¨ No basta saber, se debe
también aplicar.
No es suficiente querer, se debe
también hacer.¨
Uno de los campos de la física más
complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento
de gases y
líquidos en movimiento. La
mecánica de fluidos es fundamental en
campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e
industrial, la meteorología, las construcciones navales y
la oceanografía.
El objetivo de
este trabajo
consiste en establecer las ecuaciones
fundamentales de la dinámica de fluidos (Ecuaciones de
Navier – Stokes), las cuales resultan ser también de suma
importancia tanto para la ingeniería como para la medicina.
En efecto, sin ellas resultaría
matemáticamente imposible describir, por ejemplo, los
flujos de aire turbulento o
los remolinos que se forman cuando el agua
discurre por una tubería o la sangre por una
arteria.
Uno de los campos de la física más
complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de
gases y líquidos en movimiento. La mecánica de fluidos es fundamental en
campos tan diversos como la aeronáutica, la
ingeniería química, civil e industrial, la
meteorología, las construcciones navales y la
oceanografía. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire
turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre
por una tubería o la sangre por una arteria son de suma
importancia, tanto para la ingeniería como para la
medicina.
Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de
fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, surgieron
producto del
francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del
matemático irlandés George Stokes.
El primero en obtener estas ecuaciones fue el
francés en una época (1822) en que no se
comprendía muy bien cuál era la física de la
situación que estaba matematizando. De hecho, lo
único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes
y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que
incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del
fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes
justificó las ecuaciones del ingeniero francés
deduciéndolas adecuadamente.
A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son
sólo una aproximación del comportamiento real de
los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que
tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia
el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de
prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a
complicar.
Los modelos
basados en la teoría
de dinámica de fluidos han sido desarrollados desde los
1950's y se han utilizado en la ciencia de
tránsito con un éxito
considerable. Cuando es visto desde una gran distancia, por
ejemplo, desde un avión, el tránsito pesado aparece
como el torrente de un fluido. Por lo tanto, un estudio con
enfoque macroscópico sobre el flujo de
tránsito de autos se puede
desarrollar en analogía con la teoría hidrodinámica de fluidos tratando al
tránsito como un fluido uni-dimensional de izquierda a
derecha.
I.1 Ecuaciones de Navier –
Stokes
I.1.1 Ecuaciones
fundamentales de la Mecánica (movimiento de
fluidos)
Establezcamos las ecuaciones del movimiento de un fluido
compresible y viscoso. Para el caso general de un movimiento
tridimensional, el campo de corrientes está determinado
por el vector velocidad
con las tres componentes rectangulares 
además de la
presión
y la densidad
Para la
determinación de estas cinco magnitudes disponemos de la
ecuación de continuidad (conservación de la masa),
las tres ecuaciones del movimiento (conservación de la
cantidad de movimiento) y la ecuación termodinámica de estado
, es decir, cinco
ecuaciones también.
La ecuación de continuidad expresa que la suma de
las masas entrante y saliente por unidad de volumen en la
unidad de tiempo es
igual a la variación de la densidad por unidad de tiempo
(véase ). Luego, para el movimiento no estacionario de un
fluido compresible ella podrá escribirse como:
(I.1)
mientras que para un fluido incompresible toma la forma
simplificada
(I.1a)
Para establecer las ecuaciones fundamentales del
movimiento partimos de las leyes
fundamentales de la Mecánica, según las cuales, el
producto de la masa por la aceleración es igual a la suma
de las fuerzas. Las fuerzas que actúan, son fuerzas de
masa (peso) y fuerzas de superficies (fuerzas de presión y
de rozamiento).
Sean 
la
fuerza
másica por unidad de volumen (
vector del campo gravitatorio terrestre) y
la fuerza de
superficie por unidad de volumen, luego, las ecuaciones del
movimiento en notación vectorial vendrán dadas
por:
(I.2)
siendo
la fuerza de masa, la fuerza superficial y la
aceleración sustancial respectivamente.
Las fuerzas másicas se consideran fuerzas
exteriores, mientras que las fuerzas superficiales dependen del
estado de deformación (estado de movimiento) del
fluido.
El conjunto de fuerzas superficiales determinan un
estado de tensión. Nuestro objetivo es ahora, obtener la
relación entre el estado de
tensión y el estado de deformación.
I.1.2 Campo general de
tensiones de un cuerpo deformable
Para formular las fuerzas de superficie, imaginemos un
elemento de volumen de forma cúbica 
con su vértice
inferior izquierdo en el punto 
.
Es conocido de la Mecánica que la fuerza total
procedente de las fuerzas de superficie, 
por unidad de volumen 
es,
(I.3)
con
donde 
denota las tensiones normales y sus índices las
direcciones normales, mientras que 
representa las tensiones tangenciales y
en doble índice, el primero indica la dirección a la cual es perpendicular el
elemento de superficie y el segundo la dirección en la que
apunta la tensión 
.
La tensión puede ser determinada mediante nueve
magnitudes escalares, que forman un tensor de tensiones. El
conjunto de las nueve componentes del tensor se llaman
también matriz del
tensor
Se puede demostrar, que las tensiones tangenciales con
iguales índices pero en orden inverso, deben ser iguales,
o sea 
, 
y 
. Esto resulta de la
igualdad de
momentos alrededor de un eje arbitrario para cuerpos
elásticos en equilibrio
(véase ). Por tanto, la matriz del tensor 
que tendrá solo
seis componentes distintas y será simétrica se
puede escribir como
(I.5)
De las ecuaciones (I.3), (I.4) y la simetría de
las tensiones tangenciales expresadas en (I.5) tendremos que, la
fuerza de superficie por unidad de volumen será
(I.5a)
Luego, si consideramos la ecuación de movimiento
(I.2) escrita para la fuerza total procedente de las fuerzas de
superficie 
,
ésta expresada por componentes tomará la
forma
(I.6)
Para un fluido sin rozamiento, todas las tensiones
tangenciales son nulas, solo quedan las tensiones normales, que
además son iguales entre sí y cuyo valor cambiado
de signo, se llama presión del fluido :
De ahí que, la presión del fluido es
también igual a la media aritmética de las
tensiones normales cambiada de signo, o sea:
(I.7)
El sistema de las
ecuaciones (I.6) contiene las seis componentes de la
tensión 
El paso siguiente debe ser poner en relación estas seis
componentes con las deformaciones, y de aquí con las tres
componentes de la velocidad
Según se conoce de la Mecánica, la
ley general de
Hooke para un cuerpo sólido elástico escrita en
forma matricial viene dada por
(I.8)
donde 
son las tres componentes del desplazamiento
el módulo de rigidez y 
como habíamos
dicho, la media aritmética de las tensiones
normales.
I.1.3 Relación entre
las tensiones y la deformación para líquidos y
gases
La ecuación matricial (I.8) expresa
también inmediatamente la ley de la resistencia de
Stokes, con la única diferencia de que las tensiones,
según la ley de Stokes, son proporcionales a las
velocidades de la deformación. De aquí resulta que
el tensor de las tensiones para un fluido en movimiento se
obtiene sustituyendo en la ecuación (I.8) el
desplazamiento
por la velocidad de desplazamiento
que se identifica con el vector velocidad usual. En
lugar del módulo de rigidez 
, aparece el coeficiente de viscosidad
. Además
sustituiremos la media aritmética de las tensiones
normales 
por la
presión del fluido cambiada de signo 
, de acuerdo con la
ecuación (I.7). Con estas modificaciones, la
fórmula de Stokes para la matriz de las tensiones de un
fluido, análoga a la expresión (I.8),
será:
(I.9)
Luego, si separamos de las tensiones normales la
presión, poniendo
(I.10)
obtendremos las siguientes expresiones para las
componentes de la resistencia o viscosidad:
Para fluidos viscosos incompresibles desaparece el
último término de la ecuación (I.9) por ser
, mientras que
para fluidos no viscosos (
) e incompresibles dicha ecuación se reduce a
; 
; al igual que para
fluidos compresibles y no viscosos.
I.1.4 Ecuaciones de Navier
– Stokes
Las ecuaciones del movimiento (I.6) una vez separada la
componente de la presión independiente de la resistencia
según (I.10), toman la forma
Con estas expresiones de Stokes obtendremos la fuerza
superficial resultante en función de
las componentes de la velocidad, por ejemplo, para la
dirección 
la ecuación (I.5a) nos da
y según (I.11)
Para 
y
se obtienen
expresiones análogas.
Si sustituimos estas expresiones fundamentales en (I.6),
obtendremos el sistema de ecuaciones:
(I.12a,b,c)
conocido con el nombre de ecuaciones de Navier
– Stokes las cuales constituyen el fundamento de toda
la Mecánica de Fluidos . A ellas hay que añadir la
ecuación de continuidad, que para fluidos compresibles,
según la ecuación (I.1) es
(I.13)
Para flujo incompresible todavía se simplifica
más este sistema de ecuaciones, aun en el caso de no ser
constante la temperatura.
En primer lugar, según la ecuación (I.1a)
se tiene 
.
Además, por ser pequeña la variación del
coeficiente de viscosidad con la temperatura, se le puede
considerar como constante. Véase Cap. I de :
Luego, las ecuaciones (I.12a,b,c) y (I.13) desarrollando
las aceleraciones, se convertirán en:
(I.15)
Estas ecuaciones de Navier – Stokes dadas en
(I.14a,b,c) para fluidos incompresibles, se pueden escribir en
forma vectorial, así:
(I.16)
donde 
representa el operador de Laplace
Ellas, se diferencian de las ecuaciones eulerianas del
movimiento para fluidos no viscosos por la presencia del
término de la resistencia 
.
Puesto que la fórmula de Stokes para la fuerza
del rozamiento es puramente empírica, no es seguro, a priori,
que las ecuaciones de Navier – Stokes describan
correctamente el movimiento de un fluido. Por eso es necesario
una demostración a posteriori, que solo es posible por
vía experimental.
A pesar de las grandes dificultades matemáticas que ofrecen estas ecuaciones,
son conocidas algunas soluciones
particulares que resultan ser interesantes, como por ejemplo, el
flujo por tubos (cilindros), así como el flujo
correspondiente a la capa límite, las cuales concuerdan
perfectamente con los resultados experimentales, no permitiendo
dudas sobre la validez general de las ecuaciones de Navier
– Stokes.
Veamos a continuación que forma presentan las
ecuaciones de Navier – Stokes y de continuidad en
coordenadas cilíndricas.
Si designamos por 
las coordenadas axial, radial y angular, y por
las componentes
de la velocidad en las direcciones de dichas coordenadas,
obtenemos estas ecuaciones en coordenadas cilíndricas para
fluidos incompresibles que de las ecuaciones (I.15) y (I.16) se
escriben como sigue
Particularmente podemos destacar que, en el modelo de
hemodinámica en arterias de Antanovskii – Ramkissoon
, las ecuaciones de continuidad y de Navier – Stokes toman
la forma
(I.17)
(I.18)
(1.19)
puesto que allí, el fluido es compresible y
viscoso, no actúan fuerzas másicas por unidad de
volumen (fuerzas externas), y no se considera la componente
angular de la velocidad, o sea, 
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Espero que este pequeño trabajo, donde se labora
el camino para establecer las ecuaciones fundamentales de la
Dinámica de Fluidos, tribute y estimule a investigaciones
más profundas sobre este importante e interesante tema que
nos ayuda a describir, con cierta elegancia matemática, la dinámica presente en
infinidad de situaciones en campos tan diversos como la
aeronáutica, la ingeniería química, civil e
industrial, la meteorología, las construcciones navales y
la oceanografía. Por citar sólo algunos.
ANTANOVSKII, L. K. A. R., H. Long – wave peristaltic
transport of a
compressible viscous fluid in a finite pipe subject to a time –
dependent pressure drop. Fluid Dynamics Research, 1997, 19:
115-123.
SCHLICHTING, H. Teoría de la Capa Límite. Madrid,
1979.
Autor:
Yoisell Rodríguez
Núñez
Lic. Matemática; Prof. Instructor
UNIVERSIDAD DE LA HABANA
Facultad de Matemática y
Computación
Ciudad de la Habana
Enero 2006