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Matemáticas en movimiento (página 4)




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RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

1.10.1 Razones de cambio relacionadas

¿Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto al tiempo es la respuesta a esta pregunta. La derivada dy/dx de una función y=f(x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable x. Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad.

    Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.

    En este cuaderno examinaremos un par de ejemplos de este tipo de problemas.

1.10.2 Ejemplos

Ejemplo 1:

Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?

    Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

    Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.
 

 

    Los pasos ilustrados en el ejemplo anterior son típicos en la solución de un problema de razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se resume en la siguiente lista.

    Te sugerimos seguir este procedimiento en la solución de este tipo de problemas.
 

Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:  

  1. Hacer una ilustración de la situación planteada.
  2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.
  3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.
  4. Escribir una ecuación que relacione las variables.
  5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

 

Ejemplo 2:

Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué razón varía el radio cuando éste mide 3 pies? La solución y una animación que ilustra el problema se muestran a continuación.

 

1.10.3     Ejercicios de razones de cambio relacionadas

1) Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo.  Cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h.  ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm?

2) Un insecto va a lo largo de la gráfica de y = x2 + 4x + 1, en donde x y y se miden en centímetros.  Si la abscisa x varía a razón constante de 3cm/min, ¿Cuán rápido está variando la ordenada en el punto (2, 13)?

3) Un abrevadero de 20 pie de largo tiene sus extremos verticales en forma de triángulos equiláteros.  Si se le bombea agua a razón constante de 4 pie3 / min, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel de agua cuando está a 1 pie de altura sobre el fondo?

EXTREMOS DE FUNCIONES

1.11.1 Extremos absolutos

En esta sección veremos el concepto de extremos de una función. Observa la gráfica de la función f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5].
 

f(x)= 1 + x2

 

  Como observarás la función f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5] tiene dos valores que bien podríamos llamar extremos. Los puntos indican claramente que para ese dominio el valor mínimo de la función es 1 y el valor máximo es 26.

    ¿Existe un valor menor que 1 o uno mayor que 26 en el intervalo mostrado?

    Esta gráfica sugiere la posibilidad de que una función tenga un valor máximo y un mínimo en un intervalo cerrado.
 

Definición de extremos absolutos:

Sea f(x) una función definida en un intervalo I, los valores máximo y mínimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la función. 


 

Se distinguen dos clases:

  • Un número f(c) es un máximo absoluto de f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I.
  • Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I.

 

    Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

Teorema 15: Teorema de los valores extremos.

Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo. 

 

  El teorema anterior nos asegura que en un intervalo cerrado, una función continua siempre tendrá un valor máximo y un valor mínimo. El teorema no dice nada si el intervalo es abierto.

 

 


1.11.2 Extremos en la frontera

Considera ahora la función f(x)=1+|cos(x)| en el dominio [/4,], la gráfica se muestra a continuación.
 

f(x)=1+|cos(x)|

 

    Como ya te habrás dado cuenta, la función f(x)=1+|cos(x)| en el intervalo [/4,], tiene una máximo absoluto en x= y un mínimo absoluto en x=/2.

    El mínimo absoluto es y=1 y ocurre dentro del intervalo. El máximo absoluto es y=2 y ocurre en una frontera del intervalo.

    Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en una de las fronteras de un intervalo I, como en el ejemplo anterior, se le da el nombre de extremo en la frontera

    Cuando I no es un intervalo cerrado, como (-3,6], entonces aún cuando f sea continua no hay garantía de que exista un extremo absoluto.

1.11.3 Extremos relativos

La función f(x)=x3 - x2 - 12x no tiene extremos absolutos en el intervalo abierto (-4,5), ¿por qué? Fíjate en la siguiente gráfica:
 

f(x)= x3 - x2 -12x 

f'(x)= 3x2 - 2x -12 

Números críticos: {-1.69425, 2.36092}

 

    Si prestamos atención a los valores de la función para aquellas x's cercanas a (o en la vecindad de) x=c1 y x=c2 (los puntos azules de la gráfica), observarás que f(c1) es el valor máximo de la función en un intervalo (a1,b1) que contenga a c1 y f(c2) es el valor mínimo de la función en un intervalo (a2,b2) que contenga a c2.

    Estos puntos reciben el nombre de extremos relativos o locales, y se definen como sigue:
 

Definición de extremo relativo: 

  • Un número y1=f(c1) es un máximo relativo de una función f, si f(x)f(c1) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1.
  • Un número y1=f(c1) es un mínimo relativo de una función f, si f(x)f (c1) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1.

 

   Como consecuencia de esta definición puede concluirse que todo extremo absoluto (excepto extremo en la frontera) es también un extremo relativo.

    Es muy importante que notes que los puntos en azul de la gráfica anterior no fueron obtenidos por medio de simple tabulación. (¿Cómo es la tangente a la gráfica en los extremos relativos?).

   Para encontrar los extremos relativos no es suficiente el graficar la función por medio de simple tabulación. Observa los puntos que marcan los extremos relativos de la siguiente gráfica.
 

 

  Examinando la gráfica anterior observarás que los extremos relativos de la función mostrada ocurren en valores de x en los que la curva no tiene tangente o en los que la tangente es horizontal (o vertical).

    Por lo tanto los valores de x en los que f'(x)=0 o f'(x) no existe, son importantes.
 

Definición de valor crítico:

Un valor crítico de una función f(x) es un número c en su dominio para el cual f'(c)=0 ó f'(c) no existe.

 

  Es importante notar que f(c) debe estar definida para que el número c sea un valor crítico. Enunciamos en seguida dos importantes teoremas.
 

Teorema 16:

Si una función f(x) tiene un extremo relativo en un número c, entonces c es un valor crítico.

 

Nota importante : El teorema anterior NO dice que en todos los valores críticos habrá un extremo relativo.

    Observa la siguiente gráfica.
 

f(x)= x3 + 1 

f'(x)= 3x2 

Números críticos: {0.0, 0.0}

 

  Como puedes observar, x=0 es un número crítico, pero f(0) no es un extremo relativo.
 

Teorema 17:

Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces un extremo absoluto ocurre en un punto frontera del intervalo o en un valor crítico en el intervalo abierto (a,b).  

1.11.4 Obtención de los extremos absolutos

El último teorema de la sección anterior puede resumirse de la siguiente manera:
 

Para encontrar un extremo absoluto de una función f(x) continua en [a,b]:   

  1. Evaluar f en a y en b
  2. Determinar todos los valores críticos c1, c2, c3,..., cn en (a,b). 
  3. Evaluar f en todos los valores críticos. 
  4. El más grande y el más pequeño de los valores de la lista, f(a), f(b), f(c1), f(c2),..., f(cn) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, de f en el intervalo [a,b]. 

 

Observaciones:

    a) Una función puede tomar sus valores máximo y mínimo más de una vez en un intervalo, pero el máximo absoluto es un sólo número y el mínimo absoluto es también un solo número.

    b) El recíproco del teorema 16 no es necesariamente cierto. Es decir un valor crítico de una función no siempre corresponde a un extremo relativo. (Como ya viste con f(x)=x3+1)

    Veamos otro ejemplo para ilustrar lo anterior.
 

 

  Como observarás la derivada de esta función muestra que x=1 es un valor crítico sin embargo esta función al igual que la anterior, no tiene extremo alguno.

1.11.5 Ejercicios de Extremos de Funciones

1.- Encuentre los valores críticos de la función dada:

    a) 

    b) f(x) = -x + senx

2.- Encuentre los extremos absolutosde la función dada en el intervalo indicado:

    a) f(x) =  ; [-1, 8]

    b) f(x) = x3 - 6x2 + 2 ; [-3, 2]

3.- Encuentre todos los valores críticos.  Distinga entre extremos absolutos, absolutos en la frontera y relativos:

    f(x) = x2 - 2|x| ; [-2, 3]

TRAZO DE GRÁFICAS Y LA PRIMERA DERIVADA

1.12.1 Introducción

Como ya has visto, si una función tiene extremos relativos, éstos deben ocurrir en un valor crítico. Pero una función no necesariamente tiene un extremo relativo en todos sus valores críticos. El objetivo de este cuaderno es encontrar un criterio que nos permita decidir en qué valores críticos existen extremos relativos.

    Recuerda que los valores críticos de una función f(x) son números en el dominio de f(x) para los cuales f'(x)=0 o f'(x) no está definida. En esta sección encontraremos una forma de determinar cuando la función tiene un extremo relativo en un valor crítico c, a partir de la primera derivada.

1.12.2 Criterio de la Primera Derivada

Sea f(x) una función diferenciable en (a,b) y c un valor crítico tal que a<c<b. Sería conveniente poder determinar si f(c) es un máximo o un mínimo relativo de f(x), esto nos ayudaría a trazar la gráfica de f(x).

Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2

    Esta función es continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y el comportamiento de su derivada en el intervalo -5<x<5. El objetivo es el de detectar los máximos y mínimos relativos y determinar algún criterio para encontrarlos utilizando la primera derivada. Observa la siguiente gráfica.
 

f(x)= x3 - 3x2 - 9x2 + 2

f'(x)= 3(x - 3)(x + 1)

Números críticos: {-1.0, 3.0}

  f(-1.0)= 7.0

  f(3.0)= -25.0

 

  Como verás los extremos relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la siguiente animación observa el comportamiento de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por los puntos extremos relativos.

    Observa que en los intervalos en los que la función crece, la pendiente de la recta tangente tiene signo positivo, y cuando la función es decreciente, el signo de la pendiente es negativo.

    Como ya te habrás dado cuenta las pendientes cambian de signo en los valores críticos.

    Para verificar esto a continuación se muestra una tabla de valores de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) para -5<x<5, observa el comportamiento de las pendientes.
 

pendiente 

-5.0 

96.00 

-4.5 

78.75 

-4.0 

63.00 

-3.5 

48.75 

-3.0 

36.00 

-2.5 

24.75 

-2.0 

15.00 

-1.5 

6.75 

-1.0 

0.00 

-0.5 

-5.75 

0.0 

-9 

0.5 

-11.75 

1.0 

-12.00 

1.5 

-11.25 

2.0 

-9.00 

2.5 

-5.75 

3.0 

0.00 

3.5 

6.75 

4.0 

15.00 

4.5 

24.75 

5.0 

36.00 

 

  ¿Qué observas? ¿Hay cambios de signo? ¿Detectaste el máximo y mínimo relativos? ¿Cuándo se presentan?

    De acuerdo a lo que se observa en el ejemplo, parece razonable enunciar el siguiente teorema:
 
 

Teorema 18: Criterio de la primera derivada para extremos relativos.

Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor crítico c.   

  • Si f '(x)>0 para a<x<c y f '(x) < 0 para c<x<b entonces f(c) es un máximo relativo. 
  • Si f '(x)<0 para a<x<c y f '(x)>0 para c<x<b entonces f(c) es un mínimo relativo. 

1.12.3 Otros ejemplos

Observemos otros ejemplos.
 

 

    Si el signo de la derivada cambia al evaluarla sobre los intervalos (a,c) y (c,b) entonces f(c) es un máximo o mínimo relativo. ¿Cuáles son el máximo y mínimo relativos?

    Si la derivada no cambia de signo en el valor crítico c, entonces f(c) NO es un extremo relativo.

    Practica el encontrar los extremos relativos de varias funciones. Escoge entre las funciones dadas en los ejercicios de tu libro de texto hasta que sientas que entiendes el criterio de la primera derivada.

Recuerda: La práctica hace al maestro.

1.12.4 Ejercicios de Trazo de gráficas y la primera derivada

1.- Utilice el criterio de la primera derivada para encontrar los extremos relativos de la función dada.  Trace la gráfica.  Encuentre las intersecciones con los ejes cuando sea posible:

    a) f(x) = x(x - 2)2

    b) 

    c) 

CONCAVIDAD Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

1.13.1 Introducción

Ya hemos visto que la localización de los intervalos en los que una función f crece o decrece es útil para hallar su gráfica.

    Recordemos que si f crece en un intervalo, entonces f'>0 en ese intervalo, y si f decrece entonces f'<0.

    En este cuaderno veremos que localizando los intervalos en los que la derivada f' crece o decrece, podemos determinar dónde la gráfica de f se curva hacia arriba o hacia abajo.

    La noción que discutiremos es la de concavidad.

1.13.2 Definición de concavidad

Observemos las siguientes gráficas (todas son acerca de la misma función, pero en diferentes intervalos).
 

Esta gráfica es cóncava hacia abajo

¿Qué observas acerca de las pendientes de las rectas tangentes?  

Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

La siguiente gráfica es cóncava hacia arriba

¿Qué observas acerca de las pendientes de las rectas tangentes?  

Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 

 
    Como debes haber observado, cuando la función es cóncava hacia abajo, la derivada f' es una función decreciente y cuando la curva es cóncava hacia arriba la derivada es una función creciente.
 

Definición de concavidad:

Sea f diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si es decreciente en ese intervalo.

 

    Por lo que sabemos de funciones crecientes y decrecientes, si f' es creciente en un intervalo, entonces su derivada f'' es positiva en ese intervalo y si f' es decreciente entonces su derivada f'' es negativa en ese intervalo. La siguiente gráfica muestra este concepto.
 

 
    Las anteriores observaciones nos llevan a postular el siguiente criterio sobre concavidad:
 

Teorema 19: Criterio sobre concavidad.

Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a,b). 

  1. Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). 
  2. Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b). 

1.13.3 Determinando la concavidad

Para determinar la concavidad de la gráfica de una función, debemos determinar los intervalos en los que f''(x)<0 (concavidad hacia abajo) y en los que f''(x)>0 (concavidad hacia arriba). Se sugiere el siguiente procedimiento:
 

  1. Determinar los valores en los que f''(x)=0 o f''(x) no está definida.
  2. Determinar con esos valores unos intervalos de prueba.
  3. Determinar el signo de f''(x) en cada uno de esos intervalo de prueba.

 

    A continuación se muestran dos ejemplos para ilustrar este procedimiento.

Ejemplo 1:
 

135x + 40x3 - 3x5

f''(x)=0 en x={-2, 0, 2}  

f''(x)= existe para todos los reales  

Los números que forman intervalos de prueba son: {-2, 0, 2}  

Valores de prueba: {-2.1, -1.9, 0.1, 2.1}  

Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {0.191333, -0.164667, 0.0886667, -0.191333} 

f(x)= 

 

270

 

135 + 120x2 - 15x

f'(x)=

 

270

2x(2-x)(2+x)

f''(x)=

 

9

De lo anterior, podemos concluir que:  

  • La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -2
  • La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-2 y x=0
  • La gráfica es cóncava hacia arriba entre x=0 y x=2
  • La gráfica es cóncava hacia abajo de 2

 

Ejemplo 2:
 

f''(x)=0 en x={}   

f''(x) no existe en x={-1, 1}   

Los números que forman intervalos de prueba son: {-1, 1}   

Valores de prueba: {-1.1, -0.9, 1.1} 

Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {1999.78, -2000.29, 1999.78}

 

x2 + 1

 

f(x)=

 

x2 - 1

2x

2x(x2 + 1)

f'(x)=

 

-

 

x2 - 1

(x2 - 1)2

4(1 + 3x2)

f''(x)=

 

(x + 1)3(x -1)3

 

De lo anterior, podemos concluir que: 

  • La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -1
  • La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-1 y x=1
  • La gráfica es cóncava hacia arriba de 1.

1.13.4 Puntos de inflexión

Un punto de la gráfica de una función en donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica se llama punto de inflexión.
 

Definición de punto de inflexión:

Sea f continua en c. Un punto (c,f(c)) es un punto  de inflexión si existe un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, de tal manera que la gráfica de f es,

  • cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo en (c,b) , o
  • cóncava hacia abajo en (a,c) y cóncava hacia arriba en (c,b). 

 

  Como consecuencia de las definiciones de concavidad y de punto de inflexión , observamos que un punto de inflexión (c,f(c)) ocurre en un número c para el cual f''(c)=0 o bien f''(c) no existe. 

    A continuación, se muestran los puntos de inflexión de una función.

Ejemplo:
 

135x + 40x3 - 3x5

f''(x)=0 en x={-2, 0, 2}  

f''(x) existe para todos los reales  

Los números que forman intervalos de prueba son: {-2, 0, 2}  

Valores de prueba: {-2.1, -1.9, 0.1, 2.1}  

Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {0.191333, -0.164667, 0.0886667, -0.191333}  
 
 

f(x)=

 

270

135 + 120x2 - 15x4

f'(x)=

 

270

2x(2-x)(2+x)

f''(x)=

 

9

De lo anterior, podemos concluir que:  

  • La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -2
  • La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-2 y x=0
  • La gráfica es cóncava hacia arriba entre x=0 y x=2
  • La gráfica es cóncava hacia abajo de 2
  • Puntos de inflexión : {(-2.,-1.82963), (0,0), (2,1.82963) } 

1.13.5 Ejercicios de Concavidad y el criterio de la segunda derivada

1.- Utilice la segunda derivada para determinar los intervalos en los que la función dada es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo:

    a) 

    b) 

2.- Utilice la segunda derivada para localizar todos los puntos de inflexión:

    a) f(x) = x - sen x

3.- Utilice el criterio de la segunda derivada, cuando sea aplicable, para encontrar los extremos relativos de la función dada.  Trace la gráfica.  Encuentre los puntos de inflexión y la intersecciones con los ejes, cuando sea posible:

    a) 

CÁLCULO INTEGRAL

2.1.2 El área bajo una curva

Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
 

f(x)= x2 + 1 
en el intervalo cerrado [1,5]

 

    Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes gráficas:
 

 

 
    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

    Observa las siguientes animaciones.
 

 

    El valor exacto del área es:
 

136

Área = 

 

 aprox. igual 

45.3333

3

 

    Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
 
 

 

    Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.
 

Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que  

2.1.3 La Integral Definida

La noción del límite de una suma de Riemann puede extenderse a cualquier función definida en un intervalo [a,b]. Es decir, la función ya no tiene que ser mayor que cero y ni siquiera tiene que ser continua.
 

    Enseguida se calcula el valor de la integral definida de una función en un intervalo dado.
 

f(x)= x2 - 1

Valor de la integral
definida: -1.04167

Valor del área entre la 
curva y el eje x: 1.33333

    Como habrás observado, el valor de la integral definida no es igual al valor del área bajo la curva. Esto se debe a que f(x)<0 en una parte del intervalo. En el cuaderno llamado área entre curvas se definirá de manera definitiva el área bajo una curva en términos de la Integral Definida.

Bibliografía

Bedient P.E. y Bedient R.E. y Rainville E.D., Ecuaciones Diferenciales, Octava Edición, Prentice Hall, México 1998

Bradley Gerald L. y Smith Karl J., Cálculo de una variable Volumen 1 y 2, Prentice Hall Iberia, Madrid 1998

Edwards C.H. Jr. y Penney David E., Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera, Tercera Edición, Prentice Hall, México 1993

Huhes-Hallett Deborah y Gleason Andrew M., Cálculo, Primera edición, Compañía Editorial Continental S.A. de C.V., México 1995
Larson, Hostetler, Edwards,  Cálculo Volumen 1 y 2, Quinta edición, Mc Graw Hill, España 1995

Purcell Edwin J. y Varberg Dale, Cáculo con geometría analítica, Sexta Edición, Prentice Hall, México 1993

Zill Dennis G., Cálculo con geometría analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, México 1992

 

 

Dr. Sergio Miguel Terrazas Porras
Profesor de Física y Matemáticas en el Departamento de Ciencias Básicas del Instituto de Ingeniería y Tecnología de la Universidad Autónoma de Ciudad Juárez,

http://sterraza.ne1.net

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