Series de Fourier y Transformada de La Place

1. Definición de la
   serie de Fourier
2. El conjunto de
   funciones
3. Series de Fourier
   de cosenos y de senos
4. Resumen de las constantes de la
   series de Fourier
5. Serie de Fourier en forma
   compleja
6. Aplicaciones de la Serie de
   Fourier
7. ¿Qué es la
   Transformada de Laplace?
8. Condiciones suficientes para la
   existencia
9. Transformada
   inversa
10. Teoremas de
    traslación
11. Aplicación de la
    transformada en Circuitos eléctricos

¿Qué es la Serie de
Fourier?

En
matemáticas, una serie de Fourier,
que es llamada así en honor de
Joseph Fourier (1768-1830),
es una representación de una
función periódica como una
suma de funciones
periódicas de la forma

que son
armónicos de ei x; Fourier fue el primero
que estudió tales series sistemáticamente,
aplicándolas a la solución de la
ecuación del calor y publicando sus
resultados iniciales en 1807
y 1811.
Este área de investigación se llama algunas veces

Análisis armónico. Muchas
tipos de otras
transformadas relacionadas con la de Fourier
han sido definidas desde entonces.

Definición de la serie
de Fourier

Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un
intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una
función
definida en el intervalo [a,b], ¿será posible
determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,…, para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos
los componentes de un vector, también podemos determinar
los coeficientes
mediante el producto
interno. Al multiplicar la ecuación anterior por
e
integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado
derecho de la última ecuación es cero, excepto
cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras, (1)

En la que (2)

La ecuación 2, en notación de producto
interno ( o producto punto ), es

(3)

El conjunto de funciones

(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que
f es una función definida en el intervalo [-p,p]
que se puede desarrollar en la serie
trigonométrica

(2)

Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos
para la serie de Fourier generalizada en la sección
anterior.

Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde
–p hasta p, se obtiene

(3)

Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho
de (3) se reduce a un solo término y, en
consecuencia,

Al despejar se obtiene

(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
e
integremos:

(5)

por la ortogonalidad tenemos que

y

Entonces la ecuación 5 se reduce a

Y así (6)

Por último si multiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos
los resultados

llegamos a (7)

La serie de Fourier de una función definida en el
intervalo (-p,p) es

(8)

(9)

(10)

(11)

Series de
Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p),
entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes
de (9),(10) y (11) se transforman en

.

En forma parecida, cuando f es impar en el
intervalo (-p,p),

,
n=0,1,2,…,

Resumen de las constantes de la series de
Fourier

1. La serie de Fourier de una función par
   en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

en que

b) La serie de Fourier de una función
impar en el intervalo (-p,p) es la serie de
senos

en donde

Serie de Fourier en forma
compleja

Cálculo de
Cn:

Ejemplo:

Aplicaciones de la Serie de Fourier

Ejemplo 1:

Aplicaciones en circuitos,
de forma senoidal

la serie de fourier tiene el siguiente
aspecto

a0 / 2 ®
valor
medio

a1, a2, b1,
b2, … ®
coeficientes de Fourier

w 0 …
® frecuencia
(2·p /T)

n · w 0
… ®
harmónicos

Ejemplo 2:

f(t)=2·sen t – sen(2·t) +
(2/3)·sen (3·t) – 1/2·sen (4·t)
+2/5 sen (5·t)+….

Ejemplo 3:

Entonces; tenemos el siguiente
procedimiento

Analíticamente tenemos:

¿Qué es la Transformada de
Laplace?

En matemáticas y, en particular,
en
análisis
funcional, la Transformada de Laplace
de una
función
f(t) definida para todos los
números reales
t ≥ 0 es la función F(s),
definida por:

Esta transformada integral tiene una serie de
propiedades que la hacen útil en el análisis de
sistemas lineales. Una de las ventajas más
significativas radica en que la integración y derivación se
convierten en multiplicación y división. Esto
transforma las ecuaciones
diferenciales e integrales en
ecuaciones
polinómicas, mucho más fáciles de
resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales
es el cálculo de
la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante
la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la
señal de entrada. La realización de este
cálculo en el espacio de Laplace convierte la

convolución
en una multiplicación, habitualmente más
sencilla.

La transformada de Laplace toma su nombre en honor
de
Pierre-Simon
Laplace.

Cuando se habla de la transformada de Laplace,
generalmente se refiere a la versión unilateral.
También existe la transformada de Laplace bilateral, que
se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s)
tipicamente existe para todos los números reales s
> a, donde a es una constante que depende del
comportamiento
de crecimiento de f(t).

Definición de la
Transformada de Laplace

Definición básica. Si f(t)
está definida cuando , la integral impropia se define como un
límite:

Si existe un límite se dice que la integral
existe o que es convergente, si no existe el límite, la
integral no existe y se dice que es divergente. En general el
límite anterior existe sólo para ciertos valores de la
variable s. La situación proporciona una transformación lineal
muy importante:

Sea f una función definida para . Entonces la
integral

se llama transformada de Laplace de f,
siempre y cuando la integral converja.

Evaluar L{1}.

Solución

L es una transformada lineal, para una suma de
funciones se puede escribir

siempre que las dos integrales converjan; por
consiguiente,

Se dice que L es una transformada lineal
debido a la propiedad
señalada en la función anterior

Condiciones suficientes para la
existencia

Si f (t) es continua por tramos en el intervalo
y de orden
exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe
para s>c.

Demostración

La integral existe, porque se puede expresar como una suma de
integrales sobre intervalos en que es continua. Ahora

cuando s>c. Como converge, la integral converge, de acuerdo con la prueba de
comparación para integrales impropias. Esto a su vez,
implica que
existe para s>c. La existencia de e implica que existe cuando s>c.

Transformadas de algunas funciones
básicas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

Transformada inversa

Se dice que f(t) es la transformada inversa de
Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

es
una transformada lineal. Suponemos que la transformada
inversa de Laplace es, en sí, una transformación
lineal; esto es, si y son
constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f
y g.

La transformada inversa de Laplace de una función
F(s) puede no ser única. Es posible que y, sin embargo,
.

Comportamiento de F(s) cuando

Si f(t) es continua por tramos en y de orden exponencial
para t>T, entonces

Demostración Dado que f(t) es continua
parte por parte en , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea . También
cuando t>T.
Si M representa el máximo de y c indica el máximo de
,
entonces

para s>c. Cuando , se tiene que , de modo que .

Teoremas de traslación

Primer teorema de traslación

Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier
número real,

Demostración La demostración es
inmediata

Segundo teorema de traslación

Si y
a>0, entonces

Demostración Expresamos a como la suma de dos
integrales:

.

Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y
entonces

Derivadas de transformadas

Si y
n=1,2,3,…, entonces

Transformada de una derivada

Si f(t), f’(t),…, son continuas en
, son de orden
exponencial, y si es continua parte por parte , entonces

en donde

Teorema de la convolución

Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en
y de orden
exponencial,

Demostración Sean

Y .

Al proceder formalmente obtenemos

Mantenemos fija y escribimos , de modo que

Transformada de una función
periódica

Si f(t) es continua por tramos en , de orden exponencial y
periódica con periodo T,

(a)

Demostración Expresamos la transformada de
Laplace como dos integrales:

(b)

Escribiendo t=u+T, la última de las
integrales de (a) se transforma en

Por consiguiente, la ecuación (b) es

Al despejar se llega al resultado de la ecuación (a).

La transformada
inversa

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

Aplicación de la tranformada en
Circuitos eléctricos

EJEMPLO 2:

Transformadas de Circuitos:

Otras Publicaciones del autor

La siguiente tabla muestra los
trabajos publicados por el Ingenierio Ivan Escalona para quien
este interesado en consultar los diversos temas y bajar los
trabajos, comentarios al correo:

Autor

Ing. Iván Escalona

Consultor Logística,

(México)

Ingeniero Industrial

,

Nota: Si deseas agregar un comentario o si tienes alguna
duda o queja sobre algún(os) trabajo(s) publicado(s),
puedes escribirme a los correos que se indican,
indicándome que trabajo fue el que revisaste escribiendo
el título del trabajo(s), también de donde eres y a
que te dedicas (si estudias, o trabajas) Siendo
específico, también la edad, si no los indicas en
el mail, borraré el correo y no podré ayudarte,
gracias.

– Estudios Universitarios: Unidad Profesional
Interdisciplinaria de Ingeniería y
Ciencias Sociales y Administrativas
(U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politécnico Nacional
(I.P.N.)

– Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la
UNAM)

Origen: México