Un estilo matemático de pensar para la solución de tareas docentes en los escolares primarios
- Resumen
- Pensamiento
matemático - Pensamiento
combinatorio - Consideraciones
finales - Referencias
bibliográficas
En el artículo, se realizan reflexiones acerca
del estilo matemático de pensar, esclareciendo elementos
esenciales sobre los términos "pensamiento
lógico", "pensamiento matemático" y "pensamiento
combinatorio", en el que los autores ofrecen una
conceptualización de estos para el trabajo del
maestro con los escolares primarios. Se proponen tareas docentes
de los libros de
texto de la
escuela primaria
en las que están presentes ideas combinatorias y se aporta
la solución a una tarea que pone de manifiesto las
limitaciones que puede tener el maestro al trabajar el desarrollo del
pensamiento combinatorio en los escolares primario
Palabras claves: Pensamiento Matemático,
pensamiento lógico, pensamiento combinatorio, didáctica de la matemática, aprendizaje
matemático.
ABSTRAC
In the article, they are carried out reflections about
the mathematical style of thinking, clarifying essential elements
on the terms logical thought, mathematical thought and combine
thought, in which the authors offer a conceptualization of these
for the teacher's work with the primary scholars. They intend
educational tasks of the books of text of the primary school in
those that are present you devise combine and the solution is
contributed to a task that shows the limitations that he/she can
have the teacher when working the development of the combine
thought in the primary scholars.
Key words: Mathematical thought, logical thought,
combine thought, didactics of the mathematical one, mathematical
learning.
La verdadera realización de una enseñanza científica está
íntimamente ligada a la formación en los niños y
las niñas ya desde los primeros grados de las bases del
pensamiento teórico, que está en el fundamento de
la actitud
creativa del hombre hacia
la realidad (Davidov V. 1987 p. 143-154). La formación de
un pensamiento lógico desde los primeros años de
escolarización es objetivo en
todas las asignaturas del curriculum en
los diversos sistemas
educativos.
En el escolar, ya desde edades tempranas coexisten tres
tipos de pensamientos, el concreto; que
es el que se queda al nivel de lo perceptiblemente externo, el
funcional que opera con el uso del objeto o fenómeno y el
lógico conceptual que al operar con conceptos comienza a
regular los procesos de
la memoria y
la imaginación, como consecuencia de una forma superior de
la actividad cognoscitiva que se inicia en la escuela (conocimiento
racional).
En la literatura científica
aparecen expresiones como: pensamiento concreto, pensamiento
abstracto, pensamiento matemático, pensamiento
lógico, pensamiento probabilístico, pensamiento
variacional, pensamiento divergente, pensamiento combinatorio,
etc.
En general se consideran como expresiones que se generan
por la forma en que se manifiesta el pensamiento de un individuo ante
la solución de problemas (en
su concepción más general) en el aprendizaje
escolar o de la vida diaria.
Ahora bien, en el proceso
cognoscitivo que se realiza en la escuela, cada materia que se
aprende aporta estilos específicos del pensar, por
ejemplo, la Matemática aporta un entrenamiento
dirigido a desarrollar una forma y un procedimiento de
pensar y aprender ante situaciones muy generales (una
situación en la vida diaria) o muy específicas (que
bien pudiera ser un procedimiento escrito de cálculo o
la solución de un tipo de ecuación entre otras
muchas).
Es el maestro quien a través de sus clases tiene
la misión de
la formación y desarrollo del pensamiento lógico en
el escolar. Circunscribir estos planteamientos generales en la
asignatura de Matemática precisa la necesidad de
conceptuar diferentes tipos de pensamiento que se manifiestan en
la enseñanza y el aprendizaje de esta materia con el
objetivo de integrar estilos de pensar, pues de hecho ante la
solución de una situación determinada en esta
asignatura coexisten distintos tipos de pensamientos (posibles
también en el niño). ¿Conoce el maestro las
características de los diferentes tipos de pensamiento?
Tratar entonces de ofrecer algunas reflexiones que permitan
esclarecer estos aspectos es el objetivo.
El término "pensamiento lógico" en el que
está presente una cualidad que se le atribuye al
pensamiento, la de ser lógico, es una categoría que
se emplea con mucha frecuencia en la escuela. ¿Qué
entendemos entonces por lógico?
- El uso cotidiano del término da idea de
natural, adecuado, etc. - También se utiliza para calificar el
pensamiento en el sentido de su validez y su corrección,
en este sentido se entiende por lógico un pensamiento
que es correcto, es decir, un pensamiento que garantice que
el
conocimiento mediato que proporciona se ajuste a lo real.
(Campistrous L. 1983).
La segunda elección es propia del trabajo en la
escuela. En este proceso de formación del pensamiento
lógico en los primeros grados de la escuela primaria, una
de las asignaturas que mayor incidencia tiene en ello es, sin
lugar a dudas, la Matemática porque tiene un estilo propio
de razonamiento: brevedad de la expresión, el proceso de
reflexión estructurado con exactitud, la ausencia de
saltos lógicos y la exactitud en su simbología, que
son características de esta forma de pensar.
En la Matemática se aspira a la concordancia
óptima, con un esquema lógico-formal. El estilo
matemático de pensar, a causa de su concordancia,
posibilita en grado sumo, controlar la exactitud en el proceso
del pensamiento.
El estilo matemático de pensar es una forma
racionalizada de pensamiento, y por ello la educación en este
tipo de pensamiento es de extraordinaria importancia para todas
las esferas de la ciencia y
para la vida diaria.
No existe una definición universalmente aceptada
de lo que significa "pensamiento matemático". Según
Schoenfeld A. H. (1992) los objetivos de
la instrucción matemática dependen de la
conceptualización de lo que uno tenga de lo que es
matemática. Tal conocimiento varía ampliamente;
para él aprender a pensar matemáticamente significa
"…desarrollo de un punto de vista matemático,
valorando el proceso de matematización y de
abstracción, teniendo predilección por su
aplicación y desarrollar las competencias para
el uso de los instrumentos al servicio del
propósito de la dualidad: estructura de
entendimiento y el sentido común de cómo hacer las
matemáticas…"
En nuestra experiencia educativa en la formación
de profesionales para la Educación Primaria,
se observa en la última década la tendencia,
incluso a escala mundial,
del desarrollo de las habilidades propias de los diferentes
dominios cognitivos de la Matemática (cálculo,
magnitudes, geometría, ecuaciones,
trabajo con variables,
etc.) a partir de la resolución de problemas en diferentes
situaciones.
El análisis de este fenómeno, permite
declarar la posición de los autores, es decir,
sería perfectamente comprensible hablar de "pensamiento
matemático" en la escuela primaria cuando la tarea que se
le presenta al escolar exige:
- Calcular con seguridad y
rapidez en N y con seguridad en Q+. - Resolver problemas matemáticos con diferentes
cantidades de magnitudes. - Hacer uso del lenguaje de
la matemática en la competencia
comunicativa del ambiente
escolar. - Saber hacer uso de los conocimientos
matemáticos en diferentes situaciones de la vida
diaria.
Además, con un nivel de aspiración mayor,
se debe propiciar a los estudiantes numerosas y variadas
experiencias que le permitan, entre otras cosas, formular
hipótesis, probar y formar de manera
empírica argumento acerca de la validez de la
hipótesis, sin que
esto se interprete como una simplificación de la
intención de los autores de conceptuar el término
"pensamiento matemático", análisis y reflexiones
sustentadas en lo que en la práctica el maestro hace en
las clases de Matemática, cuando de manera natural trabaja
por la formación de un pensamiento lógico en los
escolares primarios.
En la asignatura de Matemática, en todos los
grados de la escuela, existen ejercicios donde están
presentes ideas combinatorias, podemos decir que las primeras
ideas del pensamiento combinatorio están reflejadas en
problemas sencillos que aparecen desde el primer
grado.
Es frecuente en Matemática el término
"pensamiento combinatorio", sin embargo la literatura
científica no recoge con exactitud su significado, al
intentar entonces conceptuar este término, se parte de los
siguientes criterios:
- Como la teoría Combinatoria es una de las ramas
de la Matemática, situamos el pensamiento combinatorio
como una forma del pensamiento matemático. - La introducción de los primeros
conocimientos matemáticos en la escuela exige de un
riguroso trabajo con conjuntos,
de hecho la teoría de conjuntos fundamenta
teóricamente la introducción de las operaciones de
cálculo en el conjunto de los Números Naturales
(N). De este modo mediante la realización de
combinaciones con elementos de un conjunto en diferentes
condiciones, el niño adquiere los primeros procedimientos
de solución de problemas
aritméticos: se inicias así de manera
intuitiva el trabajo con la teoría
combinatoria. - Mediante los principios
básicos de la Combinatoria, el maestro podrá
obtener el total de combinaciones posibles de respuestas en
ejercicios que admiten varias soluciones,
presentes en todos los grados de la escuela. - Asumir la introducción del término
"tarea" que hace Werner J. (1982), porque desde el punto de
vista de la didáctica permite establecer la
diferencia entre ejercicio y problema (…la misma tarea
puede ser para una persona que
conoce el algoritmo,
un ejercicio y para una persona que no lo conoce un problema en
el sentido amplio…).
Por tanto sería perfectamente admisible hablar de
pensamiento combinatorio en la escuela primaria
sí:
- Se explotan todas las posibilidades de la tarea que
admite diferente posibilidades de respuesta y que de manera
directa implica el desarrollo de cualidades del pensamiento
como la amplitud y la flexibilidad, sin que esto quiera decir
que no existan incidencias en otras. - Se propicia en los escolares el análisis de
situaciones de la vida diaria que exigen un mayor grado de
abstracción y generalización de las operaciones
de adición y multiplicación en N, como
consecuencias de la variedad de respuestas posibles en una
misma situación en problemas y ejercicios con
textos.
Conceptuar el término "pensamiento combinatorio"
para el escolar primario entonces sería:
PENSAMIENTO COMBINATORIO: es el que aparece
cuando en la solución de una tarea se utilizan los
principios generales y los elementos de la Teoría
Combinatoria, dándose tratamiento a las ideas
combinatorias presentes.
ELEMENTOS DE LA TERORÍA COMBINATORIA:
variaciones, permutaciones o combinaciones (con o sin
repetición).
IDEAS COMBINATORIAS: una de las formas de
expresión del pensamiento combinatorio.
ALGUNOS EJEMPLOS DE EJERCICIOS QUE APARECEN EN LOS
DIFERENTES GRADOS DE LA ESCUELA DONDE ESTÁN PRESENTES
IDEAS COMBINATORIAS.
- Ofrece diferentes posibilidades de cómo puedes
pagar con monedas el importe siguiente: 17¢, 28¢,
45¢, 50¢ y 70¢ (1. grado ejercicio 48
pág. 114) - Escribe cuatro números de tres lugares en los
que (3. grado ejercicio 7 pág. 21):
- En las unidades haya un cero
- En las centenas haya un cero
- Escribe un número (4.grado ejercicio 15
pág. 5):
- De cuatro lugares que tenga un tres en las
centenas. - De tres lugares que tenga un cero en las
decenas. - De tres lugares que tenga un dos en las centenas y
un cuatro en las unidades.
- Escribe un número (5. grado ejercicio 4
pág. 8):
- De tres cifras que tenga un ocho en las
decenas. - De cinco cifras que tenga un tres en el lugar de
las centenas. - De siete cifras que tenga un cinco en el lugar de
las unidades de millar.
- En la figura te han representado cuatro segmentos con
sus longitudes, escoge todos los posibles tríos de
segmentos con los que se pueda formar un triángulo. Si
no seleccionas algún trío fundamenta. (6. grado
ejercicio 19 pág. 198)
Como se puede apreciar en todos los casos fuera
conveniente que el maestro pudiera determinar el total de
posibles respuestas distintas, auxiliándose de las reglas
o principios básicos de la Teoría Combinatoria,
para explotar todas las potencialidades que brindan para el
desarrollo del pensamiento combinatorio en los escolares
primarios.
Aunque parezca sencillo, de antemano te afirmamos que no
lo es. Te proponemos por ejemplo el de primer grado y se quiere
que el maestro trate de encontrar todas las respuestas distintas
que existen si se le dice al niño que ofrezca
posibilidades de pagar 17¢ utilizando monedas por valor de
1¢, 2¢ y 5¢.
De seguro que un
escolar de primer grado con dominio de la
adición con números naturales encontrará
formas de responder, pero ¿el maestro podrá
encontrar todas las distintas posibilidades?. Puede proceder
escribiendo todas las respuestas y contarlas, sería un
trabajo engorroso y podría cometer error. La Teoría
Combinatoria, sus reglas y elementos le permitirá una
solución más cómoda. Una idea de
la solución puede ser, para el maestro, resolver esta
problemática a través de la diferenciación
de casos:
- En la respuesta no intervienen monedas de
5¢ - En la respuesta interviene exactamente una moneda de
5¢. - En la respuesta intervienen exactamente dos monedas
de 5¢. - En la respuesta intervienen exactamente tres monedas
de 5¢.
Cuando encuentre las respuestas posibles en cada caso
habrá encontrado el total de posibles respuestas distintas
que pueden ofrecer los escolares. Al resolver el primer caso por
analogía se obtendrán las respuestas en los
demás casos.
1. En la respuesta no intervienen monedas de
5¢, el problema se reduce a encontrar todas las formas
distintas de pagar 17¢ utilizando solo monedas de 2¢ y
1¢, es decir, encontrar ahora la cantidad de soluciones
naturales de la ecuación 2x + y = 17, donde la variable
x identifica la cantidad de monedas de 2¢ utilizadas
y la variable y las monedas de 1¢. Un examen por
ensayo y error
nos conduce a:
Un análisis similar para los demás casos
nos conduciría a encontrar las soluciones naturales de las
ecuaciones siguientes:
2x + y = 12 que aportará 7
posibilidades destinas.
2x + y = 7 que aportará 4
posibilidades distintas.
2x + y = 2 que aportará 2
posibilidades distintas.
Y como conclusión se tienen que existen 9 + 7 + 4
+ 2 = 22 posibilidades distintas para pagar 17¢ con las
condiciones exigidas.
Los autores han demostrado que en numerosas tareas que
aparecen en los diferentes grados de la escuela primaria en la
asignatura de Matemática, el maestro necesita tener
claridad de cuántas y cuáles son las posibilidades
de solución que existen. Esto debemos de reconocerlos y
enseñarlos desde los primeros grados. Resolverlos por
tanteo, realizar pruebas
sistemáticas, utilizar estrategias de
ensayos y
error es tarea del maestro.
En muchas situaciones de la vida, para tomar decisiones
correctas, es necesario abarcar, sistemáticamente todas
las posibilidades; dicho en otras palabras, primero hay que
precisar correctamente una alternativa, para después
considerar todas las posibilidades mediante una
diferenciación completa de casos, esto no es solo parte
del pensamiento matemático, sino de todo el pensamiento
correcto.
La Combinatoria facilita el desarrollo del pensamiento,
contribuye además, a enseñar métodos
del pensamiento que son típicos de la
Matemática.
- A renciabia Daniel: Elementos de Combinatoria. ISP
Frank País. Folleto 1992 - Batanaro M. C y otros: Razonamiento Combinatorio.
Educación Matemática en secundaria. Editorial
Síntesis. S. A. Madrid.
España. 1994. - Campistrous L. "Lógica y Procedimientos Lógicos
del Aprendizaje". Material elaborado. ICCP. 1993. - Libros de texto de la Escuela Primaria.
MINED. - Linares Cesca, S y otros: "Teoría y
práctica en Educación Matemática".
Editorial Alfar. España. 1990. 133p. - Werner J. "Conferencia
sobre Metodología de la Enseñanza de la
Matemática II". Primera parte. Editorial para libros de
la Educación. La Habana. Cuba.
1982.
MsC. Luis Manuel Leyva Leyva Prof.
Asistente
MsC. Jorge Luis Leyva Leyva Prof.
Asistente
Dra. Yolanda Proenza Garrido Prof.
Titular
Los autores son profesores del Instituto Superior
Pedagógico de Holguín, Licenciados en
Educación especialidad Matemática. Han desarrollado
docencia en el
pre-grado y de postgrado. Se destacan por su participación
en eventos
nacionales e internacionales entre ellos los Congresos
Internacionales de Pedagogía y de Educación
Matemática. Poseen publicaciones en revistas
especializadas cubanas y extranjeras. Investigan en
Didáctica de la Matemática para la Educación
Primaria. Miembros de la Asociación Cubana de Pedagogos y
la Sociedad
Cubana de Matemática y Computación.