- La crisis en el siglo
XX - Formalismo
- Intuicionismo
- Logicismo
- El teorema de Gödel y el
formalismo - El teorema de Gödel
y el intuicionismo - El teorema de Gödel y
el logicismo - Kant entre Frege y Hilbert;
realidad de los juicios sintéticos a priori en la
matemática - Conclusiones
- Anexos
- INTRODUCCION
El tema que me propongo estudiar en este ensayo,
está en relación directa con la influencia en
el desarrollo
en nuestros días de la matemática y la lógica
matemática, por autores de tanta importancia como
Gottlob Frege, David Hilbert, y Russell, entre otros, como
consecuencia de la publicación de la Crítica de la Razón Pura, de
Manuel Kant, que
sin lugar a dudas marcó un hito en la historia de la
filosofía y en la filosofía de las ciencias,
y negar su importancia tanto de sus seguidores, como de sus
enemigos sería una labor sin ningún
sentido.Este debate
entre las teorías propuestas por Kant en su
Crítica, y las opiniones de destacados filósofos y científicos del
siglo XX, será el tema principal con el cual espero
poder
realizar un diálogo, entre dos épocas
distantes temporalmente. Este diálogo trata de buscar
un lenguaje
común que sirva de puente a los innumerables problemas
a raíz de las diversas interpretación que se han hecho y se
seguirán haciendo sobre nuestro autor.Uno de los temas sobre los que espero ayudar a
despejar la enrarecida atmósfera, que nuestra época nos
presenta y que intenta obscurecer las valiosas ideas
subyacentes a la Crítica, es mostrar que Kant
entendía muy bien las ciencias de su época, en
especial la aritmética, la geometría y la física, esto le
permitió realizar una síntesis sin igual, entre una
objetividad y una subjetividad, y entender que toda ciencia,
siempre será ciencia para el hombre,
es el hombre el
que propone leyes, suma o
toma la distancia más corta entre dos puntos. La
realidad como tal no tiene leyes, ni las obedece, es esta
relación con nuestra subjetividad lo que hace posible
todo proyecto
científico. Hoy en día, la mecánica quántica, si es valida,
se encargará de demostrar esta tediosa
concepción de la realidad del mundo que
vivimos.También entraremos a formar parte de la
discusión sobre la verdadera naturaleza
de los juicios matemáticos, ver si su carácter es analítico como dice
la escuela
logicista o son juicios sintéticos como nos propone
Kant en la Crítica de la Razón Pura. La
respuesta a esta pregunta definitivamente corresponde a uno
de los más grandes logros del recorrido del pensamiento humano.Pero al mismo tiempo que
la confianza en la solidez del pensamiento matemático
venia aumentando, por otro lado, aparecen ciertas
interpretaciones, y me refiero a las provenientes de la
teoría de conjuntos
y el tratamiento del infinito dado por Cantor. Esta confianza
creciente descansaba en la aceptación
espontánea de ciertas evidencias, unas relativas a la existencia de
los objetos matemáticos y otras a los procedimientos lógicos de
demostración. En un momento dado, estas evidencias
fueron puestas en discusión. Los matemáticos se
percataron de la excesiva confianza concedida a la
intuición hasta ahora y que las evidencias sobre las
que se habían descansado, no debían ser
consideradas más criterios inobjetables de
verdad.Este es el interrogante que el pensamiento
matemático se había visto obligado a proyectar
sobre sus intuiciones primeras, dando lugar a lo que se ha
llamado la crisis de los fundamentos de las
matemáticas.El termino crisis no hay que entenderlo, como una
situación dramática que afectara a la historia de
las matemáticas, comprometiendo así el progreso
de la razón. Este examen debe revisar el sistema
aceptado de intuiciones consideradas como elementales. Esta
revisión no debe afectar a las adquisiciones del
pensamiento matemático realizadas hasta la
actualidad.David Hilbert plantea en ese momento la tesis
sobre reemplazar los razonamientos intuitivos habituales de
las teorías matemáticas por formulas y reglas,
las cuales deben ser traducidas a formalismos, de tal manera
que toda teoría matemática comprendidas sus
demostraciones, razonamientos y las construcciones
conceptuales, queden integrados en el edificio de la
matemática como constituyentes formales, según
el modelo del
cálculo lógico.El punto fundamental en esta propuesta de Hilbert, y
que quiero resaltar en este punto del desarrollo de este
estudio, es su aceptación de que las consideraciones
intuitivas nunca podrán ser eliminadas o evitadas del
todo, pensamiento donde se empieza a notar claramente el
paralelismo entre las ideas de Hilbert y el del autor, origen
de este ensayo.La crisis antes mencionada, que tuvo lugar a
principios
del siglo XX, dio origen a tres escuelas: el logicismo de
Gottlob Frege y Bertrand Russell, el Formalismo de David
Hilbert, y el intuicionismo de Luitzen, Brower y Weyl. Por
otra parte a finales del siglo XIX, se empezó a
desarrollar también, un nuevo concepto de
la lógica tradicional, lógica de
mayor amplitud y precisión.Esta nueva lógica se valió
principalmente de formas simbólicas. Gottlob Frege y
sus seguidores adoptaron y extendieron las representaciones
simbólicas de los razonamientos hasta ahora utilizados
por los matemáticos. También debemos recordar
aquí el tratamiento dado a lógica por Boole en
el the mathematical analysis of logic.Tal como lo propone Frege y Russell, las
matemáticas deben ser consideradas como parte de la
lógica. Ellos nos mostraron que todo concepto
matemático puede ser derivado de los conceptos
fundamentales de la lógica. Siendo las
matemáticas una rama derivable de la lógica,
sus proposiciones debían ser tautológicas,
razón por la cual, y aquí empezamos a entrar en
nuestro dialogo de
dos épocas, lejos de ser a priori, eran
analíticas. La lógica se había vuelto
pura, se había matematizado y su alcance
también se extendía, pero otro lado se alejaba
de la realidad, quedando esta realidad desconectada
totalmente del sujeto.La importancia de Frege, quizás el mas
importante lógico desde Aristóteles, ha sido por el hecho de
proponer la moderna lógica matemática; su logro
más notable es lo que conocemos como la
axiomatización de la lógica proposicional.
Desde los primeros analíticos no se había
producido una revolución parecida en la
lógica.Se trataba que a partir de un número
pequeño de axiomas, y haciendo uso de reglas de
inferencia, se logren deducir teoremas lógicamente
válidos. También Frege se le considera el padre
de la lógica de predicados, basada principalmente en
el uso de cuantificadores.La crisis comienza con el Teorema de Gödel.
Este teorema supone la conmoción de las distintas
filosofías de la matemática de finales del
siglo XIX y principios del siglo XX: el logicismo de Russell,
el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer. El
teorema provocó una nueva valoración,
todavía en trance de desarrollo, de una extendida
filosofía de la matemática y de la
filosofía del conocimiento en general.El Teorema de Gödel está en el contexto
del planteamiento que Hilbert hace de los sistemas
formales. El programa
formalista de éste tiene la pretensión de
formalizar toda la matemática clásica. Establece como requisitos y problemas
fundamentales de un sistema formal matemático la
consistencia y la
completitud. Los resultados de
Gödel resuelven de modo negativo estas dos
cuestiones.En 1931, Gödel da pruebas de
sus descubrimientos en el artículo "Sobre sentencias
formalmente indecidibles de los Principia Mathematica
y sistemas afines". Muestra que no
hay ningún sistema formal matemático con un número finito de axiomas
que sea completo; por el contrario, hay problemas
relativamente simples de la aritmética de
números naturales que no pueden ser decididos con sus
axiomas y reglas.Gödel demostró, que es posible encontrar
una fórmula que no es un teorema si expresa una verdad
acerca de los números naturales y es un teorema si
expresa una falsedad acerca de los números
naturales.Siguiendo este razonamiento, es posible demostrar
que la existencia de esta formula quiere decir que el sistema
debe ser inconsistente si es íntegro. Puede ser
consistente sólo si no es íntegro y puede ser
íntegro solo si es inconsistente.En este sentido se refleja la incompletitud del
sistema. El razonamiento de Gödel mostró que esta
conclusión se aplica a cualquier sistema lo
suficientemente rico para expresar la teoría de los
números naturales, pues en todo sistema así
puede construirse alguna fórmula gödeliana. Este
resultado asesta un golpe decisivo contra la idea de que la
verdad matemática puede identificarse con la deducción de axiomas.- LA CRISIS EN EL SIGLO XX
El programa de Hilbert, conocido también con el
nombre de formalismo, consistió en proponer la doctrina de
que los únicos fundamentos necesarios para las
matemáticas son:
- Su formalización (todo lo que hasta
aquí ha constituido la matemática propiamente
dicha queda estrictamente formalizado de manera que la
matemática en sentido estricto se convierte en un cuerpo
de formulas demostrables) - La demostración por métodos
finitistas de que el sistema así construido es
consistente, es decir que en algún momento dado no se
presentará un contradicción que nos lleve a
afirmar A y no A. Debemos añadir una disciplina
en cierto sentido nueva, una metamatemática que sirve
para asegurar la verdad de aquélla, protegiéndola
del terror de interdicciones inútiles y de las
dificultades creadas por las paradojas. En esta
matemática, contrariamente a lo que se hace en los
procedimientos de razonamiento puramente formales de la
matemática, se aplica un razonamiento intuitivo que se
utiliza para establecer el carácter no-contradictorio de
los axiomas.
Para Hilbert, el pensamiento matemático posee
realmente este privilegio de no conocer límite para su
poder. No sólo debemos aceptar la hipótesis de un éxito
perpetuamente renovado del pensamiento matemático, sino
que podemos estar seguros de que es
capaz de resolver todo problema cuyo enunciado no sea
contradictorio.
Esta convicción de HIlbert se apoya en su
concepción del ente matemático: para él, los
objetos matemáticos tienen una existencia independiente
del pensamiento y de las construcciones a través de las
cuales intentamos descubrirlos y describirlos. Afirmando que todo
problema matemático está ligado a la realidad
objetiva que trata de estudiar, de tal suerte que esta realidad
le es perfectamente visible en todos sus aspectos.
La realidad matemática no estaría situada
en un mundo ideal, sino que se identifica con la realidad
concreta de los signos.
Tenemos aquí la independencia
de las matemáticas frente a la lógica.
Escuchemos las palabras de Hilbert a este
respecto:
"Reconociendo que existen tales condiciones y que es
preciso tenerlas en cuenta, nos encontramos de acuerdo con los
filósofos, y en particular con Kant. Éste
había enseñado y ello constituye una parte
integrante de su doctrina, el que las matemáticas disponen
de un contenido que les es asegurado independientemente de toda
lógica y que, por tanto, no pueden fundarse en absoluto
sobre la lógica, lo que condena por anticipado al fracaso
las tentativas de Frege y Dedekind. En realidad la
condición previa para la aplicación de los
razonamientos lógicos es que se dé algo a la
representación, a saber: ciertos objetos concretos,
extralógicos, que están presentes en la
intuición en tanto que datos vividos de
forma inmediata y previa a toda actividad del pensamiento. Para
que el razonamiento lógico esté dotado de solidez,
es necesario que se puedan abarcar estos objetos con la
intuición directa en todas sus partes, como algo que no es
susceptible de reducción o cuya reducción no es
necesaria. La intuición inmediata debe percibir
cómo están ordenados entre sí. Tal es la
postura filosófica fundamental que yo considero esencial
para las matemáticas y para cualquier especie de
pensamiento, de comprensión y de comunicación científica.
Particularmente en las matemáticas, el objeto de nuestro
examen son los signos concretos mismos, cuya forma se nos
manifiesta inmediata y evidentemente, conforme a nuestra
posición fundamental permaneciendo perfectamente
reconocible"
Al igual que Leibniz, que es considerado actualmente el
inspirador de los principios fundamentales del logicismo, Kant lo
fue del formalismo (y, debe reconocerse también, de los de
la otra gran corriente que inspiró los estudios de
fundamentos a principios del siglo XX: el intuicionismo). Kant
pensaba que los axiomas de las matemáticas no eran ellos
mismos principios lógicos, sino construcciones hechas
basadas en la intuición del espacio y del
tiempo.
Ahora bien, si la matemática consiste en la
descripción de objetos concretos de
algún género y
sus relaciones, entonces no es posible que surjan inconsistencias
ni paradojas en ella, pues la descripción de esos objetos
no involucra contradicciones.
Pero, si esto es así, ¿Qué sucede
con la noción de infinito actual ? ¿Supone esto que
tenemos que abandonar la matemática transfinita de cantor?
Hilbert mantuvo que la idea de infinito en matemáticas
tenia un papel semejante a una idea de la razón, concepto
que Kant había utilizado por ejemplo, para reconciliar la
libertad
moral y la fe
religiosa con la necesidad física.
La idea de infinito es entonces algo que trasciende toda
experiencia pero que, en algún sentido la completa,
Así, aunque la idea de infinito actual sea algo
completamente distinto de la matemática concreta, no por
eso es rechazable en el caso de que pueda proporcionar una
demostración de consistencia para un sistema que contenga
tanto la matemática concreta como la transfinita de
Cantor.
Hilbert sugiere una distinción importante entre
la aplicación del concepto de infinito en el análisis y el uso que de tal concepto hace
Cantor en la teoría de conjuntos.
Mientras en el análisis nosotros operamos con lo
infinitamente grande o lo infinitamente pequeño
únicamente como conceptos limites, es decir con lo que
habíamos denominado como infinito potencial, para el caso
de la teoría de los números trabajamos con la
totalidad de los números como una unidad completa, en
otras palabras como un infinito real. Cantor abrió un
universo nuevo
para todos los matemáticos con la introducción de los números
transfinitos.
Sin embargo, la introducción de tales
números exigía extender la validez de los
métodos deductivos utilizados hasta ahora para obtener
resultados importantes en el manejo ya sea de los números
naturales o el de los reales. No tardaron como hemos mencionado
anteriormente, en aparecer antinomias que obligaron a revisar con
atención por un lado los métodos
deductivos y por el otro, la extensión que de dichos
métodos se pretendía adelantar.
EL postulado formalista aparece envuelto por cierto
aire de
contradicción. Esta impresión parece provenir de
dos fuentes: por
un lado el aparente supuesto de que sólo son posibles tres
tipos de proposiciones:
- Los enunciados de la matemática pura son
lógicos - Los enunciados de la matemática son
sintéticos a priori en el sentido Kantiano. - Los enunciados de la matemática son
empíricos.
Y por otro lado este aire de contradicción se
completa por la convicción aparente que se ha demostrado
que la primera posibilidad no podía sostenerse y que la
segunda debía descartarse por demasiado oscura e
inapropiada a la variedad de los diversos sistemas
matemáticos. En el fondo se está postulando el
hecho de que las proposiciones de la matemática pura sean
empíricas.
Hilbert había buscado reunir todos los símbolos disponibles de la lógica
con el fin de empezar a armar el rompecabezas de su sistema
(recordemos símbolos como ~ para la negación, o
-> para la implicación) de tal forma que todos los
axiomas se expresaran como fórmulas o colecciones de
símbolos. Hilbert se prepara así para decirnos que
entendía él por una prueba matemática
realmente objetiva.
Esta prueba consistirá: La afirmación de
alguna fórmula; la afirmación de que esta
fórmula implica a otra fórmula; la
afirmación de la segunda formula.
Una secuencia de tales pasos en que la fórmula
final afirmada es consecuencia de los axiomas precedentes o lo
que es equivalente, esta conclusión constituye la prueba
del teorema. A una fórmula según la propuesta de
Hilbert, si y solo si, puede ser obtenida como la última
de una secuencia de fórmulas, tal que cada fórmula
es o un axioma dentro del sistema formal o es ella misma derivada
utilizando algunas de las reglas validas de
deducción.
Constituye una de las principales
convicciones de la escuela intuicionista, el que las
matemáticas forman una actividad totalmente
autónoma y autosuficiente. Se considera que sus
métodos e intuiciones no son susceptibles de las
garantías que los logicistas y los formalistas
profesan proporcionar. Las matemáticas no necesitan
de un apoyo de una lógica extendida o de una
formalización rigurosa, esta idea sólo puede
ser sostenida allí donde no se le ha entendido
correctamente.Podemos decir
que la escuela intuicionista fue anticipada por Kant, todas
las percepciones involucran una interacción entre el que percibe y el
objeto percibido. La mente organiza estas percepciones
utilizando las intuiciones puras del espacio y el tiempo.
El espacio y el tiempo no existen objetivamente, son
contribuciones del sujeto que conoce. Todo conocimiento
empieza por la experiencia, más no todo se origina
en ella, diría Kant.Kant sostenía que las leyes de los
números, como las de la geometría euclidiana, son a
priori y sintéticas. Aunque Kant no expresa su
punto de vista con respecto a la filosofía del
número de una forma explicita como lo hizo con
respecto a la filosofía del espacio, dijo lo
bastante como para dejar en sus lectores la
impresión, de que nuestro conocimiento de los
números se basa en una conciencia del tiempo como forma pura de
intuición y en la conciencia de la mente de su
propia capacidad para repetir el acto de contar una vez
tras otra.Tanto
los formalistas como los intuicionistas, Hilbert y Brouwer,
reconocen la influencia de la filosofía de la
matemática de Kant y van en contra de la
tradición leibniziana, según la cual todas
las proposiciones matemáticas son analíticas
en el sentido de que su verdad o falsedad, pueden derivarse
de los principios de la lógica.Tanto Brouwer como Hilbert consideran las
teorías matemáticas como sintéticas,
en el sentido de una clasificación mutuamente
exclusiva de las proposiciones en analíticas y
sintéticas.Sin embargo, la tesis de Brouwer del
carácter sintético de la matemática es
muy distinta de la de Hilbert y más cercana a la de
Kant. Según Kant, los axiomas y teoremas de la
aritmética y la geometría son
sintéticos a priori, están basados en las
intuiciones puras del espacio y del tiempo. Brouwer acepta
totalmente la posición kantiana, y la considera como
el elemento fundamental de la propuesta de Kant.El objeto de estudio de la matemática
intuicionista, son objetos y construcciones no perceptivos,
intuidos, los cuales son autoevidentes introspectivamente.
Brouwer no apela ciertamente a la inspección de
objetos externos, sino a la introspección
directa.Las Construcciones intuitivas se dejan aprehender
como universales y necesarias sin la aplicación de
la noción de exactitud y, por consiguiente, sin el
empleo
de principios lógicos. El problema quizás
radique, en que ni la metamatemática, ni la
matemática intuicionista pueden admitir
proposiciones acerca de infinitudes reales, pudiendo
admitirlas sólo sobre infinitudes
potenciales.El primer acto del intuicionismo separa por
completo la matemática del lenguaje
matemático, en particular de los fenómenos
del lenguaje que describen la lógica teórica,
y reconoce que la matemática intuicionista es
esencialmente una actividad sin lenguaje de la mente, que
tiene su origen en la percepción de un movimiento del tiempo, en este sentido la
matemática es esencialmente independiente no
sólo del lenguaje sino de la
lógica.Podemos decir que el programa intuicionista
consiste en practicar la matemática intuicionista,
que consiste en crear o construir objetos
matemáticos, y estos objetos construidos tienen
sólo una existencia matemática. No tiene por
objeto, en cambio,
mostrar la legitimidad de tales construcciones, ya sea
mediante la lógica o un programa de
formalización. Ya que estas son de por sí
legitimas y son autoevidentes. La matemática es para
el intuicionista la construcción de entidades en la pura
intuición, y no la promesa de semejante
construcción o la encuesta
acerca de si ésta es, o no posible.El matemático formalista y el
matemático intuicionista pretenden lo mismo, el que
sus proposiciones no son proposiciones de la lógica.
Son acerca de una materia
de estudio que primero se produce y construye y luego se
describe. Entonces no son analíticas, sino
sintéticas. Las construcciones del formalista pueden
efectuarse en el mundo físico, y las del
intuicionista en la mente. Las proposiciones del
formalista son sintéticas y empíricas, y las
del intuicionista son sintéticas y no
empíricas, esto es a priori. Los
intuicionistas consideran las construcciones
matemáticas como experiencias intersubjetivas, y su
evidencia inmediata como intrínseca.Uno de los grandes problemas con que se encuentra
el intuicionismo, es la posibilidad de la existencia de
relatos contradictorios en experiencias presuntamente
autoevidentes. Este tema lo utilizan los mismos
intuicionistas contra la tesis kantiana de que los teoremas
de la geometría euclidiana son proposiciones
sintéticas a priori, puesto que son informes
de construcciones evidentes en sí mismas en el medio
intuitivo del espacio como tal, sin elementos
sensibles.Esto Brouwer lo rechaza. Pero acepta en cambio, el
postulado de Kant según el cual los teoremas de la
aritmética son expresión de construcciones
autoevidentes en el tiempo. Lo que para él descarta
el carácter sintético a priori de la
geometría euclidiana, no es la posibilidad
lógica de construir geometrías
no-euclidianas, posibilidad de la cual el propio Kant se
daba cuenta, sino la discutible autoevidencia de unas
construcciones que respaldan presuntamente la
geometría euclidiana y no otra. Es posible que el
descubrimiento de geometrías no-euclidianas haya
sido una de las causas que condujeron a la negación
de esta autoevidencia, pero lo cierto es que no la
implicaba.Los informes contradictorios a propósito de
construcciones autoevidentes socava la seguridad de la matemática
intuicionista. Como fue el caso de la teoría de
conjuntos y el manejo del infinito. Por lo que se refiere a
las antinomias, la principal dificultad está no
tanto en que ocurran, sino en que nunca se puede estar
firmemente seguro
sobre cuando puedan volver a aparecer. La dificultad radica
en el hecho de que uno de los objetivos y postulados del intuicionismo es
el de desterrar de la matemática la inseguridad.El plan de
buscar un terreno firme a través de la congruencia
lógica, equivaldría a considerar a los
intuicionistas como formalistas interesados en formalismos
de otra clase
que los de los hilbertianos. Esto implicaría la
conversión al formalismo por parte de los
intuicionistas. Esto es incompatible con su punto de vista
de que la matemática es una actividad, carente de
lenguaje, de construcciones autoevidentes. Lo autoevidente
se entiende como aquello que ni necesita una prueba
posterior, ni tampoco la admite.La explicación intuicionista de los
teoremas de la matemática como informes de
construcciones autoevidentes, se apoya en última
instancia de una concepción autoevidente de la
verdad matemática. Por razón de las graves
incursiones que los argumentos de informes contradictorios
han efectuado en la teoría kantiana de una
intuición pura del espacio y del tiempo y en la
teoría moderna de las construcciones intuitivas, el
intuicionismo moderno no puede considerarse como una
filosofía satisfactoria de la matemática
pura.Nos encontramos a menudo con el deseo de poder
combinar las motivaciones y tesis intuicionistas con la
precisión formalista. Como consecuencia es esta
acción mutua, la división
estricta de los matemáticos y los filósofos
en logicistas, formalistas e intuicionistas,
división que nunca fue muy real excepto para los
protagonistas o lideres de las diferentes escuelas, y es
muy probable que pierda mucho de su importancia a futuro y
se convierta más bien en un artificio exclusivamente
pedagógico.- INTUICIONISMO
El descubrimiento de las paradojas asociadas a la
teoría de conjuntos, al observar que se puede
establecer una relación uno a uno entre los
números naturales y el subconjunto de los
números pares, dándonos esto la evidencia que
los dos conjuntos son iguales, en contraposición a
lo que siempre hemos pensado que un subconjunto
debería ser menor que el conjunto de donde se
origina, y la posibilidad que existieran otras paradojas
aun no detectadas, causó que los matemáticos
tomaran en serio el problema de la consistencia.La escuela del logicismo, en abierta batalla en
contra de las escuelas del intuicionismo y el formalismo,
llega con una tesis original afirmando sin ningún
remordimiento que todas las matemáticas son
derivables de la lógica. Por el año 1900, las
leyes de la lógica eran aceptadas por la
mayoría de matemáticos como un sistema de
verdades. Y si esto es cierto, las matemáticas
también deberían poder ser un sistema de
verdades irrefutables.Como habíamos mencionado anteriormente, La
tesis que las matemáticas son derivables de la
lógica puede rastrearse al filósofo y
matemático Leibniz. Leibniz distinguió entre
verdades de la razón o verdades necesarias, de
aquellas verdades de hecho o verdades
contingentes.Una verdad posee necesidad cuando su opuesto
implica una contradicción. Que Dios existe, que
todos los ángulos rectos son iguales, etc. son
verdades que poseen necesidad. Así, concluye
Leibniz, debido al hecho que en las matemáticas
encontramos verdades necesarias, ellas deben ser derivables
de la lógica, cuyos principios son también
necesarios y se mantienen verdaderos en todos los mundos
posibles.Como curiosidad podemos anotar, que Leibniz no
llevó esta propuesta a la realidad, y tuvieron que
pasar unos dos cientos años para que otros se
unieran a esta iniciativa. Richard Dedekind, afirmó
tajantemente, que los números no son derivados de
las intuiciones del espacio y del tiempo, sino que son
emanaciones de las leyes puras del pensamiento. Es desde
los números que nosotros ganamos los conceptos de
espacio y tiempo.Finalmente Gottlob Frege, que como mencionamos
anteriormente, contribuyó muchísimo al
desarrollo de la lógica matemática y fue
notablemente influenciado por Dedekind, toma a cuestas, la
tarea de desarrollar la tesis logicista. Frege
creía que las leyes de las matemáticas son
analíticas.Kant por su parte, en la Crítica de la
razón pura, nos propone que la proposición
7+5=12, no es posteriori. Pero ¿por qué no
puede decirse que es analítica? ¿Por
qué no puede decirse que en ella el predicado
está ya incluido en el sujeto? Kant responde: porque
el concepto de la suma de siete y cinco no encierra
más que la reunión de ambos números en
uno sólo.Por mucho que analicemos aquella reunión de
siete y cinco, no encontraremos en ella el número
doce. Hay que salir de estos conceptos, ayudándose
de la intuición que les corresponde, por ejemplo,
los cinco dedos o cinco puntos y así, poco a poco
añadir en el transcurso del tiempo las unidades del
cinco al concepto de siete. Para convencerse de ello, basta
con aumentar el valor de
los números en cuestión. Entonces se advierte
claramente que, por muchas vueltas que le demos, por el
mero análisis del concepto de dos sumandos, no se
encuentra el número único que constituye su
suma.Kant concluye que los juicios de la
aritmética no son analíticos, en franca
oposición a la tesis de Frege; en ellos interviene
necesariamente un factor nuevo: el recurso a la
intuición pura del tiempo, intuición que
constituye la forma a priori de la sensibilidad;
condición fundamental de la posibilidad de todos los
juicios en la aritmética.Sucede algo similar en el caso de la
geometría. Por ejemplo la siguiente
proposición: La línea recta es la más
corta entre dos puntos. En la opinión de Kant, no se
trata de una proposición analítica, sino
sintética. El concepto de línea recta no
está relacionado con magnitud, sino sólo con
cualidad.El concepto de lo más corto es adicional y
no puede extraerse por ningún tipo de
análisis del concepto de línea recta. La
geometría construye sus figuras sobre el fondo de la
intuición del espacio como campo posible de esta
construcción.De modo similar a lo que ocurría en la
aritmética, la intuición pura del espacio,
intuición que constituye la forma a priori de
la sensibilidad externa, y que subyace como
condición de posibilidad en todos los juicios de la
geometría.Pero dejemos por un momento a Kant, y veamos con
más detalle la propuesta que la escuela logicista
nos quiere hacer. Junto con Frege, en los albores de 1900,
Russell también estaba convencido que las leyes
fundamentales de las matemáticas podían ser
derivadas de la lógica, resolviendo
así el problema de la consistencia. La idea
perseguida era poder llegar a una matemática
perfecta que no dejara ni la mínima posibilidad de
presencia a la duda.Russell conocía por supuesto el
trabajo de Peano, quien había derivado los
números reales desde los axiomas sobre todos los
números, y también conocía el trabajo
de Hilbert, proponiendo un conjunto de axiomas para todo el
conjunto de números reales. Sin embargo Russell
tenía una seria preocupación y era el hecho
de que la postulación de diez o quince axiomas sobre
los números, no garantizan la consistencia y verdad
de los axiomas. Whitehead advirtió que no puede
haber prueba formal de la consistencia de las premisas
lógicas a partir de ellas mismas.Una seria posición filosófica
crítica a la posición del logicismo, es que,
si su posición es correcta, entonces todas las
matemáticas son meramente formales, una ciencia
lógico-deductiva, cuyos teoremas siguen las leyes
del pensamiento. Pero cómo es posible que tal
elaboración deductiva, con orígenes en el
pensamiento, pueda explicar y predecir una gama muy grande
de fenómenos naturales; esta inquietud no queda
resuelta aun por la escuela del logicismo.El famoso científico Poincaré, fue
también un duro crítico de la posición
logicista, argumentando que consideraba esta
aproximación, una manipulación estéril
de símbolos lógicos. La pregunta que subyace
a todos los planteamientos anteriores es: ¿Por
qué el mundo obedece ciertas proposiciones
matemáticas o ciertas leyes descritas por
fórmulas matemáticas? Continuará
siendo ésta, una pregunta que intentaremos responder
en las conclusiones de este trabajo.EL TEOREMA
DE GÖDEL Y EL FORMALISMORespecto al formalismo de Hilbert,
Gödel demostró los límites internos de los sistemas
formales. La
matemática es inagotable desde cualquier sistema
formal: siempre contendrán verdades
matemáticas indecidibles. El método axiomático es de
fecundidad limitada.Las afirmaciones aritméticas son
irreductibles a las de un sistema formalizado (tanto si sus
axiomas son lógicos como si son una
sistematización de axiomas lógicos y
aritméticos). Como señala Morris Kline, El
fenómeno de la incompletitud constituye un
importante defecto ya que entonces el sistema formal no es
adecuado para demostrar todas las afirmaciones que
podrían serlo correctamente (sin
contradicción) dentro del sistema.Y explícitamente dice W.V.
Quine:El descubrimiento de Gödel constituyó
una sacudida a la concepción clásica. Se
suponía que la misma naturaleza de la verdad
matemática era su demostrabilidad. Pero no es
así. - LOGICISMO
Estos resultados también son decisivos para
el intuicionismo de Brouwer. Aunque de algún
modo ya habían sido vistos por éste
-razón por la que se extrañaba de la gran
importancia que se les había dado- sin embargo, el
mérito de Gödel está en haber construido
unas pruebas formales claras para mostrar la existencia
concreta de proposiciones indecidibles a partir del sistema
formal que incluye la aritmética elemental. Del
mismo modo probó que la consistencia no puede
demostrarse dentro del sistema. Por tanto, el trabajo les
hizo ver de qué modo el uso apropiado de
métodos formales podía llevar a conclusiones
precisas que ellos sólo podían ver en parte y
de forma imprecisa. - EL TEOREMA
DE GÖDEL Y EL INTUICIONISMO - EL TEOREMA DE GÖDEL Y EL
LOGICISMO.
El Teorema de incompletitud significa para el logicismo
de Russell y Whitehead el fracaso de su intento de construir un
sistema lógico que permita incluir la aritmética.
Pone de manifiesto que la verdad matemática es de
amplitud mayor que la verdad lógica y, por tanto, la
irreductibilidad de la matemática a la lógica. W. y
M. Kneale (1961) señalan el desafío del resultado
gödeliano a la identificación que hace Russell entre
matemática y lógica.
Escribe Russell en el último capítulo de
su Introduction to Mathematical Philosophy:Si
todavía hay quien no admita la identidad de
la lógica y la matemática, podemos desafiarle a que
nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y
deducciones de los Principia Mathematica considera que
concluye la lógica y comienza la
matemática.
W. y M. Kneale comentan:
Desde Gödel, parece razonable responder que la
lógica no se extiende más allá de la
teoría de la cuantificación. Cuando decimos que la
aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos
funcionales de orden superior, así como todas las
versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente
incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas
teorías envuelven alguna noción, o más de
una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva
caracterización mediante el establecimiento de una serie
de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una
buena razón para excluirlas del dominio de la
lógica…. carecería de objeto afirmar la
posibilidad de reducir toda la matemática a la
lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la
lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los
diversos apartados de la matemática.
La
importancia de la noción Kantiana de espacio estuvo
dentro de la contienda entre David Hilbert y Gottlob Frege,
donde la balanza parece haberse inclinado más por el
tema de la aplicabilidad de sus conceptos, que el tema
lógico. Y es precisamente a través de la
referencia espacial, o temporal incorporada, como la
geometría o la aritmética, resultan aplicables
a la naturaleza, considerada ésta como la totalidad de
los fenómenos externos.Es a través del espacio que la
geometría se convierte en la base a una física
experimental con predicciones y la aritmética, su
soporte estructural. Éste último tema es el que
pensamos debatir a continuación como fundamento a la
posibilidad de los juicios sintéticos a priori
de la geometría y de la aritmética, lo cual nos
permitirá esclarecer el debate sobre si las
matemáticas son construcciones puramente
lógicas, conjuntos de axiomas formales, o intuiciones,
o quizás una combinación de lo sensible o
empírico, con las intuiciones puras.Antes de continuar con nuestra argumentación
miremos lo que nos dice Kant sobre el espacio y el
tiempo:"Por medio del sentido externo
nos representamos objetos como fuera de nosotros y todos
ellos en el espacio. En él es determinada o
determinable su figura, magnitud y mutua relación. El
sentido interno, mediante el cual el espíritu se
intuye a sí mismo o intuye su estado
interno, no nos da, es cierto, intuición alguna del
alma misma
como un objeto; pero, sin embargo, es una forma determinada,
bajo la cual tan sólo es posible una intuición
de su estado interno, de modo que todo lo que pertenece a las
determinaciones internas es representado en relaciones de
tiempo. Exteriormente no puede el tiempo ser intuido, ni
tampoco el espacio, como algo en
nosotros."Sobre el espacio:
"el espacio es una representación
necesaria a priori, que está a la base de todas las
intuiciones externas. No podemos nunca representarnos que no
haya espacio, aunque podemos pensar muy bien que no se
encuentren en él objetos. Es considerado, pues, el
espacio como la condición de la posibilidad de los
fenómenos y no como una determinación
dependiente de éstos, y es una representación a
priori que necesariamente está a la base de los
fenómenos externos."Y más adelante sobre el tiempo nos
dice:"El tiempo es una representación necesaria
que está a la base de todas las intuiciones. Por lo
que se refiere a los fenómenos en general, no se puede
quitar el tiempo, aunque se puede muy bien sacar del tiempo
los fenómenos. El tiempo es pues dado a priori. En
él tan sólo es posible toda realidad de los
fenómenos. Estos todos pueden desaparecer, pero el
tiempo mismo no puede ser suprimido."La pregunta que queremos tratar de responder ahora,
es, ¿qué son conceptos por construcción?
¿Cómo es qué, aun cuando son dados
previamente a la experiencia se pueden aplicar a ella? Ya que
es evidente, que no pueden estar como las construcciones
hilbertianas, desprovistos de significados sensibles y
desconectados de la realidad. ¿Cómo puede un
concepto ser completamente a priori, esto es, de mi
propia invención, y no obstante estar relacionado con
una realidad que yo no invento y que está dada
objetivamente como algo real?La verdadera cuestión, nos dice Allison es si
es posible que los juicios sintéticos posean
igualmente fundamentos no empíricos. En tanto que son
sintéticos no pueden tener una fundamentación
puramente conceptual o lógica; en tanto que son
conocimiento a priori no pueden ser fundamentados en
la experiencia.Por lo tanto, el problema de lo sintético a
priori consiste en explicar cómo es posible que la
fundamentación extraconceptual y extralógica de
un juicio sea no empírica. Una forma equivalente de
plantear el problema es preguntar cómo es posible
el
conocimiento más allá de un concepto dado
independientemente de toda experiencia del objeto pensado a
través de ese concepto.La geometría por ejemplo, puede aplicarse a
la realidad física, porque trata de una calidad
constitutiva de todos y cada uno de los objetos
físicos, cual es el de tener figura o
forma.Concluimos así que la geometría se
refiere a las calidades extensas de los objetos y que, por lo
tanto, puede ser desarrollada con independencia de la
existencia fáctica, empírica de los objetos, en
la medida en que el espacio es algo dado a la mente como una
noción en la que podemos determinar y construir todo
tipo de figuras y formas.Este mismo razonamiento lo podemos aplicar a la
aritmética considerando la cantidad como parte
constitutiva de los objetos en el tiempo, entendido el tiempo
como algo dado en la mente a priori.Veamos un ejemplo con el fin de aclarar las ideas
anteriores, el juicio: la suma de los tres ángulos
interiores de un triangulo es igual a dos ángulos
rectos, al ser sintético, debe fundarse de una u otra
manera, en la intuición de un triangulo; y al ser a
priori, no puede fundarse en la intuición (imagen) de un
triangulo particular.Su posibilidad descansa sobre la existencia de una
intuición no empírica o pura del triangulo, en
una representación singular que, no obstante, puede
alcanzar la universalidad conceptual que hace que el concepto
sea válido en relación con los triángulos. Aquí radica lo
interesante y fundamental de la propuesta kantiana, y que
propone enfrentarse a una concepción fría y
analítica de las matemáticas como veremos mas
adelante.Así que podemos decir, que lo esencial de la
matemática es que ella puede construir sus conceptos
previamente a cualquier aprehensión empírica de
ellos. Se sigue, entonces que cualquier tipo de
construcción de conceptos que sea factible y que
anticipe eventos
espacio-temporales ha de ser considerada como
matemática.Podemos tener gracias al espacio y el tiempo,
intuiciones sensibles no empíricas. Estamos en
condiciones de obtener significado y evidencias sensibles sin
la ayuda de la experiencia perceptiva.A esto Kant lo llama intuiciones puras, que a pesar
de su carácter puro a priori, siguen siendo
condicionadas sensiblemente y no son de tipo intelectual.
Kant considera la anterior afirmación, que la
existencia de hechos sensibles intuitivos no
empíricos, como quizás su mayor logro
intelectual, en el desarrollo de la Crítica de la
Razón Pura.En el apéndice de los prolegómenos
Kant nos dice: El espacio e igualmente el tiempo, juntamente
con todas sus determinaciones, puede ser conocido por
nosotros a priori, porque, igualmente que el tiempo,
está dado en nosotros antes que toda observación o experiencia como forma
pura de nuestra sensibilidad y hace posible toda
intuición de la misma, por consiguiente,
también de todos los fenómenos. Así
pues, el espacio y el tiempo, en conexión con los
conceptos puros del entendimiento, (ciencia natural pura)
prescriben a priori sus leyes a toda la experiencia
posible, la cual igualmente, proporciona el criterio
más seguro para distinguir en ella la verdad de la
apariencia.Estamos aquí ante la verdadera
justificación de cómo son posibles los juicios
sintéticos a priori en la física y en la
matemática. El espacio y el tiempo no tienen un origen
empírico, pertenecen al idealismo
trascendental kantiano, este conocimiento a priori
permite la realidad objetiva, y es gracias a ésta
relación entre los a priori del espacio y del
tiempo, que es posible que exista una ciencia de los
fenómenos de la naturaleza, y con esto, la
discusión de las matemáticas como una
construcción lógica y formal, empieza a perder
su consistencia ante la mirada del creador de la
crítica.- KANT ENTRE FREGE Y HILBERT; REALIDAD DE
LOS JUICIOS SINTETICOS A PRIORI EN LA
MATEMATICA. - CONCLUSIONES
Quiero en estas conclusiones tratar de mostrar una
perspectiva de lo que sería responder a la pregunta sobre
la posibilidad que tienen las matemáticas de someter la
autoridad de
la naturaleza. Hasta ahora hemos trazado el desarrollo de las
diferentes escuelas, que en el fondo todas coinciden en explicar
la naturaleza original que tienen las matemáticas en la
compresión del mundo que nos rodea.
La anteriormente mencionada crisis de las
matemáticas, no debe tomarse como un fracaso absoluto del
ser humano, sino entender el camino de la razón humana con
sus altos y sus bajos.
Un camino que no es precisamente una línea recta,
sino un caminar, pero quizás sin un destino o una meta
predeterminada, pero este camino justifica el gran esfuerzo hasta
ahora realizado, por encontrar respuesta a los grandes problemas
que plantea la filosofía de las
matemáticas.
Definitivamente y de acuerdo a una intuición
previa a este estudio, El trabajo filosófico de Kant, y
más precisamente en lo concerniente al tema de las
ciencias dentro de su filosofía, es sin lugar a dudas una
de las contribuciones más grandes que se hayan hecho a la
construcción del saber humano. Su filosofía seguida
por muchos y criticada también, es punto de salida y
quizás de llegada también, para todos lo que
quieran entender la problemática de las ciencias modernas
y en especial de las matemáticas, en nuestro mundo
moderno. Sin Kant la síntesis de un racionalismo
excesivo, con un empirismo
sensacionalista, no hubiera sido nunca posible.
Mentes brillantes como las de un Albert
Einstein, Kurt Gödel, Gottlob Frege, Werner Heissenberg,
sin lugar a dudas nos muestran que el conocimiento sólo se
puede dar en una síntesis entre lo objetivo y lo
subjetivo, entre lo a priori y lo a posteriori, entre la
intuición y el entendimiento, sólo de esta
síntesis será posible hablar de conocimiento, solo
de la unión de las dos se da el mundo tal como siempre lo
hemos conocido.
Andrzej Mostowski, uno de las más prominentes y
trabajador activo del programa de fundamentación propone
muy atrevidamente que las matemáticas son una ciencia de
la naturaleza. Sus conceptos y métodos tienen su origen en
la experiencia, y cualquier intento de fundamentarla sin su
ayuda, estarán destinadas al fracaso.
Quizás más sorprende es la
afirmación de Weyl, un intuicionisca de cabo a rabo, el
cual sostiene que la solidez de las matemáticas
sólo puede ser juzgada por la aplicabilidad al mundo
físico. Weyl ciertamente trata a las matemáticas
como una ciencia. Sus teoremas, como los de la física
moderna, deben tener una correspondencia con la realidad, como
forma de asegurar su consistencia.
Willard Van Orman Quine, un comprometido logicista,
quien hizo esfuerzos no exitosos para simplificar los
Principia de Russell-Whitehead, también ha
propuesta la tesis de una solidez basada en el mundo
físico. En un articulo de 1958 titulado The
philosophical Bearing of Modern Logic, nos dice que debemos
ver la teoría de conjuntos y las matemáticas en
general, de la misma manera en que vemos las porciones
teóricas de la ciencia
natural, como un conjunto de hipótesis que deben ser
comprobadas o refutadas no por la vía de la razón
pura, sino a la luz de los datos
empíricos en las ciencias
naturales.
Von Neumann, quien hizo contribuciones fundamentales al
formalismo y la teoría de conjuntos, también
realizó una propuesta para salir de problema provocado por
la crisis de la matemática. En un famoso articulo The
Mathematicia, argumenta que aunque las diferentes propuestas
provenientes del formalismo, intuicionismo y logicismo, no hayan
tenido éxito en justificar y fundamentar las
matemáticas, la mayoría de matemáticos la
usan de todas formas. De tal manera que si estamos dispuestos a
aceptar las ciencias naturales en su solidez y elegancia,
deberíamos también estar en la capacidad de aceptar
el sistema clásico de las matemáticas.
Aun Russell, quien en 1901, admitía claramente la
solidez del edificio de construcciones de verdades de las
matemáticas, el cual hasta ese momento permanecía
inamovible, en 1914 no tuvo más remedio que admitir que la
geometría aplicada es sintética, aunque no es a
priori.
Gödel, en 1950 nos sorprende al decir: que la
función
del proceso de
fundamentación, es comparable a la utilización de
hipótesis en las teorías físicas. El llamado
proceso de fundamentación teórica o lógica
para la teoría de los números, es explicatorio y no
ofrece como tal una fundamentación.
Aunque las recomendaciones de los antes mencionados
líderes, que las aplicaciones a la ciencia deban ser
utilizadas como guías y sirvan a manera de pruebas de los
preceptos matemáticos. Ellos también reconocen que
el poder de las matemáticas para predecir y explicar los
fenómenos físicos ha aumentado últimamente,
este servicio a la
humanidad no debería ser abandonado, por la
búsqueda de una fundamentación sólida a las
matemáticas.
Las más grandes creaciones de la física de
los pasados cien años, sean quizás la teoría
electromagnética, la teoría de la relatividad, y la
mecánica quántica, todas ellas
utilizan asiduamente las matemáticas modernas para
estudiar al mundo físico, formulando leyes y conceptos que
parecieran no basarse en la realidad, y sin embargo así,
se logran obtener conclusiones que pueden ser interpretadas
físicamente y además comprobada su exactitud por el
experimento.
Albert Einstein, en sus Sidelights on Relativity (1921)
dice:
Tenemos aquí un acertijo que ha afectado a
los científicos de todas las épocas. ¿Como
es posible que las matemáticas, un producto del
pensamiento humano independiente de la experiencia humana, se
ajuste tan perfectamente a la realidad? ¿Puede la
razón humana sin la experiencia descubrir usando
sólo el pensamiento las propiedades de la
realidad?
Si las proposiciones matemáticas se refieren
a la realidad no son ciertas, y si son ciertas, no se refieren
a la realidad.
Una de las modernas explicaciones a este acertijo de la
naturaleza, viene de nuestro filósofo Kant, con el cual
terminamos este ensayo. La mente da forma a nuestros conceptos de
espacio y tiempo. Vemos en la naturaleza lo que nuestra mente nos
predetermina para ver.
La explicación kantiana del por qué las
matematicas funciona bien en la realidad, ha sido desarrollada
por Alfred North Whitehead, y también por Brouwer en un
articulo publicado en 1923. La idea fundamental es que las
matemáticas no son absolutamente independientes de los
fenómenos de la realidad, son más bien un elemento
de nuestra propia forma de concebir el
fenómeno.
El mundo natural no es totalmente objetivo en su
presencia. Es una construcción humana basada en las
sensaciones recibidas, y las matemáticas son el mayor
instrumento encargado de hacer esta organización. Las matemáticas
describen el mundo físico en la forma como nosotros lo
conocemos. Tratamos de abstraer de la complejidad del
fenómeno, un sistema cuyas propiedades sean susceptibles
de ser descritas matemáticamente. Este poder de
abstracción es el responsable de la sorprendente
descripción matemática de la naturaleza. Vemos lo
que nuestra óptica
matemática nos permite ver.
Y terminamos diciendo en armonía con
Kant:
"Los juicios matemáticos son todos ellos
sintéticos. Esta proposición parece haber
escapado hasta ahora a los analíticos de la razón
humana y hasta hallarse en directa oposición a todas sus
sospechas, aunque es cierta irrefutablemente y muy importante
en sus consecuencias. Pues habiendo encontrado que las
conclusiones de los matemáticos se hacen según el
principio de contradicción, persuadiéndose de que
también los principios eran conocidos por el principio
de contradicción; en lo cual anduvieron errados, pues
una proposición sintética, si bien puede ser
conocida por medio del principio de contradicción, no lo
es nunca en sí misma, sino sólo presuponiendo
otra proposición sintética de la cual pueda ser
deducida."
FIN
El método axiomático, utilizado con
éxito tanto en Álgebra como en geometría,
representaba el ideal griego del conocimiento
científico. El más antiguo ejemplo, y al mismo
tiempo el más conocido, de teoría axiomática
están en los elementos de Euclides.
El sistema de axiomas establecido por Peano para la
aritmética elemental constituye otra aplicación
simple del método axiomático.
- Una sucesión ilimitada de variables
individuales: X, Y, Z y estas mismas letras afectadas de
índices (estas variables representan números
enteros cualesquiera, jugando el papel de objetos individuales
en relación a los predicados); - Una constante individual: 0
- Una variable predicativa: Φ (esta variable
representa una propiedad
cualquiera de los enteros) - Un predicado de un solo argumento (que se aplica a un
solo objeto): ser un número entero; - Dos predicados de dos argumentos (que se aplican a un
par de objetos): sucesivos de y =.
Los axiomas del sistema son los siguientes:
- 0 tiene la propiedad de ser un numero
entero - No existe ningún X tal que X tenga la
propiedad de ser un numero entero y que 0 sea el sucesivo a X
(dicho de otra forma: 0 no puede seguir a ningún
número entero) - Si X tiene la propiedad de ser un numero entero, e Y es
sucesivo a X, entonces Y tiene la propiedad de ser igualmente
un número entero (dicho de otra forma: el predicado
sucesivo a permite reconstruir la sucesión de
enteros partiendo de 0.)Entonces Z1=Z2. (Dicho de otra
forma un número tiene un solo sucesivo) - Si X=Y y si Z1 es sucesivo a X, y
Z2 es sucesivo a Y, - Si 0 tiene la propiedad Φ, y si cualquiera que
sea el numero X, basta con que X tenga la propiedad Φ para
que el sucesivo a X tenga la misma propiedad, entonces,
cualquiera que sea el número entero Z, Z tiene la
propiedad Φ. Este es el conocido principio de inducción, que dice que si una propiedad
es cierta para 0, y siendo cierta para el siguiente
número, entonces es cierta para cualquier
número.
ANEXO II
(Donde se muestra en las
mismas palabras de Gödel, quizás uno de los mas
grandes matemáticos del siglo pasado, la influencia de
Kant en la filosofía y ciencias en la
actualidad)
"… it turns out that in the systematic
establishment of the axioms of mathematics, new axioms, which
do not follow by formal logic from those previously
established, again and again become evident. It is not at all
excluded by the negative results mentioned earlier that
nevertheless every clearly posed mathematical yes-or-no
question is solvable in this way. For it is just this becoming
evident of more and more new axioms on the basis of the meaning
of the primitive notions that a machine cannot
imitate.
"I would like to point out that this intuitive
grasping of ever newer axioms that are logically independent
from the earlier ones, which is necessary for the solvability
of all problems even within a very limited domain, agrees in
principle with the Kantian conception of mathematics. The
relevant utterances by Kant are, it is true, incorrect if taken
literally, since Kant asserts that in the derivation of
geometrical theorems we always need new geometrical intuitions,
and that therefore a purely logical derivation from a finite
number of axioms is impossible. That is demonstrably false.
However, if in this proposition we replace the term
"geometrical" – by "mathematical" or "set-theoretical", then it
becomes a demonstrably true proposition. I believe it to be a
general feature of many of Kant's assertions that literally
understood they are false but in a broader sense contain deep
truths. In particular, the whole phenomenological method, as I
sketched it above, goes back in its central idea to Kant, and
what Husserl did was merely that he first formulated it more
precisely, made it fully conscious and actually carried it out
for particular domains. Indeed, just from the terminology used
by Husserl, one sees how positively he himself values his
relation to Kant.
"I believe that precisely because in the last
analysis the Kantian philosophy rests on the idea of
phenomenology, albeit in a not entirely clear way, and has just
thereby introduced into our thought something completely new,
and indeed characteristic of every genuine philosophy – it is
precisely on that," I believe, that the enormous
influence which Kant has exercised over the entire subsequent
development of philosophy rests. Indeed, there is hardly any
later direction that is not somehow related to Kant's
ideas". On the other hand, however, just because of the
lack of clarity and the literal incorrectness of many of Kant's
formulations, quite divergent directions have developed out of
Kant's thought – none of which, however, really did justice to
the core of Kant's thought. This requirement seems to me to be
met for the first time by phenomenology, which, entirely as
intended by Kant, avoids both the death-defying leaps of
idealism into a new metaphysics as well as the positivistic
rejection of all metaphysics. But now, if the misunderstood
Kant has already led to so much that is interesting in
philosophy, and also indirectly in science, how much more can
we expect it from Kant understood correctly?" [The modern
development of the foundations of mathematics in the light of
philosophy, Gödel 1961]
Rodrigo Ferrer
Ingeniero eléctrico Universidad de
Los Andes Bogotá Colombia
Especialización en redes y gerencia de
sistemas de información
Educación continuada Historia de la ciencia
Cambridge University UK
Actualmente realizando la maestría en
filosofía universidad Javeriana Bogotá
Colombia