Ecuaciones diferenciales

Enviado por Rojas Huachin Miryan

Homogéneas y Reducibles a
Homogéneas
Ecuaciones Lineales y
Reducibles a Lineales
Exactos y Reducibles a
Exactas

Homogéneas y
Reducibles a Homogéneas

b) Determinar para que valores de
"r" tiene soluciones
de la forma y=erx, la ecuación y"’ –
3y" + 2y’ = 0
Solución
a) Hacemos el cambio: y
= ux y’
= u + xu’
Reemplazando en la ecuación: u + xu’ =
u2 + u -1

xu’ = u2 – 1

1n 1nx +
c2 cx2

Pero
en (1):
b) Para que y = erx sea la
solución es necesario y suficiente que ella y sus
derivadas
satisfagan la ecuación diferencial dada.
Así:
Reemplazando:
Luego los
valores de r son: 0, 1 y 2
a)Resolver: y’ =
y2/x2 + y/x – 1
a)
b)
Solución
a)
b) Tenemos: (Homogénea)
Hacemos
En (1):
(2)
Pero
Resolver las siguientes ecuaciones
diferenciales:
(8x + y + 25)dx + (7x – 16y + 140)dy =
0 (1)
Solución
(1) puede escribirse como: ecuación reducible a
homogénea). Vemos que: 8(-16) ¹ 1(7)
Encontramos la solución del sistema:
8x + y + 25 = 0
7x – 16y + 140 = 0
que es x = -4, y = 7
Hacemos el cambio de variables: u = x + 4 à du = dx
v = y – 7 à dv = dy
En la ecuación, reemplazamos:

(2)
La cual es homogénea. Hacemos
cambio:
En (2):
Por fracciones parciales:
Integrando:
(3)
Pero
En (3):
Resolver la ecuación
diferencial:
Hallar la solución general de las
ecuaciones diferenciales:

ax2 + 2bxy + cy2 + y’
(bx2 + 2cxy + fy2) = 0
2x + 2y – 1 + y’ (x+y-2)=0

Solución:

a) tenemos que:

Sea

En (1):

(2)

Pero en
(2):

b) Vemos que: (1)

Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio

En (1):

Pero u = x + y, en (2): x+y-3 1n(x+y+1) =

Solución:
Tenemos que: x(2×2 + 3y2
– 7)dx – y(3×2 + 2y2
– 8)dy = 0 (1)
Hacemos el cambio:
En (1): (2z + 3u -7).dz – (3z + 2u – 8).du = 0
(2)
Como 2(2) ¹ 3(3),
entonces hacemos el cambio. Z = v+h, u = r+k, donde (h,k) es
la solución del sistema:
Luego z = v + 2 dz = dv; u = r + 1 du = dr
En (2): …. (3) (Homogéneo)
Sea
En (3):
(4)
Pero
En (4):
Resolver la E.D. (2×3 +
3y2x – 7x) dx – (3x2y +
2y3-8y) dy =0
Resolver las E.D.:

(y2 – 1nx) dx + xy3 dy =
0
(tgx – cotgy + 3) sec2xdx – (3
tgx + cotgy + 1) cosc2ydy = 0

Solución:

a) Tenemos que:

(1)

Hacemos

En (1): (2)

Hacemos

En (2):

(Homogénea)

Sea

En (3):

(4)

Pero

En (4):

b) Tenemos:

Sea

En (1): (2)

Ahora sea:

En (2):

Como: 1(1) ¹ 3(-1),
hacemos:

Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2 dv = dt, dz =
du

En (3): (4)

Ahora sea

En (4) :

(5)

Pero

En (5):

Ecuaciones Lineales y Reducibles a
Lineales

Solución
La ecuación puede escribirse como:
(Bernoulli) (1)
Multiplicamos (1) por y2: (2)
Hacemos:
En (2): (3)
Sea F.I. (4)
Ahora: (3)x(4):
Pero u = y3. Quede:
y3 = -x31nx + x3 +
cx2
Resolver: (x41nx – 2xy) dx +
3x2y2dy = 0
Solución
yy’ = cosx – (cotgx)y2
y’ +
(cotgx)y = (cosx)y-1 (Bernoulli)

yy’ + (ctgx)y2 = cosx. Sea u = y2
u’ =
2yy’
yy’ =
u’
u’
+ (cotgx) u = cosx u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.) (1)
F.I. =
(1) x.F.P.:
Resolver: yy’ = ctg x (sen
x-y2)
Solución
Tenemos:
(Bernoulli) (1)
Multiplicamos por y-3, nos
queda:
(2)
Cambio:
En (2):
(3)
Ahora (3) x F.I.:
Pero
nos queda:
senx
Resolver: 2senxy’ + y cosx = y3
(x cosx-senx)
sec2ydy – tg3ydx = -x tg
ydx
Solución
sec2y
(1)
Sea u = tgy u’ =
sec2y.y’ (2)
(2) en (1): u’ – u3 = xu
u’ + xu
= u3 (Bernoulli)
u-3u’ + xu-2 = 1. De
(3).
Sea z = u-2 z’ = -2u-3u’
– z’ =
u-3 u’
En (3): z’ + xz = 1 z’-2xz = -2 (E.D.L.) (4)
(5)
Pero z = u-2 Ù u = tgy z = (tgy)-2 (6)
(6) en (5):
Resolver
Solución:
Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x3y
1n2(y/x)
Dividendo entre xy, tenemos:
(1)
Sea u = 1n (y/x)
En (1): (Bernoulli) (2)
Multiplicando por u-2, queda:
u-2.u’ – u-1 = x2(3)
Hacemos cambio:
En (3): (Lineal) (4)
F.I. =
(4) x F.I.:
ro z = u-1 = , nos queda:

Exactas y
Reducibles a Exactas
Resolver:
Puede ser resuelta utilizando un factor integrante
de la forma xm yn. determinar este
factor y resolver la ecuación diferencial
propuesta.
Solución
Si u = xmyn es un F.I.,
entonces:
(2y+3x2y3)
xmyndx +
(3x+5x3y2)xmyndy
= 0 es exacta. (1)
= 3(m+1)xmyn +
5(m+3)xm+2yn+2
Luego el factor es: u = x-9
y-13
En (1):
(2x-9y-12+3x-7y-10)dx
+
(3x-8y-13+5x-6y-11)dy
= 0
M* =
nx-9y-12+3x-7y-10
Ù N* =
3x-8y-13 +
5x-6y-11
Sea F(x,y) = c la solución. Entonces:

De: =2x-9y-12+3x-7y-10
F(x,y) =

Ahora: =N*
(-12)x-8y-13 –(-10)x-6y-11 +
h’(y)=N*
En (a ): F(x,y) =
–x-8y-12 –x-6y-10 + k =
c
La Ecuación diferencial:
Encontrar la solución general de la
ecuación diferencial:

(y+xy2)dx + (x-x2y)dy =
0
(3y2-x)dx+(2y3-6xy)dy=
0 utilizando un factor integrante de la forma

Solución

Luego:
Sea z = xy
En (1):
(2)
Multiplicando la ecuación original por el
factor integrante; nos queda:

la cual es exacta.
Sea F(x,y)=c la solución, entonces se
verifica que:
De
(3)
Ahora de (3):
(y) =
(4)
(4) en (3):
Aplicamos factor integrante:
Tenemos que

Sabemos que:

Por dato:

En (1):

Luego:

Es decir:

Multiplicando la ecuación original por el factor
integrante, tenemos:

la
cual es exacta.

Sea F(x, = c la solución, entonces se verifica
que

(2)

De (2):

(3)

(3) en (2):

(x2y + y3 – xy) dx +
x2dy = 0 Sabiendo que u = x-3 f(y/x) es
un factor integrante.
Solución
Multiplicando por el factor integrante:
(1)
tenemos que es exacta.
En esta nueva ecuación, podemos considerar a
u1 = f(y/x) como un nuevo factor integrante, es
decir tenemos que:
(2)
con u1 = f(y/x) es exacta. Como el nuevo factor
integrante es u1 = f(y/x), tenemos que se
cumple

donde u = u(z)…
(3)
Sea
Además
Reemplazando en (3):
Pero
(4)
Ahora (2) x (4): (5)
Sea
Se debe cumplir que F(x,y)=c es la solución,
donde

Ù
Trabajando con:
Ahora usando:
De (a ):
En (6):
(7) en (a ): F(x,y) = x –

1n(x2+y2) + 1ny
La solución es: F(x,y)=c, es decir:
x-1n(x2+y2)+1ny=c
Encontrar la solución general de la
ecuación diferencial:
Solución:
Vemos que: N = x2y2 + 1
(no es
exacta).
Haremos la fórmula y calcularemos un factor
integrante:
(1)
Sea
En (1):
Luego:
u(x,y)=(xy-1)-2e-(2/xy-1) es el factor
integrante buscado. Multiplicando la ecuación
diferencial por el factor integrante, se convierte en
exacta:
(x2y2+1)(xy-1)-2e-2(xy-1)-1
dx+2×2(xy-1)-2e-2(xy-1)-1dy=0…. (2)
Se F(x,y,=c l solución general de (2),
entonces se cumple que:
(3)
De (4):
De (4):
Remplazando en (3):
Reemplazando en (5), la solución general
es:
(x2y2 +1)dx +
2x2dy = 0
Demostrar que si M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es una
ecuación diferencial no exacta y que:

donde R depende sólo de xy (léase x por
y), entonces u(xy) es un factor integrante de dicha
ecuación. Encontrar una fórmula general para dicho
factor y aplicando éste, resolver la
ecuación:

Solución

La fórmula del factor integrante es:

Sea

En (1)

Como R = R(xy) = R(z), en (2):

factor
integrante buscado.

Resolviendo la ecuación diferencial
dada:

En (2).

Luego el factor integrante es u(x,y) = xy

A continuación multiplicamos la ecuación
diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta}:
(3x2y+6x)dx+(x3+3y2)dy = 0,
donde M1 = 3x2y + 6x, N1 =
x3 + 3y2

Ahora sea F(x,y) = c la solución general,
donde: