- Función
- Combinación de
funciones - Funciones
trigonométricas - Límites
- Continuidad
- La recta
tangente - Movimiento
rectilíneo - La
derivada - Diferenciales
- Razones de
cambio relacionadas - Extremos de
funciones - Trazo de
gráficas y la Primera Derivada - Concavidad
y el criterio de la Segunda Derivada - Cálculo
Integral - Integral
definida
Esta página es un modesto intento por poner a la
disposición de los estudiantes de habla hispana en todo el
mundo un medio adicional para el aprendizaje de
las matemáticas.
La idea nació a principios de
1996 y se publicó en internet una primera
versión en septiembre de ese año. En esta primera
versión se cubrían los temas de cálculo
diferencial e integral.
Esta es una segunda versión en
la que sea ha mejorado la presentación y se ha ampliado la
cobertura del contenido, incluyendo ahora el cálculo de
varias variables y
algo de cálculo vectorial. En el transcurso de los
próximos meses se irán agregando uno a uno los
temas mencionados anteriormente y algunos sobre ecuaciones
diferenciales.
El contenido didáctico y
matemático es obra del Dr. Sergio Terrazas, profesor
de Física y
Matemáticas en el Departamento de Ciencias
Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la
Universidad
Autónoma de Ciudad Juárez.
Las gráficas y animaciones fueron elaboradas
utilizando el paquete Mathematica, de Wolfram
Research.
El formato y organización de este trabajo fue
hecha por Carlos Rubalcava Porras y Erick Lerma Sosa, estudiantes
de Sistemas de
Información en el Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey.
Es nuestro deseo que esta
página sirva de apoyo en el aprendizaje de
las matemáticas a algún estudiante en cualquier
parte del mundo donde se hable el español, y
agradeceremos mucho que las personas que vean este trabajo nos
hagan llegar sus comentarios y sugerencias a la siguiente
dirección:
—-
En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos
cuenta) con la noción de correspondencia. Por
ejemplo, a cada persona le
corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le
corresponde un número de páginas, a cada objeto le
corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un
área, a cada número no negativo le corresponde su
raíz cuadrada, etc.
En cada uno de los ejemplos
anteriores hay dos conjuntos
D y C entre los que se dá la
correspondencia.
En el primer ejemplo el conjunto
D es el conjunto de personas y el conjunto C es el
conjunto de fechas (día, mes y año).
En el segundo ejemplo el conjunto
D es el conjunto de libros y el
conjunto C es un número entero (el número de
páginas).
¿Cuáles serían
los conjuntos D y C para los otros tres
ejemplos?
Estas correspondencias se ilustran a
menudo mediante diagramas como el
que sigue:
Toda regla de correspondencia como los ejemplos
anteriores es llamada relación.
Ciertos tipos especiales
de reglas de correspondencia se llaman funciones.
La definición de función se
dá enseguida.
Una función es una |
Al primer conjunto (el
conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al segundo conjunto (el conjunto C) se le
da el nombre de contradominio
o imágen.
Una función se puede concebir
también como un aparato de cálculo. La entrada es
el dominio, los
cálculos que haga el aparato con la entrada son en
sí la función y la salida sería el
contradominio.
Esta forma de concebir la
función facilita el encontrar su dominio.
Notación: al
número que "entra" a la máquina usualmente lo
denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier
otra.
Al número que "sale" de la
máquina lo denotamos con el símbolo f(x)
ó f(s).
Ejemplo: f(x) =
x2+ 3x – 6
Esta función es una regla de
correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en
el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese
número mas el triple de ese número menos
seis".
Otra manera de ver esto es
escribiendo la función de la siguiente manera:
f
( ) = ( )2 + 3(
) – 6
Enseguida se muestran los valores de
f para varios valores de (
). Es decir, se muestra la
"salida" de la "máquina" para varios valores de la
"entrada".
f(x) = x2 + 3x – 6 f(10) = 124 f(-2) = -8 |
El dominio de una
función puede ser especificado al momento de definir la
función.
Por ejemplo, F(x) = 2x en el
intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el
intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una
función definida por una ecuación, por
ejemplo,
G(x) = 3×3 – 2x +
10
(Sin especificar el dominio)
En adelante quedará entendido
que:
A menos que se especifique
explícitamente, el dominio de una función
será el conjunto más grande de números
reales para los cuales la función nos dé como
salida un número real.
Por ejemplo:
1 | |
f(x) = | |
x – 3 |
Para esta función
x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho
valor en la
función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede
dividir entre cero. Observa además que la función
no puede tomar el valor cero. ¿Porqué? Observa la
gráfica.
1.1.3 Ejemplos de funciones y sus
gráficas
La |
A continuación
discutiremos algunos tipos importantes de funciones y
observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las
gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son
de funciones
algebráicas, discutiremos otros tipos de
funciones, como las funciones trigonométricas, más
adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus
gráficas.
Función
constante: f(x)=k,
donde k es alguna constante
¿Qué
tienen en común todas las gráficas? ¿En
qué difieren?
¿Qué tienen en
común todas las gráficas? ¿En qué
difieren?
Función
cuadrática:
f(x)=
ax2 + bx + c = a(x – x0)2 +
y0
El punto rojo se llama vértice de la ¿Cuáles son sus ¿Cómo se relacionan las | f(x)= x2 + 2 x + 1 |
El punto rojo se llama vértice de la ¿Cuáles son sus ¿Cómo se relacionan las | f(x)= 2 x2 + x = (x |
El punto rojo se llama vértice de la ¿Cuáles son sus ¿Cómo se relacionan las | f(x)= 2 x – |
El punto rojo se llama vértice de la ¿Cuáles son sus ¿Cómo se relacionan las ¿Qué significancia tienen los |
|
P(x) = x3 – |
Una función racional es un
cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)
x + 4 f(x) = x2 – |
¿Qué sucede en los valores de x en
los que el denominador es igual a cero?
Función
potencia: f(x)=
k xn
En donde k es cualquier
constante real y n es un número real.
Por lo
pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones
como xPi serán discutidas más
tarde. El dominio de una función potencia depende del
exponente n.
f(x)=
| f(x)=
|
f(x)=
| f(x)=
|
Función definida por
secciones
No es necesario que una función
esté definida por una sola fórmula. La regla de
correspondencia puede depender de qué parte del dominio
proviene la variable independiente.
En las siguientes dos gráficas veremos dos
ejemplos de funciones definidas por secciones.
|
Si la gráfica de la |
Observemos algunos ejemplos:
¿Cuáles son las intercepciones ¿Cuál es la intersección |
f(x) = x3 – |
¿Cuáles son las intercepciones ¿Cuál es la intersección |
f(x)= (x – 3)(x – 1)(x + |
La gráfica de una función puede ser
simétrica con respecto al eje "y" (función par),
simétrica con respecto al origen (función impar) o
sin simetría.
Veamos un ejemplo de una
función par: P(x)= x4 –
3×2
P(x) = x4 – | P(-x) = x4 – |
Observa
que las gráficas de f(x) y f(-x) son
idénticas. Por lo tanto la función dada es
par.
Observa
también los exponentes de x. ¿Qué
relación pudes deducir entre los exponentes de la variable
independiente y la paridad de la función?
Pregúntale a tu profesor si no
te es claro.
Veamos ahora un ejemplo de una
función impar: J(x)= -x3 + 5x
J(-x) = x3 – 5 | -J(x) = x3 – 5 |
Como ya
te diste cuenta, las gráficas de -J(x) y
J(-x) son iguales. Es
decir, J(-x)=-J(x) y por lo tanto, J(x) es una
función impar.
1)
Determine el dominio de las siguientes
funciones:
a)
f(x) = +
b) f(x)
=
c)
g(x) =
2) Trace la gráfica
de las siguientes funciones:
a) f(x) = (x – 1)(x –
3)
b) g(x)
= si x
< 1
2 – x si -1 x 2
x + 2 si x > 2
3) Determine si la
función es par, impar o ninguna de las dos:
a) f(x) =
x6 – x2 + 5
b) f(x) =
x3 – 1
c) f(x) = |x| /
x
1.2.1
Introducción
Así como los números pueden ser combinados
de diferentes maneras, las funciones también pueden ser
combinadas para formar nuevas funciones, a esto se le llama
comúnmente álgebra
de funciones o combinación de funciones.
Sean f y Suma: Diferencia: Producto: Cociente: |
El dominio de f + g, f – g y
fg es la intersección del dominio de f con
el dominio de g. El dominio de f / g es la
intersección del dominio de f con el dominio de
g sin los números para los que g(x) = 0.
Ejemplo, considera las funciones f y
g dadas a continuación:
f(x)= 2×2 –
5
g(x)= 3x + 4
La suma,
diferencia, producto y
cociente de estas dos funciones están dados enseguida:
1.2.2 Las gráficas de la suma,
diferencia, producto y cociente de funciones
Obtener la gráfica de la función suma es
un proceso que se
lleva a cabo a través de sumar alturas. Es decir el valor
de f(x1) más el valor
g(x1) dará el valor de (f +
g)(x1). De igual forma con las operaciones
diferencia, multiplicación y división, la
gráfica se obtiene haciendo la operación
correspondiente con alturas, tendrás que tener cuidado con
la división cuando el denominador sea cero (x=-4/3
para este ejemplo).
f(x)=2×2-5 | g(x)=3x+4 |
(f+g)(x)= | (f-g)(x)= |
(f g)(x)= (3x+4) |
Dos funciones f y g pueden combinarse para
formar una función compuesta, de las siguientes
maneras:
(g o f ) (x) = g( |
La función
compuesta recibe también el nombre de función.
Resulta obvio entender que los valores g(x) deberán
estar en el dominio de f para (fog), y que
los valores f(x) deberán estar en el dominio de
g para (gof ).
Utilizando las mismas funciones
f y g de los ejemplos anteriores:
f(x)=2×2-5
g(x)=3x+4
(fog)(x)=
2(3×2 + 4) – 5
Observa también
la siguiente composición y su gráfica.
(gof)(x)=
3(2×2 – 5) + 4
1.2.4 Traslación de coordenadas
(gráficas desplazadas)
Para una función f(x), las gráficas
de f(x) + c, de f(x) – c, f(x+c) y de
f(x-c) se obtienen desplazando la gráfica de
f(x): c unidades hacia arriba, c unidades
hacia abajo, c unidades a la izquierda y c unidades
a la derecha respectivamente. Donde c es un número
positivo. Si c es negativo, el desplazamiento es en la
dirección contraria.
A continuación,
se muestra la gráfica de f(x) = x2 + 6 siendo
desplazada hacia la derecha 5 unidades y hacia arriba 4 unidades.
¿Cuál será la expresión
algebráica de la gráfica final?
Observa la
gráfica de h(x) = (x2 -5) +
10
Esta gráfica se
obtuvo desplazando la gráfica de f(x)= x2 +
6 cinco unidades a la derecha y cuatro hacia
arriba.
1.2.5 Ejercicios
1) Encuentre f + g, f – g,
fg y f/g:
a) f(x) =
3×2, g(x) = 4×3
b) f(x) = x / (x +
1), g(x) = 1 / x
2) Dadas las siguientes
funciones, encuentre las combinaciones que se piden y sus
dominios:
f(x) = , g(x) = 10
a) f /
g
b) (f o
g)(x)
c)(g o
f)(x)
3) Halle f(g(0)),
f(g(1/2)) y g(f(g(1))):
a) f(x) = 2x –
2, g(x) = x2 + 1
b) f(x) =
x2 + 1, g(x) = 2×4 – 4×2 +
3
.3.1 Las funciones seno y
coseno
Las funciones seno y coseno tienen dos
interpretaciones:
i) como las coordenadas (x,y) de un
punto en un circulo unitario, o
ii) como el cociente de las longitudes de los lados de un
triángulo rectangulo:
Las siguientes
animaciones ilustran lo anterior.
Recuerda que los ángulos se miden en grados o en
radianes:
radianes = 180 grados |
A continuación, observa la
función seno generada por la cordenada "y" del punto
extremo del radio unitario de
un círculo.
1.3.2 Las otras funciones
trigonométricas
Las otras cuatro funciones
trigonométricas se definen en términos de seno
y coseno:
1.3.3 Gráficas de las funciones
trigonométricas
A continuación te presentamos las gráficas
de las seis funciones trigonométricas.
Ejemplos :
Enseguida se muestran
las gráficas de las funciones f(x)=2sen x, g(x)=
-2sen x. Observa las gráficas, compáralas y
describe el resultado de tu comparación.
Las técnicas
del cuaderno anterior (desplazamiento de gráficas)
también se aplican a funciones trigonométricas: la
gráfica de y=sen[x-(Pi/2)] se obtuvo por medio de
desplazamientos adecuados de y=sen(x).
1.3.4 Algunas identidades
trigonométricas
Enseguida se muestra un listado de algunas
identidades
trigonométricas. Estas identidades
son muy útiles y deberás aprenderlas y
memorizarlas. Hay muchas, muchas identidades, por lo tanto
veremos las más importantes únicamente.
sen(A+B) = cos(B) sen(A) + cos(A) cos(A+B) = cos(A-B) = |
1.3.5 Ejercicios
1) Convierta de radianes a
grados:
a)/ 20
b)-4/3
2) Encuentre el valor de la
cantidad dada:
a) sen (-/6)
b) tan (7/6)
c) cos (5/2)
3) Trace la gráfica
de la función dada:
a) Y = – cos
x
b) Y = 3 cos
2x
1.4.1
Introducción
El concepto de
límite es un concepto central en el desarrollo y
aplicaciones del cálculo.
Este concepto involucra el entender
el comportamiento
de una función cuando la variable independiente
está "muy cerca" de un número "a" pero sin llegar a
tomar ese valor.
1.4.2
Noción intuitiva de límite
Como se dijo en la introducción, investigaremos el
comportamiento de una función f(x) cuando los
valores de la variable independiente (en este caso x)
estén muy cerca de un número especificado que
llamaremos "a". Haremos esto tabulando los valores de la
función para valores de x cada vez más
cercanos al número a.
Como primer ejemplo,
sugerimos una función sencilla como: f(x)=
x2 con a=2.
Por la | Por la derecha | ||
x | f(x) | x | f(x) |
1.75 | 3.06 | 2.25 | 5.06 |
1.94 | 3.76 | 2.06 | 4.24 |
1.98 | 3.92 | 2.02 | 4.08 |
1.99 | 3.96 | 2.01 | 4.04 |
2.00 | 4.00 | 2.00 | 4.00 |
¿Qué observas acerca
de los valores de la función conforme x se acerca
al número a por la izquierda (x<a) y por
la derecha (x>a)?
¿Se acercan los valores de la
función a algún número en particular (uno
sólo)?
Si la
respuesta es afirmativa decimos que ese número al que se
acerca la función, llamémosle L, es
el "Límite de f(x)
cuando x tiende al número
a". Si la
respuesta es negativa, decimos que el "Límite de f no existe cuando x
tiende al número a".
Observación
importante:
En ningún momento nos interesamos
por el valor de f(x) cuando x=a, es decir, el
número f(a). Lo único que nos interesa son
los valores de la función cuando x está "muy
cerca" de a pero x es diferente de
a.
Como podrás haber observado en
el ejemplo anterior, el límite de la función si
existe y es el siguiente:
El
límite de f(x)= x2 cuando x2 es L =
4
¿Coincidió tu respuesta
a la última pregunta con el número dado arriba?
A través de ejemplos estableceremos, sin
demostración, algunos teoremas importantes que nos
permitirán hacer el cálculo de límites de
funciones a mano.
Límite de una
función constante
Sea f(x)=k, donde k es una constante. A
continuación se muestra el límite de f(x)
cuando xa,
para a=4.
Por la | Por la derecha | ||
x | f(x) | x | f(x) |
3.75 | k | 4.25 | k |
3.9375 | k | 4.0625 | k |
3.98437 | k | 4.01562 | k |
3.99609 | k | 4.00391 | k |
3.99902 | k | 4.00098 | k |
Habrás notado que
independientemente del valor del número a y de la
constante k, el límite es siempre k. Por lo
tanto proponemos el siguiente teorema:
Sea f(x)=x. A continuación se muestra el
límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la | Por la derecha | ||
x | f(x) | x | f(x) |
3.75 | 3.75 | 4.25 | 4.25 |
3.9375 | 3.9375 | 4.0625 | 4.0625 |
3.98437 | 3.98437 | 4.01562 | 4.01562 |
3.99609 | 3.99609 | 4.00391 | 4.00391 |
3.99902 | 3.99902 | 4.00098 | 4.00098 |
La tabla anterior sugiere el
siguiente teorema:
Límite de una función multiplicada por
una constante
Sea k una constante y f(x) una
función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos
límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k
f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos
cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2
y f(x)=3x-2.
Compara los valores de
las dos columnas.
x | [k f(x)] | k [f(x)] |
-1.25 | -11.5 | -11.5 |
-1.0625 | -10.375 | -10.375 |
-1.01563 | -10.0937 | -10.0937 |
-1.00391 | -10.0234 | -10.0234 |
-1.00098 | -10.0059 | -10.0059 |
Como habrás
observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces
tenemos el siguiente teorema:
Límite de una suma, diferencia, producto y
cociente de funciones
Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos
límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los
valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se
acerca a un número a.
En este ejemplo,
f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2
f(x) | g(x) | f(x)+g(x) | f(x)-g(x) | f(x)g(x) | f(x)/g(x) |
5.84 | 4.2 | 10.04 | 1.64 | 24.528 | 1.39048 |
5.0804 | 4.02 | 9.1004 | 1.0604 | 24.4232 | 1.26378 |
5.008 | 4.002 | 9.01 | 1.006 | 20.042 | 1.25138 |
5.0008 | 4.0002 | 9.001 | 1.0006 | 20.0042 | 1.25014 |
5.00008 | 4.00002 | 9.0001 | 1.00006 | 20.0004 | 1.25001 |
Observa
bien la tabla. Relaciona los límites de f y
g con los límites de f+g , f-g,
fg y f/g. La tabla sugiere el siguiente
teorema:
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