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Estadística básica




  1. Conceptos básicos, presentación de información, medidas de tendencia central y dispersión
  2. Fundamentos de probabilidad
  3. Distribuciones de probabilidad
  4. Tipos de muestreo
  5. Análisis de regresión

UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS, PRESENTACIÓN DE INFORMACIÓN, MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN.

    1. SIGNIFICADO DE ESTADÍSTICA
  1. CONCEPTOS BÁSICOS

La estadística es una rama de las matemáticas que conjunta herramientas para recolectar, organizar, presentar y analizar datos numéricos u observacionales. Presenta números que describen una característica de una muestra. Resulta de la manipulación de datos de la muestra según ciertos procedimientos especificados.

Procedimiento:

  1. Obtención de datos
  2. Clasificación
  3. Presentación
  4. Interpretación
  5. Descripción
  6. Generalizaciones
  7. Comprobación de hipótesis por su aplicación.
  8. Toma de decisiones

Términos comunes.

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad.

Muestra: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).

Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.

Las variables también se pueden clasificar en:

Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alunmos de una clase).

Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).

Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

  1. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE DATOS

DATOS

Características o números que son recolectados por observación. No son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el fenómeno que queremos estudiar

Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronológicos y geográficos

Datos Cualitativos: cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad. Ejemplo: Si deseamos clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadística I por su estado civil, observamos que pueden existir solteros, casados, divorciados, viudos.

Datos cuantitativos: cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos. Ejemplo: Se clasifican los estudiantes del Núcleo San Carlos de la UNESR de acuerdo a sus notas, observamos que los valores (nota) representan diferentes magnitudes.

Datos cronológicos: cuando los valores de los datos varían en diferentes instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos. Ejemplo: Al registrar los promedios de notas de los Alumnos del Núcleo San Carlos de la UNESR en los diferentes semestres.

Datos geográficos: cuando los datos están referidos a una localidad geográfica se dicen que son datos geográficos. Ejemplo: El número de estudiantes de educación superior en las distintas regiones del país

  1. PRESENTACION DE INFORMACIÓN

1.2.1 DISTRIBUCION DE TABLAS DE FRECUENCIAS

Estadística Descriptiva:

Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no solo referirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).

En relación a la estadística descriptiva, Ernesto Rivas Gonzáles dice; "Para el estudio de estas muestras, la estadística descriptiva nos provee de todos sus medidas; medidas que cuando quieran ser aplicadas al universo total, no tendrán la misma exactitud que tienen para la muestra, es decir al estimarse para el universo vendrá dada con cierto margen de error; esto significa que el valor de la medida calculada para la muestra, en el oscilará dentro de cierto límite de confianza, que casi siempre es de un 95 a 99% de los casos.

Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación.

Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y pájaros

perro

gato

perro

hamster

pájaro

hamster

gato

perro

hámster

gato

pájaro

gato

perro

perro

hámster

pájaro

perro

perro

pájaro

gato

 

A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales de las mascotas mas comunes de los niños.

Mascota

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

Perro

7

.35

35 %

Pajaro

4

.20

20 %

Hamster

4

.20

20 %

gato

5

.25

25 %

Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:

Gráfica de barras

Gráfica de pastel

NOTA :Para calcular:..

Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de veces que ocurre el evento, en este caso, las mascotas.

Frecuencia relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el total de eventos.

Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia relativa por 100.

1.2.2 CONSTRUCCION DE TABLAS ESTADÍSTICAS

Distribución agrupada de frecuencias: Distribución de frecuencias en la que los valores de la variable se han agrupado en clases. Esto se debe principalmente a la disposición de gran número de datos. Las razones por las que se elaboran este tipo de agrupación de datos es por economía, practicidad, y baja frecuencia de algunos puntajes.

Agrupación de datos: para elaborar las tablas estadísticas, se debe seguir un procedimiento preciso:

  1. Estos son algunos métodos para obtener datos:

    Censo: Se entiende por censo aquella numeración que se efectúa a todos y cada uno de los caracteres componentes de una población. Para Levin & Rubin (1996) "Algunas veces es posible y práctico examinar a cada persona o elemento de la población que deseamos describir. A esto lo llamamos una numeración completa o censo. Utilizamos el muestre cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población. Si es posible listar (o enumerar) y observar cada elemento de la población, los censos se utilizan rara vez porque a menudo su compilación es bastante difícil, consume mucho tiempo por lo que resulta demasiado costoso.

    Encuesta: Se entiende por encuesta las observaciones realizadas por muestreo, es decir son observaciones parciales. El diseño de encuestas es exclusivo de las ciencias sociales y parte de la premisa de que si queremos conocer algo sobre el comportamiento de las personas, lo mejor, más directo y simple es preguntárselo directamente a ellas. (Cadenas, 1974). Según Antonio Napolitano "La encuesta, es un método mediante el cual se quiere averiguar. Se efectúa a través de cuestionarios verbales o escritos que son aplicados a un gran número de personas".

  2. Toma de datos.- es la obtención de una colección de datos por medio de encuestas, preguntas, sondeos etc. Que no han sido ordenados numéricamente y que dicha información se extrae al azar, es decir, de tal forma que cada miembro de la población tenga la misma oportunidad de ser elegida o seleccionada.
  3. Ordenación de datos: es una colocación de los datos numéricos tomados en orden creciente a decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de los números se llama rango o recorrido de datos.

    *No. De clases (Regla de Sturges): 1 + 3.332 log N

    *Tamaño de clase = Rango / No. De clases

  4. Cálculo de tamaño de clase: para calcular el tamaño de clase es necesario calcular primeramente el número de clases utilizando la regla de Sturges y despés se obtiene el tamaño de clase dividiendo el rango entre el número de clases.
  5. Límites de clase: representan el tamaño de cada clase. El límite inferior de la primer clase toma el valor de el dato menor de la colección de datos, para obtener el límite inferior de la clase siguente, se suma al límite inferior de la case anterior el tamaño de clase.
  6. Límites reales de clase: se obtienen sumando al LS de la clase el Lide la clase contigua superior y dividiendo entre dos.
  7. Marca de clase: Es el punto medio de la clase y se obtiene sumando los LI y LS de la clase y dividiendo entre 2. La marca de clase también se llama punto medio de la clase.

Ejemplo de tablas estadísticas:

AUTOBUSES FORANEOS

1) Toma de datos

Los siguientes datos corresponden a la cantidad de asientos vacíos que reportaron 50 autobuses foráneos en un domingo.

12

11

4

6

6

11

3

10

12

4

10

1

1

2

4

5

2

4

4

8

8

7

8

4

10

4

2

6

2

9

5

6

6

4

12

8

1

12

1

7

7

6

8

4

6

9

3

7

7

5

2) Ordenación de datos

1

2

4

4

5

6

7

8

9

11

1

2

4

4

5

6

7

8

10

12

1

2

4

4

6

6

7

8

10

12

1

3

4

4

6

6

7

8

10

12

2

3

4

5

6

7

8

9

11

12

Rango = 12-1 = 11

3) Tamaño de clase

No de clases = 1 + 3.332log (50) = 6

Tamaño de clase = 11/6 = 2

4) Límites de clase

5) Límites reales de clase

6) Marca de clase

Clase

Intervalo

LRI

LRS

Frec. Absoluta

Frec. Relat

Frec. Porcentual

X

LI

LS

1

1

2.9

0.95

2.95

8

.16

16 %

1.95

2

3

4.9

2.95

4.95

11

.22

22 %

3.95

3

5

6.9

4.95

6.95

10

.20

20 %

5.95

4

7

8.9

6.95

8.95

10

.20

20 %

7.95

5

9

10.9

8.95

10.95

5

.10

10 %

9.95

6

11

12.9

10.95

12.95

6

.12

12 %

11.95

total

50

1

100 %

Representación gráfica de datos.

Se tomará el ejemplo anterior para demostrar el uso de diferentes gráficas.

Histograma: forma gráfica de barras que emplea variables con escala de intervalos o de proporciones. Para realizarla, se toma en cuenta para el eje X, los Límites reales, y para el eje Y, las frecuencias absolutas.

Polígono de frecuencias: Forma gráfica que representa una distribución de frecuncias en la forma de una línea continua que traza un histograma. Para su elaboración, se consideran las marcas de clase en el eje X y las frecuencias absolutas en el eje Y.

 

Gráfica de barras: la gráfica de barras es una forma de gráfica que utiliza barras para indicar la frecuencia de ocurrencia de las observaciones. Para construirla se constituye el eje y por las frecuencias absolutas y el eje X por los límites inferior y superior de cada clase, dejando un espacio entre barra y barra.

1.3 CALCULO DE LA MEDIA MEDIANA Y MODA

Medidas de tendencia central:

La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de tendencia central se conocen como medidas de posición.

Media

La media es el punto en una distribución de medidas, alrededor del cual las desviaciones sumadas son iguales a cero. Es el valor promedio de una muestra o población. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estén balanceadas en ambos lados. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:

  1. Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.

La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.

Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.

Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.

Mediana

Observación u observación potencial en un conjunto que divide el conjunto, de modo que el mismo número de observaciones estén en cada uno de sus lados. Para un número impar de valores, es el valor de en medio; para un número par es el promedio de los dos medios. Para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.

Ejemplo:

Calcule la mediana para los siguientes datos.

La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.
Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.

La mediana es 21.

La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

Mediana = LRI + [(n/2 - FA)/f] c

donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, f es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana.

MODA

La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia.

Ejemplo:

las calificaciones de un examen de diez estudiantes son:

81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87.

Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81

La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor.

Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo.

Ejemplo de cálculo de media mediana y moda. Para ejemplificar, tomaremos el ejemplo de autobuses foráneos de la pagina 6.

Clase

Intervalo

LRI

LRS

Frec. Absoluta

Frec. Relat

Frec. Porcentual

X

fx

LI

LS

1

1

2.9

0.95

2.95

8

.16

16 %

1.95

15.60

2

3

4.9

2.95

4.95

11

.22

22 %

3.95

43.45

3

5

6.9

4.95

6.95

10

.20

20 %

5.95

59.50

4

7

8.9

6.95

8.95

10

.20

20 %

7.95

79.50

5

9

10.9

8.95

10.95

5

.10

10 %

9.95

49.75

6

11

12.9

10.95

12.95

6

.12

12 %

11.95

71.70

total

50

1

100 %

319.50

 

  1. CÁLCULO DE VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN.

Medidas de dispersión: Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos

Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Desviación estándar: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.

Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media de la muestra

Continuando con el caso de los autobuses foráneos, se realizará el ejemplo de medidas de dispersión.

Clase

Intervalo

LRI

LRS

Frec. Absoluta

Frec. Relat

Frec. Porcentual

X

fx

f(x-x)2

LI

LS

1

1

2.9

0.95

2.95

8

.16

16 %

1.95

15.60

157.71

2

3

4.9

2.95

4.95

11

.22

22 %

3.95

43.45

171.63

3

5

6.9

4.95

6.95

10

.20

20 %

5.95

59.50

354.03

4

7

8.9

6.95

8.95

10

.20

20 %

7.95

79.50

632.03

5

9

10.9

8.95

10.95

5

.10

10 %

9.95

49.75

495.01

6

11

12.9

10.95

12.95

6

.12

12 %

11.95

71.70

856.82

total

50

1

100 %

319.50

2667.21

 

UNIDAD II FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.

Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.

Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento.

Espacio muestral: son todos los posibles resultados de un experimento. Cualquier resultado experimental particular se llama punto muestral y es un elemento del espacio muestral.

Tipos de sucesos

  • Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.

Simbólicamente: p (A o B o...) = 1

  • No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.
  • Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:

P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)

Ejemplo: hombres, mujeres

  • No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:

P (A o B) = p (A) + p (B) – p (A y B )

Ejemplo: hombres, ojos cafés

  • Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro :

P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)

Ejemplo: sexo y color de ojos

  • Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:

P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);

y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )

Ejemplo: raza y color de ojos

Probabilidades conjuntas: probabilidad de que dos sucesos o más, ocurran simultáneamente

Probabilidades marginales: o probabilidades incondicionales = suma de probabilidades.

Enfoques de la probabilidad

Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Utilizando el punto de vista clásico,

Probabilidad de un evento = no. de resultados probables no. De resultados posibles

Ejemplo

Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.

El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT}

Considere el evento de una cara.

Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2.

Distribución muestral

El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.

2.2 AXIOMAS DE PROBABILIDAD

Primer axioma : La probabilidad de un suceso A es un número real entre 0 y 1.

Segundo axioma :Ocurre un suceso de la muestra de todos los sucesos o espacio de sucesos Ω con probabilidad 1.

Tercer axioma Si A1, A2 ... son sucesos mutuamente excluyentes

2.3 PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento.

Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como
P(A|B).

Reglas básicas de probabilidad
Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.

Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Ejemplo

Llegada

Frecuencia

Antes de tiempo

100

A tiempo

800

Demorado

75

Cancelado

25

Total

1000

 

Aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Buenos Aires a Rosario:

Ejemplo

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces

P(A) = 100 /1000 = 0.1.

Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces

P(B) = 75 /1000 = 0.075.

La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es

P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.

UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

3.1 VARIABLES ALEATORIAS

Las variables aleatorias son una transformación o función que asignan uny sólo un valor numérico a cada resultado de un experimento.

Variables aleatorias discretas: comprenden reglas o modelos de probabilidad para asignar o generar sólo valores diversos (no mediciones fraccionarias).

Variables aleatorias continuas:

3.2 DISTRIBUCION BINOMIAL

Una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios procesos de interés para los administradores.

  Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli, quien vivió en el siglo XVII.

Empleo del proceso de Bernoulli.

Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:

1. Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.

3. Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica. Pongamos el caso en que siete décimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces que la probabilidad característica fue de 0.7 pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli sólo si tenemos la seguridad de que la proporción de los que fueron aprobados permaneció constante con el tiempo.

Des de luego, la otra característica del proceso de Bernoulli también deberá ser satisfecha. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos resultados (éxito o fracaso= y los resultados de las pruebas habrán de ser estadísticamente independientes.

En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de un éxito y el símbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r y para simbolizar el número total de ensayos emplearemos el símbolo n.

Entonces tenemos que :

 P

Probabilidad de éxito.

Q

Probabilidad de fracaso.

r

Número de éxitos deseados.

n

Número de ensayos efectuados.

 

Existe una fórmula binomial:

  Probabilidad de r éxitos en n ensayos es :

N! / R! (N-R)! PR QN-R

Recordemos que el símbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6

Los matemáticos definen 0! = 1.

3.3 DISTRIBUCION NORMAL

La Distribución Normal: una distribución de una variable aleatoria continua.

Una muy importante distribución continua de probabilidad es la distribución normal. Varios matemáticos intervinieron en su desarrollo entre ellos figura el astrónomo del siglo XVIII Karl Gauss, a veces es llamada en sus honor la distribución de Gauss.

Características de la distribución normal de la probabilidad.

1. La curva tiene un solo pico, por consiguiente es unimodal. Presenta una forma de campana.

2. La media de una población distribuida normalmente se encuentra en el centro de su curva normal.

3. A causa de la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución también se hallan en el centro, por tanto en una curva normal, la media, la mediana y la moda poseen el mismo valor.

4. Las dos colas (extremos) de una distribución normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal.

Áreas bajo la curva normal.

El área total bajo la curva normal será de 1.00 por lo cual podemos considerar que las áreas bajo la curva son probabilidades.

El valor de Z.

Z= Número de desviaciones estándar de x respecto a la media de esta distribución.

Z= x-m / s

X=valor de la variable aleatoria que nos interesa.

m = media de la distribución de esta variable aleatoria.

s = desviación estándar de esta distribución.

Las variables aleatorias distribuidas en forma normal asumen muchas unidades diferentes de medición, por lo que hablaremos de forma estándar y les daremos el símbolo de Z.

UNIDAD IV TIPOS DE MUESTREO

4.1 TIPOS DE MUESTREO

Los autores proponen diferentes criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos:

métodos de muestreo probabilísticos y métodos de muestreo no probabilísticos.

Muestreo probabilístico

Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Sólo estos métodos de muestreo probabilísticos nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más recomendables.

Dentro de los métodos de muestreo probabilísticos encontramos los siguientes tipos:

El método otorga una probabilidad conocida de integrar la muestra a cada elemento de la población, y dicha probabilidad no es nula para ningún elemento.

Los métodos de muestreo no probabilísticos no garantizan la representatividad de la muestra y por lo tanto no permiten realizar estimaciones inferenciales sobre la población.

(En algunas circunstancias los métodos estadísticos y epidemiológicos permiten resolver los problemas de representatividad aun en situaciones de muestreo no probabilistico, por ejemplo los estudios de caso−control, donde los casos no son seleccionados aleatoriamente de la población.)

Entre los métodos de muestreo probabilísticos más utilizados en investigación encontramos:

  • Muestreo aleatorio simple:

El procedimiento empleado es el siguiente:

  1. Se asigna un número a cada individuo de la población
  2. A través de algún medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios

generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.

Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad práctica cuando la población que estamos manejando es muy grande.

Ejemplo: formar el equipo de fútbol de la universidad seleccionando 11 boletas de una urna con el nombre de todos los alumnos de la universidad.

  • Muestreo aleatorio sistemático:

Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido

al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,...,i+(n−1)k, es

decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra: k= N/n. El número i que empleamos como punto de partida será un número al azar entre 1 y k.

El riesgo este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población.

Imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y los 5 últimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemático con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo hombres o sólo mujeres, no podría haber una representación de los

dos sexos.

  • Muestreo aleatorio estratificado:

Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos y suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra. Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica (se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc.).

Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán representados adecuadamente en la

muestra. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formarán parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población.

(Tamaño geográfico, sexos, edades,...).

La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:

Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos muéstrales.

Afijación Proporcional: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato.

Afijación Optima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación.

  • Muestreo aleatorio por conglomerados:

Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades muéstrales son los elementos de la población.

En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población que forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales.

En otras ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de "muestreo por áreas".

El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto numero de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y en investigar después todos los elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos.

Métodos de muestreo no probabilísticos

A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de se elegidos.

En general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando que la muestra sea representativa.

Muestreo por cuotas:

También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre la base de un buen

conocimiento de los estratos de la población y/o de los individuos más "representativos" "adecuados" para los fines de la investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad de aquél.

En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.

Muestreo opinático o intencional:

Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto.

Muestreo casual o incidental:

Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona directa e intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que se tiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos).

Bola de nieve:

Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones

4.2 ESTIMACIÓN DE LÍMITES

Para una población con media σ y variancia  σ 2, la distribución de muestreo de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n obtenidas de una población tendrá una distribución normal aproximada —con la media de la distribución de muestreo igual a  σ  y la variancia igual a  σ 2/ n —si se supone que el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

4.3 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA

Qué es una hipótesis? 

Hipótesis: enunciado acerca de una población elaborada con el propósito de ponerse a prueba.
Ejemplos de hipótesis acerca de un parámetro de población son:
la media mensual de ingresos para analistas de sistemas es $3625,
el 20% de los delincuentes juveniles son capturados y sentenciados a prisión.

CONCEPTO DE PRUEBA DE HIPÓTESIS

Afirmación acerca de los parámetros de la población.

Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis.

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.

Definiciones

Hipótesis nula H0: afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional.

Hipótesis alterna H1: afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

Error Tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

Error Tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

Estadístico de prueba: valor obtenido a partir de la información muestral, se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis.

Valor crítico: el punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula.

Valor p en la prueba de hipótesis
Valor p: es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o más que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera.
Si el valor p es menor que el nivel de significancia, H0 se rechaza.
Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, H0 no se rechaza

UNIDAD V ANÁLISIS DE REGRESIÓN

5.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE SERIES DE TIEMPO

Se llama Series de Tiempo a un conjunto de mediciones de cierto fenómeno o experimento registrado secuencialmente en el tiempo. El primer paso para analizar una serie de tiempo es graficarla, esto permite: identificar la tendencia, la estacionalidad, las variaciones irregulares (componente aleatoria). Un modelo clásico para una serie de tiempo, puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacional y un término de error aleatorio.

En adelante se estudiará como construir un modelo para explicar la estructura y prever la evolución de una variable que observamos a lo largo del tiempo.

5.2 METODO DE MINIMOS CUADRADOS

Modelo de minimos cuadrados ordinarios

El análisis de regresión trata de la dependencia de las variables explicativas, con el objeto de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional de la variable dependiente en términos de los valores conocidos o fijos de las variables explicativas.

Se trata de encontrar una método para hallar una recta que se ajuste de una manera adecuada a la nube de puntos definida por todos los pares de valores muestrales (Xi,Yi).

Este método de estimación se fundamenta en una serie de supuestos, los que hacen posible que los

estimadores poblacionales que se obtienen a partir de una muestra, adquieran propiedades que permitan señalar que los estimadores obtenidos sean los mejores.

Pues bien, el método de los mínimos cuadrados ordinarios consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados residuales, es decir lo que tenemos que hacer es hallar los estimadores que hagan que esta suma sea lo más pequeña posible.

Los supuestos del método MCO son los que se presentan a continuación:

Supuesto 1

El modelo de regresión es lineal en los parámetros:

Yi = _ + _*Xi +_i

La linealidad de los parámetros se refiere a que los _´s son elevados solamente a la primera potencia.

Supuesto 2

Los valores que toma el regresor X son considerados fijos en muestreo repetido. Esto quiere decir que la variable X se considera no estocástica. Este supuesto implica que el análisis de regresión es un análisis condicionado a los valores dados del (los) regresores.

Supuesto 3

Dado el valor de X, el valor esperado del término aleatorio de perturbación _i es cero.

E ( _i/Xi ) = 0

Cada población de Y corresponde a un X dado, está distribuida alrededor de los valores de su media con algunos valores de Y por encima y otros por debajo de ésta. Las distancias por encima y por debajo de los valores medios son los errores, y la ecuación antes señalada requiere que en promedio estos valores sean cero.

Supuesto 4

Homoscedasticidad. Dado el valor de X, la varianza de _i es la misma para todas las observaciones.

Var (_i/Xi ) = E (_i − E(_i)/ Xi)2

= E (_i2/Xi )

= _

Esta ecuación señala que la varianza de las perturbaciones para cada Xi es algún número positivo igual a _. Homoscedastidad significa igual dispersión, en otras palabras significa que las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la misma varianza. Por el contrario, se dice que existe heteroscedasticidad cuando la varianza poblacional, ya no es la misma en cada muestra. El supuesto de homoscedasticidad está indicando que todos los valores de Y correspondientes a diversos valores de X son igualmente importantes.

Supuesto 5

Dados dos valores cualquiera de X, Xi y Xj ( i " j ), la correlación entre _i y _j cualquiera ( i " j ) es cero.

Cov ( _i, _j / Xi, Xj ) = E (_i − E(_i)/ Xi) (_j − E (_j/Xj ))

= E (_i/Xi ) (_j/Xj )

= 0

Este supuesto indica que las perturbaciones no están correlacionadas. Esto significa que los errores no siguen patrones sistemáticos. La implicancia del no cumplimiento de este supuesto (existencia de autocorrelación) implicaría que Yt no depende tan sólo de Xt sino también de _t−1, puesto que _t−1 determina en cierta forma a _t.

Supuesto 6

La covarianza entre _i y Xi es cero, formalmente:

Cov (_i/Xi ) = E (_i − E(_i)) (Xi − E(Xi))

= E (_i (Xi − E(Xi)))

= E (_i Xi − E(Xi) E(_i))

= E (_i Xi)

= 0

Este supuesto indica que la variable X y las perturbaciones no están correlacionadas. Si X y _ estuvieran relacionadas, no podrían realizarse inferencias sobre el comportamiento de la variable endógena ante cambios en las variables explicativas.

Supuesto 7

El número de observaciones debe ser mayor que el número de parámetros a estimar.

Supuesto 8

Debe existir variabilidad en los valores de X. No todos los valores de una muestra dada deben ser

iguales.Técnicamente la varianza de X debe ser un número finito positivo. Si todos los valores de X son idénticos entonces se hace imposible la estimación de los parámetros.

Supuesto 9

El modelo de regresión debe ser correctamente especificado, esto indica que no existe ningún en el modelo a estimar. La especificación incorrecta o la omisión de variables importantes, harán muy cuestionable la validez de la interpretación de la regresión estimada.

Supuesto 10

No hay relaciones perfectamente lineales entre las variables explicativas. No existe multicolinealidad perfecta. Aunque todas las variables económicas muestran algún grado de relación entre sí, ello no produce excesivas dificultades, excepto cuando se llega a una situación de dependencia total, que es lo que se excluyó al afirmar que las variables explicativas son �inealmente dependientes.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml#MEDICION

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-3-est.htm

Carpeta Estadística. Aprenda Fácil. Grupo Patria Cultural.

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distrinormal.htm

http://server2.southlink.com.ar/vap/MEDIDAS.htm

http://pdf.rincondelvago.com/metodo-de-minimos-cuadrados-ordinarios.html

 

LUZ CAROLINA ROMERO TURRUBIATES

TAMPICO TAMPS. NOVIEMBRE 2005


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