Para la determinación de las propiedades
geométricas de los sólidos existen tanto métodos
analíticos como experimentales, en dependencia de la
complejidad de forma geométrica de las piezas en
cuestión. En este trabajo se
persigue como objetivo
desarrollar las técnicas
operatorias para la determinación experimental de las
coordenadas del centro de gravedad y el momento de inercia de
volúmenes
Abstract
For the determination of the geometric properties of the
solids they exist so much analytic methods as experimental, in
dependence of the complexity in geometric way of the pieces in
question. In this work it is pursued as objective to develop the
operative techniques for the experimental determination of the
coordinates of the center of gravity and the moment of inertia of
volumes.
Palabras Claves: centro de gravedad, momento de
inercia, determinación experimental.
Key words: center of gravity, moment of inertia,
experimental determination.
Es vital en el proceso de
conformación y forja de piezas, ya sea en frío o en
caliente, el conocer previamente las coordenadas del punto donde
se aplique toda la fuerza
tecnológica de conformado o estampado afín de
evitar deformaciones no deseables en la pieza. Ese punto no es
más que el centro de gravedad de dicha pieza.
¿Cómo localizar sus coordenadas? Existen diferentes
métodos, tanto analíticos como experimentales para
la determinación de las coordenadas del centro de gravedad
de un sólido rígido.
Para piezas, cuya forma geométrica es
común, es factible aplicar las ecuaciones
matemáticas que definen claramente las
coordenadas del centro de gravedad del sólido
rígido que se analice, sin embargo cuando la forma
geométrica del cuerpo no es común es más
ventajoso emplear métodos experimentales para determinar
dichas coordenadas.
Otras de las propiedades geométricas de los
sólidos y que reviste gran importancia en el diseño
de elementos de máquinas
es el Momento de Inercia, ya que esta propiedad da
una medida de la resistencia
inercial de los cuerpos a la aceleración rotatoria. Esta
propiedad permite, a través de los cálculos de
resistencia de los cuerpos sometidos a diferentes tipos de
fuerzas, conocer con gran claridad las secciones más
peligrosas de los cuerpos y las menos riesgosas, lo que trae
consigo un diseño más eficiente.
Al igual que en la determinación de las
coordenadas del centro de gravedad de los sólidos, para la
determinación del momento de inercia existen tanto
métodos analíticos como experimentales, en
dependencia de la complejidad de forma geométrica de la
piezas en cuestión. Para esta propiedad, en el caso de su
determinación experimental, los métodos se basan en
considerar los parámetros principales de las oscilaciones
periódicas. Este trabajo persigue como objetivo
desarrollar las técnicas operatorias para la
determinación experimental de las coordenadas del centro
de gravedad y el momento de inercia de
volúmenes.
Centro de gravedad o de masa. Método
analítico.
Centro de gravedad de un sólido bidimensional
y tridimensional.
La fuerza de atracción de la tierra o
fuerza de gravedad está aplicada sobre cada una de las
partículas que constituyen los sólidos situados en
su superficie o cerca de ella, esta fuerza está dirigida
hacia el centro de la tierra. La
atracción de la tierra sobre un sólido
rígido debe representarse, por tanto, mediante un gran
número de fuerzas pequeñas distribuidas sobre el
sólido rígido entero.
La mayoría de las dimensiones de los cuerpos que
se usan en la ingeniería son pequeñas, cuando se
comparan con el radio de la
tierra, se puede admitir, entonces, que las fuerzas de gravedad
de las partículas del cuerpo son paralelas entre sí
y conservan su magnitud constante, a pesar de las rotaciones
cualesquiera efectuadas por el cuerpo.
donde:
W: E
s el peso del cuerpo; fuerza con que el cuerpo en
reposo que se encuentra en el campo gravitatorio actúa
sobre el apoyo que le impide caer verticalmente.
Cualquiera que sea la rotación efectuada |
|
"Por tanto el c. de g. de un sólido es el punto
ligado invariablemente a él, por el cual pasa la acción
de la resultante de las fuerzas de gravedad de las
partículas del sólido dado, cualquiera que sea la
posición del cuerpo en el espacio", según
Massó Vázquez, 1982.
Para obtener las coordenadas del c. de g. se debe
aplicar momento de las fuerzas respecto a los ejes X e
Y:
Donde:
xn y yn: son las
coordenadas de los puntos de aplicación de las fuerzas de
gravedad D Wn de las
partículas del sólido.
Debemos destacar que el c. de g. puede encontrarse fuera
de los límites
del sólido dado.
En el caso de un sólido tridimensional las
coordenadas del c. de g. del mismo se determinan por:
Centro de gravedad de volúmenes, áreas
y líneas.
Para un sólido homogéneo el peso
D Wi de cualquier
parte de éste es proporcional al volumen
Vi, es decir:
y el
peso de todo el sólido es proporcional, por tanto, a su
volumen:
W = g V
Donde:
g : es el peso
específico (por unidad de volumen) del
material.
Sustituyendo estos valores de
W y D Wi en
las ecuaciones 4 y simplificando se obtiene:
Donde:
X, Y y Z son las coordenadas del c. de g.
de un volumen.
Aumentando el número de elementos en que se
divide el volumen V y disminuyendo a la vez el
tamaño de cada uno de ellos, se obtiene, en el
límite:
Donde:
es el
momento estático o momento de primer orden del volumen con
respecto al eje X.
Cuando un volumen posee un plano de simetría su
c. de g. está situado en dicho plano, cuando posee dos
planos de simetría está situado en la
intersección de dichos planos y cuando posee tres planos
de simetría estará situado en el punto de
intersección de los tres planos.
El c. de g. de un sólido homogéneo es
conocido, también, como c. de m. o centroide, por tanto,
su determinación es como hasta aquí se ha descrito,
pero haciendo la sustitución de 
. No obstante la coincidencia de c. de g.
y c. de m. para sólidos homogéneos utilizaremos,
comúnmente, (para regiones de habla Hispana) la
denominación de c. de g. aun cuando se trate de c. de
m.
De igual forma las coordenadas del c. de g. de un
área A se determina por las expresiones:
Donde:
A: es el área total.
Ai: es el área de las partes
componentes.
De manera análoga se obtienen las fórmulas
para las coordenadas del c. de g. de una línea o
alambre.
Donde:
L: es la longitud de todo el alambre.
Li: es la longitud de cada parte del
alambre.
Las ecuaciones anteriores permiten calcular el c. de g.
de artículos tipo alambres fabricados de sección
constante.
Momento de inercia másicos. Métodos
analíticos.
En la figura se hace que el cuerpo de masa "m" gire
alrededor del eje O-O con una aceleración angular
a . Un elemento de masa "dm" tiene una
componente de la aceleración tangente a su trayectoria
circular igual a ra y la fuerza
tangencial resultante que actúa sobre este elemento es
igual a la fuerza dF =
. El momento de esta fuerza respecto al eje O-O es dM
=
.
La suma de los momentos de estas fuerzas extendida a
todos los elementos del cuerpo es:
, donde
a es la misma para cualquier punto del
sólido rígido y puede sacarse de la integral, por
tanto:
Donde:
,
representa, de forma genérica, el momento de inercia
másico del sólido respecto al eje
O-O.
Con esta ecuación se puede obtener, por integración, el momento de inercia de
cualquier cuerpo volumétrico y con una forma
geométrica común. En la literatura consultada
están establecidas las fórmulas para la
determinación de esta propiedad geométrica de
volúmenes conocidos.
Algunas consideraciones sobre movimiento
periódicos de sólidos
rígidos.
Todo movimiento que se repita al cabo de un tiempo
determinado se dice que es periódico.
Todas las oscilaciones y vibraciones de los cuerpos caen bajo
este título que constituye una de las más
importantes aplicaciones de la Dinámica para la determinación de
algunas propiedades geométricas de los cuerpos.
Como se conoce de estudios anteriores las vibraciones
pueden ser de dos tipos:
- Vibraciones libres, de las cuales se desprenden los
movimientos armónicos simples. - Vibraciones forzadas, una fuerza periódica
excitadora provoca la oscilación.
Todas estas oscilaciones se referirán a un solo
grado de libertad.
Vibraciones libres de
partículas.
Este tipo de vibración, como todas las
demás, la define una ecuación diferencial, la cual
es obtenida del equilibrio
dinámico de la partícula o cuerpo, dicho de otra
forma aplicando el Principio de D Alembert. La ecuación
diferencial para este caso es del tipo:
Donde:
p: es la frecuencia natural de la
vibración (rad/s).
El período (T) de la vibración
será el inverso de la frecuencia natural:
Tanto p como T son los parámetros
más importantes de los movimientos
oscilatorios.
Estos parámetros son los que se utilizan para
determinar determinadas propiedades geométricas de los
cuerpos.
Vibración torsional.
La figura ilustra un cuerpo plano sujeto a una varilla
delgada. En el plano de dicho cuerpo se aplica un par M
que producirá una torsión de la varilla, al
liberarlo surge la vibración torsional.
La constante o módulo de rigidez de la varilla se
representa por k. La ecuación diferencial que
define este tipo de vibración será:
Esta es la ecuación vectorial que define la
oscilación torsional y como es homogénea (igual a
cero) representa un movimiento armónico simple.
I: representa el momento de inercia del cuerpo
respecto a G
Para ella:
Entonces:
Donde:
T: es período de la
vibración.
Péndulo físico.
En la figura se ilustra el péndulo físico,
que también se conoce como péndulo compuesto,
entendiéndose como tal a todo sistema material
rígido que puede girar alrededor de un eje horizontal fijo
que no pase por el centro de gravedad del sistema y sobre el cual
solo actúa la fuerza de gravedad.
En la figura se representa la sección en el
péndulo producida por un plano perpendicular al eje de
suspensión cuya traza sobre el plano es O.
Un cuerpo suspendido de esta manera tomará la
posición de equilibrio estable cuando el centro de
gravedad reposa en la vertical que pasa por el eje de
suspensión. En esta situación se le separa un
ángulo q , se le abandona a la
acción de la gravedad y se inicia un movimiento
oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio con
iguales características al movimiento del péndulo
simple.
Si W es el peso del péndulo, OG = L donde G es el
centro de gravedad del cuerpo, IO es el momento
de inercia del péndulo respecto al eje de
suspensión, la ecuación diferencial que define este
movimiento se obtiene aplicando.
Que se escribe de la forma:
Para oscilaciones de amplitudes pequeñas, la
ecuación anterior se convierte en:
Y el período de la oscilación
es:
Es de mucha importancia de la ecuación anterior
obtener el período T2 del péndulo simple
para lo cual se considera que la masa "m" de este péndulo
respecto al eje de suspensión tiene el momento de
inercia:
Que sustituida en la ecuación de (11) resulta
para T2 :
Comparando ambos períodos e introduciendo una
longitud L1 = OK, tal que:
Con lo que el período de ambos péndulos es
el mismo. Esta longitud L1 se denomina longitud
equivalente del péndulo simple, y determina el punto K
como se aprecia en la figura. Este nuevo punto se llama punto de
oscilación.
Rápidamente se demuestra que L1
> L, ya que si K es el radio de
giro del péndulo físico y como 
, que sustituido en la
ecuación (13) se obtiene:
De donde:
Siendo Kg el radio de giro del
péndulo físico respecto al centro de gravedad de
dicho péndulo.
De todo lo anterior se puede concluir que este
método de las oscilaciones pequeñas de un
péndulo físico puede emplearse en la
práctica para la determinación de momentos de
inercia y el radio de giro de sólidos que se puedan
comportar como un péndulo simple y que, por supuesto, la
ecuación diferencial que defina el movimiento sea la
ecuación diferencial del movimiento armónico
simple, es decir que dicha ecuación sea
homogénea.
Técnicas operatorias para la
determinación de las propiedades geométricas de los
cuerpos.
Determinación de las coordenadas del centro de
gravedad de una biela.
Se desea determinar experimentalmente las coordenadas
del centro de gravedad de una biela, la cual se muestra en la
siguiente figura:
Técnica operatoria:
- Se pesa la biela en una balanza.
- Se mide, con un pie de rey, la distancia
"d". - Se procede a determinar qué parte del peso de
la biela cae en A y cuál cae en B, para ello se utiliza
la balanza de platillo, tal y como se muestra en las siguientes
figuras. En los esquemas se muestra la forma para determinar el
peso que recae en B y en A. En este procedimiento
hay que tener presente que la línea O-O se mantenga
horizontal.
- Es preciso hacer las mediciones varias veces (como
mínimo tres) y usar el valor
promedio y así el % de errores
disminuirá.
- Determinados los pesos que recaen en A y B, se
confecciona el diagrama de
cuerpo libre de la biela y entonces se aplica la
ecuación de equilibrio, por ejemplo:
El diagrama de cuerpo libre de la biela
sería:
ó 
Se obtiene el valor h y b y de esta forma
se localizan las coordenadas del centro de gravedad.
Materiales:
- Varias bielas pequeñas para varios puestos de
trabajo. - Balanzas de platillo.
- Pie de rey
- Calculadora
Determinación del momento de inercia de una
biela.
Para determinar el momento de inercia de una biela se
procede a analizar la misma como si fuera un péndulo
simple y se aplican las ecuaciones derivadas de la
vibración libre resultante.
Técnica operatoria:
- Se pesa la biela.
- Se suspende la biela primero del punto B con un apoyo
de cuchilla, tal y como se muestra en la figura. Se espera que
esté en la posición de equilibrio
estable.
- Se desplaza de la vertical la línea BG un
ángulo q pequeño. Se
suelta a partir del reposo y cuando comienza a oscilar se mide
el tiempo que demora en recorrer un ciclo completo, este
será el período de la vibración
(TB). Esto se repite al menos tres veces y se toma
el valor medio. Se hace la misma operación, pero la
biela apoyada en el punto A y se obtiene el valor de
(TA).
Con estas operaciones
experimentales y las ecuaciones derivadas de las oscilaciones
para un péndulo físico se puede determinar, tanto
el momento de inercia como el radio de giro.
O lo que es lo mismo:
Donde:
K: es el radio de giro centroidal de la
biela
Materiales:
- Varias bielas para varios puestos de
trabajo. - Balanza de platillo.
- Cronómetros.
- Pie de rey.
- Mesas con apoyos de cuchilla.
- Local para las prácticas.
3. Conclusiones y
Recomendaciones
Conclusiones.
- Utilizando las metodologías expuestas se
pueden determinar propiedades geométricas importantes en
los cuerpos rígidos, tales como: coordenadas del centro
de gravedad, momento de inercia y radio de giro. - Se pudo constatar que el desarrollo
de estos experimentos no
requieren de grandes recursos
materiales,
ya que los se plantean pueden ser localizados en otros
Departamentos Docentes de
la carrera. - Independientemente que se cumplió el objetivo
propuesto en el trabajo,
el mismo nos ha servido de gran ayuda para nuestra
formación integral y poder
observar mejor los fenómenos físicos que a diario
ocurren a nuestro alrededor.
Recomendaciones.
- Que la Disciplina
de Mecánica Aplicada valore la posibilidad
de instaurar estas prácticas de laboratorio
en próximos cursos, - Que se estudie la posibilidad de realizar otras
prácticas de laboratorio con los recursos
mínimos.
1. Agulló Batlle, Joaquín "Mecánica de la partícula y del
sólido rígido", Publicaciones OK Punt,
1996
2. Beer, Ferdinand P. y Johnston, E. Russell
"Mecánica Vectorial para Ingenieros (Tomos I y II),
Ediciones Revolucionarias, 1988
3. Beer, Ferdinand P. y Johnston, E. Russell "Mechanics
of Materials", Second Edition, 1992.
4. Massó Vázquez, Francisco
"Mecánica Teórica II", Santiago de Cuba,
1982.
5. Merian, J. L. "Mecánica", Ediciones
Revolucionarias, 1987.
6. Targ, S. "Curso breve de Mecánica
Teórica", Editorial Mir, Moscú, 1976
Autor:
M.Sc. Eusebio González Utria
M.Sc. José A. Martínez Grave de
Peralta
M.Sc. Héctor Pupo Leyva
Ing. Johann Mejías Brito
Ing. Geovani Acosta Méndez
Institución: Universidad de
Holguín. Departamento de Mecánica Aplicada,
Facultad de Ingeniería.
Dirección: Av. XX Aniversario s/n. Piedra Blanca.
Holguín. GP 57 .CP 80100. Cuba