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Matemáticas en movimiento




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Monografía destacada
  1. Función
  2. Combinación de funciones
  3. Funciones trigonométricas
  4. Límites
  5. Continuidad
  6. La recta tangente
  7. Movimiento rectilíneo
  8. La derivada
  9. Diferenciales
  10. Razones de cambio relacionadas
  11. Extremos de funciones
  12. Trazo de gráficas y la Primera Derivada
  13. Concavidad y el criterio de la Segunda Derivada
  14. Cálculo Integral
  15. Integral definida

Introducción

Esta página es un modesto intento por poner a la disposición de los estudiantes de habla hispana en todo el mundo un medio adicional para el aprendizaje de las matemáticas.

    La idea nació a principios de 1996 y se publicó en internet una primera versión en septiembre de ese año. En esta primera versión se cubrían los temas de cálculo diferencial e integral.

    Esta es una segunda versión en la que sea ha mejorado la presentación y se ha ampliado la cobertura del contenido, incluyendo ahora el cálculo de varias variables y algo de cálculo vectorial. En el transcurso de los próximos meses se irán agregando uno a uno los temas mencionados anteriormente y algunos sobre ecuaciones diferenciales.

    El contenido didáctico y matemático es obra del Dr. Sergio Terrazas, profesor de Física y Matemáticas en el Departamento de Ciencias Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez.

    Las gráficas y animaciones fueron elaboradas utilizando el paquete Mathematica, de Wolfram Research.

    El formato y organización de este trabajo fue hecha por Carlos Rubalcava Porras y Erick Lerma Sosa, estudiantes de Sistemas de Información en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.

    Es nuestro deseo que esta página sirva de apoyo en el aprendizaje de las matemáticas a algún estudiante en cualquier parte del mundo donde se hable el español, y agradeceremos mucho que las personas que vean este trabajo nos hagan llegar sus comentarios y sugerencias a la siguiente dirección:  

----

En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.

    En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia.

    En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (día, mes y año).

    En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un número entero (el número de páginas).

    ¿Cuáles serían los conjuntos D y C para los otros tres ejemplos?

    Estas correspondencias se ilustran a menudo mediante diagramas como el que sigue:
 

1.1.2 Definición de función

Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación

    Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones

    La definición de función se dá enseguida.
   

Función:

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.


 

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio

    Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imágen.

    Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. 

    Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

    Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra. 

    Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).

    Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6

    Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el triple de ese número menos seis". 

    Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:

    f (  ) = (  )2 + 3(  ) - 6

    Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada". 
 
 

f(x) = x2 + 3x - 6 

f(10) = 124 

f(-2) = -8 
  
f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6 
  
f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6 
  
f() = ()2 + 3() - 6

 

    El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la función. 

    Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función definida por una ecuación, por ejemplo,

G(x) = 3x3 - 2x + 10

(Sin especificar el dominio)

En adelante quedará entendido que: 

    A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será el conjunto más grande de números reales para los cuales la función nos dé como salida un número real.

    Por ejemplo: 

 

 1

f(x) = 

 

x - 3

 

    Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede dividir entre cero. Observa además que la función no puede tomar el valor cero. ¿Porqué? Observa la gráfica.

1.1.3 Ejemplos de funciones y sus gráficas

La gráfica de una función

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

 

    A continuación discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebráicas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonométricas, más adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus gráficas.

Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante

 

 

    ¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?
 

Función lineal: f(x) = ax + b

 

    ¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?

Función cuadrática:
f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0

El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

¿Cuáles son sus coordenadas?  

¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

¿Cuáles son sus coordenadas?  

¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x2 + x = (x + 1)2 - 1

El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

¿Cuáles son sus coordenadas?  

¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x - x2  = 1 - (x - 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola.  

¿Cuáles son sus coordenadas?  

¿Cómo se relacionan las coordenadas del  vértice con los números en la forma  
f(x)= a(x-x0)2 + y0? 

¿Qué significancia tienen los números a, x0, y0 para la gráfica de la función 
f(x)= a(x-x0)2 + y0?

 

 

 

 


Función polinomial

 

P(x) = x3 - 3x2 + 2x - 7


Función racional

Una función racional es un cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)
 

x + 4

f(x) = 

x2 - 16

 
  ¿Qué sucede en los valores de x en los que el denominador es igual a cero?

Función potencia: f(x)= k xn

En donde k es cualquier constante real y n es un número real.

    Por lo pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones como xPi serán discutidas más tarde. El dominio de una función potencia depende del exponente n.
 

 

f(x)= x-1

 

 

f(x)= x1/3

 

 

f(x)= x1/2

 

 

f(x)= x2/3

 

 

 

Función definida por secciones

No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula. La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable independiente.

    En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones.

 


1.1.4 Intersecciones

  

Si la gráfica de la función y=f(x) corta al eje vertical, entonces su "intersección y" es el número f(0). Si la gráfica corta al eje horizontal, entonces las "intercepciones x" son los números reales x para los cuales f(x)=0. A estos números se les llama también "ceros" de la función f.

 

Observemos algunos ejemplos:
   

¿Cuáles son las intercepciones x

¿Cuál es la intersección y

 

f(x) = x3 - x

¿Cuáles son las intercepciones x

¿Cuál es la intersección y?

 

f(x)= (x - 3)(x - 1)(x + 1)

1.1.5 Simetría

La gráfica de una función puede ser simétrica con respecto al eje "y" (función par), simétrica con respecto al origen (función impar) o sin simetría.
   

  • A f(x) se le llama función par si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto a "y", es decir, f(-x)=f(x)
  • A f(x) se le llama función impar si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto al orígen, es decir, si f(-x)=-f(x)

 

    Veamos un ejemplo de una función par: P(x)= x4 - 3x2
 

P(x) = x4 - 3x2

P(-x) = x4 - 3x2

 

    Observa que las gráficas de f(x) y f(-x) son idénticas. Por lo tanto la función dada es par.
 
    Observa también los exponentes de x. ¿Qué relación pudes deducir entre los exponentes de la variable independiente y la paridad de la función? Pregúntale a tu profesor si no te es claro.

    Veamos ahora un ejemplo de una función impar: J(x)= -x3 + 5x
   

J(-x) = x3 - 5 x 

-J(x) = x3 - 5 x

 

    Como ya te diste cuenta, las gráficas de -J(x) y J(-x) son iguales. Es decir, J(-x)=-J(x) y por lo tanto, J(x) es una función impar.

1.1.6 Ejercicios

 1) Determine el dominio de las siguientes funciones:

     a) f(x) =   + 

     b) f(x) = 

     c) g(x) = 

2) Trace la gráfica de las siguientes funciones:

    a) f(x) = (x - 1)(x - 3)

    b) g(x) =        si x < 1

             2 - x     si -12

             x + 2     si x > 2

3) Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos:

    a) f(x) = x6 - x2 + 5

    b) f(x) = x3 - 1

    c) f(x) = |x| / x

COMBINACIÓN DE FUNCIONES

1.2.1 Introducción

Así como los números pueden ser combinados de diferentes maneras, las funciones también pueden ser combinadas para formar nuevas funciones, a esto se le llama comúnmente álgebra de funciones o combinación de funciones.
 

Sean f y g dos funciones, definimos:

Suma: (f+g)(x)=f(x)+g(x)

Diferencia: (f-g)(x)=f(x)-g(x)

Producto: (fg)(x)=f(x)g(x)

Cociente: (f/g)(x)=f(x)/g(x)

 

   El dominio de f + g, f - g y fg es la intersección del dominio de f con el dominio de g. El dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g sin los números para los que g(x) = 0.
    Ejemplo, considera las funciones f y g dadas a continuación:

f(x)= 2x2 - 5

g(x)= 3x + 4

    La suma, diferencia, producto y cociente de estas dos funciones están dados enseguida:
 

1.2.2 Las gráficas de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Obtener la gráfica de la función suma es un proceso que se lleva a cabo a través de sumar alturas. Es decir el valor de f(x1) más el valor g(x1) dará el valor de (f + g)(x1). De igual forma con las operaciones diferencia, multiplicación y división, la gráfica se obtiene haciendo la operación correspondiente con alturas, tendrás que tener cuidado con la división cuando el denominador sea cero (x=-4/3 para este ejemplo).
 

f(x)=2x2-5

g(x)=3x+4

(f+g)(x)= 2x2+3x-1 

(f-g)(x)= 2x2-3x-9

(f g)(x)= (3x+4) (2x2-5)

1.2.3 Función compuesta

Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:
 

(f o g) (x) = f( g(x) )

(g o f ) (x) = g( f(x) )

 

    La función compuesta recibe también el nombre de función. Resulta obvio entender que los valores g(x) deberán estar en el dominio de f para (fog), y que los valores f(x) deberán estar en el dominio de g para (gof ).

    Utilizando las mismas funciones f y g de los ejemplos anteriores:

f(x)=2x2-5

g(x)=3x+4

 

(fog)(x)= 2(3x2 + 4) - 5

    Observa también la siguiente composición y su gráfica.

(gof)(x)= 3(2x2 - 5) + 4

1.2.4 Traslación de coordenadas
(gráficas desplazadas)

Para una función f(x), las gráficas de f(x) + c, de f(x) - c, f(x+c) y de f(x-c) se obtienen desplazando la gráfica de f(x): c unidades hacia arriba, c unidades hacia abajo, c unidades a la izquierda y c unidades a la derecha respectivamente. Donde c es un número positivo. Si c es negativo, el desplazamiento es en la dirección contraria.

    A continuación, se muestra la gráfica de f(x) = x2 + 6 siendo desplazada hacia la derecha 5 unidades y hacia arriba 4 unidades. ¿Cuál será la expresión algebráica de la gráfica final?

    Observa la gráfica de h(x) = (x2 -5) + 10

    Esta gráfica se obtuvo desplazando la gráfica de f(x)= x2 + 6 cinco unidades a la derecha y cuatro hacia arriba.

1.2.5 Ejercicios

1) Encuentre f + g, f - g, fg y f/g:

    a) f(x) = 3x2,  g(x) = 4x3

    b) f(x) = x / (x + 1),  g(x) = 1 / x

2) Dadas las siguientes funciones, encuentre las combinaciones que se piden y sus dominios:

f(x) = ,  g(x) = 10

    a) f / g

    b) (f o g)(x)

    c)(g o f)(x)

3) Halle f(g(0)), f(g(1/2)) y g(f(g(1))):

    a) f(x) = 2x - 2,  g(x) = x2 + 1

    b) f(x) = x2 + 1,  g(x) = 2x4 - 4x2 + 3

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

.3.1 Las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno tienen dos interpretaciones:

i) como las coordenadas (x,y) de un punto en un circulo unitario, o
ii) como el cociente de las longitudes de los lados de un triángulo rectangulo:
 

 

    Las siguientes animaciones ilustran lo anterior.

Recuerda que los ángulos se miden en grados o en radianes:
 

  radianes = 180 grados 
1 radián = (180 / ) grados 
1 grado = ( / 180) radianes

 

  A continuación, observa la función seno generada por la cordenada "y" del punto extremo del radio unitario de un círculo.

1.3.2 Las otras funciones trigonométricas

Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen en términos de seno y coseno:
   

1.3.3 Gráficas de las funciones trigonométricas

A continuación te presentamos las gráficas de las seis funciones trigonométricas.
 

 
    Ejemplos :

    Enseguida se muestran las gráficas de las funciones f(x)=2sen x, g(x)= -2sen x. Observa las gráficas, compáralas y describe el resultado de tu comparación.
 

 

    Las técnicas del cuaderno anterior (desplazamiento de gráficas) también se aplican a funciones trigonométricas: la gráfica de y=sen[x-(Pi/2)] se obtuvo por medio de desplazamientos adecuados de y=sen(x).
 

1.3.4 Algunas identidades trigonométricas

Enseguida se muestra un listado de algunas identidades trigonométricas.  Estas identidades son muy útiles y deberás aprenderlas y memorizarlas. Hay muchas, muchas identidades, por lo tanto veremos las más importantes únicamente.
 

 sen(A+B) = cos(B) sen(A) + cos(A) sen(B) 
cos(A+B) = cos(A) cos(B) - sen(A) sen(B) 
sen(A-B) = cos(B) sen(A) - cos(A) sen(B) 
cos(A-B) = cos(A) cos(B) + sen(A) sen(B) 

1.3.5 Ejercicios

1) Convierta de radianes a grados:

    a)/ 20

    b)-4/3

2) Encuentre el valor de la cantidad dada:

    a) sen (-/6)

    b) tan (7/6)

    c) cos (5/2)

3) Trace la gráfica de la función dada:

    a) Y = - cos x

    b) Y = 3 cos 2x

LÍMITES

1.4.1 Introducción

El concepto de límite es un concepto central en el desarrollo y aplicaciones del cálculo.

    Este concepto involucra el entender el comportamiento de una función cuando la variable independiente está "muy cerca" de un número "a" pero sin llegar a tomar ese valor.

 

 

1.4.2 Noción intuitiva de límite

Como se dijo en la introducción, investigaremos el comportamiento de una función f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) estén muy cerca de un número especificado que llamaremos "a". Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número a.

    Como primer ejemplo, sugerimos una función sencilla como:  f(x)= x2 con a=2.
 

Por la izquierda

Por la derecha

x

f(x)

x

f(x)

1.75

3.06

2.25

5.06

1.94

3.76

2.06

4.24

1.98

3.92

2.02

4.08

1.99

3.96

2.01

4.04

2.00

4.00

2.00

4.00

 

  ¿Qué observas acerca de los valores de la función conforme x se acerca al número a por la izquierda (x<a) y por la derecha (x>a)?

    ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (uno sólo)?

    Si la respuesta es afirmativa decimos que ese número al que se acerca la función, llamémosle L, es el "Límite de f(x) cuando x tiende al número a". Si la respuesta es negativa, decimos que el "Límite de f no existe cuando x tiende al número a".

    Observación importante: En ningún momento nos interesamos por el valor de f(x) cuando x=a, es decir, el número f(a). Lo único que nos interesa son los valores de la función cuando x está "muy cerca" de a pero x es diferente de a.

    Como podrás haber observado en el ejemplo anterior, el límite de la función si existe y es el siguiente:
    El límite de f(x)= x2  cuando x2  es L = 4

    ¿Coincidió tu respuesta a la última pregunta con el número dado arriba?
   

Definición Intuitiva de Límite

Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número a por ambos lados, entonces decimos que "El Límite de f(x) es L cuando x tiende a a, y escribimos esto de la siguiente manera:

Lim f(x) = L  
x

1.4.3 Teoremas sobre límites

A través de ejemplos estableceremos, sin demostración, algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de funciones a mano.

Límite de una función constante

Sea f(x)=k, donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa,
para a=4.
 

Por la izquierda

Por la derecha

x

f(x)

x

f(x)

3.75

k

4.25

k

3.9375

k

4.0625

k

3.98437

k

4.01562

k

3.99609

k

4.00391

k

3.99902

k

4.00098

k

 

    Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k, el límite es siempre k. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:
 

Límite de f(x)=x cuando xa

Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
 

Por la izquierda

Por la derecha

x

f(x)

x

f(x)

3.75

3.75

4.25

4.25

3.9375

3.9375

4.0625

4.0625

3.98437

3.98437

4.01562

4.01562

3.99609

3.99609

4.00391

4.00391

3.99902

3.99902

4.00098

4.00098

 

  La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:
 

Límite de una función multiplicada por una constante

Sea k una constante y f(x) una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2.

    Compara los valores de las dos columnas.
 

x

[k f(x)]

k [f(x)]

-1.25

-11.5

-11.5

-1.0625

-10.375

-10.375

-1.01563

-10.0937

-10.0937

-1.00391

-10.0234

-10.0234

-1.00098

-10.0059

-10.0059

 

  Como habrás observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces tenemos el siguiente teorema:
 

Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se acerca a un número a.

    En este ejemplo, f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2
 

f(x)

g(x)

f(x)+g(x)

f(x)-g(x)

f(x)g(x)

f(x)/g(x)

5.84

4.2

10.04

1.64

24.528

1.39048

5.0804

4.02

9.1004

1.0604

24.4232

1.26378

5.008

4.002

9.01

1.006

20.042

1.25138

5.0008

4.0002

9.001

1.0006

20.0042

1.25014

5.00008

4.00002

9.0001

1.00006

20.0004

1.25001

 

    Observa bien la tabla. Relaciona los límites de f y g con los límites de f+g , f-g, fg y f/g. La tabla sugiere el siguiente teorema:
 

 

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