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Matemáticas en movimiento (página 2)




Partes: 1, 2, 3, 4


Partes: 1, 2, , 4


El límite de una potencia

A continuación calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme xa. En la tabla, a=2 y n=3.
 

x

xn

an

1.75

5.35937

8.0

1.9375

7.27319

8.0

1.98437

7.81396

8.0

1.99609

7.95322

8.0

1.99902

7.98829

8.0

 

  El resultado anterior sugiere el siguiente teorema:
 

 
    Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos teoremas:
 

 


Límite de una función que contiene un radical

A continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme xa. Si a>0 entoces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un entero impar. En la tabla, a=3 y n=2.
 

x

x(1/n)

a(1/n)

2.75

1.65831

1.73205

2.9375

1.71391

1.73205

2.98437

1.72753

1.73205

2.99609

1.73092

1.73205

2.99902

1.73177

1.73205

 

Lo anterior sugiere el próximo teorema.

El límite de una función compuesta

La inmensa mayoría de las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los teoremas que hemos "descubierto" se refieren a un pequeño grupo de funciones importantes.

    Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función compuesta (fog )(x) = f[g(x)].

    En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x) conforme xa, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3.
 

x

g(x)

f[g(x)]

f(L)

2.75

11.5625

3.40037

3.60555

2.9375

12.6289

3.55372

3.60555

2.98437

12.9065

3.59256

3.60555

2.99609

12.9766

3.6023

3.60555

2.99902

12.9941

3.60474

3.60555

 

  La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior sugiere el siguiente teorema:

1.4.4 La definición formal de límite

En esta sección trataremos de ilustrar gráficamente el concepto de límite y su definición formal. Analiza la siguiente animación y observa que sucede con los valores f(x) cuando x se acerca a un número a.

 

    Observa en la animación anterior que cuanto más cerca está x del número a=1, los valores de la función están más cerca del número L=2. De manera equivalente, para que los valores de la función estén cada vez más cerca del número L=2, es necesario que los valores de x estén suficientemente cerca del número a=1.
   

Definición formal de Límite:

Lim f(x)=L,

xa

si para todo >0, existe un >0 tal que 


|f(x)-L|< cuando |x-a|<.

Límites que no existen

A continuación damos dos ejemplos de un límite que no existe.

Distinto comportamiento por la izquierda y por la derecha

El primer ejemplo se trata de una función discontinua definida por secciones. Investigaremos el valor de Lim f(x) cuando x1. Observa la siguiente animación.
 

    Como viste, cuando x se acerca a 1, los valores de la función NO se acercan a un número. Cuando x se acerca a 1 por la izquierda, f(x)2, y cuando x se acerca a 1 por la derecha,
f(x)3. Por eso decimos que:
 

Lim f(x) NO EXISTE

x1

 

Comportamiento no acotado

Investigaremos el límite de la función f(x)=1/x2 con la siguiente animación.

   

Como habrás observado, conforme x se acerca a cero por ambos lados, los valores de la función crecen sin límite. Por lo tanto los valores de la función no se acercan a ningún número. Entonces, el límite no existe.

    Esperamos que las gráficas generadas anteriormente hayan ayudado a que comprendas el concepto importantísimo del límite de una función, y la definición formal de límite. Es muy importante que comprendas este concepto, por lo que te sugerimos que estudies este cuaderno por el tiempo que sea necesario.

1.4.5 Ejercicios

1) Trace la gráfica para encontrar el límite dado, si es que existe:

    a) 

    b)(|x| / x)

2) Encuentre el límite dado si es que existe:

    a) 

    b) 

3) Identifique las asíntotas verticales y las horizontales:

    a) 

    b) 

CONTINUIDAD

1.5.1 Introducción

Se ha mencionado anteriormente la idea intuitiva de que una función continua es aquella cuya gráfica se puede trazar sin despegar "el lápiz". Es decir, si la gráfica es una sola línea "continua". En este cuaderno daremos una definición precisa de lo que es una "función continua".

    A continuación daremos ejemplos de funciones discontinuas en un punto y analizaremos qué es lo que causa la discontinuidad. Esto nos llevará de una manera directa a la definición de continuidad en un número y posteriormente a la definición de continuidad en un intervalo.

1.5.2 Ejemplos

Observa cuidadosamente las siguientes gráficas de funciones que son discontinuas en un número x=a.
   

Observa como la función es discontinua en x=2, que no existe, y que f(2) no está definida.

f(x)=(-2 + x)-2

 

f(2)= Infinito

 

    Ahora observa la siguiente gráfica.
   

El límite de f(x) cuando x1 por la izquierda es 2 

El límite de f(x) cuando x1 por la derecha es 1 

Por lo tanto el límite de f(x) cuando x1 no existe.

 

f(1)=2

 

    Observa que en este caso la discontinuidad ocurre porque los límites unilaterales no son iguales (la función no tiende al mismo número por la derecha que por la izquierda), es decir, la función es discontinua por que el límite no existe.

    Veamos otro ejemplo:
   

La función f(x) es discontinua en x=-2 y en x=2.  

En x=-2 el límite no existe y f(-2) no está definida.  

En x=2 el límite sí existe pero f(2) no está definida.

La función ya simplificada es 

 

    Por último, observa la siguiente gráfica:
 
 

Esta función es discontinua en x=4 aunque f(4) sí está definida y el límite sí existe. 

La razón de la discontinuidad es que Lim f(x) cuando x4 no es igual a f(4).

1.5.3 Definición de continuidad

Enseguida se da la definición de continuidad en un número.
 

1.5.4 Continuidad en un intervalo

 

Continuidad en un intervalo abierto:

Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todo número del intervalo.

 

    Veamos un ejemplo:

Es claro de la gráfica, que la función es continua en el intervalo abierto (-1,1), pero no es continua en el intervalo cerrado [-1,1] porque f(-1) y f(1) no están definidas. 

 
 

 
 

    Veamos un ejemplo más:
 

1.5.5 Teoremas sobre continuidad

Los siguientes teoremas nos facilitarán la tarea de determinar la continuidad de una función.

 

Teorema 10: Continuidad de una suma, un producto y un cociente.

Si f y g son continuas en un número a, entonces cf (c es una constante), f+g, fg son continuas en a. Y si g(a) no es cero, entonces f/g es continua en a.

 

    La definición de continuidad implica que f(x)=x es continua en todo número x, y el teorema anterior nos dice que entonces x2, x3, ... , xn (n entero positivo) son funciones continuas en todo número x (xn es un producto de n funciones continuas y=x ).

    El teorema anterior también nos dice que una función polinomial es continua en (-,). 

    Consecuentemente, una función racional P(x)/Q(x) es continua en todo número real donde Q(x) no sea cero.
 

 

  En otras palabras, la composición de dos funciones continuas es también continua.
 

    Veamos un ejemplo de este teorema:

f(x)=1+Cos(x) es continua en todo x y g(x)=Sen(x) también es continua en todo x. Por lo tanto, f[g(x)]=1+Cos[Sen(x)] es continua, y
 

Lim f[g(x)]

 = 

Lim {1+Cos[Sen(x)]}

 = 

1+Cos[

lim Sen(x)]

xPi

 

xPi

   

xPi

         
 

 = 

1+Cos[0]

 = 

1+1 =

2

1.5.6 Ejercicios

1) Determine, si los hay, los números en los que la función dada es discontinua:

    a) f(x) = (x2 - 9x + 18)-1

    b) 

2) Determine si la función dada es continua en los intervalos indicados:

    a)  ,  (0, 4],  [1, 9]

    b) f(x) = tan x ,  [0, ],  [-]

LA RECTA TANGENTE

1.6.1 Introducción

El concepto de la derivada se originó, en parte por el problema geométrico de encontrar la recta tangente a una curva dada en un punto cualquiera, y también en parte para describir el movimiento de una partícula.

    En este cuaderno estudiaremos el problema de la recta tangente.

1.6.2 La recta tangente a una curva

Como debes saber, para determinar la ecuación de una línea recta se necesita conocer dos puntos por los que pasa, o un punto y la pendiente.

    Aquí nos encontramos con un problema. Conocemos solo el punto de tangencia y la ecuación de la curva a la queremos encontrar la tangente.

    El problema parece no tener solución. Sin embargo, en lugar de darnos por vencidos, podemos por lo menos aproximar el valor de la pendiente de la siguiente manera:

  1. Escogemos un segundo punto sobre la curva (no muy lejos del punto de tangencia), y calculamos la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos.
  2. Si el punto de tangencia tiene abcisa a, entonces su ordenada es f(a), donde f(x) es la función que define a la curva.
  3. Entonces escogemos el segundo punto sobre la curva con abcisa a+h y ordenada f(a+h), donde h es un número que nosotros escogemos.

    Resumiendo: Dada la curva y=f(x) y el punto (a,f(a)), escogemos un segundo punto sobre la curva con coordenadas (a+h, f(a+h)) y calculamos la pendiente de la recta que pasa por ellos.
 

f(a+h) - f(a)

m = 

 

h

    A continuación se ejemplificará lo anterior para una función dada, un punto de tangencia dado y varios valores del número h.

1.6.3 Cálculos y gráficas

Observa la siguiente gráfica.
 
 

 f (x) = x2

 

  A continuación, se muestra una animación que contiene una serie de gráficas mostrando la curva y las rectas secantes (por la izquierda y por la derecha) para valores de h cada vez mas pequeños. Se mostrarán dos rectas secantes: una para h y otra para -h.

    Observa el comportamiento de las rectas secantes conforme h0.

 

 

    ¿Qué observaste acerca de las rectas secantes cuando h0?

    A continuación se presentan tablas de valores de las pendientes de las rectas secantes como función del número h. Observa el valor de las pendientes conforme h se acerca a cero.
 

f (x)= x2

 

Pendiente

h

derecha

izquierda

0.01

2.01

1.99

0.008

2.008

1.992

0.006

2.006

1.994

0.004

2.004

1.996

0.002

2.002

1.998

0.001

2.001

1.999

 

  Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes (por la derecha y por la izquierda) conforme h0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no?

    En caso afirmativo, decimos que las secantes tienden al mismo límite.

    Esta observación es la base para definir la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (a,f(a)). Si las secantes no tienden al mismo límite, entonces la curva no tiene tangente en ese punto.
 
 

 

Nota: La idea de que la recta tangente a una curva es aquella que la toca en un solo punto es errónea. La recta tangente puede tocar o cortar a la curva en mas de un punto. La definición anterior es la correcta.
 

Ejemplo de una curva que no tiene tangente en un punto

 

f (x) ={

- x2+4,

si  -1 <= x < 2

x-2,

si   2 <= x <= 5

 

 

 

  Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes (por la derecha y por la izquierda) conforme h0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no? En caso afirmativo, la curva tiene tangente en ese punto. En caso negativo, decimos que la curva no tiene tangente en ese punto.

Caso especial: tangentes verticales

Como debes saber, una recta vertical no tiene una pendiente definida. Es decir, su pendiente no es un número real. (A veces se dice incorrectamente que su pendiente es infinita). Observa el siguiente ejemplo.
 

f (x)= (-1+x)2/3

 

  Debe ser evidente que las dos rectas secantes se acercan a una recta vertical. En estos casos decimos que la curva tiene una tangente vertical en ese punto.

1.6.4 Cálculo de la pendiente de la recta tangente

Ahora calcularemos la pendiente de la recta tangente de una función en un punto dado, de acuerdo a la definición anterior.

    Sea f(x)=x2, entonces:
 

f(a+h)-f(a)

 

(h + 2)2 - 4

 

h2 + 4h + 4 - 4

 

m = 

 

 = 

 

 = 

 

 = 

h + 4

h

 

h

 

h 

   

 

    La expresión anterior es la pendiente de la recta secante para un valor dado de h.

    ¿Qué valores crees que vaya tomando la pendiente de la recta secante conforme h0?

    El límite de la expresión anterior cuando h0 es 4, por lo tanto:

La pendiente por la izquierda es: 4

La pendiente por la derecha es: 4

    Si los valores de las pendientes por la izquierda y por la derecha son iguales, este valor es, de acuerdo a la definición de recta tangente, la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto dado.  Enseguida graficaremos la curva y la recta que tiene la pendiente anterior.

    Observa que en realidad es la recta tangente.

1.6.5 Ejercicios

1) Trace la gráfica de la función y de la recta tangente en el punto dado.  Obtenga la pendiente
    de la recta secante que pasa por los puntos que correpondan a los valores de x indicados: 

    a) f(x) = x3,  (-2, -8); x = -2, x = -1

    b) f(x) = sen x,  (,1);  x = ,  x = 

2) Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada, en el punto indicado:

    a) f(x) = x2;  (3, 9)

    b) f(x) = x3;  (1, f(1))

3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada, en el valor de x indicado:

        a) f(x) = 1 - x2;  x = 5

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

1.7.1 Introducción

El concepto de la derivada se originó en parte por el problema geométrico de encontrar la recta tangente a una curva dada en un punto cualquiera, y también en parte para describir el movimiento de una partícula.

    Acabamos de discutir cómo encontrar la recta tangente a una curva. En este cuaderno estudiaremos el movimiento rectilíneo.

1.7.2 Movimiento rectilíneo

Ahora estudiaremos el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de alguna línea recta. Escogemos un punto de referencia (llamado origen) para medir, a partir de este punto, la posición de la partícula.

    Supongamos que la posición de la partícula, que es una función del tiempo, la denotamos con la letra s(t). Entonces, sea s(t)=3 sen t una función que describe el movimiento de la partícula, la siguiente gráfica muestra la relación entre la posición y el tiempo en un intervalo de 0 a 5/2.

 

Nota importante: la partícula no viaja a lo largo de la curva anterior. La partícula viaja en línea recta. La gráfica anterior describe como varía la posición como función del tiempo a lo largo de esa línea recta. La siguiente animación ilustra la relación entre el movimiento de la partícula y la gráfica de s(t). (El punto rojo es la partícula).

 

    Ahora, observa la siguiente animación para ver por sí solo el movimiento de la partícula.

    La posición de la partícula se calculará en intervalos de tiempo:
 

 

  

 t = 

 

4

    Enseguida se calcula el cambio en la posición de la partícula en cada subintervalo de tiempo t (subintervalos iguales). Observa el cambio en la posición para cada subintervalo. ¿Varía esta cantidad de subintervalo a subintervalo? ¿Por qué?

Interpretación de la tabla: El cambio en la posición que aparece en el renglón de un tiempo t es el cambio que ocurre entre ese tiempo y el próximo (t+t).

 

 

 

Cambio en t

Cambio en s

0.0

0.785

2.12

0.785

1.57

0.879

1.57

2.36

-0.879

2.36

3.14

-2.12

3.14

3.93

-2.12

3.93

4.71

-0.879

4.71

5.5

0.879

5.5

6.28

2.12

6.28

7.07

2.12

7.07

7.85

0.879

 

  El hecho de que en algunos intervalos de tiempo el cambio en la posición es mayor que en otros nos dá la idea intuitiva de que la partícula se está moviendo "más rápido" que en otros intervalos. Para poder cuantificar esa idea de "moverse mas rápido" definimos la siguiente cantidad:
 

 

    La próxima tabla nos muestra la velocidad promedio para cada intervalo de tiempo del ejemplo presente. La interpretación de la tabla es la misma que la anterior. Recuerda el mensaje dado arriba.

 

Cambio en t

Vel. promedio

0.0

0.785

2.7

0.785

1.57

1.12

1.57

2.36

-1.12

2.36

3.14

-2.7

3.14

3.93

-2.7

3.93

4.71

-1.12

4.71

5.5

1.12

5.5

6.28

2.7

6.28

7.07

2.7

7.07

7.85

1.12

 

  Observa que en algunos intervalos de tiempo la velocidad promedio es positiva y en otros es negativa. ¿Qué interpretación le puedes dar al signo algebráico de la velocidad promedio?

Partes: 1, 2, 3, 4


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