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Ecuaciones diferenciales




  1. Homogéneas y Reducibles a Homogéneas
  2. Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales
  3. Exactos y Reducibles a Exactas

Homogéneas y Reducibles a Homogéneas

  1. b) Determinar para que valores de "r" tiene soluciones de la forma y=erx, la ecuación y"’ - 3y" + 2y’ = 0

    Solución

    a) Hacemos el cambio: y = ux y’ = u + xu’

    Reemplazando en la ecuación: u + xu’ = u2 + u -1

    xu’ = u2 – 1

    1n 1nx + c2 cx2

    Pero en (1):

    b) Para que y = erx sea la solución es necesario y suficiente que ella y sus derivadas satisfagan la ecuación diferencial dada.

    Así:

    Reemplazando:

    Luego los valores de r son: 0, 1 y 2

  2. a)Resolver: y’ = y2/x2 + y/x – 1

    a)

    b)

    Solución

    a)

    b) Tenemos: (Homogénea)

    Hacemos

    En (1):

    (2)

    Pero

  3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

    (8x + y + 25)dx + (7x – 16y + 140)dy = 0 (1)

    Solución

    (1) puede escribirse como: ecuación reducible a homogénea). Vemos que: 8(-16) ¹ 1(7)

    Encontramos la solución del sistema: 8x + y + 25 = 0

    7x – 16y + 140 = 0

    que es x = -4, y = 7

    Hacemos el cambio de variables: u = x + 4 à du = dx

    v = y – 7 à dv = dy

    En la ecuación, reemplazamos:

    (2)

    La cual es homogénea. Hacemos cambio:

    En (2):

    Por fracciones parciales:

    Integrando:

    (3)

    Pero En (3):

     

  4. Resolver la ecuación diferencial:
  5. Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales:
  1. ax2 + 2bxy + cy2 + y’ (bx2 + 2cxy + fy2) = 0
  2. 2x + 2y – 1 + y’ (x+y-2)=0

Solución:

a) tenemos que:

Sea

En (1):

(2)

Pero en (2):

b) Vemos que: (1)

Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio

En (1):

Pero u = x + y, en (2): x+y-3 1n(x+y+1) =

  1. Solución:

    Tenemos que: x(2x2 + 3y2 – 7)dx – y(3x2 + 2y2 – 8)dy = 0 (1)

    Hacemos el cambio:

    En (1): (2z + 3u -7).dz – (3z + 2u – 8).du = 0

    (2)

    Como 2(2) ¹ 3(3), entonces hacemos el cambio. Z = v+h, u = r+k, donde (h,k) es la solución del sistema:

    Luego z = v + 2 dz = dv; u = r + 1 du = dr

    En (2): …. (3) (Homogéneo)

    Sea

    En (3):

    (4)

    Pero

    En (4):

  2. Resolver la E.D. (2x3 + 3y2x - 7x) dx – (3x2y + 2y3-8y) dy =0
  3. Resolver las E.D.:
  1. (y2 – 1nx) dx + xy3 dy = 0
  2. (tgx – cotgy + 3) sec2xdx – (3 tgx + cotgy + 1) cosc2ydy = 0

Solución:

a) Tenemos que:

(1)

Hacemos

En (1): (2)

Hacemos

En (2):

(Homogénea)

Sea

En (3):

(4)

Pero

En (4):

b) Tenemos:

Sea

En (1): (2)

Ahora sea:

En (2):

Como: 1(1) ¹ 3(-1), hacemos:

Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2 dv = dt, dz = du

En (3): (4)

Ahora sea

En (4) :

(5)

Pero

En (5):

Ecuaciones Lineales y Reducibles a Lineales

  1. Solución

    La ecuación puede escribirse como:

    (Bernoulli) (1)

    Multiplicamos (1) por y2: (2)

    Hacemos:

    En (2): (3)

    Sea F.I. (4)

    Ahora: (3)x(4):

    Pero u = y3. Quede: y3 = -x31nx + x3 + cx2

  2. Resolver: (x41nx – 2xy) dx + 3x2y2dy = 0

    Solución

    yy’ = cosx – (cotgx)y2 y’ + (cotgx)y = (cosx)y-1 (Bernoulli)

    yy’ + (ctgx)y2 = cosx. Sea u = y2 u’ = 2yy’ yy’ = u’

    u’ + (cotgx) u = cosx u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.) (1)

    F.I. =

    (1) x.F.P.:

  3. Resolver: yy’ = ctg x (sen x-y2)

    Solución

    Tenemos:

    (Bernoulli) (1)

    Multiplicamos por y-3, nos queda:

    (2)

    Cambio:

    En (2):

    (3)

    Ahora (3) x F.I.:

    Pero nos queda: senx

  4. Resolver: 2senxy’ + y cosx = y3 (x cosx-senx)

    sec2ydy – tg3ydx = -x tg ydx

    Solución

    sec2y

    (1)

    Sea u = tgy u’ = sec2y.y’ (2)

    (2) en (1): u’ – u3 = xu u’ + xu = u3 (Bernoulli)

    u-3u’ + xu-2 = 1. De (3).

    Sea z = u-2 z’ = -2u-3u’ - z’ = u-3 u’

    En (3): z’ + xz = 1 z’-2xz = -2 (E.D.L.) (4)

    (5)

    Pero z = u-2 Ù u = tgy z = (tgy)-2 (6)

    (6) en (5):

  5. Resolver

    Solución:

    Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x3y 1n2(y/x)

    Dividendo entre xy, tenemos:

    (1)

    Sea u = 1n (y/x)

    En (1): (Bernoulli) (2)

    Multiplicando por u-2, queda: u-2.u’ - u-1 = x2(3)

    Hacemos cambio:

    En (3): (Lineal) (4)

    F.I. =

    (4) x F.I.:

    ro z = u-1 = , nos queda:

     

    Exactas y Reducibles a Exactas

  6. Resolver:

    Puede ser resuelta utilizando un factor integrante de la forma xm yn. determinar este factor y resolver la ecuación diferencial propuesta.

    Solución

    Si u = xmyn es un F.I., entonces:

    (2y+3x2y3) xmyndx + (3x+5x3y2)xmyndy = 0 es exacta. (1)

    = 3(m+1)xmyn + 5(m+3)xm+2yn+2

    Luego el factor es: u = x-9 y-13

    En (1): (2x-9y-12+3x-7y-10)dx + (3x-8y-13+5x-6y-11)dy = 0

    M* = nx-9y-12+3x-7y-10 Ù N* = 3x-8y-13 + 5x-6y-11

    Sea F(x,y) = c la solución. Entonces:

    De: =2x-9y-12+3x-7y-10 F(x,y) =

    Ahora: =N* (-12)x-8y-13 -(-10)x-6y-11 + h’(y)=N*

    En (a ): F(x,y) = -x-8y-12 -x-6y-10 + k = c

  7. La Ecuación diferencial:
  8. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
  1. (y+xy2)dx + (x-x2y)dy = 0
  2. (3y2-x)dx+(2y3-6xy)dy= 0 utilizando un factor integrante de la forma

Solución

  1. Luego:

    Sea z = xy

    En (1):

    (2)

    Multiplicando la ecuación original por el factor integrante; nos queda:

    la cual es exacta.

    Sea F(x,y)=c la solución, entonces se verifica que:

    De

    (3)

    Ahora de (3):

    (y) = (4)

    (4) en (3):

  2. Aplicamos factor integrante:
  3. Tenemos que

Sabemos que:

Por dato:

En (1):

Luego:

Es decir:

Multiplicando la ecuación original por el factor integrante, tenemos:

la cual es exacta.

Sea F(x, = c la solución, entonces se verifica que

y

De

(2)

De (2):

(3)

(3) en (2):

  1. (x2y + y3 - xy) dx + x2dy = 0 Sabiendo que u = x-3 f(y/x) es un factor integrante.

    Solución

    Multiplicando por el factor integrante:

    (1) tenemos que es exacta.

    En esta nueva ecuación, podemos considerar a u1 = f(y/x) como un nuevo factor integrante, es decir tenemos que:

    (2) con u1 = f(y/x) es exacta. Como el nuevo factor integrante es u1 = f(y/x), tenemos que se cumple

    donde u = u(z)…

    (3)

    Sea

    Además

    Reemplazando en (3):

    Pero

    (4)

    Ahora (2) x (4): (5)

    Sea

    Se debe cumplir que F(x,y)=c es la solución, donde

    Ù

    Trabajando con:

    Ahora usando:

    De (a ):

    En (6):

    (7) en (a ): F(x,y) = x - 1n(x2+y2) + 1ny

    La solución es: F(x,y)=c, es decir: x-1n(x2+y2)+1ny=c

  2. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

    Solución:

    Vemos que: N = x2y2 + 1 (no es exacta).

    Haremos la fórmula y calcularemos un factor integrante:

    (1)

    Sea

    En (1):

    Luego: u(x,y)=(xy-1)-2e-(2/xy-1) es el factor integrante buscado. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta:

    (x2y2+1)(xy-1)-2e-2(xy-1)-1 dx+2x2(xy-1)-2e-2(xy-1)-1dy=0…. (2)

    Se F(x,y,=c l solución general de (2), entonces se cumple que:

    (3)

    De (4):

    De (4):

    Remplazando en (3):

    Reemplazando en (5), la solución general es:

  3. (x2y2 +1)dx + 2x2dy = 0
  4. Demostrar que si M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial no exacta y que:

donde R depende sólo de xy (léase x por y), entonces u(xy) es un factor integrante de dicha ecuación. Encontrar una fórmula general para dicho factor y aplicando éste, resolver la ecuación:

Solución

La fórmula del factor integrante es:

Sea

En (1)

Como R = R(xy) = R(z), en (2):

factor integrante buscado.

Resolviendo la ecuación diferencial dada:

En (2).

Luego el factor integrante es u(x,y) = xy

A continuación multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta}: (3x2y+6x)dx+(x3+3y2)dy = 0, donde M1 = 3x2y + 6x, N1 = x3 + 3y2

Ahora sea F(x,y) = c la solución general, donde:

y

De (5):

De (7):

En (7): F(x,y)=x3y + 3x2 + y3

La solución general es: x3y + 3x2 + y3 = c

Bibliografía

  • Ecuaciones Diferenciales 1

Cesar Saal R. (1998)

Felix Carrillo C.(1998)

 

 

Rojas Huachin Miryan

Fac. Ingeniería Industrial- UNMSM


Comentarios


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