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Conceptos de estadísticas

Enviado por Cristina Fevola



  1. Conceptos
  2. Gráficos y tablas
  3. Estadística descriptiva
  4. Medidas de tendencia central
  5. Medidas de variabilidad
  6. Variables discretas y variables continuas
  7. Estadística de datos agrupados
  8. Muestra aleatoria
  9. Teorema del límite central

Conceptos

Si bien no hay una definición de estadística exacta, se puede decir  que   la "estadística es el estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas partiendo de tales datos".

Esta definición cubre gran parte de la actividad del científico. Es importante observar que el objeto del que realiza el análisis estadístico son los datos y las observaciones científicas por sí mismos, mas que el material químico que interviene en el estudio.

Por lo tanto no es posible trazar límites rígidos entre la química, la estadística y la matemática.

La estadística se puede dividir en 2 categorías, la "estadística descriptiva" y la "inferencia estadística".

La estadística descriptiva implica la abstracción de varias propiedades de conjuntos de observaciones, mediante el empleo de métodos gráficos, tabulares ó numéricos. Entre estas propiedades, están la frecuencia con que se dan varios valores en la observación, la noción de un valor típico o usual, la cantidad de variabilidad en un conjunto de datos observados y la medida de relaciones entre 2 ó mas variables.

El campo de la estadística descriptiva no tiene que ver con las implicaciones o conclusiones que se puedan deducir de conjuntos de datos. La estadística descriptiva sirve como método para organizar datos y poner de manifiesto sus características esenciales con el propósito de llegar a conclusiones.

La inferencia estadística se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia experimental basándose en información incompleta.

Por ejemplo, Mendel al estudiar la manera como diferían entre sí las plantas de guisantes en altura, color de las semillas, color de las vainas y color de las flores, tuvo que hacer sus conclusiones necesariamente basándose en un grupo de plantas relativamente poco numeroso comparado con toda la población de plantas de guisantes de un tipo particular.

Al hacer un enunciado, como por ejemplo, sobre el color de las flores, las conclusiones de Mendel dependían de la muestra particular de plantas disponibles para este estudio.

En la terminología estadística, el procedimiento inductivo implica el hacer inferencias acerca de una población adecuada ó universo a la luz de lo averiguado en un subconjunto aparte o muestra.

La inferencia estadística se refiere a los procedimientos mediante los cuales se pueden hacer tales generalizaciones ó inducciones.

Es importante por todo lo dicho anteriormente, que el proceso de la inferencia científica, implica el grado mas elevado de cooperación entre la estadística y el estudio experimental.

Gráficos y tablas

Principios generales

Los gráficos se han de explicar enteramente por sí mismos. El contenido de un gráfico deberá ser tan completo como sea posible.

Las escalas vertical y horizontal estarán rotuladas con claridad dando las unidades pertinentes. La mayorías de los gráficos presentan información numérica con escalas, que deben rotularse para describir completamente la variable presentada en la escala y para variables de medida se dirán las unidades de medición.

No se debe tratar de abarcar demasiada información en un solo gráfico. Es mejor hacer varios gráficos que comprimir toda la información en uno solo. Una regla práctica segura es evitar gráficos que contengan más de 3 curvas.

Los gráficos tienen que dar una visión general y no una imagen detallada de un conjunto de datos. Las presentaciones detalladas se deben reservar para las tablas.

Las tablas se explicarán por sí mismas enteramente. como los gráficos, se ha de dar suficiente información en el título y en los encabezamientos de columnas y filas de la tabla para permitir que el lector identifique fácilmente su contenido.

Como el título será por lo general lo primero que se lee en detalle, deberá suministrar toda la información esencial sobre el contenido de la tabla y deberá especificar el tiempo, lugar, material ó estudio experimental y relaciones que se presenten en la tabla.

Para cada variable numérica se han de dar las unidades.

La función del rayado es dar claridad de interpretación.

Las anotaciones de numéricas del cero se han de escribir explícitamente.

Una anotación numérica no debe comenzar con una punto decimal.

Los números que indican valores de la misma característica se han de dar con el mismo número de decimales.

Estadística descriptiva

Como se ha señalado anteriormente, el objetivo de la estadística descriptiva, es la descripción de los datos y no la inferencia partiendo de los datos.

Medidas de tendencia central

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo número. Para tal fin, desde luego, no se usará el valor mas elevado ni el valor mas pequeño como único representante, ya que solo representan los extremos. mas bien que valores típicos. Entonces sería mas adecuado buscar un valor central.

Las medidas que describen un valor típico en un grupo de observaciones suelen llamarse medidas de tendencia central..Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos mas bien que a individuos.  un promedio es una característica de grupo, no individual.

Media aritmética

La medida de tendencia central mas obvia que se puede elegir, es el simple promedio de las observaciones del grupo, es decir el valor obtenido sumando las observaciones y dividiendo esta suma por el número de observaciones que hay en el grupo.

En realidad hay muchas clases de promedios y ésta se la llama media aritmética para denotar la suma de un grupo de observaciones dividida por su número.

Mediana

Otra medida de tendencia central que se utiliza con mucha frecuencia es la mediana, que es el valor situado en medio en un conjunto de observaciones ordenadas por magnitud.

Moda

Otra medida de tendencia central es la moda. La moda es el valor que ocurre con mas frecuencia en un conjunto de observaciones.

Oras medidas de tendencia central

Centro de amplitud

Es el valor que queda en medio de los valores mínimo y máximo.

Media geométrica

La media geométrica de un conjunto de observaciones es la raíz n ésima de su producto. El cálculo de la media geométrica exige que todas las observaciones sean positivas.

Media armónica

Es el inverso de la media aritmética de los inversos de las observaciones.

Media ponderada

En ciertas circunstancias no todas las observaciones tienen igual peso. En general si se tienen observaciones con sus respectivos pesos es:

Medidas de variabilidad

Amplitud

Se obtiene restando el valor mas bajo del mas alto en un conjunto de observaciones. La amplitud tiene la ventaja de que es fácil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variable que se mide. La amplitud no toma en consideración el número de observaciones de la muestra estadística, sino  solamente la observación del valor máximo y la del valor mínimo. Sería deseable utilizar también los valores intermedios del conjunto de observaciones.

Desviación media

Esta medida es mas acorde que la de amplitud, ya que involucra a todos los valores del conjunto de observaciones corrigiendo la desviación. Ésta medida se obtiene calculando la media aritmética de la muestra, y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con respecto de la media. Luego se divide por el número de observaciones.

Una medida como ésta tiene la ventaja de que utiliza cada observación y corrige la variación  en el número de observaciones al hacer la división final. Y por último también se expresa en las mismas unidades que las observaciones mismas.

Varianza

Existe otro mecanismo para solucionar el efecto de cancelación para entre diferencias positivas y negativas. Si elevamos al cuadrado cada diferencia antes de sumar, desaparece la cancelación:

Esta fórmula tiene una desventaja, y es que sus unidades no son las mismas que las de las observaciones, ya que son unidades cuadradas.

Esta dificultad se soluciona, tomando la raíz cuadrada de la ecuación anterior:

Desviación típica

Es la raíz cuadrada de la varianza:

Entonces en este caso la unidad de s es la misma que la del conjunto de observaciones de la muestra estadística.

Variables discretas y variables continuas

Una distribución de los datos en categorías que ha demostrado ser útil al organizar los procedimientos estadísticos, es la distinción entre variables discretas y variables continuas. Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho con mas rigor, se define una variable discreta como la variable tal que entre 2 cualesquiera valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no observable (potencialmente). Por ejemplo, un recuento del número de colonias de un cultivo en agar es una variable discreta. Mientras que cuentas de 3 y 4 son potencialmente observables, no lo es una de 3,5.

Una variable continua tiene la propiedad de que entre 2 cualesquiera valores observables (potencialmente), hay otro valor observable (potencialmente). Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Longitudes y pesos son ejemplos de variables continuas. La estatura de una persona, pude ser 1,70 mts. ó 1,75 mts., pero en potencia al menos podría tomar cualquier valor intermedio como 1,73 mts. por ejemplo.

Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de lo que ocurre con una variable discreta, nunca se la  puede medir exactamente. Con una variable continua debe haber inevitablemente un error de medida.

Un importante principio sobre variables continuas es que siempre se registran en forma discreta, quedando la magnitud de la distancia entre valores registrables adyacentes determinada por la precisión de la medición.

ESTADISTICA DE DATOS AGRUPADOS

Poblaciones, muestras e inferencia

Como se ha señalado anteriormente, el objetivo de la estadística descriptiva, es la descripción de los datos y no la inferencia partiendo de los datos.

Una  población de unidades es un grupo de entidades que tienen alguna característica cuantificable en común.

Las unidades pueden ser personas, árboles, bacterias, compuestos químicos, etc.. Pueden ser finitas o infinitas en número. La característica cuantificable puede ser una variable continua o discreta.

Una población de observaciones es un grupo que consiste en los valores numéricos de una característica cuantificable determinada en cada elemento de una población de unidades.

La misma población de unidades tendrá en ocasiones mas de una población de observaciones asociada.

Una muestra de unidades es un número finito de unidades procedentes de una población de unidades.

Una muestra de observaciones es un número finito de observaciones procedentes de una población de observaciones.

Es decir una muestra es una parte de una población que aislamos para estudiarla.

Este concepto es de importancia para el análisis estadístico porque por lo general uno dispone de una muestra de una población para el estudio que intenta realizar. Por ejemplo, si necesitáramos hacer un promedio de todas las alturas de los habitantes de un país de 200.000.000 de habitantes (esta sería la población estadística), es lógico suponer lo engorroso que sería medir la altura de todos. Esto se realiza midiendo las alturas de una muestra de esta población, por ejemplo 10.000 habitantes. Este procedimiento es inductivo ya que el investigador saca conclusiones acerca de la población basándose en el análisis de una muestra de esa población; esto es hacer una inferencia acerca de una población partiendo de una muestra.

 Se llama inferencia estadística una conclusión que se refiere a una población de observaciones, obtenida sobre la base de una muestra de observaciones.

Una característica descriptiva global de una población de observaciones se llama parámetro.

Una característica descriptiva global de una muestra de observaciones se llama estadígrafo.

Muestra aleatoria

Una muestra aleatoria es una muestra sacada de una población de unidades, de manera que todo elemento de la población tenga la misma probabilidad de selección y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente.

Variables aleatorias y distribuciones

Se llama variable aleatoria aquella que toma diversos valores o conjuntos de valores con distintas probabilidades. Existen 2 características importantes de una variable aleatoria, sus valores y las probabilidades asociadas a esos valores.

Una tabla, gráfico o expresión matemática que dé las probabilidades con que una variable aleatoria toma diferentes valores, se llama distribución de la variable aleatoria.

Como vimos anteriormente, la inferencia estadística se relaciona con las conclusiones que se pueden sacar acerca de una población de observaciones basándose en una muestra de observaciones. Entonces intervienen las probabilidades en el proceso de la selección de la muestra; en este caso se desea saber algo sobre una distribución con base en una muestra aleatoria de esa distribución.

De tal manera vemos que trabajamos con muestras aleatorias de una población que es más grande que la muestra obtenida; tal muestra aleatoria aislada no es mas que una de muchas muestras diferentes que se habrían podido obtener mediante el proceso de selección. Este concepto es realmente importante en estadística.

La distribución de un estadígrafo en todas las muestras aleatorias de tamaño n tomadas de una población, se llama distribución muestral del estadígrafo para muestras aleatorias de tamaño n.

Definición

Una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población de tamaño N, es una muestra escogida de tal manera que todo grupo de n unidades diferentes tiene igual probabilidad de ser escogido como muestra.

Distribución normal

Propiedades generales de la curva normal

La distribución que ocupa la posición central en la teoría y práctica estadísticas, es la distribución normal.

No hay variable aleatoria observable que siga exactamente la distribución normal, y muchas variables que se dan en la experiencia normal no tienden a seguir esta distribución.

La expresión matemática de la densidad normal es:

El área total bajo la curva es 1, ya que las áreas bajo las curvas de densidad dan probabilidades y puesto que debe presentarse algún valor de x entre mas infinito y menos infinito; lo cual es lo mismo que decir que la probabilidad de que x caiga en algún punto debe ser 1.

La distribución normal típica

La distribución normal es una numerosa familia de distribuciones que corresponden a los muchos

valores diferentes de μ y de σ.

Es esencial una simplificación para tabular las probabilidades normales para varios valores de los parámetros. Esto es posible por medio del procedimiento llamado tipificación. Geométricamente equivale a convertir la escala básica de valores x de modo que se mida en una escala patrón en la que corresponda el valor cero y en la que la unidad de medida sea 1 desviación típica (s); es decir, se convierten las medidas a números expresados en s como unidades por encima o por debajo de la media.

Teorema del límite central

Cristina Fevola


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