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Matemáticas en movimiento



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Monografía destacada

    1. Función
    2. Combinación de
      funciones
    3. Funciones
      trigonométricas
    4. Límites
    5. Continuidad
    6. La recta
      tangente
    7. Movimiento
      rectilíneo
    8. La
      derivada
    9. Diferenciales
    10. Razones de
      cambio relacionadas
    11. Extremos de
      funciones
    12. Trazo de
      gráficas y la Primera Derivada
    13. Concavidad
      y el criterio de la Segunda Derivada
    14. Cálculo
      Integral
    15. Integral
      definida

    Introducción

    Esta página es un modesto intento por poner a la
    disposición de los estudiantes de habla hispana en todo el
    mundo un medio adicional para el aprendizaje de
    las matemáticas.

        La idea nació a principios de
    1996 y se publicó en internet una primera
    versión en septiembre de ese año. En esta primera
    versión se cubrían los temas de cálculo
    diferencial e integral.

        Esta es una segunda versión en
    la que sea ha mejorado la presentación y se ha ampliado la
    cobertura del contenido, incluyendo ahora el cálculo de
    varias variables y
    algo de cálculo vectorial. En el transcurso de los
    próximos meses se irán agregando uno a uno los
    temas mencionados anteriormente y algunos sobre ecuaciones
    diferenciales.

        El contenido didáctico y
    matemático es obra del Dr. Sergio Terrazas, profesor
    de Física y
    Matemáticas en el Departamento de Ciencias
    Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la
    Universidad
    Autónoma de Ciudad Juárez.

        Las gráficas y animaciones fueron elaboradas
    utilizando el paquete Mathematica, de Wolfram
    Research
    .

        El formato y organización de este trabajo fue
    hecha por Carlos Rubalcava Porras y Erick Lerma Sosa, estudiantes
    de Sistemas de
    Información en el Instituto Tecnológico y de
    Estudios Superiores de Monterrey.

        Es nuestro deseo que esta
    página sirva de apoyo en el aprendizaje de
    las matemáticas a algún estudiante en cualquier
    parte del mundo donde se hable el español, y
    agradeceremos mucho que las personas que vean este trabajo nos
    hagan llegar sus comentarios y sugerencias a la siguiente
    dirección:  

    —-

    En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos
    cuenta) con la noción de correspondencia. Por
    ejemplo, a cada persona le
    corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le
    corresponde un número de páginas, a cada objeto le
    corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un
    área, a cada número no negativo le corresponde su
    raíz cuadrada, etc.

        En cada uno de los ejemplos
    anteriores hay dos conjuntos
    D y C entre los que se dá la
    correspondencia.

        En el primer ejemplo el conjunto
    D es el conjunto de personas y el conjunto C es el
    conjunto de fechas (día, mes y año).

        En el segundo ejemplo el conjunto
    D es el conjunto de libros y el
    conjunto C es un número entero (el número de
    páginas).

        ¿Cuáles serían
    los conjuntos D y C para los otros tres
    ejemplos?

        Estas correspondencias se ilustran a
    menudo mediante diagramas como el
    que sigue:
     

    1.1.2 Definición de
    función

    Toda regla de correspondencia como los ejemplos
    anteriores es llamada relación

        Ciertos tipos especiales
    de reglas de correspondencia se llaman funciones

        La definición de función se
    dá enseguida.
       

    Función:

    Una función es una
    regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal
    manera que a cada elemento del primer conjunto le
    corresponde uno y sólo un elemento del segundo
    conjunto.

     

    Al primer conjunto (el
    conjunto D) se le da el nombre de dominio

       
    Al segundo conjunto (el conjunto C) se le
    da el nombre de contradominio
    o imágen.

        Una función se puede concebir
    también como un aparato de cálculo. La entrada es
    el dominio, los
    cálculos que haga el aparato con la entrada son en
    sí la función y la salida sería el
    contradominio. 

        Esta forma de concebir la
    función facilita el encontrar su dominio.

        Notación: al
    número que "entra" a la máquina usualmente lo
    denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier
    otra. 

        Al número que "sale" de la
    máquina lo denotamos con el símbolo f(x)
    ó f(s).

        Ejemplo: f(x) =
    x2+ 3x – 6

        Esta función es una regla de
    correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en
    el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese
    número mas el triple de ese número menos
    seis". 

        Otra manera de ver esto es
    escribiendo la función de la siguiente manera:

        f
    (  ) = (  )2 + 3
    ) – 6

        Enseguida se muestran los valores de
    f para varios valores de (
    ). Es decir, se muestra la
    "salida" de la "máquina" para varios valores de la
    "entrada". 
     
     

    f(x) = x2 + 3x – 6 

    f(10) = 124 

    f(-2) = -8 
      
    f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) – 6 
      
    f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) – 6 
      
    f() =
    ()2 + 3() – 6

     

        El dominio de una
    función puede ser especificado al momento de definir la
    función. 

        Por ejemplo, F(x) = 2x en el
    intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el
    intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una
    función definida por una ecuación, por
    ejemplo,

    G(x) = 3×3 – 2x +
    10

    (Sin especificar el dominio)

    En adelante quedará entendido
    que: 

       
    A menos que se especifique
    explícitamente, el dominio de una función
    será el conjunto más grande de números
    reales para los cuales la función nos dé como
    salida un número real.

        Por ejemplo: 

     

     1

    f(x) = 

     

    x – 3

     

        Para esta función
    x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho
    valor en la
    función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede
    dividir entre cero. Observa además que la función
    no puede tomar el valor cero. ¿Porqué? Observa la
    gráfica.

    1.1.3 Ejemplos de funciones y sus
    gráficas

    La
    gráfica de una función

    La
    gráfica de una función es el conjunto de
    puntos en el plano de la forma (x,y) en donde
    x está en el dominio de la función
    y además y=f(x).

     

        A continuación
    discutiremos algunos tipos importantes de funciones y
    observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las
    gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son
    de funciones
    algebráicas, discutiremos otros tipos de
    funciones, como las funciones trigonométricas, más
    adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus
    gráficas.

    Función
    constante:
    f(x)=k,
    donde
    k es alguna constante

     

     

        ¿Qué
    tienen en común todas las gráficas? ¿En
    qué difieren?
     

    Función
    lineal:
    f(x) = ax +
    b

     

        ¿Qué tienen en
    común todas las gráficas? ¿En qué
    difieren?

    Función
    cuadrática:
    f(x)=
    ax2 + bx + c = a(x – x0)2 +
    y0

    El punto rojo se llama vértice de la
    parábola.  

    ¿Cuáles son sus
    coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las
    coordenadas del  vértice con los
    números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 +
    y0?

    f(x)= x2 + 2 x + 1
    = (x + 1)2

    El punto rojo se llama vértice de la
    parábola.  

    ¿Cuáles son sus
    coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las
    coordenadas del  vértice con los
    números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 +
    y0?

    f(x)= 2 x2 + x = (x
    + 1)2 – 1

    El punto rojo se llama vértice de la
    parábola.  

    ¿Cuáles son sus
    coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las
    coordenadas del  vértice con los
    números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 +
    y0?

    f(x)= 2 x –
    x2  = 1 – (x –
    1)2

    El punto rojo se llama vértice de la
    parábola.  

    ¿Cuáles son sus
    coordenadas?  

    ¿Cómo se relacionan las
    coordenadas del  vértice con los
    números en la forma  
    f(x)= a(x-x0)2 +
    y0?
     

    ¿Qué significancia tienen los
    números a, x0, y0 para la
    gráfica de la función 
    f(x)= a(x-x0)2 +
    y0?

     

     

     

     

    Función
    polinomial

     

    P(x) = x3 –
    3×2 + 2x – 7

    Función
    racional

    Una función racional es un
    cociente de dos polinomios, f(x) = P(x) / Q(x)

     

    x + 4

    f(x) = 

    x2 –
    16

     
      ¿Qué sucede en los valores de x en
    los que el denominador es igual a cero?

    Función
    potencia:
    f(x)=
    k xn

    En donde k es cualquier
    constante real y n es un número real.

        Por lo
    pronto nos restringiremos a exponentes racionales. Funciones
    como xPi serán discutidas más
    tarde. El dominio de una función potencia depende del
    exponente n.
     

     

    f(x)=
    x-1

     

     

    f(x)=
    x1/3

     

     

    f(x)=
    x1/2

     

     

    f(x)=
    x2/3

     

     

     

    Función definida por
    secciones

    No es necesario que una función
    esté definida por una sola fórmula. La regla de
    correspondencia puede depender de qué parte del dominio
    proviene la variable independiente.

        En las siguientes dos gráficas veremos dos
    ejemplos de funciones definidas por secciones.

     


    1.1.4 Intersecciones

      

    Si la gráfica de la
    función y=f(x) corta al eje vertical,
    entonces su "intersección y"
    es el número f(0).
    Si la gráfica corta al eje horizontal, entonces
    las "intercepciones
    x" son los
    números reales x para los cuales
    f(x)=0. A estos números se les llama
    también "ceros" de la función
    f.

     

    Observemos algunos ejemplos:
       

    ¿Cuáles son las intercepciones
    x

    ¿Cuál es la intersección
    y

     

    f(x) = x3 –
    x

    ¿Cuáles son las intercepciones
    x

    ¿Cuál es la intersección
    y?

     

    f(x)= (x – 3)(x – 1)(x +
    1)

    1.1.5 Simetría

    La gráfica de una función puede ser
    simétrica con respecto al eje "y" (función par),
    simétrica con respecto al origen (función impar) o
    sin simetría.
       

    • A f(x)
      se le llama función par si la
      gráfica de y=f(x) es simétrica con
      respecto a "y", es decir,
      f(-x)=f(x)
    • A
      f(x) se le llama función
      impar si la gráfica de y=f(x) es
      simétrica con respecto al orígen, es
      decir, si f(-x)=-f(x)

     

        Veamos un ejemplo de una
    función par: P(x)= x4 –
    3×2

     

    P(x) = x4 –
    3×2

    P(-x) = x4 –
    3×2

     

        Observa
    que las gráficas de f(x) y f(-x) son
    idénticas. Por lo tanto la función dada es
    par.

     
        Observa
    también los exponentes de x. ¿Qué
    relación pudes deducir entre los exponentes de la variable
    independiente y la paridad de la función?
    Pregúntale a tu profesor si no
    te es claro.

        Veamos ahora un ejemplo de una
    función impar: J(x)= -x3 + 5x
       

    J(-x) = x3 – 5

    -J(x) = x3 – 5
    x

     

        Como ya
    te diste cuenta, las gráficas de -J(x) y
    J(-x) son iguales. Es
    decir, J(-x)=-J(x) y por lo tanto, J(x) es una
    función impar.

    1.1.6 Ejercicios

     1)
    Determine el dominio de las siguientes
    funciones:

         a)
    f(x) =   + 

         b) f(x)

         c)
    g(x
    ) = 

    2) Trace la gráfica
    de las siguientes funciones:

        a) f(x) = (x – 1)(x –
    3)

        b) g(x)
    =        si x
    < 1

                
    2 – x     si -12

                
    x + 2     si x > 2

    3) Determine si la
    función es par, impar o ninguna de las dos:

        a) f(x) =
    x6 – x2 + 5

        b) f(x) =
    x3 – 1

        c) f(x) = |x| /
    x

    COMBINACIÓN DE
    FUNCIONES

    1.2.1
    Introducción

    Así como los números pueden ser combinados
    de diferentes maneras, las funciones también pueden ser
    combinadas para formar nuevas funciones, a esto se le llama
    comúnmente álgebra
    de funciones
    o combinación de funciones.
     

    Sean f y
    g dos funciones, definimos:

    Suma:
    (f+g)(x)=f(x)+g(x)

    Diferencia:
    (f-g)(x)=f(x)-g(x)

    Producto:
    (fg)(x)=f(x)g(x)

    Cociente:
    (f/g)(x)=f(x)/g(x)

     

       El dominio de f + g, f – g y
    fg es la intersección del dominio de f con
    el dominio de g. El dominio de f / g es la
    intersección del dominio de f con el dominio de
    g sin los números para los que g(x) = 0.
        Ejemplo, considera las funciones f y
    g dadas a continuación:

    f(x)= 2×2 –
    5

    g(x)= 3x + 4

        La suma,
    diferencia, producto y
    cociente de estas dos funciones están dados enseguida:
     

    1.2.2 Las gráficas de la suma,
    diferencia, producto y cociente de funciones

    Obtener la gráfica de la función suma es
    un proceso que se
    lleva a cabo a través de sumar alturas. Es decir el valor
    de f(x1) más el valor
    g(x1) dará el valor de (f +
    g)(x1).
    De igual forma con las operaciones
    diferencia, multiplicación y división, la
    gráfica se obtiene haciendo la operación
    correspondiente con alturas, tendrás que tener cuidado con
    la división cuando el denominador sea cero (x=-4/3
    para este ejemplo).
     

    f(x)=2×2-5

    g(x)=3x+4

    (f+g)(x)=
    2×2+3x-1 

    (f-g)(x)=
    2×2-3x-9

    (f g)(x)= (3x+4)
    (2×2-5)

    1.2.3 Función
    compuesta

    Dos funciones f y g pueden combinarse para
    formar una función compuesta, de las siguientes
    maneras:
     

    (f o g)
    (x) = f( g(x) )

    (g o f ) (x) = g(
    f(x) )

     

        La función
    compuesta recibe también el nombre de función.
    Resulta obvio entender que los valores g(x) deberán
    estar en el dominio de f para (fog), y que
    los valores f(x) deberán estar en el dominio de
    g para (gof ).

        Utilizando las mismas funciones
    f y g de los ejemplos anteriores:

    f(x)=2×2-5

    g(x)=3x+4

     

    (fog)(x)=
    2(3×2 + 4) – 5

        Observa también
    la siguiente composición y su gráfica.

    (gof)(x)=
    3(2×2 – 5) + 4

    1.2.4 Traslación de coordenadas
    (gráficas desplazadas)

    Para una función f(x), las gráficas
    de f(x) + c, de f(x) – c, f(x+c) y de
    f(x-c) se obtienen desplazando la gráfica de
    f(x): c unidades hacia arriba, c unidades
    hacia abajo, c unidades a la izquierda y c unidades
    a la derecha respectivamente. Donde c es un número
    positivo. Si c es negativo, el desplazamiento es en la
    dirección contraria.

        A continuación,
    se muestra la gráfica de f(x) = x2 + 6 siendo
    desplazada hacia la derecha 5 unidades y hacia arriba 4 unidades.
    ¿Cuál será la expresión
    algebráica de la gráfica final?

        Observa la
    gráfica de h(x) = (x2 -5) +
    10

        Esta gráfica se
    obtuvo desplazando la gráfica de f(x)= x2 +
    6
    cinco unidades a la derecha y cuatro hacia
    arriba.

    1.2.5 Ejercicios

    1) Encuentre f + g, f – g,
    fg y f/g:

        a) f(x) =
    3×2,  g(x) = 4×3

        b) f(x) = x / (x +
    1),  g(x) = 1 / x

    2) Dadas las siguientes
    funciones, encuentre las combinaciones que se piden y sus
    dominios:

    f(x) = ,  g(x) = 10

        a) f /
    g

        b) (f o
    g)(x)

        c)(g o
    f)(x)

    3) Halle f(g(0)),
    f(g(1/2)) y g(f(g(1))):

        a) f(x) = 2x –
    2,  g(x) = x2 + 1

        b) f(x) =
    x2 + 1,  g(x) = 2×4 – 4×2 +
    3

    FUNCIONES
    TRIGONOMÉTRICAS

    .3.1 Las funciones seno y
    coseno

    Las funciones seno y coseno tienen dos
    interpretaciones:

    i) como las coordenadas (x,y) de un
    punto en un circulo unitario, o
    ii) como el cociente de las longitudes de los lados de un
    triángulo rectangulo:
     

     

        Las siguientes
    animaciones ilustran lo anterior.

    Recuerda que los ángulos se miden en grados o en
    radianes:
     

      radianes = 180 grados 
    1 radián = (180 / ) grados 
    1 grado = ( / 180) radianes

     

      A continuación, observa la
    función seno generada por la cordenada "y" del punto
    extremo del radio unitario de
    un círculo.

    1.3.2 Las otras funciones
    trigonométricas

    Las otras cuatro funciones
    trigonométricas se definen en términos de seno
    y coseno:
       

    1.3.3 Gráficas de las funciones
    trigonométricas

    A continuación te presentamos las gráficas
    de las seis funciones trigonométricas.
     

     
        Ejemplos :

        Enseguida se muestran
    las gráficas de las funciones f(x)=2sen x, g(x)=
    -2sen x
    . Observa las gráficas, compáralas y
    describe el resultado de tu comparación.
     

     

        Las técnicas
    del cuaderno anterior (desplazamiento de gráficas)
    también se aplican a funciones trigonométricas: la
    gráfica de y=sen[x-(Pi/2)] se obtuvo por medio de
    desplazamientos adecuados de y=sen(x).
     

    1.3.4 Algunas identidades
    trigonométricas

    Enseguida se muestra un listado de algunas
    identidades
    trigonométricas
    .  Estas identidades
    son muy útiles y deberás aprenderlas y
    memorizarlas. Hay muchas, muchas identidades, por lo tanto
    veremos las más importantes únicamente.
     

     sen(A+B) = cos(B) sen(A) + cos(A)
    sen(B)
     

    cos(A+B) =
    cos(A) cos(B) – sen(A) sen(B)
     
    sen(A-B) = cos(B) sen(A) – cos(A)
    sen(B)
     

    cos(A-B) =
    cos(A) cos(B) + sen(A)
    sen(B)
     

    1.3.5 Ejercicios

    1) Convierta de radianes a
    grados:

        a)/ 20

        b)-4/3

    2) Encuentre el valor de la
    cantidad dada:

        a) sen (-/6)

        b) tan (7/6)

        c) cos (5/2)

    3) Trace la gráfica
    de la función dada:

        a) Y = – cos
    x

        b) Y = 3 cos
    2x

    LÍMITES

    1.4.1
    Introducción

    El concepto de
    límite es un concepto central en el desarrollo y
    aplicaciones del cálculo.

        Este concepto involucra el entender
    el comportamiento
    de una función cuando la variable independiente
    está "muy cerca" de un número "a" pero sin llegar a
    tomar ese valor.

     

     

    1.4.2
    Noción intuitiva de límite

    Como se dijo en la introducción, investigaremos el
    comportamiento de una función f(x) cuando los
    valores de la variable independiente (en este caso x)
    estén muy cerca de un número especificado que
    llamaremos "a". Haremos esto tabulando los valores de la
    función para valores de x cada vez más
    cercanos al número a.

        Como primer ejemplo,
    sugerimos una función sencilla como:  f(x)=
    x2
    con a=2.
     

    Por la
    izquierda

    Por la derecha

    x

    f(x)

    x

    f(x)

    1.75

    3.06

    2.25

    5.06

    1.94

    3.76

    2.06

    4.24

    1.98

    3.92

    2.02

    4.08

    1.99

    3.96

    2.01

    4.04

    2.00

    4.00

    2.00

    4.00

     

      ¿Qué observas acerca
    de los valores de la función conforme x se acerca
    al número a por la izquierda (x<a) y por
    la derecha (x>a)?

        ¿Se acercan los valores de la
    función a algún número en particular (uno
    sólo)?

        Si la
    respuesta es afirmativa decimos que ese número al que se
    acerca la función, llamémosle L, es
    el "Límite de f(x)
    cuando x tiende al número
    a"
    . Si la
    respuesta es negativa, decimos que el "Límite de f no existe cuando x
    tiende al número a"
    .

       
    Observación
    importante
    :
    En ningún momento nos interesamos
    por el valor de f(x) cuando x=a, es decir, el
    número f(a). Lo único que nos interesa son
    los valores de la función cuando x está "muy
    cerca" de a pero x es diferente de
    a.

        Como podrás haber observado en
    el ejemplo anterior, el límite de la función si
    existe y es el siguiente:
        El
    límite de f(x)= x2  cuando x2  es L =
    4

        ¿Coincidió tu respuesta
    a la última pregunta con el número dado arriba?
       

    Definición Intuitiva de
    Límite

    Si los valores de f(x)
    pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un
    número (único) L, cuando x
    se acerca a un número a por ambos lados,
    entonces decimos que "El Límite de f(x)
    es L cuando x tiende a a, y
    escribimos esto de la siguiente manera:

    Lim f(x) =
     
    x

    1.4.3 Teoremas sobre
    límites

    A través de ejemplos estableceremos, sin
    demostración, algunos teoremas importantes que nos
    permitirán hacer el cálculo de límites de
    funciones a mano.

    Límite de una
    función constante

    Sea f(x)=k, donde k es una constante. A
    continuación se muestra el límite de f(x)
    cuando xa,
    para a=4.
     

    Por la
    izquierda

    Por la derecha

    x

    f(x)

    x

    f(x)

    3.75

    k

    4.25

    k

    3.9375

    k

    4.0625

    k

    3.98437

    k

    4.01562

    k

    3.99609

    k

    4.00391

    k

    3.99902

    k

    4.00098

    k

     

        Habrás notado que
    independientemente del valor del número a y de la
    constante k, el límite es siempre k. Por lo
    tanto proponemos el siguiente teorema:
     

    Límite de f(x)=x cuando xa

    Sea f(x)=x. A continuación se muestra el
    límite de f(x) cuando xa, para a=4.
     

    Por la
    izquierda

    Por la derecha

    x

    f(x)

    x

    f(x)

    3.75

    3.75

    4.25

    4.25

    3.9375

    3.9375

    4.0625

    4.0625

    3.98437

    3.98437

    4.01562

    4.01562

    3.99609

    3.99609

    4.00391

    4.00391

    3.99902

    3.99902

    4.00098

    4.00098

     

      La tabla anterior sugiere el
    siguiente teorema:
     

    Límite de una función multiplicada por
    una constante

    Sea k una constante y f(x) una
    función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos
    límites: en la columna izquierda evaluaremos Lim k
    f(x)
    y en la derecha evaluaremos k Lim f(x), ambos
    cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2
    y f(x)=3x-2.

        Compara los valores de
    las dos columnas.
     

    x

    [k f(x)]

    k [f(x)]

    -1.25

    -11.5

    -11.5

    -1.0625

    -10.375

    -10.375

    -1.01563

    -10.0937

    -10.0937

    -1.00391

    -10.0234

    -10.0234

    -1.00098

    -10.0059

    -10.0059

     

      Como habrás
    observado, los valores de las dos columnas son iguales. Entonces
    tenemos el siguiente teorema:
     

    Límite de una suma, diferencia, producto y
    cociente de funciones

    Sean f(x) y g(x) dos funciones cuyos
    límites existen cuando xa. En la siguiente tabla observaremos los
    valores de f, g, f+g, f-g, fg y f/g cuando x se
    acerca a un número a.

        En este ejemplo,
    f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2
     

    f(x)

    g(x)

    f(x)+g(x)

    f(x)-g(x)

    f(x)g(x)

    f(x)/g(x)

    5.84

    4.2

    10.04

    1.64

    24.528

    1.39048

    5.0804

    4.02

    9.1004

    1.0604

    24.4232

    1.26378

    5.008

    4.002

    9.01

    1.006

    20.042

    1.25138

    5.0008

    4.0002

    9.001

    1.0006

    20.0042

    1.25014

    5.00008

    4.00002

    9.0001

    1.00006

    20.0004

    1.25001

     

        Observa
    bien la tabla. Relaciona los límites de f y
    g con los límites de f+g , f-g,
    fg y f/g. La tabla sugiere el siguiente
    teorema:
     

     

    Partes: 1, 2, 3, 4

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