Ecuaciones diferenciales

1. Homogéneas y Reducibles a Homogéneas
2. Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales
3. Exactos y Reducibles a Exactas

Homogéneas y Reducibles a Homogéneas

1. b) Determinar para que valores de "r" tiene soluciones de la forma y=erx, la ecuación y"’ - 3y" + 2y’ = 0

   Solución

   a) Hacemos el cambio: y = ux y’ = u + xu’

   Reemplazando en la ecuación: u + xu’ = u2 + u -1

   xu’ = u2 – 1

   1n 1nx + c2 cx2

   

   Pero en (1):

   b) Para que y = erx sea la solución es necesario y suficiente que ella y sus derivadas satisfagan la ecuación diferencial dada.

   Así:

   Reemplazando:

   

   Luego los valores de r son: 0, 1 y 2

2. a)Resolver: y’ = y2/x2 + y/x – 1

   a)

   b)

   Solución

   a)

   

   b) Tenemos: (Homogénea)

   Hacemos

   En (1):

   

   (2)

   Pero

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

   (8x + y + 25)dx + (7x – 16y + 140)dy = 0 (1)

   Solución

   (1) puede escribirse como: ecuación reducible a homogénea). Vemos que: 8(-16) ¹ 1(7)

   Encontramos la solución del sistema: 8x + y + 25 = 0

   7x – 16y + 140 = 0

   que es x = -4, y = 7

   Hacemos el cambio de variables: u = x + 4 à du = dx

   v = y – 7 à dv = dy

   En la ecuación, reemplazamos:

   (2)

   La cual es homogénea. Hacemos cambio:

   

   En (2):

   

   

   Por fracciones parciales:

   Integrando:

   

   (3)

   Pero En (3):

    

4. Resolver la ecuación diferencial:
5. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:

1. ax2 + 2bxy + cy2 + y’ (bx2 + 2cxy + fy2) = 0
2. 2x + 2y – 1 + y’ (x+y-2)=0

Solución:

a) tenemos que:

Sea

En (1):

(2)

Pero en (2):

b) Vemos que: (1)

Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio

En (1):

Pero u = x + y, en (2): x+y-3 1n(x+y+1) =

1. Solución:

   Tenemos que: x(2x2 + 3y2 – 7)dx – y(3x2 + 2y2 – 8)dy = 0 (1)

   Hacemos el cambio:

   

   En (1): (2z + 3u -7).dz – (3z + 2u – 8).du = 0

   (2)

   Como 2(2) ¹ 3(3), entonces hacemos el cambio. Z = v+h, u = r+k, donde (h,k) es la solución del sistema:

   

   Luego z = v + 2 dz = dv; u = r + 1 du = dr

   En (2): …. (3) (Homogéneo)

   Sea

   En (3):

   

   

   

   (4)

   Pero

   En (4):

   

2. Resolver la E.D. (2x3 + 3y2x - 7x) dx – (3x2y + 2y3-8y) dy =0
3. Resolver las E.D.:

1. (y2 – 1nx) dx + xy3 dy = 0
2. (tgx – cotgy + 3) sec2xdx – (3 tgx + cotgy + 1) cosc2ydy = 0

Solución:

a) Tenemos que:

(1)

Hacemos

En (1): (2)

Hacemos

En (2):

(Homogénea)

Sea

En (3):

(4)

Pero

En (4):

b) Tenemos:

Sea

En (1): (2)

Ahora sea:

En (2):

Como: 1(1) ¹ 3(-1), hacemos:

Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2 dv = dt, dz = du

En (3): (4)

Ahora sea

En (4) :

(5)

Pero

En (5):

Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales

1. Solución

   La ecuación puede escribirse como:

   

   (Bernoulli) (1)

   Multiplicamos (1) por y2: (2)

   Hacemos:

   En (2): (3)

   Sea F.I. (4)

   Ahora: (3)x(4):

   

   Pero u = y3. Quede: y3 = -x31nx + x3 + cx2

2. Resolver: (x41nx – 2xy) dx + 3x2y2dy = 0

   Solución

   yy’ = cosx – (cotgx)y2 y’ + (cotgx)y = (cosx)y-1 (Bernoulli)

   yy’ + (ctgx)y2 = cosx. Sea u = y2 u’ = 2yy’ yy’ = u’

   u’ + (cotgx) u = cosx u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.) (1)

   F.I. =

   (1) x.F.P.:

   

3. Resolver: yy’ = ctg x (sen x-y2)

   Solución

   Tenemos:

   (Bernoulli) (1)

   Multiplicamos por y-3, nos queda:

   (2)

   Cambio:

   En (2):

   (3)

   

   Ahora (3) x F.I.:

   

   

   Pero nos queda: senx

4. Resolver: 2senxy’ + y cosx = y3 (x cosx-senx)

   sec2ydy – tg3ydx = -x tg ydx

   Solución

   sec2y

   (1)

   Sea u = tgy u’ = sec2y.y’ (2)

   (2) en (1): u’ – u3 = xu u’ + xu = u3 (Bernoulli)

   u-3u’ + xu-2 = 1. De (3).

   Sea z = u-2 z’ = -2u-3u’ - z’ = u-3 u’

   En (3): z’ + xz = 1 z’-2xz = -2 (E.D.L.) (4)

   

   (5)

   Pero z = u-2 Ù u = tgy z = (tgy)-2 (6)

   (6) en (5):

5. Resolver

   Solución:

   Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x3y 1n2(y/x)

   Dividendo entre xy, tenemos:

   (1)

   Sea u = 1n (y/x)

   En (1): (Bernoulli) (2)

   Multiplicando por u-2, queda: u-2.u’ - u-1 = x2(3)

   Hacemos cambio:

   En (3): (Lineal) (4)

   F.I. =

   (4) x F.I.:

   ro z = u-1 = , nos queda:

    

   Exactas y Reducibles a Exactas

6. Resolver:

   

   Puede ser resuelta utilizando un factor integrante de la forma xm yn. determinar este factor y resolver la ecuación diferencial propuesta.

   Solución

   Si u = xmyn es un F.I., entonces:

   (2y+3x2y3) xmyndx + (3x+5x3y2)xmyndy = 0 es exacta. (1)

   

   

   = 3(m+1)xmyn + 5(m+3)xm+2yn+2

   

   

   Luego el factor es: u = x-9 y-13

   En (1): (2x-9y-12+3x-7y-10)dx + (3x-8y-13+5x-6y-11)dy = 0

   M* = nx-9y-12+3x-7y-10 Ù N* = 3x-8y-13 + 5x-6y-11

   Sea F(x,y) = c la solución. Entonces:

   De: =2x-9y-12+3x-7y-10 F(x,y) =

   

   

   

   Ahora: =N* (-12)x-8y-13 -(-10)x-6y-11 + h’(y)=N*

   

   

   En (a ): F(x,y) = -x-8y-12 -x-6y-10 + k = c

   

7. La Ecuación diferencial:
8. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

1. (y+xy2)dx + (x-x2y)dy = 0
2. (3y2-x)dx+(2y3-6xy)dy= 0 utilizando un factor integrante de la forma

Solución

1. Luego:

   Sea z = xy

   En (1):

   

   (2)

   Multiplicando la ecuación original por el factor integrante; nos queda:

   la cual es exacta.

   Sea F(x,y)=c la solución, entonces se verifica que:

   

   De

   (3)

   Ahora de (3):

   

   (y) = (4)

   (4) en (3):

2. Aplicamos factor integrante:
3. Tenemos que

Sabemos que:

Por dato:

En (1):

Luego:

Es decir:

Multiplicando la ecuación original por el factor integrante, tenemos:

la cual es exacta.

Sea F(x, = c la solución, entonces se verifica que

y

De

(2)

De (2):

(3)

(3) en (2):

1. (x2y + y3 - xy) dx + x2dy = 0 Sabiendo que u = x-3 f(y/x) es un factor integrante.

   Solución

   Multiplicando por el factor integrante:

   (1) tenemos que es exacta.

   En esta nueva ecuación, podemos considerar a u1 = f(y/x) como un nuevo factor integrante, es decir tenemos que:

   (2) con u1 = f(y/x) es exacta. Como el nuevo factor integrante es u1 = f(y/x), tenemos que se cumple

   donde u = u(z)…

   (3)

   Sea

   Además

   

   Reemplazando en (3):

   

   Pero

   (4)

   Ahora (2) x (4): (5)

   Sea

   Se debe cumplir que F(x,y)=c es la solución, donde

   Ù

   Trabajando con:

   

   

   

   Ahora usando:

   De (a ):

   En (6):

   

   (7) en (a ): F(x,y) = x - 1n(x2+y2) + 1ny

   La solución es: F(x,y)=c, es decir: x-1n(x2+y2)+1ny=c

2. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

   Solución:

   Vemos que: N = x2y2 + 1 (no es exacta).

   Haremos la fórmula y calcularemos un factor integrante:

   (1)

   Sea

   En (1):

   

   

   

   Luego: u(x,y)=(xy-1)-2e-(2/xy-1) es el factor integrante buscado. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta:

   (x2y2+1)(xy-1)-2e-2(xy-1)-1 dx+2x2(xy-1)-2e-2(xy-1)-1dy=0…. (2)

   Se F(x,y,=c l solución general de (2), entonces se cumple que:

   (3)

   De (4):

   

   De (4):

   Remplazando en (3):

   

   

   

   

   Reemplazando en (5), la solución general es:

   

3. (x2y2 +1)dx + 2x2dy = 0
4. Demostrar que si M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial no exacta y que:

donde R depende sólo de xy (léase x por y), entonces u(xy) es un factor integrante de dicha ecuación. Encontrar una fórmula general para dicho factor y aplicando éste, resolver la ecuación:

Solución

La fórmula del factor integrante es:

Sea

En (1)

Como R = R(xy) = R(z), en (2):

factor integrante buscado.

Resolviendo la ecuación diferencial dada:

En (2).

Luego el factor integrante es u(x,y) = xy

A continuación multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta}: (3x2y+6x)dx+(x3+3y2)dy = 0, donde M1 = 3x2y + 6x, N1 = x3 + 3y2

Ahora sea F(x,y) = c la solución general, donde:

y

De (5):

De (7):

En (7): F(x,y)=x3y + 3x2 + y3

La solución general es: x3y + 3x2 + y3 = c

Bibliografía

• Ecuaciones Diferenciales 1

Cesar Saal R. (1998)

Felix Carrillo C.(1998)

 

 

Rojas Huachin Miryan

Fac. Ingeniería Industrial- UNMSM