Este trabajo a sido
concebido con el principal propósito de ayudar mediante
ejemplos a la resolución de problemas
sobre la aplicación de EDO’s (ecuaciones
diferenciales) a las mezclas y fluidos; para lo cual nos
ayudaremos de las ecuaciones
diferenciales de 1er grado.
Mezclas
Definamos la concentración de una sustancia
como:
Concentración = Cantidad de sustancia/Volumen
total
Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla
homogénea; el cual tiene una entrada y una salida;
entonces:
En un instante cualquiera una sustancia presente en la
mezcla se definirá como:
Donde:
Q (t) = cantidad de sustancia.
Qe = cantidad de sustancia de
entrada.
Qs = cantidad de sustancia de
salida.
Además sabemos que:
Qe = Ve*Ce.
Qs = Vs*Cs.
Donde:
Ve = Volumen entrante.
Vs = Volumen de salida.
Ce = Concentración de
entrada.
Cs = Concentración de
salida.
El volumen en un tiempo
cualquiera será:
V (t)=V0 + (Ve – Vs)
t
Donde:
V (t) = cantidad de sustancia.
Ve = cantidad de sustancia de
entrada.
Vs = cantidad de sustancia de
salida.
Entonces la concentración de la sustancia en el
recipiente será:
C (t) = Q (t) / V (t)
Derrama de
fluidos
Si tuviésemos un depósito conteniendo a un
líquido que escapa por un orificio del depósito (no
existe flujo de entrada); entonces:
Puesto que la altura de carga varía con el
tiempo, sabemos que 
, es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que
la ecuación de energía debe corregirse
introduciendo un término de aceleración, que
complica mucho la solución. En tanto la altura de la carga
no varíe demasiado rápido no se producirá un
apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por
consiguiente, despreciar el termino de carga de
aceleración.
Sean V(t) y h(t) el volumen de agua en el
deposito y la altura del liquido por encima del orificio, en un
instante t después de empezado el proceso:
Por Torricelli sabemos que:
Pero la diferencial del volumen también se puede
expresar de la siguiente manera:
dV = A(h)*d(h)
Entonces quedaría:
Tendríamos una relación entre la altura y
el tiempo.
1) Una fábrica de papel esta situada cerca
de un río con fluido constante de 100 m3/seg.;
el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen
109 m3. Suponga que en el instante t = 0,
la fabrica de papel empieza a bombear contaminantes al río
a razón de 1 m3 por segundo; y que la entrada y
salida del lago son constantes e iguales ¿cual será
la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un
tiempo t?
Solución:
Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el
instante t; entonces la velocidad de
entrada de sal al tanque en el instante t es:
También en el instante t, la cantidad de
líquido en el tanque es de:
La concentración es de:
La velocidad de salida de la sal es de:
Luego nuestra ecuación diferencial es:
Para resolverla consideremos la ecuación
Homogénea:
Que se puede escribir:
La solución de la homogénea es:
Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando
en la no homogénea tenemos:
Por lo tanto:
Como x (0) = 0, tenemos c =10006, y entonces
nuestra solución es:
Así, la concentración de sal en el
instante t es de:
Tenemos que encontrar t tal que:
Entonces:
Por tanto:
t = 1000 min.
2) Cierto producto
químico se disuelve en el agua a una velocidad
proporcional al producto de la cantidad aun no disuelta y la
diferencia entre las concentraciones en una solución
saturada y la concentración en la solución real. Si
sabe que en 100 gr. de una solución saturada están
disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del
producto químico con 100 gr. de agua en 2 horas se
disuelven 10 gr. ¿Cuánto se disolverá en 6
horas?
Solución:
Sea Q (t) = numero de gramos del producto químico
no disuelto después de un instante t.
La concentración real será:
Cr(t) = 
; y la concentración saturada: Cs(t) =
Por dato:
d Q (t) / d t = kQ(Cs – Cr) = kQ ( – ) = kQ( 
)
Resolviendo resulta:
=> 
=> 
=>
…..(1)
Para t = 0 => Q = 30 en (1)
, en
(1) : 
….. (2)
Para t = 2 => Q = 30 -10 = 20 en (2)
En (2), queda:
Para t = 6 => 
=> 
La
cantidad disuelta en 6 horas es 
, por lo tanto la disuelta
será:
3) Un liquido transparente transporta una
droga dentro
de un órgano de volumen V cm3 a una velocidad
de "a" cm3/seg. y sale a una velocidad de "b"
cm3/seg. Si la concentración de la droga con el
liquido que entra es "c" gr. /cm3.
a) Escriba la ecuación diferencial para la
cantidad de droga en un instante cualquiera.
b) Resolver dicha ecuación
diferencial.
Solución:
a) Sea Q (t) la cantidad de droga en el
órgano en un instante cualquiera.-
Luego: 
…… (1)
Pero 
…… (2)
Y además 
……. (3)
Para un instante cualquiera la concentración
es:
Ahora
, en
(3): 
……. (4)
(2) y (4) en (1):
……. (5)
F.I. = 
para todo 
…… (6)
b) (5) * (6): 
…… (7)
Condición inicial: t = 0 => 
. En (7):
En (7): 
4) Un depósito tiene la forma de un cono
truncado con 2,4 m de diámetro en la base superior y 1.2 m
en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente
medio de descarga es de 0,60 m. ¿Cuál deberá
ser el diámetro del orificio para vaciar el deposito en 6
minutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m?
Solución:
Sabemos que:
En el problema:
0.6 * (1/4) π*
d2 * dt = 
Donde:
d2 = diámetro del orificio.
Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados
se obtiene:
d2 = 
Operando tenemos:
d = 0.0987
5) Un embudo, en cuya salida se tiene un angulo
de 60o y un area de la seccion recta de 0.5
cm2, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la
salida y el agua fluye
afuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo,
suponiendo que la altura inicial del nivel del agua es de 10
cm.
Por Torricelli:
A (h) = 
Entonces reemplazando tenemos:
Para t = 0 => h = 10
Luego: 
Reemplazando tenemos:
Para h = 0; 
- Saal R. Cesar; Ecuaciones
diferenciales. - Ronald V. Giles(1991); Mecánica de los fluidos e
Hidráulica(1ra ed.); McGraw-Hill/ Interamericana de
México, S.A.
Trabajo Grupal
Torres Huamán Robert Danny
Flores Pretto Maria Elena
Cárdenas Rondoño, Bryan
Roel
Categoría: Ecuaciones diferenciales
Palabras clave: Mezcla, fluido, ecuaciones
diferenciales.
Facultad de Ingeniería Industrial
UNMSM – Lima -Perú