Series de Fourier y Transformada de La Place
- Definición de la serie de Fourier
- El conjunto de funciones
- Series de Fourier de cosenos y de senos
- Resumen de las constantes de la series de Fourier
- Serie de Fourier en forma compleja
- Aplicaciones de la Serie de Fourier
- ¿Qué es la Transformada de Laplace?
- Condiciones suficientes para la existencia
- Transformada inversa
- Teoremas de traslación
- Aplicación de la transformada en Circuitos eléctricos
¿Qué es la Serie de Fourier?
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.
Definición de la serie de Fourier
Supongamos que 
es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un
intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una
función
definida en el intervalo [a,b], ¿será posible
determinar un conjunto de coeficientes 
0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos
los componentes de un vector, también podemos determinar
los coeficientes 
mediante el producto
interno. Al multiplicar la ecuación anterior por
e
integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras, 
(1)
En la que 
(2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
(1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes 
pueden determinar tal como describimos
para la serie de Fourier generalizada en la sección
anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función 
, 
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho
de (3) se reduce a un solo término y, en
consecuencia,
Al despejar 
se obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
e
integremos:
(5)
por la ortogonalidad tenemos que
y 
Entonces la ecuación 5 se reduce a 
Y así 
(6)
Por último si multiplicamos a (2) por 
, integramos y aplicamos
los resultados
llegamos a 
(7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
Series de Fourier de cosenos y de senos
Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en
.
En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),
,
n=0,1,2,..., 
Resumen de las constantes de la series de Fourier
- La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
en que 
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos
en donde 
Serie de Fourier en forma compleja
Cálculo de Cn:
Ejemplo:
|
Calcular la serie compleja de fourier para :
f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s |
|
Aplicaciones de la Serie de Fourier
Ejemplo 1:
Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal
la serie de fourier tiene el siguiente aspecto
a0 / 2 ® valor medio
a1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourier
w 0 ... ® frecuencia (2·p /T)
n · w 0 ... ® harmónicos
Ejemplo 2:
f(t)=2·sen t – sen(2·t) + (2/3)·sen (3·t) - 1/2·sen (4·t) +2/5 sen (5·t)+....
Ejemplo 3:
|
|
|
Entonces; tenemos el siguiente procedimiento
|
|
+ |
|
= |
|
Analíticamente tenemos:
¿Qué es la Transformada de Laplace?
En matemáticas y, en particular, en análisis funcional, la Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Definición de la Transformada de Laplace
Definición básica. Si f(t)
está definida cuando 
, la integral impropia 
se define como un
límite:
Si existe un límite se dice que la integral
existe o que es convergente, si no existe el límite, la
integral no existe y se dice que es divergente. En general el
límite anterior existe sólo para ciertos valores de la
variable s. La situación 
proporciona una transformación lineal
muy importante:
Sea f una función definida para . Entonces la
integral
se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.
Evaluar L{1}.
Solución 
L 
es una transformada lineal, para una suma de
funciones se puede escribir
siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,
Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior
Condiciones suficientes para la existencia
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo
y de orden
exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe
para s>c.
Demostración 
La integral 
existe, porque se puede expresar como una suma de
integrales sobre intervalos en que 
es continua. Ahora
cuando s>c. Como 
converge, la integral 
converge, de acuerdo con la prueba de
comparación para integrales impropias. Esto a su vez,
implica que 
existe para s>c. La existencia de 
e implica que 
existe cuando s>c.
Transformadas de algunas funciones básicas
a) 
b)
c) 
d)
e) 
f)
g) 
Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
Algunas transformadas inversas
a) 
b)
c) 
d)
e) 
f)
g) 
es
una transformada lineal. Suponemos que la transformada
inversa de Laplace es, en sí, una transformación
lineal; esto es, si 
y 
son
constantes,
en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.
La transformada inversa de Laplace de una función
F(s) puede no ser única. Es posible que 
y, sin embargo,
.
Comportamiento de F(s) cuando 
Si f(t) es continua por tramos en 
y de orden exponencial
para t>T, entonces 
Demostración Dado que f(t) es continua
parte por parte en 
, necesariamente es acotada en el intervalo; o sea 
. También
cuando t>T.
Si M representa el máximo de 
y c indica el máximo de
,
entonces
para s>c. Cuando , se tiene que 
, de modo que 
.
Primer teorema de traslación
Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,
Demostración La demostración es inmediata
Segundo teorema de traslación
Si 
y
a>0, entonces
Demostración Expresamos a 
como la suma de dos
integrales:
.
Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces
Derivadas de transformadas
Si 
y
n=1,2,3,..., entonces
Transformada de una derivada
Si f(t), f’(t),..., 
son continuas en
, son de orden
exponencial, y si 
es continua parte por parte , entonces
en donde 
Teorema de la convolución
Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en
y de orden
exponencial,
Demostración Sean 
Y 
.
Al proceder formalmente obtenemos
Mantenemos fija 
y escribimos 
, de modo que
Transformada de una función periódica
Si f(t) es continua por tramos en , de orden exponencial y
periódica con periodo T,
(a)
Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:
(b)
Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en
Por consiguiente, la ecuación (b) es 
Al despejar 
se llega al resultado de la ecuación (a).
EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2:
EJEMPLO 3:
Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos
|
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EJEMPLO 2:
Transformadas de Circuitos:
|
Análisis de la Caída de Tensión |
Análisis para Corriente |
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Resistencia
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Inductancia
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Capacitor
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La siguiente tabla muestra los trabajos publicados por el Ingenierio Ivan Escalona para quien este interesado en consultar los diversos temas y bajar los trabajos, comentarios al correo:
|
Ahorro de energía |
http://www.monografias.com/trabajos12/ahorener/ahorener.shtml |
|
Aire comprimido |
http://www.monografias.com/trabajos13/compri/compri.shtml |
|
Análisis de factibilidad de la sustitución |
http://www.monografias.com/trabajos17/factibilidad/factibilidad.shtml |
|
Análisis de la Psicopatología |
http://www.monografias.com/trabajos12/pedpsic/pedpsic.shtml |
|
Análisis Sistemático de la Producción |
http://www.monografias.com/trabajos12/andeprod/andeprod.shtml |
|
Antropología Filosófica |
http://www.monografias.com/trabajos12/antrofil/antrofil.shtml |
|
Antropología Filosófica 2 |
http://www.monografias.com/trabajos12/wantrop/wantrop.shtml |
|
Aplicación de la planeación estratégica |
http://www.monografias.com/trabajos16/planeacion-nepsa/planeacion-nepsa.shtml |
|
Aplicación de un estudio de Mercado |
|
|
Aplicación de un estudio de Mercado |
www.monografias.com/trabajos16/estudio-mercado-cafe/estudio-mercado-cafe.shtml |
|
Aplicaciones del tiempo estánda |
http://www.monografias.com/trabajos12/ingdemeti/ingdemeti.shtml |
|
Artículo 14 y 16 de la Constitución |
http://www.monografias.com/trabajos12/comex/comex.shtml |
|
Átomo |
http://www.monografias.com/trabajos12/atomo/atomo.shtml |
|
Balanceo de Líneas de ensamble |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/pcplinen.htm |
|
Balanceo de líneas y tiempo estándar |
http://www.monografias.com/trabajos14/balanceo/balanceo.shtml |
|
Biología |
|
|
Biología |
http://www.monografias.com/trabajos12/biolo/biolo.shtml |
|
Código de Ética |
http://www.monografias.com/trabajos12/eticaplic/eticaplic.shtml |
|
Comparación de autores y escuelas |
http://www.monografias.com/trabajos12/pedidact/pedidact.shtml |
|
Conocimiento sensible |
http://www.monografias.com/trabajos12/pedyantr/pedyantr.shtml |
|
Contrato individual de trabajo |
http://www.monografias.com/trabajos12/contind/contind.shtml |
|
Calidad - Gráficos de Control |
http://www.monografias.com/trabajos12/concalgra/concalgra.shtml |
|
Control de Calidad |
http://www.monografias.com/trabajos11/primdep/primdep.shtml |
|
Cuestiones Antropológicas |
http://www.mercaba.org/FICHAS/Monografias/cuestiones_antropologicas.htm |
|
Curso de fisicoquímica |
http://www.monografias.com/trabajos12/fisico/fisico.shtml |
|
Curso de Inglés para Ingeniería Industrial |
http://www.monografias.com/trabajos14/ingless/ingless.shtml |
|
Definición de Filosofía |
http://www.monografias.com/trabajos12/wfiloso/wfiloso.shtml |
|
Delitos patrimoniales y Responsab |
http://www.monografias.com/trabajos12/derdeli/derdeli.shtml |
|
Nociones de derecho positivo |
http://www.monografias.com/trabajos12/dernoc/dernoc.shtml |
|
Derecho de la Familia Civil |
http://www.monografias.com/trabajos12/derlafam/derlafam.shtml |
|
Diseño y manufactura asistido por PC |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/macives.htm |
|
Diseño y manufactura asistido por PC |
http://www.monografias.com/trabajos14/manufaccomput/manufaccomput.shtml |
|
Distribución de Planta |
http://www.monografias.com/trabajos12/distpla/distpla.shtml |
|
El hombre ante los problemas |
http://www.monografias.com/trabajos12/quienes/quienes.shtml |
|
Perfil del hombre y Cultura en México |
http://www.monografias.com/trabajos12/perfhom/perfhom.shtml |
|
El Poder de la Autoestima |
http://www.monografias.com/trabajos12/elpoderde/elpoderde.shtml |
|
El Quijote de la Mancha |
http://www.monografias.com/trabajos12/lresquij/lresquij.shtml |
|
Elaboración de un Manual de Calidad |
http://www.gestiopolis.com/recursos2/documentos/fulldocs/ger/mancalivan.htm |
|
http://www.monografias.com/trabajos16/pinion/pinion.shtml |
|
|
Elaboración de una tuerca giratoria de acero duro TX10T |
http://www.monografias.com/trabajos17/tuerca-giratoria/tuerca-giratoria.shtml |
|
Electroválvulas en Sistemas de Ctrl |
http://www.monografias.com/trabajos13/valvu/valvu.shtml |
|
Empresa y familia |
http://www.monografias.com/trabajos12/teoempres/teoempres.shtml |
|
Entender el Mundo de Hoy |
http://www.monografias.com/trabajos12/entenmun/entenmun.shtml |
|
Estructura de Circuitos Hidráulicos |
http://www.monografias.com/trabajos13/estrcir/estrcir.shtml |
|
Estudio Económico en una Empresa |
www.monografias.com/trabajos16/evaluacion-ferrioni/evaluacion-ferrioni.shtml |
|
Etapa de la Independencia de Mexico |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmetapas/hmetapas.shtml |
|
Eva de proyectos - Estudio Económico |
http://www.gestiopolis.com/recursos2/documentos/fulldocs/fin/evaproivan.htm |
|
Exámenes de Álgebra Lineal |
http://www.monografias.com/trabajos12/exal/exal.shtml |
|
Factores Universales para determinar la confiabilidad |
http://www.monografias.com/trabajos16/confiabilidad/confiabilidad.shtml |
|
Filosofía de la educación |
http://www.monografias.com/trabajos12/pedfilo/pedfilo.shtml |
|
Física Universitaria – Mecánica |
http://www.monografias.com/trabajos12/henerg/henerg.shtml |
|
Física Universitaria – Oscilaciones |
http://www.monografias.com/trabajos13/fiuni/fiuni.shtml |
|
Fraude del Siglo |
http://www.monografias.com/trabajos12/frasi/frasi.shtml |
|
Frederick Winslow Taylor - Padre de la Ingeniería Industrial |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/twtivan.htm |
|
Fundamentos de Economía en Calidad |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/fin/fundelacal.htm |
|
Garantías Individuales |
http://www.monografias.com/trabajos12/garin/garin.shtml |
|
Giovanni Sartori, Homo videns |
http://www.monografias.com/trabajos12/pdaspec/pdaspec.shtml |
|
Gobierno del general Manuel González |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmmanuel/hmmanuel.shtml |
|
Herramientas para Ingenieros Industriales Harvard-UPIICSA |
http://www.gestiopolis.com/recursos5/docs/ger/estamanufac.htm |
|
Herramientas por arranque de viruta |
www.monografias.com/trabajos14/maq-herramienta/maq-herramienta.shtml |
|
Historia – El Maximato |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmmaximt/hmmaximt.shtml |
|
Historia – Inquisición en la New España |
http://www.monografias.com/trabajos12/hminqui/hminqui.shtml |
|
Historia – La Guerra con los EEUU |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmguerra/hmguerra.shtml |
|
Historia – La Intervención Francesa |
http://www.monografias.com/trabajos12/hminterv/hminterv.shtml |
|
Historia - Las Leyes de Reforma |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmleyes/hmleyes.shtml |
|
Historia – Primer Gobierno Centralista |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmprimer/hmprimer.shtml |
|
Identificación de la problemática mediante Pareto e Ishikawa |
www.monografias.com/trabajos17/pareto-ishikawa/pareto-ishikawa.shtml |
|
Trabajo de ingeniería de medición |
http://www.monografias.com/trabajos12/medtrab/medtrab.shtml |
|
Ingeniería de Métodos – Muestreo |
http://www.monografias.com/trabajos12/immuestr/immuestr.shtml |
|
Ingeniería de Métodos - Análisis Sistemático de la producción |
http://www.monografias.com/trabajos12/igmanalis/igmanalis.shtml |
|
Ingeniería Industrial – Programación Lineal en Investigación de operaciones |
http://www.monografias.com/trabajos13/upicsa/upicsa.shtml |
|
Ingeniería Industrial y Mercadotecnia |
www.monografias.com/trabajos16/ingenieria-mercadotecnia/ingenieria-mercadotecnia.shtml |
|
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/introalaii.htm |
|
|
Introducción al JIT |
http://www.gestiopolis.com/recursos2/documentos/fulldocs/ger/introjit.htm |
|
Investigación de Mercados |
|
|
Investigación de mercados |
http://www.monografias.com/trabajos11/invmerc/invmerc.shtml |
|
IO - Método Simplex |
http://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtml |
|
IO - Redes y Admon de Proyectos |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/iopertcpm.htm |
|
Jean Michelle Basquiat |
http://www.monografias.com/trabajos12/bbasquiat/bbasquiat.shtml |
|
José López Portillo |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmlopez/hmlopez.shtml |
|
Juicio de amparo |
http://www.monografias.com/trabajos12/derjuic/derjuic.shtml |
|
Enseñanza de la ingeniería |
http://www.monografias.com/trabajos12/pedense/pedense.shtml |
|
La Familia en El derecho Civil Mexicano |
http://www.monografias.com/trabajos12/dfamilien/dfamilien.shtml |
|
La Familia en el Derecho Positivo |
http://www.monografias.com/trabajos12/dlafamil/dlafamil.shtml |
|
La Familia II |
http://www.monografias.com/trabajos12/lafami/lafami.shtml |
|
La vida: Las cosas se conocen |
http://www.monografias.com/trabajos12/lavida/lavida.shtml |
|
Las religiones y la moral |
http://www.monografias.com/trabajos12/mortest/mortest.shtml |
|
Legislación y Mecanismos para la promoción Industrial |
http://www.monografias.com/trabajos13/legislac/legislac.shtml |
|
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/mantiemesivan.htm |
|
|
Manufactura Industrial II - Trabajo Final |
http://www.gestiopolis.com/recursos/ documentos/fulldocs/ger1/tfinman2.htm |
|
Mecánica Clásica – Movimiento |
http://www.monografias.com/trabajos12/moviunid/moviunid.shtml |
|
Memoria de cálculo |
http://www.monografias.com/trabajos12/elplane/elplane.shtml |
|
Memoria técnica de cálculo |
http://www.monografias.com/trabajos12/electil/electil.shtml |
|
Métodos de Evaluación Financiera en Evaluación de proyectos |
www.monografias.com/trabajos16/metodos-evaluacion-economica/metodos-evaluacion-economica.shtml |
|
México de 1928 a 1934 |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmentre/hmentre.shtml |
|
México: ¿Adoptando Nueva Cultura? |
http://www.monografias.com/trabajos12/nucul/nucul.shtml |
|
Moral – Salvifichi Doloris |
http://www.monografias.com/trabajos12/morsalvi/morsalvi.shtml |
|
Museo de las Culturas |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmmuseo/hmmuseo.shtml |
|
Introducción a los Sistemas Hidráulicos |
http://www.monografias.com/trabajos13/intsishi/intsishi.shtml |
|
Válvulas Auxiliares Neumáticas |
http://www.monografias.com/trabajos13/valvaux/valvaux.shtml |
|
Válvulas Neumáticas |
http://www.monografias.com/trabajos13/valvidos/valvidos.shtml |
|
Válvulas Hidráulicas |
http://www.monografias.com/trabajos13/valhid/valhid.shtml |
|
Neumática: Generación, Tratamiento |
http://www.monografias.com/trabajos13/genair/genair.shtml |
|
Nociones de derecho mexicano |
http://www.monografias.com/trabajos12/dnocmex/dnocmex.shtml |
|
Pagos Salariales - Plan de incentivos |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/rrhh/pagosal.htm |
|
PCP - Balanceo |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/pycdelapro.htm |
|
PCP - MRP (Planeación de Requerimiento de Materiales) |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/mrpivan.htm |
|
PCP - Pronósticos |
http://www.monografias.com/trabajos13/placo/placo.shtml |
|
Plásticos y Aplicaciones |
http://www.monografias.com/trabajos13/plapli/plapli.shtml |
|
Prácticas de Laboratorio de Electricidad |
http://www.monografias.com/trabajos12/label/label.shtml |
|
Prácticas del laboratorio de química |
http://www.monografias.com/trabajos12/prala/prala.shtml |
|
Problemas de Física del Resnick |
http://www.monografias.com/trabajos12/resni/resni.shtml |
|
Problemas de Ingeniería en Neumática |
http://www.monografias.com/trabajos13/maneu/maneu.shtml |
|
Procesos de Manufactura por Arranque de Viruta |
http://www.monografias.com/trabajos14/manufact-industr/manufact-industr.shtml |
|
Producción química: Plásticos |
http://www.monografias.com/trabajos13/plasti/plasti.shtml |
|
Pruebas Mecánicas |
http://www.monografias.com/trabajos12/pruemec/pruemec.shtml |
|
Pruebas No Destructivas - Ultrasonido |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/disultra.htm |
|
Psicosociología Industrial |
http://www.monografias.com/trabajos13/psicosoc/psicosoc.shtml |
|
Ranma Manga en inglés |
http://www.monografias.com/trabajos12/ranma/ranma.shtml |
|
http://www.monografias.com/trabajos12/wpedag/wpedag.shtml |
|
|
Recensión del libro Froebe |
http://www.monografias.com/trabajos12/introped/introped.shtml |
|
Seguridad Industrial |
www.monografias.com/trabajos16/seguridad-industrial/seguridad-industrial.shtml |
|
Sentido del Humor en la Educación |
http://www.monografias.com/trabajos12/filyepes/filyepes.shtml |
|
Teoría de al Empresa |
http://www.monografias.com/trabajos12/empre/empre.shtml |
|
Teoría de Restricciones |
http://www.gestiopolis.com/recursos/ documentos/fulldocs/ger1/tociem.htm |
|
Termómetros en la Instrumentación |
http://www.monografias.com/trabajos14/termoins/termoins.shtml |
|
Therbligs - Las Llaves para simplificar |
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger1/therbligs.htm |
|
Trabajo Final de Logística Industrial |
http://www.monografias.com/trabajos16/logistica-industrial/logistica-industrial.shtml |
|
UPIICSA |
http://www.monografias.com/trabajos12/hlaunid/hlaunid.shtml |
|
Vicente Fox |
http://www.monografias.com/trabajos12/hmelecc/hmelecc.shtml |
|
Vocabulario para Estudiantes |
http://www.monografias.com/trabajos13/spanglish/spanglish.shtml |
Ing. Iván Escalona
Consultor Logística,
(México)
Ingeniero Industrial
,
Nota: Si deseas agregar un comentario o si tienes alguna duda o queja sobre algún(os) trabajo(s) publicado(s), puedes escribirme a los correos que se indican, indicándome que trabajo fue el que revisaste escribiendo el título del trabajo(s), también de donde eres y a que te dedicas (si estudias, o trabajas) Siendo específico, también la edad, si no los indicas en el mail, borraré el correo y no podré ayudarte, gracias.
- Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.)
- Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la UNAM)
Origen: México
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