educativa, ésta ya no se verá como una labor que
    deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de
    los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que,
    los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos
    que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su
    beneficio, convirtiéndolo en significativo.

    Gráfico 1.
    Manera de aprendizaje en la ecuación tradicional
    (memorístico). Tomado de Méndez (2001)

    En contraste con el aprendizaje
    significativo, el aprendizaje memorístico tiene lugar
    cuando el que aprende no relaciona la nueva información
    con la ya existente en su estructura cognitiva. Como
    consecuencia, los nuevos conocimientos se aprenden de manera
    aislada y sin relación entre sí por lo que no
    contribuyen al aprendizaje ulterior y más bien lo
    dificultan. Según Ausubel (ob. cit.), entre estos dos
    extremos existiría un continuo que permitiría
    encuadrar la mayoría de las situaciones de aprendizaje
    escolar. La distinción entre aprendizaje significativo y
    aprendizaje memorístico es independiente de que
    éste se lleve a cabo por recepción o por
    descubrimiento.

    Opacidad de social de las matemáticas.

    El primer aspecto de la actividad matemática
    consiste en resolver problemas a partir de las herramientas
    matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar.
    Es el caso del fontanero, utiliza sus conocimientos para resolver
    problemas que le presentan como rutinarios, ya sean
    pequeños problemas parciales que surgen de sus
    investigaciones, ya sean cuestiones que otros vienen a
    consultarte.

    También se encuentran en esta situación el
    estudiante de matemáticas cuando su hermano menor le pide
    que le ayude con sus tareas, el profesor de matemáticas
    que resuelve un ejercicio para sus alumnos, o el alumno de
    secundaria cuando, en medio de un problema de una
    multiplicación de decimales de varias cifras y ha dejado
    la calculadora en casa.

    También establece Aja (2000) que:

    Está claro que la mayoría de conocimientos
    (la ortografía, el inglés
    la biología,
    entre otros) se utilizan en un sin fin de circunstancias, pueden
    parecer mucho más raras aquellas situaciones en la que uno
    mismo utiliza la matemática de un modo natural y
    rutinario. (p. 1003)

    Reafirmando el hecho de que las matemáticas no
    gozan de gran visibilidad en nuestra sociedad y cuesta ver sus
    usos más habituales, así como nuestra necesidad de
    ellas.

    Esto es debido según Aja (ob. cit.) porque "las
    matemáticas que se necesitan y se utilizan no aparecen en
    estado puro",
    están entremezcladas con otras áreas de las
    ciencias a las
    que le sirven de herramienta, mostrando de esta manera su
    utilidad.

    Al igual que la computarización y la economía,
    también la biología, la medicina y la
    sociología recurren cada vez más
    para describir los fenómenos que estudian, pero al estar
    cristalizadas en las ciencias y tecnologías pareciera que
    no existiesen.

    Las personas no se dan cuenta que se utiliza las
    matemáticas para actuar con mayor eficacia en la
    toma de
    decisiones y en numerosos aspectos de la vida cotidiana.
    Aunque no parezca, las matemáticas aparecen todos los
    días en nuestras vidas.

    Aprender a enseñar
    matemática

    En la enseñanza de la matemática,
    durante las primeras etapas de la Educación
    Básica, debe evitarse la abstracción precipitada,
    deben propiciarse las referencias a lo concreto
    así como a situaciones con interés cultural que
    permitan apreciarla posibilidad de integrar la
    matemática con la realidad y con otras áreas. Se
    precisa el uso de materiales
    atractivos para apoyar el proceso de
    enseñanza.

    Aquí se incluye categorías tan amplias y
    hasta desiguales como son objetos cotidianos, material hecho en
    el aula y nuevas tecnologías (calculadora, computadora,
    etc.), que incorporan no sólo herramientas para
    simplificar los cálculos sino también la
    posibilidad de "experimentar", con lo que se enriquecen los
    recursos para
    la formación de conceptos y estructuración de
    contenidos. Todos ellos tienen en común que estimulan la
    concreción de aprendizaje y refuerzan el contenido
    empírico de la formación.

    El alumno puede investigar, diseñar juegos,
    resolver problemas, integrarse al grupo de
    estudiantes y descubrir sus habilidades a través de
    métodos de enseñanza que recurran a estos objetos
    didácticos.

    Es posible en la vida encontrarse ante un problema de
    matemáticas que no se puede resolver por falta de los
    instrumentos apropiados; por ejemplo, el artesano tiene que ir
    al taller por otras herramientas, pero desconoce medidas o para
    que debe emplearse. En este caso, la mejor solución es
    hacerse de los conocimientos de medidas de esos instrumentos,
    ya sea por nosotros mismos, ya sea recurriendo algún
    matemático para que nos facilite la tarea.

    Este segundo aspecto del trabajo matemático es
    muy conocido por los propios matemáticos, así
    como por los usuarios habituales de la matemática (el
    físico, el biólogo o el economista), cuando se
    encuentran con un problema matemático nuevo para ellos y
    que no saben cómo abordar. Una posible actuación
    consiste en consultar a algún matemático para ver
    si aquel problema es "conocido" y permite obtener
    fácilmente la solución. Existe también
    otra posibilidad: la de consultar libros y artículos en
    busca de lo que uno necesita para abordar el problema en
    cuestión.

    En los casos indicados, el estudio de un sistema
    matemático o extramatemático genera instrumentos
    que pueden ser abordadas mediante instrumentos
    matemáticos que ya existen, pero que son desconocidos
    para el que desarrolla la actividad. Surge así la
    necesidad de aprender matemáticas ya existentes, para
    poder responder las cuestiones propuestas. Y en consecuencia,
    aparece la actividad de enseñar matemáticas: el
    profesor ayuda a sus alumnos –matemáticos en
    apuros- a buscar y poner a puntos los instrumentos
    matemáticos que estos necesitan para modelizar y
    resolver ciertas cuestiones, desconocidas para ellos aunque muy
    familiares para un matemático profesional.

    Pero, no se debe olvidar que el hecho de que se
    enseñe matemáticas en la escuela responde a una
    necesidad a la vez individual y social: todos juntos hemos de
    mantener el combustible matemático que hace funcionar
    nuestra sociedad. La presencia de las matemáticas en las
    escuelas es una consecuencia de su presencia en la sociedad y,
    por tanto, las necesidades matemáticas que surgen en los
    institutos de enseñanza deberían estar siempre
    subordinadas a las necesidades de la vida en
    sociedad.

    Cuando por las razones que sea, se invierte esta
    subordinación, cuando se cree que las únicas
    necesidades matemáticas son las que derivan de la
    escuela, entonces aparece la enfermedad docente. Se reduce
    así el valor social de las matemáticas (el
    interés social de que todos tengamos una cultura
    matemática básica) a un simple
    valor escolar, convirtiendo la enseñanza escolar de las
    matemáticas en un fin en sí mismo.

    Este tipo de reduccionismo puede conducir a no tomarse
    en serio las matemáticas que se hacen en la escuela,
    considerándolas como un mero artefacto
    escolar.

    Estrategias de aprendizaje y enseñanza
    más amplias que las convencionales

    La resolución de problemas es la estrategia
    básica para el aprendizaje de la matemática. En
    ella se destacan características y bondades que la hacen
    compatible con los planteamientos que se han venido
    desarrollando. La estrategia de resolución de problemas
    permite que se considere y respete la realidad del alumno, se
    le escuche, se le invite a razonar y llegue a conclusiones por
    sí mismo, y no por imposición del
    docente.

    Esta recomendación es válida y constante
    en cada uno de los pasos o etapas que constituyen esta
    estrategia. La resolución de problemas plantea retos,
    exige perseverancia, es un ejercicio permanente de creatividad
    e inventiva, lo cual ejercita la autoestima,
    la
    motivación al logro y valores que hemos declarado
    esenciales en la formación del ser.

    La estrategia es constructivista por naturaleza, la
    persona plantea posibles soluciones,
    las ensaya, construye y reconstruye sobre nuevas hipótesis hasta alcanzar una
    solución válida. La resolución de
    problemas contribuye a la integración de áreas y ejes
    curriculares. Por su naturaleza, los problemas pueden tratar
    sobre cualquier tema o bloque, logrando con sus enunciados
    cualquier globalización que pueda considerarse
    lógica.

    Es preciso estimular un conjunto de procesos y valores
    simultáneamente con la enseñanza. Expresa Orbitas
    que:

    La idea de transversalidad, todas las áreas de
    formación, incluyendo la matemática, forman parte
    de un tejido pedagógico más amplio cuyos ejes
    cognoscitivos están constituidos por cuatro ejes
    transversales: lenguaje,
    desarrollo del pensamiento, trabajo y valores, en los cuales
    reside la formación cabal del individuo y su
    inserción como ente proactivo en los procesos
    sociales.

    El eje transversal se define como una dimensión
    global interdisciplinaria que incluye todas las áreas y se
    desarrolla transversalmente a lo largo y a lo ancho de todo el
    currículo. La transversalidad constituye el núcleo
    de una renovadora aproximación cultural, donde la
    educación está orientada hacia el ejercicio pleno
    de las capacidades individuales indispensables para la vida
    diaria. Estos cuatro ejes interactúan de manera permanente
    en el proceso educativo y por ello se integran al desarrollo de
    todos los contenidos programáticos impartidos en el
    aula.

    El eje transversal lenguaje se manifiesta en contenidos
    que invitan al trabajo en
    equipo, exaltando el respeto a las
    normas
    consensuadas en el grupo, la expresión oral y escrita de
    los números, y la respuesta a los problemas, así
    como también en la incorporación de términos
    y símbolos propios del lenguaje matemático a
    situaciones cotidianas.

    El eje desarrollo del pensamiento encuentra en el
    área de matemática un campo propicio para
    desarrollar procesos tales como: identificar
    características, propiedades y relaciones entre elementos,
    secuenciar eventos,
    establecer prioridades, usar la inducción, la deducción e inferencia, que permitan al
    joven razonar, evaluar y tomar decisiones adecuadas.

    El eje transversal trabajo se hace presente en la
    realización de procesos tales como: construir, trazar,
    medir, resolver problemas usando adecuadamente los instrumentos y
    operaciones, así como también el mejoramiento del
    logro y de la calidad en el
    trabajo. El eje transversal valores se hace tangible en
    contenidos que orientan a la honestidad, la
    autoestima, la práctica de hábitos de orden, la
    organización, la perseverancia, entre otros.

    ¿Por qué la
    enseñanza de la matemática es tarea
    difícil?

    La matemática es una actividad vieja y
    polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con
    objetivos
    profundamente diversos. Fue un instrumento para la
    elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los
    pueblos mesopotamios. Se consideró como un medio de
    aproximación a una vida más profundamente humana y
    como camino de acercamiento a la divinidad, entre los
    pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento
    disciplinador del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la
    más versátil e idónea herramienta para la
    exploración del universo, a
    partir del Renacimiento. Ha
    constituido una magnífica guía del pensamiento
    filosófico, entre los pensadores del racionalismo y
    filósofos contemporáneos. Ha sido un
    instrumento de creación de belleza artística, un
    campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de
    todos los tiempos.

    Según Guzmán (ob. cit.):

    La matemática misma es una ciencia
    intensamente dinámica y cambiante. De manera
    rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun
    en su propia concepción profunda, aunque de modo
    más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la
    actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje
    sencillo, (p. 1)

    El otro miembro del binomio
    educación-matemática, no es tampoco nada simple. La
    educación ha de hacer necesariamente referencia a lo
    más profundo de la persona, una persona aún por
    conformar, a la sociedad en evolución en la que esta
    persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se
    desarrolla, a los medios
    concretos personales y materiales de que en el momento se puede o
    se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta
    educación se le quiera asignar, que pueden ser
    extraordinariamente variadas.

    La complejidad de la matemática y de la
    educación sugiere que los teóricos de la
    educación matemática, y no menos los agentes de
    ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los
    cambios profundos que en muchos aspectos la dinámica
    rápidamente mutante de la situación global venga
    exigiendo.

    La educación, como todo sistema complejo,
    presenta una fuerte resistencia al
    cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable
    persistencia ante las variaciones es la característica de
    los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se
    conjuga con una capacidad de adaptación ante la
    mutabilidad de las circunstancias ambientales.

    En la educación matemática a nivel
    internacional apenas se habrían producido cambios de
    consideración desde principios de siglo hasta los
    años 60. A comienzos de siglo había tenido lugar un
    movimiento de
    renovación en educación matemática, gracias
    al interés inicialmente despertado por la prestigiosa
    figura del gran matemático alemán Felix Klein, con
    sus proyectos de
    renovación de la enseñanza media y con sus famosas
    lecciones sobre Matemática elemental desde un punto de
    vista superior (1908)

    En los años 60, surgió un fuerte
    movimiento de innovación. Se puede afirmar con
    razón que el empuje de renovación de aquél
    movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha
    traído consigo en el panorama educativo internacional, ha
    tenido con todo la gran virtud de llamar la atención sobre la necesidad de alerta
    constante sobre la evolución del sistema
    educativo en matemáticas a todos los niveles. Los
    cambios introducidos en los años 60 han provocado mareas y
    contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy día,
    podemos afirmar con toda justificación que seguimos
    estando en una etapa de profundos cambios.

    La Irresponsabilidad
    matemática

    Uno de los principales problemas en la
    enseñanza-aprendizaje, es la dificultad de hallar o
    construir una situación en la que el alumno actúe,
    no solamente cómo alumno, sino como un verdadero
    matemático, responsabilizándose de las respuesta
    que se le dan a las cuestiones que se le plantean. La
    formulación de este problema didáctico parte de la
    constatación de un hecho que se repite en todos los
    niveles de educación: los alumnos tienden a delegar al
    docente la responsabilidad de la validez de sus respuestas,
    como si no importara el que estas sean verdaderas o falsa; como
    si el único objetivo de su
    actuación fuera contestar a las preguntas del docente y en
    nada les comprometiera la coherencia o validez de
    respuestas.

    Para describir de forma sintética este hecho,
    podría hablarse de cierta irresponsabilidad
    matemática de los alumnos. ¿Puede la
    didáctica dar cuenta de este tipo de hecho? Veamos un
    ejemplo concreto:

    Consideremos a un alumno ante la tarea de resolver la
    ecuación:

    Y supongamos que el alumno es capaz de resolverla
    analíticamente y que recurre a la técnica habitual
    de eliminar la raíz cuadrada elevando al cuadrado los dos
    miembros de la ecuación. Obtendrá entonces la serie
    de ecuaciones.

    Que le levan a la ecuación de segundo
    grado:

    .

    Al resolver esta ecuación, encontramos dos
    soluciones distintas:

    Al legar a este punto, es bastante probable que el
    alumno considere estos dos valores como soluciones de la
    ecuación inicial, dando así por finalizado su
    trabajo.

    La ecuación ya esta resuelta; él ha hecho
    lo que le pedían; ahora le toca al profesor decir si la
    resolución es correcto. No hay nada más en juego.

    Pero supongamos por un momento que al alumno le va la
    vida en ello, o que de ello dependiera la cantidad de dinero que
    cobre por un
    determinada trabajo. ¿Cual seria entonces la
    actuación de un alumno que se sintiera realmente
    responsable de su solución? ¿Que haría si
    hubiera algo muy importante en juego?

    La respuesta es sencilla. Cualquiera alumno del nivel
    adecuado dispone de elementos para asegurar al ciento por ciento
    la validez la solución; basta con que sustituya la x por
    16 y por 9 en la ecuación:

    Para comprobar que, cuando a la x se le da el valor de
    9, la igualdad no se
    cumple, mientras que el valor x = 16 corresponde a una
    solución correcta.

    Pareciera mentira pero en las instituciones
    de Venezuela, que el alumno encuentre las dos raíces del
    problema anterior es un éxito
    indiscutible, dado la relación existente entre los alumnos
    que "resuelven" el problema y los que no, pero aquel alumno que
    logra encontrar las raíces, difícilmente entiende
    que significan las respuestas que obtuvo.

    La didáctica de la
    matemática

    El docente que ha sido formado en el pasado con ideas,
    concepciones y técnicas del pasado se le exige que ponga
    en práctica una metodología actualizada que dé
    respuestas al mundo moderno y al avance de la ciencia. El
    reto que tiene el docente en el mundo actual consiste en
    contribuir en la formación de un estudiante a
    través del desarrollo del pensamiento en un mundo
    vertiginosamente cambiante.

    A su vez expresa Rodríguez (1995) que:

    La enseñanza de la matemática no
    sólo es un desgarramiento entre un discurso
    vacío y el fastidio— el aburrimiento que produce
    en el niño y que termina en el odio hacia la
    matemática— sino una abstracción, una
    oquedad. Por eso hablo de la enseñanza de la
    matemática en Venezuela como un cuento de
    mendigo, que siempre está vacío.

    Que es su forma de concebir la didáctica actual
    de las matemáticas Hay una organización de la
    actividad del aula que supuestamente comienza con el programa que, si
    bien el docente no maneja, porque no le ha llegado, por razones
    de edición
    y distribución, establece cierta
    concepción de la matemática y ciertas pautas
    metodológicas que el maestro sigue cuando está en
    el aula, cuando apenas abre el libro de
    texto, ya que
    éstos presentan un apego a los programas casi
    rayano en la sumisión. Continúa Rodríguez
    (ob. cit.) que "Es inconcebible que el Ministerio de
    Educación, imponga a las editoriales y a los autores de
    los libros un anillo de bronce que obliga a una
    organización del conocimiento que parece un torbellino,
    sin coherencia alguna ni organización", puesto que en los
    colegios que conocemos, las maestras de matemáticas dictan
    conceptos y hasta resultados. En quinto grado, por ejemplo, una
    maestra preocupada por la geometría, pone lo mejor de
    sí y, voluntariosa, dicta a los niños
    el teorema que establece que los ángulos interiores de un
    triángulo suman ciento ochenta grados. Sin un dibujo, sin
    una representación. Dice: Considérese el
    triángulo ABC. Por el vértice A se traza una recta
    paralela al lado BC. Prolónguese tanto el lado AB como el
    lado CA, etc.

    Todo esto sin que el niño ni ella hagan un
    dibujo. Y eso que el discurso lo que habla es de acciones que
    el estudiante debe realizar: Dibujar (en lugar de considerar),
    trazar, prolongar. El niño no puede representarse la
    situación porque la concepción de la
    matemática y de su enseñanza que se maneja niega
    toda actividad del sujeto. La enseñanza de nuestra
    disciplina se
    afinca en el dictado, el caletre, la repetición
    memorística. El niño sencillamente no dibuja, no
    mide, no calcula. Ni siquiera tiene idea de lo que está
    intentando hacer y el formalismo que domina la matemática
    y su enseñanza en Venezuela ha impuesto una
    matemática que no permite preguntas, ni comentarios que no
    se hagan en leguaje puramente matemáticos, y ni diga de la
    oposición del uso de la calculadora en nuestras
    aulas.

    El entrenamiento de
    los maestros ha sido un punto
    crucial en la experiencia en muchos países que han
    introducido la computadora
    en la educación. Casi invariablemente se ha subestimado el
    costo de llevarlo
    a cabo adecuadamente. No es suficiente un curso superficial sobre
    cómo prender y operar el equipo. Es necesario estimular al
    maestro y convencerlo de las bondades del uso de la computadora
    como apoyo a la enseñanza. Algunas experiencias han
    demostrado que conviene darle al maestro una cultura
    computacional que incluya el hecho de aprender a usar la
    computadora como herramienta personal.

    Cuando el maestro se da cuenta de lo útil que le
    es la computadora para llevar las listas de calificaciones,
    elaborar anuncios, escribir circularse y labores de ese tipo,
    empieza a apreciar la necesidad de copiar archivos y
    discos, comienza a interesarse en aprender más cosas de
    las máquinas y
    su software, y
    sólo hasta ese momento es adecuado intentar
    enseñarle el uso de la computadora como auxiliar
    didáctico. Otra experiencia, es percatarse de lo
    conveniente de hacer lo mismo con los directores de escuela para
    que se conviertan en agentes positivos de la computación en sus escuelas.

    Contrato didáctico y
    responsabilidad matemática

    El contrato
    didáctico es una de las nociones básicas de la
    didáctica fundamental. Puede considerarse formado por el
    conjunto de cláusulas que, de una forma más o menos
    implícita, rigen en cada momento, las obligaciones
    recíprocas de los alumnos y el profesor, en lo que
    concierne al conocimiento matemático
    enseñado.

    Por otro lado, la interpretación de la irresponsabilidad
    matemática de los alumnos requiere, por una parte,
    relacionar este fenómeno con otros que aparecen asociados
    a él dentro del sistema escolar, y por otra, tomar en
    consideración aquellos elementos del contrato
    didáctico relacionados con la asignación de la
    responsabilidad matemática.

    La pregunta que ahora puede plantearse es la siguiente:
    ¿por qué el contrato didáctico asigna de
    forma casi exclusiva al docente la responsabilidad
    matemática? Se trata de una cuestión muy
    relacionada con la forma en que se interpretan las funciones
    respectivas del alumno y del docente en las actuales
    instituciones didácticas.

    La forma en que se considera el estudio del alumno en la
    cultura escolar tradicional puede resumirse en tres
    puntos:

    1. Se considera que el estudio del alumno es un medio
      auxiliar de la enseñanza escolar. Su actividad
      matemática no se concibe como el objetivo principal del
      proceso didáctico
    2. Se ignoran la estructura y las funciones del trabajo
      matemático del alumno. Se considera esté proceso
      de estudio más como una actividad privada y subjetiva
      del alumno que como un trabajo objetivable y analizable. De
      hecho, nunca se ha tomado en serio el trabajo del alumno, nunca
      se ha considerado como un verdadero trabajo matemático.
      La prueba de ello es la poca importancia que suele darse a las
      producciones y trabajos matemáticos que realiza el
      alumno en su cuaderno, aceptándose como normal la
      existencia de errores graves.
    3. En coherencia con la opacidad del trabajo
      matemático del alumno y de acuerdo con la ignorancia de
      la estructura especifica del proceso de estudio de las
      matemáticas, la actividad de estudio del alumno se
      concibe como un magma uniforme, relativamente independiente de
      la materia a
      estudiar.

    Esta forma de interpretar el estudio de los alumnos
    está relacionada con la enfermedad docente y trae
    como por lo menos 2 importantes consecuencias sobre el
    funcionamiento de las instituciones escolares:

    1. Las actividades matemáticas del alumno,
      incluso las del docente, se concentran de manera casi exclusiva
      en el aula. Esta concentración trae consigo una gran
      dependencia mutua entre los alumnos y el docente.
    2. En las aulas actuales instituciones docentes se
      adjudican al profesor funciones desmesuradas que están
      completamente fuera de sus alcance como profesor.

    En concordancia con lo dicho expone Mavárez
    (2002) que

    El alumno sólo dispone de lo que se hace en
    clase, de
    los apuntes que logra tomar y de los materiales que el profesor
    pueda entregarle incidentalmente, y a este nivel
    (educación universitaria), este proceso se encuentra
    bajo la responsabilidad de profesionales de diversas
    disciplinas que se dedican a la docencia en
    sus respectivas especialidades. (p. 12)

    Lo anterior exhibe que el alumno depende absolutamente
    del docente y, recíprocamente al docente le recae toda
    responsabilidad del aprendizaje matemático del alumno. En
    la medida que se haga creer al docente que es él el que
    decide los contenidos matemáticos a enseñar y que
    sobre sus espaldas reside la responsabilidad de evaluación
    de los alumnos, se estará aumentando la dependencia mutua
    profesor – alumno, con todas sus consecuencias.

    La lucha por mejorar la enseñanza de la
    matemática es una realidad dentro de la formación
    universitaria de los nuevos profesionales encargados de esta
    tarea, sin embargo, sus voluntades parecen mermarse por todos los
    factores y elementos que el sistema educativo implica en su
    práctica cotidiana. Desde este punto de vista, muy pocos
    docentes están comprometidos verdaderamente por inyectar
    un cambio necesario y suficiente en las distintas instituciones
    educativas en que laboran.

    Lo más paradójico de esta
    situación, es que para aquellos profesionales que asumen
    este importante reto, no solo se les impone una gran inversión de tiempo y sacrificio personal, sino
    también llevar a cuestas las duras críticas de sus
    colegas o presiones burocráticas por parte de las
    rígidas normativas ministeriales.

    También es destacable frente a este panorama,
    sumar el gran deterioro que a sufrido la estructura familiar, la
    mayoría de los estudiantes se forman bajo una
    concepción de mediocridad y conformismo; acostumbrados a
    pretender que otros resuelvan sus problemas y no asumir con
    seriedad las responsabilidades personales.

    Este rasgo característico, se evidencia en las
    aulas institucionales; si se le exige al alumno que rinda gran
    parte de su potencial individual, los reclamos y disgustos no se
    hacen esperar, la dirección, los padres de familia y el
    estudiante, constituyen un jurado muy difícil de
    convencer. La enseñanza de la matemática no
    debería desvirtuarse mediante adaptaciones al "pobrecito
    estudiante". Este círculo vicioso, a traído como
    consecuencia que ella por sus condiciones actuales, no
    esté contribuyendo de forma integral al desarrollo de los
    alumnos y por ende del país.

    Los estudiantes en los centros educativos no aprenden
    matemática, aprenden algoritmos y
    algunas reglas sin sentido que con mucha facilidad olvidan en
    transcurso de semanas. Desde este punto de vista, la
    educación secundaria no está llenando las
    expectativas del tipo de ciudadano que el país requiere.
    Los estudiantes no adquieren aprendizajes duraderos, por una
    excesiva preocupación por aprobar los exámenes de
    cada curso.

    En mi experiencia como docente en la educación
    superior, he podido comprobar la pésima formación
    matemática que los estudiantes arrastran desde su
    educación secundaria. Bajo esta perspectiva, el Estado
    costarricense está invirtiendo muchos recursos tanto
    económicos como humanos; obteniendo resultados que
    reflejan una pérdida sustancial de las inversiones
    puestas en juego.

    La matemática es una ciencia naturalmente
    formativa. Además de proporcionar conocimientos
    indispensables en nuestras sociedades
    tecnificadas y científicas, otorga toda una estructura de
    pensamiento constituida bajo el estandarte de la duda. Una
    persona debidamente formada en este campo, adquiere un carácter desconfiado y ecuánime
    frente a la mayoría de las situaciones. El aspecto
    más importante de este síndrome de la duda, es su
    integración a la forma de vida cotidiana y los efectos
    intrínsecos que la acompañan, tales como:
    confianza, autoestima, criticidad y una modalidad de pensamiento
    fundamentada bajo los principios de la lógica
    matemática.

    CAPITULO III

    UNA
    TECNOLOGÍA PARA LA MATEMÁTICA

    La enseñanza es una actividad sumamente compleja,
    y a través de la historia el hombre ha experimentado
    diversos métodos y procedimientos
    con el propósito de lograr en forma efectiva tanto la
    enseñanza como el aprendizaje. Por esta razón,
    desde la aparición de la computadora, se buscaron formas
    para aprovechar, en educación, el gran potencial que ellas
    presentaban, y que se ha popularizado con la aparición de
    la computadora personal.

    De acuerdo con Vaquero y Flamingo (1987)

    Enseñar es mucho más que dejar aprender.
    La enseñanza ha de crear los estímulos que
    activen y aceleren el aprendizaje.

    El problema radical de la enseñanza es acoplar
    la mente del alumno a la materia objeto de aprendizaje. Esto
    implica una enseñanza individualizada de forma que, dada
    una materia a enseñar, lo ideal es encontrar para cada
    individuo el transformador adecuado a su nivel de entendimiento
    y formación, que hiciese el acoplo más adecuado
    (p. 112).

    En este sentido, el uso de la computadora en sus
    diversas modalidades ofrecen, sobre otros métodos de
    enseñanza, ventajas tales como:

    1. Participación activa del alumno en la construcción de su propio
      aprendizaje.
    2. Interacción entre el alumno y la
      máquina.
    3. La posibilidad de dar una atención individual
      al estudiante.
    4. La posibilidad de crear micromundos que le permiten
      explorar y conjeturar.
    5. Permite el desarrollo cognitivo del
      estudiante.
    6. Control del tiempo y secuencia del aprendizaje por el
      alumno.
    7. A través de la retroalimentación inmediata y efectiva,
      el alumno puede aprender de sus errores.

    Ciertamente, la presencia de la computadora es cada vez
    más evidente en la vida cotidiana y desde luego en la
    escuela. En Panamá,
    las políticas
    gubernamentales1 contemplan planes de
    integración de la informática al currículo y la
    creación de laboratorios de computadoras en todos los
    colegios con lo que se busca modernizar la educación en
    nuestro país.

    En la enseñanza de la Matemática
    particularmente, la computadora se utilizó en sus inicios
    como herramienta de cálculo y en la aplicación de
    las técnicas de análisis numérico pero,
    posteriormente, en el intento de encontrar posibles soluciones a
    los ya bien conocidos problemas en la enseñanza de la
    matemática, se utilizó en la creación de
    materiales de enseñanza computarizados.

    Son diversos los usos que se le ha dado a la computadora
    en la enseñanza de la matemática, algunos con mayor
    efectividad que otros, pero todos contribuyentes a enriquecer el
    proceso de aprendizaje. Entre ellos tenemos:

    Computadora como pizarrón
    electrónico

    El uso de la computadora como pizarrón
    electrónico se puede enmarcar dentro de la modalidad
    Computador
    como herramienta. Para que tanto docentes como estudiantes puedan
    utilizar la computadora como pizarrón electrónico,
    se requiere de un diseño de software especial.

    Su objetivo principal es escribir, dibujar y calcular
    con el fin de mostrar e ilustrar conceptos. Se pueden mostrar
    procedimientos en detalle o evitar cálculos tediosos.
    Generalmente, en esta aplicación hay un solo computador en
    el aula el cual se utiliza para hacer la demostración a
    todos los estudiantes. A continuación un ejemplo de uso en
    esta modalidad.

    Al enseñar el cálculo del volumen de un
    sólido de revolución, el docente de
    matemática, quién en general no ha recibido cursos
    de dibujo, se ve limitado en la ilustración del sólido que se genera
    al hacer girar la región plana, sobre el eje de
    revolución debido a que es una figura en tres dimensiones.
    Puede entonces recurrir a la pantalla de la computadora para
    ilustrar en cada problema, tanto el procedimiento seguido en el
    cálculo del volumen como el sólido
    generado.

    Gráfico 2.
    Volumen de un sólido de revolución. Tomado de
    Leithold (2003)

    En Matemática, es frecuente utilizar el
    pizarrón electrónico ligado a softwares de los
    cuales algunos han sido diseñados con propósitos
    educativos y otros no, pero todos útiles en la
    enseñanza de la Matemática. Entre otros tenemos:
    (a) Hojas Electrónicas; (b) Excel; (c)
    Power Point; y
    (d) Editor de Ecuaciones. Además, existen en el mercado paquetes
    diseñados especialmente para el apoyo del trabajo
    matemático. Hoy día, contamos con libros de
    cálculo y ecuaciones diferenciales que traen ejercicios
    propuestos, adicionales, que pueden realizarse únicamente
    con calculadoras programables o micro computadoras. Estos libros
    hacen referencia al uso de paquetes de matemática
    simbólica para computadoras personales como:

    1. Maple: incluye funciones de Cálculo y
      gráficas en dos
      dimensiones.
    2. MathCAD: incluye funciones de cálculo y
      gráficas en dos y tres dimensiones; puede producir
      documentos
      con texto y gráficas; puede usar un coprocesador
      matemático en las máquinas que lo tengan
      incorporado.
    3. Mathematica: incluye operaciones de cálculo
      y gráficas en dos y tres dimensiones, animación
      incluida. Puede producir documentos con texto y
      gráficas. Lenguaje completo de programación.
    4. The Math Utilities: Grfica cualquier tipo de
      función. Incluye CURVES para
      gráficas en dos dimensiones y SURFS para
      gráficas en tres dimensiones.
    5. CoPlot: Un paquete de gráficas
      científicas. Puede generar gráficas
      rectangulares y polares, así como otro tipo de
      gráficas que incluyen las tres dimensiones. Varias
      gráficas se pueden mostrar en un sencillo sistema de
      ejes.

    Computadora como tutor

    La Computadora como tutor fue la primera de las
    modalidades de uso de la computadora aplicada a la
    enseñanza de la matemática ya que las primeras
    experiencias de enseñanza impartida mediante computadora
    comenzaron "en Estados Unidos
    hacia principios de los años 60 cuando en el Computer
    Aplications Laboratory de la Universidad de
    Florida se realiza una investigación sobre la
    enseñanza de la aritmética binaria" (p.131, Vaquero
    y Fernández, ob. cit.). Esta es una de las modalidades
    más utilizadas en Matemática debido, a que ayudan a
    solucionar algunos problemas educativos tales
    cómo:

    1. Numerosa población estudiantil que impide la
      atención de las diferencias individuales
    2. El alto índice de fracasos debido a la falta
      de uniformidad en el desarrollo cognitivo de los integrantes de
      los grupos
    3. Falta de motivación hacia el estudio de la
      materia
    4. La posibilidad de una rápida
      actualización de los materiales educativos
    5. Falta de instrucción de alta calidad,
      accesible a gran escala

    En Matemática, se han aplicado desde los
    más rudimentarios tutores lineales hasta los más
    sofisticados tutores inteligentes, y según expresa, Hitt
    (2001).:

    Algunos de ellos, técnicamente muy bien
    realizados, con diseños de pantallas sumamente
    atractivos, pero con objetivos restringidos que llevaban
    únicamente a la mecanización. Otros, la
    mayoría realizado por investigadores en educación
    matemática, con diseños de pantallas que no
    llegan a competir en espectacularidad pero que consideran
    elementos valiosos de análisis de errores y
    experimentación (p.34)

    El Sistema Tutorial.

    Un ejemplo, el sistema BUGGY que proporciona un
    mecanismo para detectar por qué un estudiante comete un
    error aritmético, en lugar de simplemente identificar el
    error. Este programa construye un modelo de conocimientos del
    alumno, para así poder determinar la causa de sus
    equivocaciones y corregirla adecuadamente. BUGGY parte de la
    hipótesis de que
    si un estudiante comete un error es porque no sigue el
    procedimiento correcto. Por lo tanto el sistema no funciona
    cuando el alumno comete errores totalmente arbitrarios e
    imprevisibles. También se utiliza para enseñar al
    profesor a diagnosticar los errores de los alumnos (Vaquero y
    fernández, ob.cit.).

    Volumen de un Sólido de Revolución,
    desarrollado por estudiantes del Postgrado en Informática
    Aplicada a la Educación de la Universidad
    Tecnológica de Panamá, con el objetivo de
    enseñar a estudiantes de Cálculo
    Diferencial e Integral, a calcular el volumen de
    sólidos de revolución tanto por el método del
    disco como por el método del anillo.

    Como un ejemplo más de sistema tutorial podemos
    mencionar el confeccionado por las Profesoras Alba de Quiel
    y Catalina González, para el estudio de Máximos y
    Mínimos de una función, aplicando los criterios de
    primera y segunda derivada. Este software posee las "cuatro fases
    que según Gagné deben estar presentes en todo
    proceso de enseñanza aprendizaje: introductoria,
    orientación inicial, aplicación y
    retroalimentación (Galvis 1998).

    Este es un software de tipo hipermedia, el cual logra,
    con la utilización de ventanas, proporcionar al estudiante
    toda la información necesaria para determinar los valores
    críticos de la función y clasificarlos como
    máximos o mínimos relativos.

    Los juegos y las
    matemáticas

    La actividad matemática ha tenido desde siempre
    una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a
    una buena parte de las creaciones más interesantes que en
    ella han surgido.

    Socas (2000), expresa que el juego presenta unas cuantas
    características peculiares:

    1. es una actividad libre, en el sentido de la paideia
      griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí
      misma, no por el provecho que de ella se pueda
      derivar
    2. tiene una cierta función en el desarrollo
      del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se
      prepara con ello para la vida; también el hombre
      adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de
      liberación, de evasión, de
      relajación
    3. el juego no es broma; el peor revientajuegos es el
      que no se toma en serio su juego
    4. el juego, como la obra de arte, produce
      placer a través de su contemplación y de su
      ejecución
    5. el juego se ejercita separado de la vida ordinaria
      en el tiempo y en el espacio
    6. existen ciertos elementos de tensión en
      él, cuya liberación y catarsis
      causan gran placer
    7. el juego da origen a lazos especiales entre quienes
      lo practican
    8. a través de sus reglas el juego crea un
      nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y
      armonía.

    Un breve análisis de lo que representa la
    actividad matemática basta para permitirnos comprobar que
    muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La
    matemática, por su naturaleza misma, es también
    juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el
    científico, instrumental, filosófico, que juntos
    hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos
    ejes de nuestra cultura.

    Si el juego y la matemática, en su propia
    naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que
    también participan de las mismas características en
    lo que respecta a su propia práctica. Esto es
    especialmente interesante cuando nos preguntamos por los
    métodos más adecuados para transmitir a nuestros
    alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las
    matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera
    familiarización con los procesos usuales de la actividad
    matemática.

    Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un
    cierto número de objetos o piezas, cuya función en
    el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma
    forma en que se puede proceder en el establecimiento de una
    teoría matemática por definición
    implícita: Méndez (ob. cit.) "Se nos dan tres
    sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos
    puntos, los del segundo rectas,…"

    Quien se introduce en la práctica de un juego
    debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas,
    relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en
    matemáticas compara y hace interactuar los primeros
    elementos de la teoría unos con otros. Estos son los
    ejercicios elementales de un juego o de una teoría
    matemática.

    Quien desea avanzar en el dominio del juego
    va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en
    circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al
    éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la
    teoría que se hacen fácilmente accesibles en una
    primera familiarización con los problemas sencillos del
    campo.

    Una exploración más profunda de un juego
    con una larga historia proporciona el
    conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que
    han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las
    estrategias de un nivel más profundo y complejo que han
    requerido una intuición especial puesto que se encuentran
    a veces bien alejadas de los elementos iniciales del
    juego.

    Esto corresponde en matemáticas a la fase en la
    que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos
    los grandes teoremas y métodos que han sido creados a
    través de la historia. Son los procesos de las mentes
    más creativas que están ahora a su
    disposición para que él haga uso de ellas en las
    situaciones más confusas y delicadas.

    Más tarde, en los juegos más sofisticados,
    donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto
    trata de resolver de forma original situaciones del juego que
    nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al
    enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos
    de la teoría.

    Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear
    nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones
    capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar.
    Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías
    matemáticas, fértiles en ideas y problemas,
    posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas
    abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la
    realidad más profundos que hasta ahora habían
    permanecido en la penumbra.

    La matemática y los juegos han entreverado sus
    caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente
    en la historia de las matemáticas la aparición de
    una observación ingeniosa, hecha de forma
    lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento.
    En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del
    pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se
    puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat,
    Pascal,
    Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,…

    Del valor de los juegos para despertar el interés
    de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Gardner, el
    gran experto de nuestro tiempo en la presentación
    lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por
    muchos años en sus columnas de la revista
    americana Scientific American: "Con seguridad el
    mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle
    un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja,
    pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una
    veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar
    porque parecen frívolas"

    El matemático experto comienza su
    aproximación a cualquier cuestión de su campo con
    el mismo espíritu explorador con el que un niño
    comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto
    a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco
    a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del
    descubrimiento. Por qué no usar este mismo espíritu
    en nuestra aproximación pedagógica a las
    matemáticas?

    A mi parecer el gran beneficio de este acercamiento
    lúdico consiste en su potencia para
    transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su
    enfrentamiento con problemas matemáticos.

    La matemática es un grande y sofisticado juego
    que, además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte
    intelectual, que proporciona una intensa luz en la
    exploración del universo y tiene grandes repercusiones
    prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran
    provecho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su
    historia, las biografías de los
    matemáticos más interesantes, sus relaciones con la
    filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero
    posiblemente ningún otro camino puede transmitir
    cuál es el espíritu correcto para hacer
    matemáticas como un juego bien escogido.

    Necesidad de integrar la
    tecnología y el trabajo matemático

    La matemática del siglo XIX y la del XX ha sido
    predominantemente la matemática del continuo en la que el
    análisis, por su potencia y repercusión en las
    aplicaciones técnicas, ha jugado un papel
    predominante.

    El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa
    capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, versatilidad,
    potencia de representación gráfica, posibilidades
    para la modelización sin pasar por la formulación
    matemática de corte clásico,… ha abierto multitud
    de campos diversos, con origen no ya en la física, como los
    desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias
    tales como la economía, las ciencias de la
    organización, biología,… cuyos problemas
    resultaban opacos, en parte por las enormes masas de
    información que había que tratar hasta llegar a dar
    con las intuiciones matemáticas valiosas que pudieran
    conducir a procesos de resolución de los difíciles
    problemas propuestos en estos campos.

    Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos,
    usados en las ciencias de la computación, en la
    informática, así como en la modelización de
    diversos fenómenos mediante el ordenador, ha dado lugar a
    un traslado de énfasis en la matemática actual
    hacia la matemática discreta. Ciertas porciones de ella
    son suficientemente elementales como para poder formar parte con
    éxito de un programa inicial de matemática. La
    combinatoria clásica, así como los aspectos
    modernos de ella, tales como la teoría de grafos o la
    geometría combinatoria, podrían ser considerados
    como candidatos adecuados. La teoría elemental de
    números, que nunca llegó a desaparecer de los
    programas en algunos países, podría ser
    otro.

    Se han realizado intentos por introducir estos elementos
    y otros semejantes pertenecientes a la matemática discreta
    en la enseñanza matemática inicial. Sucede que esto
    parece ser sólo posible a expensas de otras porciones de
    la matemática con más raigambre de las que no se ve
    bien cómo se puede prescindir. Aunque parece bastante
    obvio que el sabor de la matemática del futuro será
    bastante diferente del actual por razón de la presencia
    del ordenador, aún no se ve bien claro cómo esto va
    a plasmarse en los contenidos de la enseñanza primaria y
    secundaria.

    Impactos en los contenidos de los
    métodos modernos de cálculo

    Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras
    escuelas elementales dedicar una gran energía y largo
    tiempo a rutinas tales como la división de un
    número de seis cifras por otro de cuatro. O a la
    extracción a mano de la raíz cuadrada de un
    número de seis cifras con tres cifras decimales exactas.
    O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las
    tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de
    interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo
    ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa
    energía y ese tiempo están mejor empleados en otros
    menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como
    algoritmos inteligentes y profundos, pero como destrezas
    rutinarias son superfluos.

    En la actualidad, año 1991, en nuestra segunda
    enseñanza así como en los primeros años de
    nuestra enseñanza
    universitaria, dedicamos gran energía y largo tiempo a
    fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad en el
    cálculo de derivadas,
    antiderivadas, resolución de sistemas lineales,
    multiplicación de matrices,
    representación gráfica de funciones, cálculo
    de la desviación típica,…

    Ya desde hace unos años existen en el mercado
    calculadoras de bolsillo que son capaces, sin más que
    apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la
    derivada de, de
    dar su polinomio de
    Taylor hasta el término de tercer grado, de
    representar gráficamente esta función en un cierto
    entorno que se pida o bien de hallar el valor de su integral
    entre 2 y 3 con gran aproximación. La inversión de
    una matriz 8×8 le
    ocupa a la máquina unos pocos segundos, una porción
    mínima del tiempo que se tarda en darle los datos. El
    cálculo de la desviación típica de una gran
    masa de datos es una operación inmediata. Las soluciones
    de una ecuación de séptimo grado, incluidas las
    raíces complejas, son proporcionadas por la máquina
    en un abrir y cerrar de ojos.

    Siendo así las cosas, es claro que nuestra
    enseñanza del cálculo, del álgebra, de la
    probabilidad y estadística, ha de transcurrir en el futuro
    por otros senderos distintos de los que hoy seguimos.
    Habrá que poner el acento en la comprensión e
    interpretación de lo que se está haciendo, pero
    será superflua la energía dedicada a adquirir
    agilidad en las rutinas que la máquina realiza con mucha
    mayor rapidez y seguridad. En la programación de nuestra
    enseñanza habremos de preguntarnos constantemente
    dónde vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzo
    inteligente y cuáles son las rutinas que podemos confiar a
    nuestras máquinas. El progreso de la inteligencia
    humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas
    operaciones que en un principio han representado un verdadero
    desafío para nuestra mente y, si es posible, entregar la
    realización de tales rutinas a nuestras máquinas.
    Con ello podemos liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a
    la resolución de los problemas que todavía son
    demasiado profundos para las herramientas de que
    disponemos.

    Como reacción a un abandono injustificado de la
    geometría intuitiva en nuestros programas del que fue
    culpable la corriente hacia la "matemática moderna", hoy
    se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista
    didáctico, científico, histórico, volver a
    recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la
    matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la
    geometría.

    Es evidente que desde hace unos veinte años el
    pensamiento geométrico viene pasando por una profunda
    depresión en nuestra enseñanza
    matemática inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del
    pensamiento geométrico no me refiero a la enseñanza
    de la geometría más o menos fundamentada en los
    Elementos de Euclides, sino a algo mucho más básico
    y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la
    matemática que provienen de y tratan de estimular la
    capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio
    físico en que vive, la figura, la forma
    física.

    Esta situación, que se hace patente sin
    más que ojear nuestros libros de texto y los programas de
    nuestra educación primaria y secundaria, no es exclusiva
    de nuestro entorno. En realidad es un fenómeno universal
    que, a mi parecer, se debe en buena medida a la evolución
    misma de la matemática desde comienzos de siglo,
    más o menos.

    La crisis de los
    fundamentos de principio de siglo empujó al
    matemático hacia el formalismo, hacia el énfasis
    sobre el rigor, a una cierta huida de la intuición en la
    construcción de su ciencia.

    Lo que fue bueno para la fundamentación fue
    considerado por muchos bueno también para la
    transmisión de conocimientos. Las consecuencias para la
    enseñanza de las matemáticas en general fueron
    malas, pero especialmente nefastas resultaron para el pensamiento
    geométrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez
    juntamente con una mala interpretación de los
    análisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura
    evolutiva del conocimiento del niño, se basa el
    énfasis sobre la teoría de conjuntos y la
    búsqueda de rigor. La geometría, a nivel elemental
    es difícil de formalizar adecuadamente y así, en
    este intento, se nos fue por el mismo agujero el pensamiento
    geométrico, la intuición espacial y la fuente
    más importante que por muchos siglos ha tenido la
    matemática de verdaderos problemas y resultados
    interesantes abordables con un número pequeño de
    herramientas fácilmente asimilables.

    El siglo XIX fue el siglo de oro del
    desarrollo de la geometría elemental, del tipo de
    geometría al que tradicionalmente se dedicaba la
    enseñanza inicial de la matemática, que
    vivía a la sombra de creaciones muy interesantes y muy de
    moda de la
    matemática superior tales como la geometría
    descriptiva, geometría proyectiva, geometría
    sintética, geometrías no euclídeas, … El
    mismo sentido geométrico que estimuló los
    desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo
    también hoy en campos tales como la teoría de
    grafos, teoría de cuerpos convexos, geometría
    combinatoria, algunos capítulos de la teoría de
    optimización, de la topología, … Como rasgos comunes a todos
    estos desarrollos se pueden señalar: una fuerte
    relación con la intuición espacial, una cierta
    componente lúdica y tal vez un rechazo tácito de
    desarrollos analíticos excesivos.

    De estas materias, cuya profundidad se va manifestando
    cada vez más claramente, no se ha hecho eco en absoluto la
    enseñanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta a
    nivel superior y a nivel de matemática recreativa. Pero
    esta matemática recreativa, en nuestro país, no ha
    encontrado aún el camino hacia la escuela.

    Paradójicamente, no permitimos jugar a quien
    más le gusta y a quien más se beneficiaría
    con el juego matemático.

    La necesidad de una vuelta del espíritu
    geométrico a la enseñanza matemática es algo
    en lo que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo,
    aún no es muy claro cómo se debe llevar a cabo. Es
    necesario evitar llegar a los extremos en que se incurrió,
    por ejemplo, con la geometría del triángulo, tan en
    boga a finales del siglo XIX. También hay que evitar una
    introducción rigurosamente sostenida de una
    geometría axiomática. Posiblemente una
    orientación sana podría consistir en el
    establecimiento de una base de operaciones a través de
    unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se
    podrían levantar desarrollos locales interesantes de la
    geometría métrica clásica, elegidos por su
    belleza y profundidad. Las obras elementales de Coxeter pueden
    ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.

    La probabilidad y la estadística son componentes
    muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras
    ciencias específicas. Deberían constituir una parte
    importante del bagaje cultural básico del ciudadano de
    nuestra sociedad. Es este un punto en el que todos los sistemas
    educativos parecen concordar. Y efectivamente son muchos los
    países que incluyen en sus programas de enseñanza
    secundaria estas materias, pero en pocos esta enseñanza se
    lleva a cabo con la eficacia deseada. En España
    este fenómeno, a mi parecer, se debe por una parte a la
    dificultad misma de las materias en cuestión y a una
    cierta carencia de preparación adecuada de los profesores
    para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de
    enseñanza de ellas.

    En el momento actual, nos encontramos con que gran parte
    del profesorado de las diferentes etapas educativas responsable
    de llevar adelante toda esta tarea no tiene, como colectivo, la
    formación adecuada para ello. Si observamos, por ejemplo,
    la formación inicial del profesorado, nos encontramos con
    un grupo de profesores en los que predomina la dimensión
    educativa general sobre las competencias
    específicas matemáticas, frente a otro en los que
    el predominio en la transmisión de conocimientos
    matemáticos no permite atender a los valores formativos
    generales.

    CONCLUSIÓN

    1. La "necesidad" de contar animales,
      pieles, comida o alguna otra cosa que servía de
      intercambio comercial que sería indispensable para la
      supervivencia, logró convertir el arte de contar en
      primordial e inevitable
    2. En estos tiempos modernos la matemática tiene
      infinidad de aplicaciones, pero los conocimientos no se
      trasmiten de generación en generación de la misma
      forma que en sus inicios, actualmente la matemática se
      enseña con la mera transmisión de conocimientos y
      la memorización, sin tan siquiera saber, ¿para
      qué? ni el ¿por qué de las
      matemáticas?
    3. Para que el proceso de enseñanza cambie, deben
      cambiar los docentes.
    4. Con el avance arrollador de la tecnología,
      surgen nuevos instrumentos de trabajo que pueden ser usados a
      la hora de enseñar, por ejemplo las computadoras,
      posiblemente una solución para la problemática de
      la enseñanza de la matemática sea unir la
      línea del tiempo existente desde la antigüedad y la
      actualidad: matemáticas en la vida real y las
      computadoras.

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    matemática en educación superior. Trabajo de
    Grado de Maestría no publicado: Universidad
    Pedagógica Experimental Libertador; Instituto
    Pedagógico de Barquisimeto.

     

    Participante:

    Rodney Salcedo

    Facilitador: Pablo Cuello

    REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

    UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL
    LIBERTADOR

    INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO

    "LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA"

    Barquisimeto, Abril de 2005

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