Matemáticas en movimiento (página 3)

Partes: 1,
2, , 4

1.7.3 Velocidad
instantánea

Imagínate ahora la siguiente pregunta:
¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando
pasa por el punto s=2? (Por decir algo).

    La
pregunta es equivalente a la siguiente:
¿Cuál es la velocidad de la partícula
para el tiempo
t o los tiempos t que corresponden a
s=2?

    Puesto que para calcular la velocidad
debemos medir el cambio en la
posición durante un intervalo de tiempo y calcular la
razón de cambio promedio (cociente del cambio en la
posición entre el intervalo de tiempo), tenemos el mismo
problema que con la recta tangente a una curva. Necesitamos dos
puntos. Es decir, necesitamos conocer la posición para dos
valores del
tiempo y necesitamos calcular la velocidad promedio durante ese
intervalo. Usaremos la misma estrategia que
usamos para encontrar la pendiente de la recta tangente a una
curva.

    Calcularemos las posiciones
s(t) y s(t+t) y luego la velocidad promedio para ese intervalo de
tiempo.
 

  En la siguiente animación se
analiza para un valor del
tiempo t = /2 el valor de la velocidad (Reduerda que s(t)=3 sen
t). Observa que, numéricamente, el valor de la
velocidad promedio es igual a la pendiente de la recta secante
que pasa por los dos puntos de la curva de
s(t).

    ¿Qué
observaste acerca de las rectas secantes cuando t0?

    A continuación se generan
tablas de valores de las velocidades promedio como función
del número t. Observa el valor de las velocidades
conforme t se acerca a cero.
 

  Observa el valor de las pendientes
de las rectas secantes, o sea el valor de las velocidades
promedio, (por la derecha y por la izquierda)
conforme t0.
¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo
número o no?

    Esta observación es la base para definir la
velocidad instantánea de la partícula en el tiempo
t.
 
 

 
Observa un detalle muy importante:
La definición anterior es
idéntica en forma a la definición de la pendiente
de la recta tangente a una curva. Esto sugiere que el concepto del
límite en una expresión de la forma Lim
[f(x+h)-f(x)]/h cuando h0 es un concepto importante. De hecho, es un concepto
fundamental de las matemáticas. Es el concepto de la
derivada.

1.7.4 Ejercicios

1) Un auto recorre las
290 millas entre los Ángeles y
Las Vegas en 5 horas. ¿Cuál es su velocidad
media?

2) La posición de
una partícula sobre una recta coordenada horizontal
está determinada por:

f(t) = -4t2 + 10t +
6.

     Encuentre la
velocidad instantánea de la partícula cunado t =
3

3) La altura sobre el
suelo de una
pelota que se deja caer desde una altura inicial de 122.5m
está dada por s(t) = 122.5 – 4.9t2, en
donde s se mide en metros y t en
segundos.
    a)
¿Cuál es la velocidad instantánea cuando
t = 1/2?
   
b) ¿En qué instante choca la pelota contra el
suelo?
    c)
¿Cuál es la velocidad de impacto?

LA
DERIVADA

1.8.1
Introducción

En el cuaderno de la recta tangente vimos que la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de
y=f(x) en el punto (a,f(a)) está dada
por:
 

  En el cuaderno de movimiento
rectilíneo vimos que la velocidad instantánea de
una partícula en movimiento rectilíneo está
dada por:
 

  Que dos problemas tan
diferentes nos hallan llevado a la evaluación
de límites
de la misma forma sugiere que dicho límite es una cantidad
fundamental en las matemáticas. Como veremos en este y
posteriores cuadernos, el límite…
 
 

…es una cantidad fundamental.

1.8.2 Definición de la
función derivada

Ejemplos

    A continuación se
calculará la derivada de varias funciones
algebráicas a partir de la definición
anterior.

    Ahora
observa el siguiente ejemplo.
 
 

1.8.3 Algunas derivadas
básicas

En esta sección obtendremos la derivada de
algunas funciones básicas. Una vez que veamos
cuáles son sus derivadas, utilizaremos los resultados
obtenidos como reglas de derivación.

La derivada de una función
constante

La derivada de xn

  De acuerdo a lo que observaste,
¿cuál es la derivada de f(x) =
xn? (Pista: fíjate bien en lo que le pasa
al exponente y a los coeficientes)
 

1.8.4 Reglas de
derivación

A continuación te mostraremos algunos ejemplos
para que notes cómo se van desarrollando las reglas de
derivación.

La derivada de una
constante

Según lo que hemos descubierto
anteriormente la derivada de una
constante es cero. Veamos un
ejemplo.

f(x)
= 7

f '(x)
= 0

La derivada de una potencia entera
positiva

Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1,
entonces:

f(x)= x5

f
'(x)= 5×4

   Pero que sucede con funciones
como f(x) = 7×5, aún no podemos derivar
la función porque no sabemos cual es la regla para derivar
ese tipo de expresiones.

La derivada de una constante por una
función.

Para derivar una constante por una función, es
decir cf(x), su derivada es la constante por
la derivada de la función, o
cf'(x),
por ejemplo:
 

La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de
funciones. La regla para la derivada de una suma es
(f+g)'=f'+g',
es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma
de las derivadas de cada uno de los términos por separado.
Entonces:
 

La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar
un producto de
funciones, la regla para la derivada de un producto es
(fg)'= fg'+f'g. En
español
esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos
funciones es la primera, por la derivada de la segunda,
más la segunda por la derivada de la primera".
 

La derivada de un cociente

Ahora daremos la regla para la derivada de un
cociente.
 

  Traducción: la derivada de un cociente de
dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera,
menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda
al cuadrado.
 

Las derivadas de las funciones
trigonométricas

Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de
las funciones
trigonométricas.
 

  Ahora daremos el resto de las
fórmulas para las derivadas de las funciones
trigonométricas.
 

La regla de la
cadena

Las reglas de derivación que hemos definido hasta
ahora no permiten encontrar la derivada de una función
compuesta como (3x + 5)4, a menos que
desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya
conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
 

    Observa que
después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene
la misma función pero con el exponente disminuido en 1,
multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente
original por la derivada de la función base.
 

Ejemplo:
 

    Ahora que ya has visto
cómo se van construyendo las reglas de derivación,
veremos un último ejemplo.
 

1.8.5 Ejercicios

1) Use la definición
de la derivada para la función dada:

    a) f(x) =
3×2

    b) 

2) Determine la derivada de
la función dada.  Obtenga una ecuación de la
recta tangente a la gráfica de la función en el
valor de x indicado:

    a) f(x) =
4×2 + 7x;  x = -1

3) Obtenga la razón
de cambio instantánea de y = 1 / x2 con
respecto a x.

DIFERENCIALES

1.9.1
Introducción

Iniciamos el tema de la derivada con el problema de
encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de y=f(x). Entonces llegamos a la definición de la derivada f'(x) y vimos que
f'(a) es la pendiente
de la recta tangente a la curva en x=a.

    Ahora analizaremos la
siguiente situación:

    Dada una función
y=f(x) y un valor
inicial de x, digamos x0, encontramos la
pendiente de la recta tangente en
[x0,f(x0)], la cual está dada
por m=f'(x0). La ecuación
de esa recta tangente es y-f(x0)=m(x-x0).

    Supongamos que ahora ocurre un cambio
en x, de x0 a x0+dx
(dx es una cantidad). A ese nuevo valor de x
corresponden dos valores de y, uno para la curva
y=f(x) y otro para la recta tangente ya encontrada
anteriormente.

    Hay dos cantidades de interés:

    (1) el cambio que ocurre en el valor
de f (que llamaremos y).
    (2) el cambio que ocurre en el valor de
y para la recta tangente (que llamaremos
dy).

    De acuerdo con esto
definiremos lo siguiente.
 

1.9.2 Ilustración de diferenciales

En las siguientes gráficas se calculan, para una
función dada (x2) y un valor dado de
x=x0, y varios valores del "cambio en x" o sea
el número dx (o x), el cambio en el valor de
f(x) (llamado y) y el valor de dy.
 
 

    Como habrás
observado, conforme más pequeño es dx,
más cercanos están los valores
de y
y dy, y ésta es una de las aplicaciones de las
diferenciales: aproximar con dy el cambio real de una
función (y).

    Para valores pequeños de
dx , y es aproximadamente igual a dy.

    Por lo tanto, y = f(x0+dx)
– f(x0) aprox. igual a dy, de donde
obtenemos que:

f(x0+dx)
= aproximadamente a
f(x0) + dy

1.9.3 Ejemplos del manejo de
diferenciales

Veamos algunos ejemplos del cálculo de
diferenciales:
 

Utilizando diferenciales para
aproximaciones

Consideremos la función f(x)=(1/ x)1/2 y dos
valores de x, x0=100 y
x1=96.

    Por lo considerado anteriormente
tenemos que:
 

1.9.4 Ejercicios

1) Halle la diferencial
dy:

    a) y =
12(x4 – 1)1/3

    b) y = xcosx – sen
x

2) Determine delta "y" y
dy:

    a) y = x2
+ 1

    b) y = sen
x

3) Utilice el conce 
pto de diferencial para encontrar una aproximación a la
expresión dada:

    a)

    b)