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Ecuaciones de la física – matemática




  1. Resumen
  2. Desarrollo
    1. Surgimiento de las primeras teorías generales
    2. Importancia y algunas ideas fundamentales
    3. Las raíces históricas del Análisis Armónico
    4. El Problema de la cuerda musical y la teoría de las ondas.
    5. El problema de la propagación del calor y las series de Fourier
    6. Creación del aparato analítico - fenómenos electromagnéticos
    7. Sobre el aparato matemático de la mecánica
    8. Breve comentario sobre algunos valiosos aportes de una mujer sorprendente

  3. Aspectos Biográficos
  4. Conclusiones y Recomendaciones
  5. Bibliografía

"Las ecuaciones diferenciales se convirtieron y permanecen

en el corazón de las matemáticas".

Morris Kline

RESUMEN

La teoría de las ecuaciones diferenciales e integrales es con toda seguridad la disciplina de las matemáticas con una más clara motivación aplicada. Tengamos en cuenta que la inmensa mayoría de estas ecuaciones deben sus nombres a personalidades científicas de la ciencia tecnológica aplicada y surgen como modelos matemáticos asociados a diferentes fenómenos de la Física (movimiento vibratorio, difusión del calor, ...), Química (procesos de reacción-combustión), Biología (estudio de especies biológicas), Óptica (procesos de difusión de la luz), Estadística (procesos estocásticos), Economía (optimización del rendimiento), Ingeniería (diseño óptimo de vigas) por citar algunos ejemplos de la interminable lista. Por todo ello, el estudio de estas ecuaciones es muy importante y resulta de indudable interés.

Siendo ese el propósito del presente trabajo, concentraré la labor en abordar con mayor profundidad los s. XVIII y XIX vitales para el desarrollo de esta singular disciplina, invitándolos a dar un paseo científico que espero y deseo sea de su agrado.

I.NTRODUCCIÓN

A partir de la segunda mitad del s. XVII con el surgimiento del análisis infinitesimal por Newton y Leibniz como principales exponentes, se comienza a desarrollar el concepto de función, de diferencial así como las operaciones con éstos, surgiendo de esta forma ciertas ecuaciones las cuales fueron llamadas diferenciales, sobre las cuales se desarrolló toda una teoría para su solución. En un comienzo estas ecuaciones modelaban problemas de la Mecánica, la Hidromecánica y la Astronomía.

Particularmente en esta rama del análisis matemático se revelaba fuertemente la influencia determinante de los problemas de las ciencias exactas, en primer lugar la Mecánica y la Física Matemática y la estrecha interrelación de las investigaciones teóricas y prácticas. Sumamente necesario e importante resulta destacar el papel de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) en los problemas de la física matemática, las cuales se desarrollaron notablemente en el s. XVIII a partir de la Teoría de la Mecánica de los Medios Continuos, así como la conducción del calor, Mecánica de los Fluidos, electromagnetismo, mecánica cuántica, la Física Relativista y otras partes de la Física. No existe un método general de resolver las EDP, pero desde finales del s. XVIII varios tipos de ecuaciones han hallado su propia solución general.

Durante el s. XIX, los problemas de valores iniciales y de límite (frontera) ensombrecieron la búsqueda de soluciones generales mientras que los teoremas de existencia han dominado gran parte de la investigación de la Matemática Pura en las EDP durante el s. XX.

Los objetivos esenciales que persigo lograr con esta investigación, consisten en destacar la importancia así como el surgimiento de algunos problemas de la Física Matemática y de como se fueron desarrollando las ideas en cuanto a la resolución de éstos por parte de algunos de los matemáticos más notables de la época.

II. DESARROLLO

II.1. Surgimiento de las primeras teorías generales

En los primeros años del s. XVIII los problemas físicos de vibraciones o de tipo oscilatorio, que conducían a funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, se resolvían frecuentemente en términos geométricos. El seno o el coseno eran considerados como líneas en un círculo de radio dado, el logaritmo como el área bajo la hipérbola, a ninguna de ellas se les asignaba la categoría de funciones. Esta situación limitaba grandemente la clase de funciones que podían ser consideradas y por tanto las posibilidades para resolver ecuaciones diferenciales.

Por esta razón uno de los primeros métodos utilizados en la solución de ecuaciones diferenciales va a ser el encontrar un desarrollo en serie de la solución buscada. Varios geómetras del s. XVII ya utilizarían este método en casos particulares elementales, en particular lo harían sistemáticamente Newton y Leibniz. La aplicación de este procedimiento va a permitir a los científicos del siglo XVIII trabajar con representaciones en forma de series infinitas de potencias de ciertas funciones no polinomiales, algunas que hoy clasificamos como elementales y otras que consideramos especiales, pero que ellos trataban en igualdad de condiciones.

I.2. Importancia y algunas ideas fundamentales

El análisis matemático en el s. XVIII se enriqueció con el potente y variado aparato del desarrollo de funciones en series de diferentes tipos. Este aparato fue creado bajo la influencia directa de los problemas de la física matemática. La construcción de una teoría de series lo suficientemente general y rigurosa se convirtió hacia finales de siglo en un problema de primera línea, de cuya solución dependían los éxitos prácticos del análisis matemático.

Las reglas de diferenciación en su gran mayoría fueron elaboradas ya en los trabajos de Leibniz y los hermanos Bernoulli. La ampliación de estas reglas en relación con la ampliación de la clase de funciones investigadas no presentaba dificultades importantes. Así, tras la expresión analítica de las funciones trigonométricas, exponenciales y otras clases de funciones, fueron inmediatamente obtenidas las expresiones analíticas de sus derivadas.

La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente. En el Cálculo diferencial (1755) de Euler, este cálculo se presenta ya en forma muy completa. Por ejemplo, el teorema sobre la independencia de los valores de las derivadas parciales del orden de diferenciación era ya conocido a comienzos de siglo. Euler le dio su demostración, extendiéndola a las derivadas parciales de orden superior. En la teoría de la diferencial total, Euler demostró que en las derivadas parciales deben satisfacer la condición

Es válido aclarar los símbolos fueron introducidos más tarde, alrededor del año 1786 por Legendre. La necesidad y, después, la suficiencia de la condición dada para que la expresión sea una diferencial total fue demostrada por Euler. El también, considerando las funciones de tres variables y sus diferenciales totales de la forma

introdujo las condiciones .

Con el nombre de Euler se denominan además las fórmulas de la diferenciación de funciones compuestas, el teorema sobre las funciones homogéneas y otros muchos resultados.

Las investigaciones en la rama de la creación de la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, a pesar de su multiplicidad, no daba aún la posibilidad de separar claramente las direcciones fundamentales. El problema era todavía demasiado complicado. Y aunque un gran número de problemas de física, de mecánica y de la teoría de superficies era reducido a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, la resolución de ellas progresaba lentamente.

El trabajo sistemático en esta dirección comenzó a desarrollarse solo en los años 60.

A Euler pertenece la primera monografía, donde se hace un intento de construcción de la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se trata del tercer tomo del Cálculo Integral, (1770). Junto a Euler trabajaron en la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales D’Alembert, Lagrange, Laplace, Monge y otros muchos científicos.

Una de las ideas principales, relativamente, con bastante rapidez reafirmada, en la teoría de las ecuaciones de primer orden, fue la idea de la reducción de su integración a la integración de ecuaciones ordinarias o sus sistemas. Esto fue utilizado por D’Alembert (1768) en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Métodos análogos fueron desarrollados por Euler. Un poco más tarde (en los años 1781, 1787) cuando Lagrange extiende el método de reducción a las ecuaciones lineales con un número arbitrario de variables, expresó abiertamente que la resolución de las ecuaciones en derivadas parciales depende del arte de su reducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

II.3. Las raíces históricas del Análisis Armónico

Frecuentemente cuando se desea la modelación matemática de un proceso natural, este se representa como un flujo de modo fundamentalmente periódico. Una de las formas de racionalizar matemáticamente el flujo de las cosas es mediante una función o a través de su imagen geométrica, una curva. El intento de entender cuantitativamente las periodicidades que pueda presentar esta función o curva, condujo a los matemáticos del siglo XVIII a la descomposición de la función en una suma de funciones periódicas más simples o armónicos fundamentales.

El análisis armónico, tal como lo entendemos hoy, consiste en una metodología matemática para explorar los fenómenos complejos a través de su descomposición en elementos más sencillos. Veremos que uno de los primeros en asumir esta metodología fue Daniel Bernoulli en sus estudios sobre la cuerda vibrante o musical. Pero ni Daniel Bernoulli, ni sus contemporáneos ilustrados, consiguieron hacer asequible sus ideas, demasiado físicas, al tratamiento matemático más general. Sería Joseph Fourier quién algunas décadas después, extendería este enfoque al estudio de otros procesos físicos, como la propagación del calor. De tal forma se plantaron las raíces del análisis armónico clásico o teoría de las series de Fourier como suele llamarse.

II.3 .1. El Problema de la cuerda musical y la teoría de las ondas.

Una cuerda vibrando genera oscilaciones del aire, que se captan por el oído del hombre en forma de sonido, dado por la cuerda. La fuerza del sonido se caracteriza por la energía o amplitud de las oscilaciones, el tono, por el período de las oscilaciones, y el timbre, por la relación entre la energía del tono principal y de los armónicos (sobretonos).

El hallazgo de relaciones entre la matemática y los sonidos musicales comenzó, según se sabe, con los pitagóricos. Ya en el s. IV antes de Cristo, el pitagórico Aristoxeno de Tarento construyó una teoría musical muy desarrollada del ritmo y de la armonía. En los trabajos de Platón, la Matemática consistía de cinco partes: aritmética, geometría plana, estereometría, astronomía y música o teoría de la armonía. Aún así, no se conocen obras que profundicen en lo que podríamos llamar una teoría matemática de la música.

Tales estudios matemáticos sobre la música adquirieron relevancia en el período barroco, cuándo la música salió de los salones de los palacios y de las catedrales, para frecuentar las casas de los burgueses acomodados. Galileo, Descartes y Huygens, para citar sólo los sabios más conocidos, se destacaron en esta búsqueda de relaciones armónico-matemáticas, pero hasta el s. XVIII no hubo nuevos resultados de significación matemática.

El primer análisis matemático de las ondas lo realizó el gran matemático Isaac Newton en sus Principia (1687). Pero Newton no se arriesgó demasiado en la utilización de su teoría de fluxiones para entender la matemática de los procesos naturales.

Uno de los brillantes admiradores de Newton fue Brook Taylor. Entre los problemas propuestos por Taylor en su obra más conocida Methodus incrementorum directa et inversa (1715) figura el siguiente: Problema 17. Determinar el movimiento de una cuerda tensa. Para Taylor este problema tenía el atractivo de su asociación con su afición predilecta, la música.

Taylor obtiene en el lenguaje propio de las fluxiones, que el movimiento de un punto arbitrario de la cuerda es como el de un péndulo simple. Asimismo estableció que la forma de la curva que toma la cuerda en un instante dado es sinusoidal y determinó el período de oscilación de la cuerda. Sin embargo, no consideró el problema de la ecuación diferencial del movimiento.

En 1727, doce años después de la publicación de Taylor, Johann Bernoulli en dos cartas enviadas a San Petersburgo, llama la atención de su hijo Daniel sobre los resultados de Taylor y lo desafía para que se ocupe del problema de la cuerda. Pero no puede esperar para hacer públicas sus propias ideas sobre el asunto y en 1728 publica sus Meditaciones sobre cuerdas vibrantes con pesos pequeños a distancias iguales, donde trata, con métodos muy diferentes, el mismo problema. Pero sus resultados no van mucho más lejos que los de Taylor.

A partir de las ideas de Taylor y apoyándose en las investigaciones de su padre sobre un sistema finito de puntos, infirió que cualquier movimiento general se puede obtener como combinación de todas las oscilaciones fundamentales.

Daniel había llegado a la convicción de que la superposición de soluciones sinusoidales daba la solución más general del problema, lo que implicaba la posibilidad de expresar una función arbitraria como suma de senos. Aparentemente ni Johann Bernoulli ni Taylor se preocuparon por demostrar que esta era la solución más general, pero tampoco mostraron que no lo era. En cambio Daniel Bernoulli en su artículo Teoremas sobre oscilaciones de cuerpos conectados por un hilo flexible y de una cadena verticalmente suspendida (San Petersburgo, 1738), va mucho más lejos que Taylor y su padre al identificar los armónicos superiores de una cuerda musical.

Los trabajos que en la primera mitad del s. XVIII se dedicaron al asunto, como los de Brook Taylor (1715), Johann Bernoulli (1728) y Daniel Bernoulli (1738), consideraban por separado los desplazamientos de la cuerda musical como función del tiempo t y como función de la distancia x de un punto de la cuerda a uno de su extremos, lo que los llevaba a considerar sólo ecuaciones diferenciales ordinarias y a soluciones de tipo sinusoidal donde l es la longitud de la cuerda, t el tiempo y x la distancia de un punto genérico de la cuerda a un punto fijo tomado como origen del sistema de referencia. Pero se sabía también, por experiencias de laboratorio, que la forma que toma la cuerda no siempre es sinusoidal y que junto al sonido fundamental se distinguen sus armónicos, en el sonido complejo emitido por una cuerda musical vibrante.

El tema de la cuerda musical, va a adquirir una nueva y polémica connotación con la incorporación de un joven geómetra Jean le Rond D’Alembert, quien pronto fue considerado entre los más prestigiosos geómetras de Francia en el siglo de las luces.

D’Alembert en su artículo de 1746 titulado Investigaciones sobre la curva que forma una cuerda tensa que se hace vibrar, afirma que se propone demostrar que existen infinitas curvas, además de la curva seno, que son modos de vibración. En estas investigaciones de D’Alembert aparece por primera vez la ecuación en derivadas parciales que hoy se conoce como ecuación de ondas en una dimensión espacial.

donde , T es la tensión de la cuerda (que se supone constante mientras la cuerda oscila) y s la

masa por unidad de longitud.

Como la cuerda se fija en los extremos x = 0 y x = l, la solución ha de satisfacer las hoy llamadas condiciones de contorno:

y(t, 0) = 0, y(t, l) = 0.

Además, en el instante t = 0 se fuerza a que la cuerda adopte un perfil dado por la función y = f(x) y a continuación se suelta, lo que significa entonces que cada partícula comienza a moverse con una velocidad inicial nula; estas condiciones iniciales se expresan matemáticamente en la forma:

que también han de ser satisfechas por la solución.

Este problema fue resuelto por D'Alembert de una manera tan ingeniosa que se reproduce con frecuencia en los textos modernos de ecuaciones diferenciales.

La solución encontrada por él y que tiene la forma siguiente:

donde f es una función arbitraria, pero que ha de ser periódica, impar y además debe coincidir en el intervalo 0 £ x £ l con la función f(x) que describe la forma inicial de la cuerda.

Pocos meses después de ver los artículos de D’Alembert, Euler escribió por su parte el artículo Sobre la oscilación de cuerdas. Aunque en el método de solución siguió a D’Alembert, Euler tenía por ese tiempo una idea completamente distinta en cuanto a qué funciones se podían admitir como curvas iniciales y, en consecuencia, como soluciones de una ecuación en derivadas parciales. Fueron, al parecer, argumentos de naturaleza física en relación con el problema de la cuerda musical los que le impulsaron a anteponer su nuevo concepto de función.

Cuando Daniel Bernoulli leyó los primeros artículos de D’Alembert y de Euler sobre la cuerda vibrante, se apresuró a recordarle a Euler los estudios que habían realizado juntos, durante su estancia en San Petersburgo.

También envió a las Academias de San Petersburgo y de Berlín varios trabajos enfatizando su prioridad y las características más generales de sus resultados.

Daniel Bernoulli, en un artículo publicado en 1753, subraya un aparente conflicto entre las consideraciones de Taylor, por una parte, con sus soluciones sinusoidales, y la infinita variedad de soluciones, distintas de las sinusoidales, por parte de D'Alembert y Euler. Después de criticar el carácter abstracto de los trabajos de D’Alembert y Euler, reitera que pueden existir simultáneamente muchos modos de oscilación en la cuerda vibrante (ésta responde entonces a la superposición de todos los armónicos). Insiste en que todas las posibles curvas iniciales se pueden representar en la forma:

porque existen suficientes constantes an como para que la serie se ajuste a cualquier curva. En consecuencia, afirma, que todos los correspondientes movimientos vendrán dados por la serie infinita:

Así pues, cualquier movimiento, correspondiente a una curva inicial, no es más que una suma de armónicos periódicos sinusoidales, y la combinación tiene la frecuencia del armónico fundamental. Sin embargo, Bernoulli no dio argumentos matemáticos para apoyar sus afirmaciones; se apoyó solamente en argumentos físicos.

Euler y D’Alembert dieron sus soluciones de la ecuación de ondas en forma cerrada, utilizando un par de funciones arbitrarias, mientras que Daniel Bernoulli había encontrado una solución en términos de una suma infinita de funciones trigonométricas. Y como esta última solución parecía implicar claramente el carácter periódico de la función, mientras que las funciones arbitrarias de D’Alembert y Euler no eran periódicas necesariamente, parecía que la solución de Bernoulli era menos general. Lo que no podía comprenderse entonces era que una superposición de "funciones tan buenas" y tan elementales como las trigonométricas pudieran representar una función arbitraria. Los medios técnicos del análisis matemático en esta época eran insuficientes para abordar la problemática general de las ecuaciones en derivadas parciales y tampoco estaban fundamentados como para abordar con rigor conceptos básicos como el de función.

Euler, D’Alembert y D. Bernoulli, hablaban usando la misma palabra "función", pero entendían diferentes cosas por esta denominación. Las opiniones de los tres eran también diferentes en la comprensión de solución admisible, sin embargo la historia posterior ha mostrado que los tres tenían razón desde cada uno de sus puntos de vista.

Resumiendo: el debate sobre la ecuación de la cuerda sometida a una vibración en un mismo plano, es importante desde el punto de vista matemático, no sólo porque representa el primer análisis de la solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales, sino además porque la discusión llevó al cuestionamiento de las nociones establecidas de función y de representación de funciones por medio de series infinitas de funciones trigonométricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen del análisis armónico que se estableció en el s. XIX y que comenzara con los trabajos de Fourier sobre la conducción del calor.

II.3. 2. El problema de la propagación del calor y las series de Fourier

Las investigaciones matemáticas de la conductibilidad térmica antecedieron la creación de una ciencia más general sobre el calor, la termodinámica. La causa motriz de este proceso fue la invención de las máquinas de vapor y su creciente uso en los procesos industriales, especialmente en Inglaterra y Francia. Pero su interés práctico era mejor expresado en las industrias textiles escocesas, así como la modelación matemática que era particularmente perseguida por los parisinos. Ya, alrededor de 1800 muchos físicos e ingenieros se interesaron por el problema de la propagación del calor en cuerpos sólidos.

En 1784 Laplace y Lavoisier publicaron un artículo conjunto conteniendo los resultados de sus experimentos que los condujeron a determinar el calor específico de varias sustancias. Un poco de tiempo después, en 1804, un alumno de Laplace, publicó sus Memorias sobre la propagación del calor. Todo parecía indicar que no faltaba mucho para que algún galo encontrara la teoría matemática soñada. Entonces, Joseph Fourier comienza a ocuparse del problema, pero en una forma completamente original.

En 1807 presenta Fourier, por primera vez, su Memoria sobre la propagación del calor que es recibida con una inesperada aceptación, pero que debido a su falta de rigor matemático no es publicada. La Academia de Ciencias de París, con el objetivo de estimular a Fourier a perfeccionar su Memoria, anuncia que su premio al mejor trabajo científico de 1812 será al que trate el tema sobre la teoría matemática de la conducción del calor. A fines de 1811 Fourier presenta de nuevo su Memoria en calidad de trabajo concursante.

Este trabajo es entregado a los mayores geómetras de aquel tiempo: Lagrange, Laplace y Legendre, entre otros jueces. Después de muchos análisis se decidió entregar el premio a Fourier, aunque de nuevo con objeciones (sobre todo de parte de Lagrange) desde el punto de vista del rigor matemático.

Esta es probablemente la razón por la cual el artículo ganador, contrario a la costumbre, no fue publicado inmediatamente, y sólo se editó en 1822 cuando el mismo Fourier era el Secretario Permanente de la Academia.

Debe señalarse que después del conocimiento de los detalles de su obra, los matemáticos de la época consideraron a Fourier como precursor de la teoría de las series trigonométricas y además como original introductor de nuevos métodos en el tratamiento de los problemas de la física matemática.

En la obra Théorie analytique de la chaleur (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto.

Aquí se deduce además la ecuación en derivadas parciales que rige el fenómeno:

,

donde V=V(x, y, z, t) designa la temperatura del cuerpo en el punto (x, y, z) en el momento t; k el coeficiente de difusión del calor, C la constante de capacidad calórica del cuerpo y D la densidad.

En el capítulo III Difusión del calor en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce su método original de trabajo con series trigonométricas.

La Théorie de la chaleur de Fourier es extraordinariamente rica en problemas, métodos e ideas tanto físicas como puramente matemáticas que dieron lugar a múltiples y disímiles teorías. El papel que se le asigna a Fourier en la conformación del análisis armónico, al punto de llamarlo análisis de Fourier está justificado en base a las siguientes cuestiones principales:

  1. En más de 50 páginas de su tratado Fourier se concentra en el desarrollo de una función arbitraria en serie trigonométrica (como superposición de los armónicos fundamentales). Observa que su análisis puede ser aplicado al problema de la cuerda vibrante y justifica el punto de vista de Daniel Bernoulli.
  2. Fourier dio un método original para hallar los coeficientes resolviendo por primera vez un sistema infinito de ecuaciones algebraicas con un número infinito de incógnitas. Aunque no expuso un fundamento teórico para su método, dio uno de los primeros pasos de lo finito a lo infinito, que trascenderá al Análisis Funcional. Llamó la atención del estudio de las propiedades de los coeficientes. Aunque no hizo una demostración rigurosa, ni le dio demasiada importancia, apuntó hacia la demostración de la convergencia a cero de los coeficientes que ha sido una idea que ha desarrollado el estudio general de los armónicos.
  3. Formuló en forma no rigurosa el principio de localización que establece el hecho de que la convergencia de la serie trigonométrica asociada a la función f en un punto x, depende sólo del comportamiento de f en una vecindad (tan pequeña como se quiera) del punto x. Esto fue demostrado posteriormente por Bernhardt Riemann (1853).
  4. Fourier estaba convencido de que toda función podía ser desarrollada en una serie trigonométrica convergente. Esto se debía, entre otras cosas, a la simpleza de la determinación de los coeficientes por la integración término a término de la serie. El problema de la convergencia de la serie de Fourier resultó ser sumamente complejo. Las primeras condiciones suficientes de convergencia fueron obtenidas por Lejeune Dirichlet (1829). La condición de convergencia uniforme se introduce con el objetivo de asegurar la integración término a término de la serie.
  5. A partir de su representación en serie, con un audaz paso al límite obtuvo la primera representación integral y el operador integral después conocido como transformación de Fourier, base y motivación para el análisis armónico abstracto del siglo XX.

La justificación rigurosa de la solución y la metodología introducida por Fourier en sus trabajos sobre la propagación del calor estimuló la introducción y precisión de muchos conceptos matemáticos.

II.4. Creación del aparato analítico para la investigación de los fenómenos

electromagnéticos

Uno de los primeros problemas resueltos exitosamente fue el problema de la construcción de la teoría de los fenómenos electromagnéticos. Hacia el s. XIX el estudio sobre la electricidad y el magnetismo se separó de la física como una rama independiente. En el año 1820 se llegó a conocer sobre el descubrimiento hecho por Oersted de la acción de la corriente sobre una aguja magnética, el cual establecía lo común de los fenómenos, al parecer, heterogéneos. Hacia esta misma época Biot, Savart, Laplace, Arago, Ampere, Coloumb y otros introdujeron los conceptos fundamentales necesarios: carga, cantidad de electricidad, densidad de electricidad, leyes de interacción de cargas inmóviles, etc. Los problemas del electromagnetismo trajeron consigo, en el plano matemático un conjunto de trabajos de investigación sobre la atracción de puntos según la Ley de Newton y los campos electrostáticos.

Los métodos de resolución de problemas de la mecánica celeste, en particular los problemas sobre la atracción de los cuerpos celestes según la ley de Newton obtuvieron un nuevo campo de aplicación. Fue introducido el concepto de potencial de un campo y definida su expresión para un campo simple formado por el punto cargado de masa m: (donde , es la constante de atracción es el punto atraído).

Enseguida fueron encontradas las expresiones del potencial para un sistema de puntos de atracción y después para el campo con distribución continua de masa de atracción en un volumen : ( es la densidad de la distribución).

Ya en el año l787 Laplace mostró que en el espacio fuera del cuerpo la función potencial satisface la ecuación A propósito, esta ecuación ya se encontraba en los trabajos de Euler y el concepto de función de fuerzas, cuya diferenciación según una dirección daría las fuerzas de atracción newtonianas, lo introdujo en 1773 Lagrange, conformando así mismo la idea de función de fuerza la cual fue enunciada ya por D. Bernoulli, Euler y Clairaut.

La teoría matemática del potencial eléctrico se formó de una forma rápida. Una serie de problemas sobre distribución de la electricidad en la superficie de los conductores los resolvió Poisson, el cual elaboró a fondo muchas partes de la física – matemática contemporánea a él: capilaridad, flexión de láminas, conducción del calor, etc. Alrededor del año 1813 Poisson extendió la ecuación de Laplace al espacio situado en el interior del cuerpo que atrae e introdujo la ecuación actualmente de amplio conocimiento:

Poisson resolvió muchos problemas de magnetostática. Para esto se apoyó, de hecho, en el concepto de potencial, sin embargo, no fue él quien introdujo este importante concepto.

El planteamiento general de la teoría del potencial surgió de los trabajos de Green y Gauss.

Green expuso su teoría en la obra Investigación sobre la teoría matemática de la electricidad y el magnetismo (1828). En ella investigó el problema central de la electrostática de aquella época. En la base de los razonamientos de Green yacía la idea de las fuerzas eléctricas y magnéticas pueden ser definidas a través de una función de coordenadas. La función potencial (como la llamó aquí por primera vez Green) se determina por la distribución de cargas. Green dedujo mas adelante el teorema integral conocido actualmente como fórmula de Green, mostró que el valor del potencial dentro o fuera de cualquier superficie se expresa a través del valor de la función potencial y su derivada normal sobre esta superficie.

En una forma más general y al parecer independientemente de Green, Gauss construyó una teoría general del potencial. Esto lo realizó en el trabajo Teoremas generales relativos a las fuerzas de atracción y repulsión... actuando inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (1840). A la función donde m puede representar tanto unas masas comunes como también cargas eléctricas o magnéticas, Gauss las denominó potencial. Investigó sistemáticamente las propiedades de la función potencial y su aplicación a los fenómenos físicos. No deja de ser interesante señalar la aparición en este trabajo del teorema

Este teorema lo demostró M.V. Ostrogradski (1828) y lo trató como una fórmula de balance hidrodinámico. Once años después, Gauss utilizó esta fórmula para relacionar la magnitud del flujo de la intensidad de las fuerzas del campo potencial dado con masa o carga común situada dentro de la superficie. En nuestra época esta fórmula la denominan fórmula de Gauss – Ostrogradski (lo que evidentemente es injusto).

En la historia de la física se advierte que al concepto de potencial, los físicos, durante mucho tiempo no le atribuyeron un significado de principio, tratando al potencial o a la función potencial solo como un concepto matemático cómodo. Su significado físico fue descubierto posteriormente, después del establecimiento de los conceptos de trabajo, energía y la ley de conservación de la energía.

Otra era la situación de ese importante concepto en las matemáticas. Su introducción posibilitó la ampliación del campo de aplicaciones del análisis matemático. Junto a la óptica y las oscilaciones, surgía la teoría matemática de los fenómenos electromagnéticos. El planteamiento del problema sobre el potencial insitó a la ampliación del concepto de integral, a la extensión de la integración sobre objetos complejos. En el análisis fue comenzada la elaboración de las funciones armónicas como soluciones de la ecuación diferencial de Laplace .

Las funciones armónicas obtuvieron ampliación en una amplia clase de problemas de contorno. Así es el problema de Dirichlet sobre la búsqueda de los valores de una función armónica en un dominio, dados sus valores sobre el límite (por ejemplo, determinación de la temperatura dentro de un cuerpo por la temperatura sobre su superficie, determinación de la forma de la membrana por la forma de su contorno).

Con este géneros de problemas se relaciona además el problema de Neumann en el cual la función armónica debe ser buscada por la magnitud de la derivada normal sobre el límite del dominio (búsqueda de la temperatura dentro de un cuerpo dado el gradiente de temperatura en su superficie, determinación del potencial del movimiento de un líquido incompresible que rodea a un cuerpo sólido de la condición de que las componentes normales de las velocidades de las partículas colindantes con la superficie del cuerpo, coincide con las componentes normales dadas de las velocidades de los puntos de la superficie del cuerpo).

Para la resolución de los problemas de contorno de la teoría de las funciones armónicas fueron elaborados métodos, que tienen gran significado tanto práctico como teórico.

Por ejemplo, para la resolución del problema de Dirichlet, H. A. Schwarz y C.G. Neumann idearon alrededor del año 1870 el método alternante, Poincaré, el método de los barridos (alrededor del año 1880), Fredholm, el método de las soluciones fundamentales, relacionado con las ecuaciones integrales, Perron, el método de las funciones superiores e inferiores.

Aún debe mencionarse el método de redes como un método fundamental en la resolución aproximada de problemas de contorno. Estos métodos daban la posibilidad de librarse de una u otra limitación, la cual era necesario imponer a la frontera del dominio.

Pero en cualquier planteamiento general de un problema de contorno surgieron los problemas de las condiciones de existencia de las soluciones y su estabilidad.

Gran significación en la historia de la teoría del potencial tienen las investigaciones del académico ruso A.M. Liapunov realizada a finales del s. XIX – comienzos del XX que entre otras cosas abordó el comportamiento de las derivadas de las soluciones del problema de Dirichlet.

Los problemas de la física matemática, surgidos de los primeros trabajos sobre teoría del potencial, adquirieron, como vimos, hacia fines del s. XIX gran generalidad. La solución de problemas teóricos tan generales y después el desarrollo tempestuoso de los métodos de resolución numérica de problemas de contorno (los que resultaron posible en relación con el surgimiento de los dispositivos electrónicos de cálculo) se relacionan enteramente con el siglo siguiente, el siglo XX.

II.5. Sobre el aparato matemático de la mecánica

Hemos citado ejemplos de aplicación del análisis matemático en la rama de los fenómenos eléctricos y magnéticos al igual que en las teorías del calor y de las ondas. Con estos ejemplos, el problema, naturalmente, no se agota. Los métodos analíticos penetraron en muchas ramas de las ciencias naturales, adquiriendo en ellas el significado de medios operativos resolutivos. Casi en primer lugar penetraron en la mecánica, determinando su contenido. La mecánica analítica adquirió su aspecto clásico precisamente como un estudio sobre las ecuaciones diferenciales que expresan las propiedades de las trayectorias de cualquier sistema mecánico. La investigación de las propiedades de estas ecuaciones y sus interpretaciones para casos particulares adquirieron significado de problema principal de la mecánica analítica. El papel decisivo de la construcción del sistema de esta ciencia lo comenzaron a jugar los postulados generales, o como se ha convenido en denominarlos, principios o leyes de la mecánica.

Supongamos dado un sistema, cuya posición para cada momento de tiempo t dado está definida por los valores de n parámetros independientes esto es, un sistema con n grados de libertad. Para la descripción de un movimiento se introducen dos conceptos: energía cinética T y energía potencial U. Los conceptos de energía cinética y potencial se contraponen, por esto se considera la ecuación de Lagrange (lagrangiano):

().

Las ecuaciones del movimiento del sistema mecánico son en esencia las ecuaciones diferenciales de Lagrange (introducidas por él a finales del s.XVIII):

().

La resolución e investigación de las ecuaciones diferenciales de Lagrange fue una de las direcciones fundamentales de la mecánica analítica del siglo XIX. Otro enfoque para formular los principios fundamentales de la mecánica consistió en que partía, no de las ecuaciones diferenciales, sino de ciertas integrales con respecto a las cuales se resolvía el problema variacional de búsqueda de mínimo. Por este camino se obtuvieron los principios variacionales de la mecánica.

El problema de la reducción de las ecuaciones diferenciales de la mecánica a un sistema canónico de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden fue adelantado esencialmente ya a comienzos del siglo (1809) por Poisson y años después (1834) resuelto brillantemente por Hamilton cuando introdujo la función:

(donde L es el lagrangiano.)

Hamilton hizo de estas ecuaciones la base de sus investigaciones sobre mecánica. La aportación de Hamilton representó la culminación de una serie de esfuerzos encaminados a hallar un principio amplio a partir del cual podían ser derivadas las leyes del movimiento de varios problemas de la mecánica. Inspiró la lucha por obtener principios variacionales similares en otras ramas de la física, tales como la elasticidad, el electromagnetismo, y en las más modernas, teoría de la relatividad y mecánica cuántica. Desde el punto de vista de la historia de las matemáticas el trabajo de Hamilton y quienes lo siguieron es significativo no solo para el desarrollo del cálculo de variaciones, sino también para la teoría de las ecuaciones diferenciales.

II.6. Breve comentario sobre algunos valiosos aportes de una mujer sorprendente

Como es conocido, a lo largo de la historia de las matemáticas, hasta el s.XIX fueron pocas las mujeres que se dedicaron de una forma u otra a la profundización del conocimiento científico, pues no se les era permitido por el simple hecho de ser mujer. A mediados del propio s. XIX justamente en el año 1850 nació en Moscú Sofía Vasilievna Kovalevskaya quien además de ser la primera mujer en el mundo profesor de matemáticas, brindó una gran ayuda para el desarrollo de la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales.

Según se conoce, los teoremas de existencia tuvieron en la historia de las ecuaciones diferenciales un doble significado. Resolvían la cuestión sobre el rigor y la validez de su aplicación y al mismo tiempo, los métodos brindaban la base para la elaboración de los métodos de integración numérica de las ecuaciones diferenciales.

El trabajo de Cauchy sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lo mejoró la propia Kovalevskaya, quién en 1874 en su primera obra Sobre la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales, demostró la existencia de una solución analítica única del problema de Cauchy bajo la condición de analiticidad de los datos. Un notable descubrimiento de Kovalevskaya es sobre la ecuación con condiciones iniciales analítica en una vecindad de

Para esta ecuación el problema de Cauchy no tiene solución analítica, ya que la serie de potencias que satisface formalmente las condiciones del problema, converge sólo con condiciones iniciales muy especiales.

Kovalevskaya extendió sus resultados a sistemas normales de EDP, dándoles una forma próxima a la actual. El caso en que los datos no son analíticos ha sido muy estudiado posteriormente, así como otras generalizaciones del teorema de Kovalevskaya.

III. ASPECTOS BIOGRÁFICOS

A continuación: biografías (según fecha de nacimiento) de algunas de las personalidades, tratadas en el presente trabajo, que enriquecieron el basto campo que abarcan los problemas de la física matemática.

Johann-Bernoulli (1667-1748). Nació y estudió en Basilea. Recibió su doctorado en Medicina. Su hermano mayor Jacob lo adentró en los misterios del nuevo cálculo. Desde 1695 fue profesor de matemáticas en la universidad de Groninga en Holanda. En 1705 regresó a Basilea donde se hizo cargo de la cátedra de matemáticas vacante a la muerte de su hermano Jacob. Con su entusiasmo por el nuevo cálculo convenció a muchos para que se dedicaran a su desarrollo, particularmente a Leonhard Euler, al marqués de L’Hospital y a tres de sus cuatro hijos varones. Fueron tantos sus partidarios como sus adversarios en los múltiples desafíos en que se vio envuelto, la mayoría retos que el mismo lanzó a la comunidad científica. Gracias a estos desafíos se abrió una de las ramas más fructíferas de las matemáticas: el cálculo de variaciones. Su temperamento, su fanfarronería y su arrogancia le propiciaron la enemistad con varios de sus colegas. Su hermano Jacob y su hijo Daniel también sufrieron su humor colérico. Su producción matemática es extensa, pero se destaca su correspondencia científica que consiste en unas 2 500 cartas.

Brook Taylor (1685-1731) Terminó la Universidad de Cambridge en 1709. Sus principales investigaciones fueron en la teoría newtoniana de fluxiones y sus aplicaciones. Estudió los problemas de pequeñas oscilaciones y el vuelo de los proyectiles; los problemas de la hidromecánica, la óptica, la astronomía y otros problemas de la filosofía natural. Desde 1712 fue miembro de la Royal Society of London y de 1714 a 1718 su Secretario permanente.

Daniel Bernoulli (1700-1782) Nació en Groninga donde su padre Johann I Bernoulli era catedrático de matemáticas. Estudió en la universidad de Basilea donde obtuvo el doctorado en Medicina. Fue uno de los primeros contratados para fundar la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde estuvo de 1725 a 1733. A su regreso a Basilea obtuvo la cátedra de fisiología y en 1750 la cátedra de mecánica. Fue el más multifacético de los geómetras Bernoulli. Destacó en matemáticas puras en campos como la teoría de ecuaciones diferenciales, el cálculo de probabilidades y la sumación de series infinitas, pero sobre todo se apasionó por las matemáticas mixtas en temas tales como la náutica, la mecánica racional, la teoría de la elasticidad y la teoría de la música. Su obra principal es la Hidrodinámica, publicada en 1738. Fue dos veces rector de la universidad de Basilea y siempre se sintió comprometido con su desarrollo. Ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de París sobre temas de gran importancia, siendo superado sólo por su amigo Leonhard Euler que ganó 13.

Leonhard Euler (1707-1783) nace en Basilea. Su padre Paul era un teólogo calvinista que escuchó las conferencias de Jacob Bernoulli. Estudió matemática elemental con su padre y otros profesores particulares como Johann Bernoulli. Su vida la podemos dividir en cuatro etapas: 1ª. Formación general en Basilea (hasta 1727). 2ª. Experiencia profesional en Rusia (1727-1741) 3ª. Madurez científica en Berlín (1741-1766) y 4ª. Vejez productiva en San Petersburgo (1766-1783). Escribe a los 19 años su primer artículo científico sobre curvas isócronas, bajo la tutoría de Johann Bernoulli.

Es el más productivo de todos los matemáticos. Su Opera Omnia tendrá 87 vols. con cerca de 900 trabajos, más la correspondencia y manuscritos, un promedio de unas 800 Págs. al año. Son 4 series: series prima (29 vols.)Matematica Pura, series secunda (31 Vols.) Mecánica y Astronomía, series tertia (12 vols.) Física y Miscelánea, series quarta (15 Vols.) Correspondencia, manuscritos, trabajos conjuntos de la última etapa. La distribución temática de los trabajos de Matemática Pura de Euler publicados es en % la siguiente: Análisis 60% (cálculo integral 33%, ecs.diff. 25%, series 22%, cálculo de variaciones 11%, cálculo diferencial 9%), Geometría 17%, Teoría de Números 13%, Álgebra 7%, Probabilidades 3%.

En este libro se encontrará muchas veces el nombre de Euler y es muy difícil enmarcar en este cuadro todos sus méritos científicos.

Tuvo 13 hijos (solo sobrevivieron la infancia 5) y 26 nietos a quienes les leía la Biblia y les hacía juguetes mecánicos y títeres para su entretenimiento. Fue quien ganó más premios de la Academia de Ciencias de París con 13, siendo su contendiente más próximo Daniel Bernoulli con 10 premios.

Poco después de su llegada a San Petersburgo, con poco más de 60 años, queda completamente ciego, pero en este período produce casi la mitad de toda su monumental obra con la ayuda de sus hijos Johann Albrecht, quien ocupaba la cátedra de Física en la Academia desde 1766, y Christoph, quien era militar de carrera. También recibió la ayuda de otros miembros de la academia. Paradójicamente una de las obras que culmina estando ciego es su Dióptrica en tres tomos. Fue miembro de casi todas las Academias de Ciencia y sociedades científicas de su época.

Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) geómetra y filósofo francés. Cursó Derecho en el colegio Mazarino. De forma autodidacta estudió las ciencias matemáticas. Se destacó por su trabajo en la Enciclopedia Francesa como uno de sus principales redactores. Su Tratado de Dinámica (1743) fue el primer trabajo donde se formularon las ecuaciones diferenciales del movimiento de un sistema material arbitrario. En 1744 se publicó su Tratado sobre el equilibrio y el movimiento de los líquidos que fue una de las primeras obras sobre Hidromecánica.

Las principales investigaciones matemáticas las realizó en la teoría de las ecuaciones diferenciales. Sus trabajos junto a los de Daniel Bernoulli y de Euler fueron seminales en la fundación de la física matemática. Se preocupó por fundamentar el Cálculo Infinitesimal con la idea de límite. También se interesó por el álgebra y la teoría de series infinitas. Fue miembro de las principales academias de ciencias.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Nació en Turín de una familia de ascendencia gala. Estudió en la Universidad y desde los 17 años fue profesor en la Escuela de artillería de Turín. Federico El Grande lo invitó a ocupar la plaza de Euler cuando este regresó a San Petersburgo. A la muerte de Federico, fue invitado por Louis XVI a París donde permaneció de 1787 hasta su muerte. Fue profesor de la École Normale primero y desde 1797 de la École Polytechnique.

Tenía una amplísima cultura matemática y sus obras tocan temas disímiles de la mecánica, la geometría, la teoría de ecuaciones diferenciales, el cálculo de variaciones, la teoría de funciones analíticas, el algebra, la teoría de números, la astronomía y de otros dominios del saber. Junto a sus alumnos en Turín creó una sociedad científica que pronto se convirtió en una Academia de Ciencias. Los primeros tomos de la Miscellanea Turinensia están repletos de trabajos de Lagrange. Fue presidente de la Academia de Ciencias de Berlín de 1766 a 1787. Ganó varios premios de la Academia de Ciencias de París por sus trabajos de Mecánica Celeste; en particular, en 1766 sobre el problema de los tres cuerpos, que más tarde se aplicó a la teoría del movimiento de los satélites de Júpiter, conocidos como los Troyanos.

Tenía un carácter introvertido y severo. Pero a los 56 años se casó con una joven de 17 que le dio un nuevo brío a su vida. Tuvo un papel importante en el perfeccionamiento de la educación en el período revolucionario, sobre todo en época de Napoleón que lo premió por toda su labor científica en Francia.

Jean Batiste Joseph Fourier (1768-1830) Fue hijo de un pobre sastre que lo dejó huérfano a los 8 años. Quiso estudiar en una academia militar de su provincia natal, pero al no ser noble no pudo matricular pese a la insistencia de Legendre. Se tuvo que contentar con entrar en una abadía benedictina como novicio y maestro de matemáticas. En 1789 la Asamblea General ordenó la suspensión de los votos religiosos y los privilegios de nobleza, por lo que pudo pasar a la academia militar de su pueblo natal. Allí impartió clases de retórica, historia y filosofía.

Participó activamente en las tareas revolucionarias. En 1795 fue enviado a la École Normale de París como alumno, pero pronto se destacó y pasó a ser profesor de la École Polytéchnique. Tomó parte en la campaña de Napoleón a Egipto. Fue Secretario del Instituto Egipcio donde desarrolló una actividad considerable de carácter organizativo y científico.

Al regresar a París, en 1801, trabajó en las reformas del sistema educativo en Francia. Enseguida Napoleón lo nombró Prefecto del Departamento de Isère. Tuvo la perspicacia de separarse de la línea de Napoleón justo antes de que este fuera derrotado. En 1816 fue electo miembro de la Academia, pero el Rey no lo confirmó. Por segunda vez, al siguiente año, fue electo y confirmado en la sección de Física General. En 1822 fue nombrado Secretario Permanente de la Sección de Matemática del Instituto de Francia. Además de los problemas de la propagación del calor y las series trigonométricas se interesó en el estudio de las ecuaciones algebraicas, sobre todo su solución numérica.

Publicó varias memorias sobre temas de la estadística matemática y la teoría de probabilidades. Hizo varias biografías sobre sabios franceses. Realizó importantes contribuciones a la egiptología. Fue miembro honorario de las Academias de San Petersburgo y de Londres.

Simeon Dennis Poisson (1781-1840) Uno de los primeros alumnos que terminó la Escuela Politécnica de París. Desde 1802 trabajó en la misma Escuela Politécnica, primero como examinador y más tarde como Profesor. Es uno de los más prolíferos sabios, con publicaciones en disímiles campos como la teoría de series de Fourier, el cálculo de variaciones, la teoría de probabilidades y la mecánica racional. Se considera uno de los creadores de la Física Matemática Desarrolló la teoría de la electrostática y del magnetismo, generalizó los estudios de hidrodinámica a los líquidos viscosos y con la consideración de intercambio de calor, resolvió varios problemas abiertos de la teoría de la elasticidad, introdujo el coeficiente que mide la cantidad de material de un cuerpo elástico.

En Mecánica Celeste hizo aportes importantes. Independientemente de Bessel investigó las funciones especiales llamadas de Bessel y dio su desarrrollo en series. Escribió un Curso de Mecánica (1811) que fue reeditado varias veces. Desde 1820 fue inspector de la enseñanza de la matemática en todos los colegios de Francia.

George Green (1793-1841) estudió de forma autodidacta las matemáticas y después terminó la universidad de Cambridge (1828) Sus principales trabajos son sobre Física Matemática. Además de la teoría del potencial relacionada con la electricidad y el magnetismo, introdujo ecuaciones fundamentales en el estudio de la elasticidad, partiendo de la ley de conservación de la energía. Se considera fue uno de los primeros que dio a conocer en Inglaterra el Análisis Matemático como era desarrollado en el continente. Fundador de la escuela de Física Matemática de Cambridge.

Mijail Vasilievich Ostrogradsky (1801-1862) lo había presentado a la Academia de San Petersburgo en 1828 sin conocer de las investigaciones de Green. Ostrogradsky después de terminar la universidad de Jarkov en Rusia, estudió de 1822 a 1827 en Paría con Cauchy y otros geómetras franceses. Trabajó en San Petersburgo como Profesor de diferentes escuelas militares y pedagógicas. Sus investigaciones más importantes son la hidromecánica, la teoría de elasticidad y en otras ramas de la mecánica teórica. Se interesó además por los problemas de la educación matemática tanto a nivel secundario como universitario.

Lejeune Dirichlet (1805-1859). La familia era del pueblo belga de Richelet, lo que explica su nombre Lejeune de Richelet, el joven de Richelet. Después de vencer fácilmente a los 16 años el Gymnasium de Bonn y dado el bajo nivel matemático en Alemania pasó a París. En París tuvo profesores como Fourier, Laplace, Legendre, Poisson y otros. Su primer artículo fue sobre el teorema de Fermat para n = 5. Más adelante probaría el caso n = 14. En 1825 regresó a Alemania, pero no tenía doctorado, ni sabía latín, algo imprescindible entonces para ejercer como profesor La Universidad de Cologne le dio un doctorado honorario y pudo comenzar como Profesor en la Universidad de Breslau.

En l828 a petición de Alexander von Humboldt pasó a Berlín. En 1831 se casó con una de las dos hijas del compositor Félix Mendelsohn. A la muerte de Gauss, en 1855, le ofrecieron la cátedra de Gotinga. En 1858 dando una conferencia en Montreaux, Suiza, le dio un ataque al corazón. Retornó a Gotinga donde recibió la noticia de la muerte de su esposa por una apoplejía. No se recuperó y murió algo después con solo 54 años. Se considera el iniciador de la teoría analítica de los números.

En 1837 en sus investigaciones sobre series de Fourier, introdujo la definición moderna de función. Se interesó en varios problemas de la mecánica, además de la teoría del potencial, la hidromecánica y la estabilidad del sistema solar. Riemann, que fue su alumno, dijo que Dirichlet escribió el primer artículo profundo sobre la teoría de series trigonométricas. Fue un excelente expositor. Era modesto y muy reservado. En sus últimos años, ya muy famoso, se negaba a hacer apariciones públicas. Se considera el iniciador de la edad de oro en Berlín y en toda Alemania.

William Rowan Hamilton (1805-1865) Nació y estudió en Dublín, donde pronto fue detectado su talento extraordinario. Se dice que a los 13 años dominaba 13 idiomas y a los 16 encontró un error en la Mecánica Celeste de Laplace. Fue profesor en la Universidad de Dublín desde los 22 años. Sus principales trabajos fueron en Óptica, Mecánica y Cálculo de Variaciones, pero también se interesó por el Algebra, la Geometría y las ecuaciones diferenciales. Estudió los números complejos desde el punto de vista algebraico introduciendo la representación en pares ordenados y trató de generalizar sus leyes operatorias a tríadas. Imposibilitado en su proyecto encontró las leyes de los cuaterniones en 1943 y dedicó los últimos 22 años de su vida a promover sus virtudes. Introdujo muchos de los conceptos del cálculo vectorial a través de su teoría de cuaterniones. Fue miembro de varias academias de Ciencia.

Sofía Vasilievna Kovalevskaya (1850-1891) Nació en Moscú, pero tuvo que estudiar en las universidades alemanas de Heidelberg y de Berlín, dada la imposibilidad de hacerlo en Rusia por el simple hecho de ser mujer. Estudió en Weierstrass de 1870 a 1874, pero su doctorado lo recibió en Gotinga. Al regresar a Rusia solo encontró trabajo como maestra de niveles secundarios. En 1884 su amigo Gosta Mittag-Leffler le tramitó una plaza de profesor en la Universidad de Estocolmo. Sus principales investigaciones fueron en la teoría matemática de la rotación de los cuerpos sólidos alrededor de un punto fijo, con lo que en 1888 recibió el Premio anual de la Academia de Ciencias de París y en 1889 el Premio de la Academia de Ciencias de Estocolmo. También resolvió un problema abierto en la teoría de las integrales abelianas. Sus investigaciones abarcan además diversos temas de la física matemática, la mecánica celeste y la teoría del potencial.

Le gustaba escribir obras literarias y, en especial, sus Memorias de la infancia (1890) alcanzaron popularidad. Escribió numerosos artículos para la prensa con diferentes seudónimos. Participó junto a su esposo en las luchas a favor de la Comuna en Paría. Compartía las ideas de los socialistas utópicos.

Henri Poincaré (1854-1912) Nació en Lorena, en el seno de una familia de clase media superior. La habilidad matemática se hizo evidente desde la enseñanza secundaria. Ganó varios premios del concours général de todos los liceos de Francia e ingresó en la Ecole Polytechnique de París que terminó en 1875. Después estudió ingeniería en las Escuelas de Minas. Trabajó como ingeniero mientras que escribía su tesis de doctorado de Matemáticas, aprobada en 1879. Fue designado a Caen y seguidamente pasó a la Universidad de Paría en la cual fue profesor desde 1881 hasta su muerte prematura. La cantidad, calidad y variedad temática de los trabajos publicados por Poincaré es superada sólo por matemáticos de la talla de Euler o Cauchy. Geometría Algebraica, Teoría de los números, Algebra, Topología Algebraica, Fundamentos de la Matemática, Teoría de funciones, Teoría de Ecuaciones Diferenciales, Física Matemática y Mecánica Celeste, son algunos de los campos donde alcanzó resultados trascendentes. La obra más extraordinaria de Henri Poincaré que fue realizada en su temprano, pero prodigioso, período de actividad matemática (1880-86) es la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales. En sus últimos años de vida se preocupó por la Filosofía de la Matemática. Recibió innumerables premios y honores, tanto en Francia como en el extranjero. Fue miembro de más de 35 Academias de Ciencia.

IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Espero que este pequeño paseo científico – histórico – cultural sobre las ecuaciones de la Física – Matemática (s. XVIII y s. XIX) le haya resultado interesante y de su agrado. Me consideraría en extremo afortunado y con infinita satisfacción en caso de que eso suceda.

Sería muy placentero corroborar que esta investigación le resulte útil en la asimilación de esta vital disciplina que llegó para permanecer en el corazón de las matemáticas.

Pretendo que el presente sea solo el inicio de una investigación más profunda y abarcadora donde se aborden otros siglos. Cualquier sugerencia en ese sentido será muy agradecida.

Permitirnos acercarnos aun más a esta singular disciplina a través de las personalidades que se encargaron de enriquecerla es una oportunidad inolvidable que no debemos dejar de experimentar.

V. BIBLIOGRAFÍA

[1] Lützen, J. Partial differential equations in Grattan Guinness (ed.) Enciclopedia de Historia y Filosofía de la Matemática

[2] Ríbnikov, K. A. (1987) Historia de las matemáticas. Ed. Mir. Moscú

[3] Samarsky, A. A.; Tijonov, A. N. (1980) Ecuaciones de la Fisica Matemática. Ed. Mir. Moscú

[4] Sánchez, C; Valdés, C. (2004) De los Bernoulli a los Bourbakí. Una historia del arte y la ciencia del cálculo. Ed. Nivola. Madrid

[5] Sánchez, C; Valdés, C. (2001) Los Bernoulli. Geómetras y Viajeros. Ed. Nivola. Madrid

 

 

 

 

Autor:

Yoisell Rodríguez Núñez

Lic. Matemática; Prof. Instructor

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Ciudad de la Habana

Noviembre 2005


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