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Series de Fourier y Transformada de La Place
- Definición de la serie de Fourier
- El conjunto de funciones
- Series de Fourier de cosenos y de senos
- Resumen de las constantes de la series de Fourier
- Serie de Fourier en forma compleja
- Aplicaciones de la Serie de Fourier
- ¿Qué es la Transformada de Laplace?
- Condiciones suficientes para la existencia
- Transformada inversa
- Teoremas de traslación
- Aplicación de la transformada en Circuitos eléctricos
¿Qué es la Serie de Fourier?
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.
Definición de la serie de Fourier
Supongamos que 
es
un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos:
si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será
posible determinar un conjunto de coeficientes 
0,
1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos
los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes
mediante el producto interno. Al
multiplicar la ecuación anterior por 
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras, 
(1)
En la que 
(2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
(1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes 
pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada
en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función 
,
n>1, es ortogonal a 1 en el
intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar 
se
obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por 
e integremos:
(5)
por la ortogonalidad tenemos que
y 
Entonces la ecuación 5 se reduce a 
Y así 
(6)
Por último si multiplicamos a (2) por 
,
integramos y aplicamos los resultados
llegamos a 
(7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
Series de Fourier de cosenos y de senos
Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en
.
En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),
, n=0,1,2,...,
Resumen de las constantes de la series de Fourier
- La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
en que 
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos
en donde 
Serie de Fourier en forma compleja
Cálculo de Cn:
Ejemplo:
|
Calcular la serie compleja de fourier para :
f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s |
|
Aplicaciones de la Serie de Fourier
Ejemplo 1:
Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal
la serie de fourier tiene el siguiente aspecto
a0 / 2 ® valor medio
a1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourier
w 0 ... ® frecuencia (2·p /T)
n · w 0 ... ® harmónicos
Ejemplo 2:
f(t)=2·sen t – sen(2·t) + (2/3)·sen (3·t) - 1/2·sen (4·t) +2/5 sen (5·t)+....
Ejemplo 3:
|
|
|
Entonces; tenemos el siguiente procedimiento
|
|
+ |
|
= |
|
Analíticamente tenemos:
¿Qué es la Transformada de Laplace?
En matemáticas y, en particular, en análisis funcional, la Transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Definición de la Transformada de Laplace
Definición básica. Si f(t) está
definida cuando 
, la integral impropia
se define como un límite:
Si existe un límite se dice que la integral existe o
que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se
dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo
para ciertos valores de la variable s. La situación 
proporciona una transformación lineal muy importante:
Sea f una función definida para .
Entonces la integral
se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.
Evaluar L{1}.
Solución 
L 
es
una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir
siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,
Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior
Condiciones suficientes para la existencia
Si f (t) es continua por tramos en el intervalo 
y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe
para s>c.
Demostración 
La integral 
existe,
porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que
es continua. Ahora
cuando s>c. Como 
converge, la integral 
converge,
de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto
a su vez, implica que 
existe para
s>c. La existencia de 
e
implica que 
existe cuando s>c.
Transformadas de algunas funciones básicas
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
Algunas transformadas inversas
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
es una transformada
lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí,
una transformación lineal; esto es, si 
y 
son constantes,
en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s)
puede no ser única. Es posible que 
y, sin embargo, 
.
Comportamiento de F(s) cuando 
Si f(t) es continua por tramos en 
y de orden exponencial para t>T, entonces 
Demostración Dado que f(t) es continua parte
por parte en 
, necesariamente es
acotada en el intervalo; o sea 
.
También 
cuando t>T.
Si M representa el máximo de 
y c indica el máximo de 
,
entonces
para s>c. Cuando ,
se tiene que 
, de modo que
.
Primer teorema de traslación
Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,
Demostración La demostración es inmediata
Segundo teorema de traslación
Si 
y a>0,
entonces
Demostración Expresamos a 
como la suma de dos integrales:
.
Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces
Derivadas de transformadas
Si 
y n=1,2,3,..., entonces
Transformada de una derivada
Si f(t), f’(t),..., 
son continuas en 
, son de orden
exponencial, y si 
es continua parte
por parte , entonces
en donde 
Teorema de la convolución
Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en
y de orden exponencial,
Demostración Sean 
Y 
.
Al proceder formalmente obtenemos
Mantenemos fija 
y escribimos 
,
de modo que
Transformada de una función periódica
Si f(t) es continua por tramos en ,
de orden exponencial y periódica con periodo T,
(a)
Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:
(b)
Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en
Por consiguiente, la ecuación (b) es 
Al despejar 
se llega al resultado
de la ecuación (a).
EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2:
EJEMPLO 3:
Aplicación de la tranformada en Circuitos eléctricos
|
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EJEMPLO 2:
Transformadas de Circuitos:
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Análisis de la Caída de Tensión |
Análisis para Corriente |
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Resistencia
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Inductancia
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Capacitor
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La siguiente tabla muestra los trabajos publicados por el Ingenierio Ivan Escalona para quien este interesado en consultar los diversos temas y bajar los trabajos, comentarios al correo: ivan_escalona[arroba]hotmail.com
Ing. Iván Escalona
Consultor Logística,
(México)
Ingeniero Industrial
resnick_halliday[arroba]yahoo.com.mx,
ivan_escalona[arroba]hotmail.com
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- Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la UNAM)
Origen: México
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