1. ax² + 2bxy + cy² + y’ (bx² + 2cxy + fy²) = 0
2. 2x + 2y – 1 + y’ (x+y-2)=0

a) tenemos que:

Sea

En (1):

(2)

Pero en (2):

b) Vemos que: (1)

Como 2(a) = 1(2), entonces hacemos el cambio

En (1):

1. Resolver la E.D. (2x³ + 3y²x - 7x) dx – (3x²y + 2y³-8y) dy =0

Solución:

Tenemos que: x(2x² + 3y² – 7)dx – y(3x² + 2y² – 8)dy = 0 (1)

Hacemos el cambio:



En (1): (2z + 3u -7).dz – (3z + 2u – 8).du = 0

(2)

Como 2(2) ¹ 3(3), entonces hacemos el cambio. Z = v+h, u = r+k, donde (h,k) es la solución del sistema:



Luego z = v + 2 dz = dv; u = r + 1 du = dr

En (2): …. (3) (Homogéneo)

Sea

En (3):







(4)

Pero

En (4):



2. Resolver las E.D.:

1. (y² – 1nx) dx + xy³ dy = 0
2. (tgx – cotgy + 3) sec²xdx – (3 tgx + cotgy + 1) cosc²ydy = 0

a) Tenemos que:

Hacemos

En (1): (2)

Hacemos

En (2):

(Homogénea)

Sea

En (3):

(4)

Pero

En (4):

b) Tenemos:

Sea

En (1): (2)

Ahora sea:

En (2):

Como: 1(1) ¹ 3(-1), hacemos:

Hacemos el cambio: v = t – 1, u = z + 2 dv = dt, dz = du

En (3): (4)

Ahora sea

En (4) :

(5)

Pero

En (5):

1. Resolver: (x⁴1nx – 2xy) dx + 3x²y²dy = 0

Solución

La ecuación puede escribirse como:



(Bernoulli) (1)

Multiplicamos (1) por y²: (2)

Hacemos:

En (2): (3)

Sea F.I. (4)

Ahora: (3)x(4):



Pero u = y³. Quede: y³ = -x³1nx + x³ + cx²

2. Resolver: yy’ = ctg x (sen x-y²)

Solución

yy’ = cosx – (cotgx)y² y’ + (cotgx)y = (cosx)y^-1 (Bernoulli)

yy’ + (ctgx)y² = cosx. Sea u = y² u’ = 2yy’ yy’ = u’

u’ + (cotgx) u = cosx u’ + (2 cotgx)u = 2cosx (E.D.L.) (1)

F.I. =

(1) x.F.P.:



3. Resolver: 2senxy’ + y cosx = y³ (x cosx-senx)

Solución

Tenemos:

(Bernoulli) (1)

Multiplicamos por y^-3, nos queda:

(2)

Cambio:

En (2):

(3)



Ahora (3) x F.I.:





Pero nos queda: senx

4. Resolver

sec²ydy – tg³ydx = -x tg ydx

Solución

sec²y

(1)

Sea u = tgy u’ = sec²y.y’ (2)

(2) en (1): u’ – u³ = xu u’ + xu = u³ (Bernoulli)

u^-3u’ + xu^-2 = 1. De (3).

Sea z = u^-2 z’ = -2u^-3u’ - z’ = u^-3 u’

En (3): z’ + xz = 1 z’-2xz = -2 (E.D.L.) (4)



(5)

Pero z = u^-2 Ù u = tgy z = (tgy)^-2 (6)

(6) en (5):

5. Resolver:

Solución:

Tenemos: xy’-y-y 1n(y/x) x³y 1n²(y/x)

Dividendo entre xy, tenemos:

(1)

Sea u = 1n (y/x)

En (1): (Bernoulli) (2)

Multiplicando por u^-2, queda: u^-2.u’ - u^-1 = x² (3)

Hacemos cambio:

En (3): (Lineal) (4)

F.I. =

(4) x F.I.:

ro z = u^-1 = , nos queda:

 

Exactas y Reducibles a Exactas

6. La Ecuación diferencial:



Puede ser resuelta utilizando un factor integrante de la forma x^m yⁿ. determinar este factor y resolver la ecuación diferencial propuesta.

Solución

Si u = x^myⁿ es un F.I., entonces:

(2y+3x²y³) x^myⁿdx + (3x+5x³y²)x^myⁿdy = 0 es exacta. (1)





= 3(m+1)x^myⁿ + 5(m+3)x^m+2yⁿ⁺²





Luego el factor es: u = x^-9 y^-13

En (1): (2x^-9y^-12+3x^-7y^-10)dx + (3x^-8y^-13+5x^-6y^-11)dy = 0

M* = nx^-9y^-12+3x^-7y^-10 Ù N* = 3x^-8y^-13 + 5x^-6y^-11

Sea F(x,y) = c la solución. Entonces:

De: =2x^-9y^-12+3x^-7y^-10 F(x,y) =







Ahora: =N* (-12)x^-8y^-13 -(-10)x^-6y^-11 + h’(y)=N*





En (a ): F(x,y) = -x^-8y^-12 -x^-6y^-10 + k = c



7. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

1. (y+xy²)dx + (x-x²y)dy = 0
2. (3y²-x)dx+(2y³-6xy)dy= 0 utilizando un factor integrante de la forma

1. Aplicamos factor integrante:

Luego:

Sea z = xy

En (1):



(2)

Multiplicando la ecuación original por el factor integrante; nos queda:

la cual es exacta.

Sea F(x,y)=c la solución, entonces se verifica que:



De

(3)

Ahora de (3):



(y) = (4)

(4) en (3):

2. Tenemos que

Sabemos que:

Por dato:

En (1):

Luego:

Es decir:

Multiplicando la ecuación original por el factor integrante, tenemos:

la cual es exacta.

Sea F(x, = c la solución, entonces se verifica que

y

(2)

De (2):

(3)

(3) en (2):

1. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

(x²y + y³ - xy) dx + x²dy = 0 Sabiendo que u = x^-3 f(y/x) es un factor integrante.

Solución

Multiplicando por el factor integrante:

(1) tenemos que es exacta.

En esta nueva ecuación, podemos considerar a u₁ = f(y/x) como un nuevo factor integrante, es decir tenemos que:

(2) con u₁ = f(y/x) es exacta. Como el nuevo factor integrante es u₁ = f(y/x), tenemos que se cumple

donde u = u(z)…

(3)

Sea

Además



Reemplazando en (3):



Pero

(4)

Ahora (2) x (4): (5)

Sea

Se debe cumplir que F(x,y)=c es la solución, donde

Ù

Trabajando con:







Ahora usando:

De (a ):

En (6):



(7) en (a ): F(x,y) = x - 1n(x²+y²) + 1ny

La solución es: F(x,y)=c, es decir: x-1n(x²+y²)+1ny=c

2. (x²y² +1)dx + 2x²dy = 0

Solución:

Vemos que: N = x²y² + 1 (no es exacta).

Haremos la fórmula y calcularemos un factor integrante:

(1)

Sea

En (1):







Luego: u(x,y)=(xy-1)^-2e^-(2/xy-1) es el factor integrante buscado. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta:

(x²y²+1)(xy-1)^-2e^-2(xy-1)-1 dx+2x²(xy-1)^-2e^-2(xy-1)-1dy=0…. (2)

Se F(x,y,=c l solución general de (2), entonces se cumple que:

(3)

De (4):



De (4):

Remplazando en (3):









Reemplazando en (5), la solución general es:



3. Demostrar que si M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial no exacta y que:

donde R depende sólo de xy (léase x por y), entonces u(xy) es un factor integrante de dicha ecuación. Encontrar una fórmula general para dicho factor y aplicando éste, resolver la ecuación:

La fórmula del factor integrante es:

Sea

En (1)

Como R = R(xy) = R(z), en (2):

factor integrante buscado.

Resolviendo la ecuación diferencial dada:

En (2).

Luego el factor integrante es u(x,y) = xy

A continuación multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante, se convierte en exacta}: (3x²y+6x)dx+(x³+3y²)dy = 0, donde M₁ = 3x²y + 6x, N₁ = x³ + 3y²

Ahora sea F(x,y) = c la solución general, donde:

y

De (5):

De (7):

En (7): F(x,y)=x³y + 3x² + y³

La solución general es: x³y + 3x² + y³ = c

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