Problemario de Probabilidad (página 2)

Distribución uniforme

1. El tiempo de
   vida de una locomotora de ferrocarril, se comporta según
   un modelo
   uniforme continuo en el intervalo [5, 13] años. Hallar
   la Probabilidad de
   que se recuperen los gastos de
   inversión, si por lo menos funciona 8
   años.
2. Sea X una variable aleatoria continua,
   distribuida uniformemente en el intervalo cerrado [0,
   t]. Obtenga el valor de
   t, si se sabe que P (X < 2) =
   0.4
3. Un grupo de
   investigadores interesados en estudiar el Río
   Usumacinta, encontró que de profundidad varía de
   un día a otro uniformemente entre 12 y 15
   metros.

1. Calcule la probabilidad de que en la siguiente
   medición se obtenga menos de 13
   metros.
2. ¿Cuál es la profundidad promedio del
   Río?
3. Obtenga la desviación estándar
   (s ) para esta
   distribución

1. Un satélite que ha cumplido su ciclo en
   órbita alrededor de la Tierra
   esta a punto de caer en ella, los especialistas calcularon su
   caída en algún lugar entre los puntos P y Q, si
   su comportamiento es uniforme calcular la
   probabilidad de que, a) Caiga más cerca de P
   que de Q, b) la distancia con respecto a P sea dos
   veces más larga con respecto a Q.

   

   a) Determine F(x), b) Calcule
   P(2 < x < 4) c)
   Calcule P(x > 5) d) Haga las gráficas de f (x) y F
   (x). e) Encuentre la media m y la varianza s
   2.

2. Sea X una variable aleatoria con
   distribución
3. En un moderno negocio de hamburguesas se despacha el
   refresco en vasos, con una variabilidad uniforme entre 130 y
   160 mililitros (ml).

1. Obtener un vaso que contenga a los más 140
   ml.
2. ¿Cuántos ml. contiene en promedio un
   vaso?
3. Obtenga la varianza para esta distribución.

1. Un meteorólogo hace una medición del
   tiempo al azar, suponiendo que está distribuida
   uniformemente en el intervalo [1, 4]. A) Calcule la
   probabilidad de que la medición este entre 5/2 y 3.
   b) Si se realizan 6 mediciones independientes, hallar la
   probabilidad de que exactamente 3 de ellas estén entre 2
   y 3.
2. Un punto se elige en un segmento de línea [1,
   3]. Suponiendo que X es una variable aleatoria
   continua distribuida uniformemente en este intervalo,
   encontrar f (x) y F (x).

   a) P(x > 2) = 1/3, b) P(x > 2) =
   ½, c) P(x < ½) = 0.8, d) P(|x|
   < 2) = P(|x| > 2)

3. Suponga que X es una variable aleatoria
   distribuida uniformemente en [-a, a] en donde
   a > 0, determinar a en los casos que sea
   posible:
4. Una resistencia se
   comporta de acuerdo a una distribución continua entre
   900 y 1,100 Ohms, encuentre la probabilidad de que la
   resistencia, a) aguante a los más 950 ohms antes
   de quemarse, b) este entre 950 y 1,050 ohms.
5. Sea X una variable aleatoria continua,
   referida al error cometido al determinar la densidad de una
   substancia. Supóngase que X esta distribuida
   uniformemente en el intervalo [-0.02, 0.02].
   ¿Cuál es la probabilidad de que el error cometido
   este, a) entre 0.010 y 0.014, b) entre
   –0.011 y 0.011?
6. El tiempo que tarda un autobús en ir de un
   destino A a un destino B y viceversa, está distribuido
   uniformemente en un intervalo de 70 a 90 min. Hallar la
   probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 85
   minutos, si se sabe que el viaje dura más de 55
   minutos.
7. Una variable aleatoria X esta distribuida
   uniformemente, con media igual a uno y varianza tres. Encuentre
   P ( -1 < x < 3).
8. Supóngase que la concentración de
   contaminación en la Ciudad de México (D.F.), se encuentra distribuida
   uniformemente en el intervalo [40, 250] I.M.E.C.A.
   (Índice Metropolitano de la
   Contaminación del Aire). Si se
   considera como tóxica una concentración de 150
   I.M.E.C.A.s o más. Hallar la probabilidad de que al
   hacerse una medición la concentración de
   contaminación sea tóxica.
9. Sea X una variable aleatoria continua, con
   distribución uniforme en el intervalo cerrado [a,
   b] Encuentre P(m –
   s < x <
   m + s
   ).
10. Sea X una variable aleatoria continua, con
    distribución uniforme en el intervalo [a,
    b], a < b. Si la media es igual a uno y la
    varianza es 12, encuentre los valores
    de a y b.
11. Demuestre que

Distribución normal

1. En una carrera automovilística, las
   velocidades registradas tienen una media de 90 km/h. Con una
   desviación estándar de 8 km/h. Si se supone
   normalidad, encuentre los porcentajes de velocidad,
   a) mayores de 100 km/h, b) menores de 80 km/h,
   c) Que se encuentran entre 85 y 95 km/h.
2. El tiempo necesario para llenar un frasco de un
   producto es
   una variable aleatoria que sigue una distribución
   normal, con una media de 10 minutos y una desviación
   estándar de un minuto. Encuentre el tiempo de llenado
   del frasco de manera tal que la probabilidad de exceder esta
   sea de 0.03.
3. Una fábrica de tornillos produce un tipo de
   tornillo con un diámetro promedio de 6.5 mm y una
   desviación estándar de 1.5 mm,
   ¿cuál es la probabilidad de encontrar tornillos
   con diámetro a) mayor que 7mm, y b) entre
   6 y 7 mm? Suponga normalidad.
4. En invierno en la Sierra de Chihuahua la temperatura
   media diaria fue de 5ºC con una desviación
   estándar de 2ºC. Si la distribución de las
   temperaturas diarias es aproximadamente normal.
   ¿Cuál es la probabilidad de que en un día
   determinado la temperatura hubiera estado,
   a) entre 3 y 6º C? b) a lo más de
   4ºC? c) Por lo menos de 5.5ºC?
5. Una empresa fabrica
   baleros con un diámetro de 2.006 cm y una
   desviación estándar de 0.02 cm. Estadística realizadas demostraron que
   todos los baleros fabricados con un diámetro de 1.95 cm
   hasta 2.03, son aceptados por los distribuidores fuera de estos
   se regresan a la fabrica. ¿Cuántos baleros de un
   grupo de 500 se espera que sean rechazados si el
   diámetro especificado sigue una distribución
   normal?
6. En un aserradero se producen polines cuyo
   largo debe ser 2.12m en promedio, sin embargo si estos polines
   se encuentran entre 2m y 2.24m se observa que se rechazan
   aproximadamente el 2.5% por exceder el largo superior y un 2.5%
   por no llegar al largo inferior. Suponiendo que las longitudes
   están distribuidas normalmente, encuentre la
   desviación estándar de esta
   distribución.
7. La vida útil de un refrigerador de una
   marca de
   prestigio es de 5 años en promedio con una
   desviación estándar de 1.5 años. La
   garantía de estos aparatos es por un año, hallar
   la probabilidad de que si se adquiere uno de estos
   refrigeradores se tenga que reclamar la
   substitución.
8. El tiempo promedio que tarda un ciclista en recorrer
   una distancia del punto A al punto B es de 40 minutos, con una
   varianza de 16 minutos. Hallar la probabilidad de que,
   a) tarde al menos 45 minutos, b) tarde de 36 a 45
   minutos. Suponga normalidad.
9. La vida útil de la pilar alcalinas de la marca
   E, tienen una media de 8.5 h con un desviación
   estándar de 0.5 h, las pilas de la
   marca D (Duracel), tienen un media de 8.2 h y una
   desviación estándar de 0.4 h, en ambas marcas la vida
   útil tiene una distribución normal. Si se elige
   una pila de cada marca, ¿cuál es la probabilidad
   de que la marca E dure más de 8.25 h y la marca D menos
   de 8.4 h?
10. Las pruebas que
    se han realizado en cierto componentes electrónicos han
    mostrado que tienen una vida media de 20 h con una
    desviación estándar de 2 h, su
    distribución es normal. Hallar la probabilidad de que si
    se eligiera una muestra de 5 de
    estos componentes a lo más dos fallen antes de 16
    h.
11. El tiempo que tarda un camión materialista
    entre la bodega de carga y la obra de construcción, es aproximadamente normal
    con una media de 25 minutos y una desviación
    estándar de 4 minutos. A que hora debe salir el
    camión de la bodega, para tener una probabilidad del 95%
    de estar en la obra de construcción a la 10 de la
    mañana.
12. En un laboratorio
    médico se envasan ciertos medicamentos en sobre cuya
    distribución de pesos sigue la distribución
    normal con una desviación estándar de 1.4 gramos.
    Si el 1% de los sobres pesan más de 6 gramos.
    ¿Cuál es el valor de la media?
13. La fuente de sodas "EL CEREZO ROSA" ha instalado una
    máquina automática, regulable de tal manera que
    la cantidad media de milk sea la que se desee, en
    cualquier caso esta cantidad sigue la distribución
    normal con una desviación estándar de 5.2
    ml.

1. si el nivel medio se ajusta a 303.9 ml.
   ¿Qué porcentaje de vasos de milk
   contendrá menos de 209 ml?
2. A qué nivel medio debe ajustarse la
   máquina para que sólo el 2.28% de los vasos
   contenga a los más 205 ml?

1. El promedio de vida de una licuadora de la marca S
   (Sony) es de 4 años, con una desviación
   estándar de un año, la fábrica repone sin
   cargo alguno al cliente todas
   las licuadoras que dejen de funcionar dentro del tiempo de
   garantía. Si sólo se desea reponer el 2% de las
   licuadoras que funcionen mal. ¿Qué tiempo de
   garantía se debe ofrecer? Suponga
   normalidad.
2. El peso que soporta una varilla especial para
   construcción, sigue la distribución normal, si en
   promedio aguanta 25 toneladas antes de romperse con una
   varianza de 4 toneladas, a) ¿A qué
   proporción de estas varillas aguantan un peso mayor de
   27 Toneladas? b) Si las especificaciones dadas por el
   fabricante requieren que todas las varillas aguanten un peso
   entre 22 y 28 toneladas. ¿Qué % de varillas se
   esperan rechazar? c) de acuerdo a lo especificado en el
   inciso b, si se tiene un lote de 4,000 varillas,
   ¿cuántas se rechazarían?
3. El diámetro interior para un balero delantero
   de un automóvil de una marca W, está distribuido
   normalmente con una medio de 5 cm y una varianza de 0.04 cm,
   ¿Cuál es la probabilidad de que un balero tenga
   un diámetro interior, a) mayor a 5.04 cm? B) entre 4.98
   y 5.02 cm?
4. El promedio de tiempo en que un coche de una marca
   japonesa empieza a dar problemas es
   3.5 años con una desviación estándar de
   0.5 años, un coche de fabricación alemana tiene
   una media de 4 años con una desviación
   estándar de 0.4 años. En ambos casos el tiempo en
   que empiezan a dar problemas, sigue una distribución
   normal. Si se elige al azar un automóvil de cada marca,
   ¿Cuál es la probabilidad de que la marca japonesa
   dure más de 3 años y la marca alemana a lo
   más 4.2 años?
5. Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en
   entrevistar a una aspirante para una vacante en su
   compañía sigue una distribución normal. Si
   el 10% de los entrevistados tardan más de 60 minutos y
   el 4% duran menos de 35 minutos, hallar la media y la
   varianza.
6. La resistencia de los alambres que se usan en una
   computadora
   de una marca especial, esta distribuida normalmente. Si el 8%
   de estos alambres soportan una resistencia de más de 100
   Ohms y el 25% soportan menos de 95 Ohms, encuentre la media y
   la desviación estándar.
7. En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4m en promedio, con
   una desviación estándar de 0.2m, estas longitudes
   están distribuidas normalmente.

1. Si se elige un lote de 500 trozos ¿Cuál
   será el número probable de estos que superen la
   longitud de 4.1m?
2. Si se eligen 8 trozos ¿cuál es la
   probabilidad de que exactamente 3 tengan una longitud mayor de
   4.1m?

1. Una compañía produce baleros con
   diámetros que tienen una distribución normal con
   una media de 3.0005 mm, y una desviación estándar
   de 0.0010 mm. Las especificaciones requieren que los
   diámetros estén en el intervalo 3.000 ± 0.0020 mm. Se rechazan los baleros que
   quedan fuera del intervalo debiéndose volver a maquinar.
   ¿Qué fracción de la producción será
   rechazado?
2. Para seleccionar a sus empleados, un comerciante usa
   una prueba que tiene una puntuación promedio m , una desviación estándar
   s = 10. Suponga que la
   distribución de las puntuaciones es normal; y que una
   puntuación mínima de 65 le permite al solicitante
   seguir siendo considerado ¿Cuál debe ser el valor
   de m , si se quiere que
   aproximadamente el 2.5% de los solicitantes sigan siendo
   considerados después de esta prueba?
3. Los diámetros promedio del grueso del
   diámetros de una gran número de tornillos se
   distribuyen normalmente con un promedio igual a 2.4 cm y
   desviación estándar igual a 0.5 cm.

1. ¿Qué fracción de tornillos
   tendrá un diámetro promedio mayor que 3.0
   cm?
2. Si los tornillos que tienen un promedio de
   diámetro igual o menor que 1.9 cm son desechados
   ¿Qué porcentaje se elimina?
3. Se supone que se selecciona al azar tres tornillos de
   entre todos ¿cuál es la probabilidad de que los
   tres tengan diámetro promedio mayor que 3
   cm?

1. Un estudio reporta que el 10% de los obreros de
   cierto departamentos pesan 112 lb o menos, y que 10% pesan
   140lb o más. Suponga que esas frecuencias relativas
   pueden tomarse como probabilidades y que la distribución
   de los pesos es una distribución normal. Encuentre la
   media y la varianza de dicha distribución.

Aproximación de la distribución Normal a
la Binomial

1. Una encuesta
   realizada por la dirección del agua potable
   entre los residentes de una ciudad indica que el 20% desea que
   se le instale un medidor de agua por
   considerar que la cuota fija de pago es superior al costo real
   de consumo. Si
   100 residente solicitan su medidor de agua en dicha ciudad.
   Hallar la probabilidad de que entre 17 y 19 inclusive, le
   instalen su medidor de agua.
2. La probabilidad de que un foco falle antes de 1,200
   horas es del 30%. Encuentre la probabilidad de que un lote de
   250 de estos focos, 60 fallen antes de 1,200 horas de uso
   continuo.
3. Un enfermo de leucemia, debido al avance en la
   medicina
   tiene una probabilidad del 45% de recuperarse. Si de 90
   personas que han contraído la enfermedad, encuentre la
   probabilidad de que al menos 25 sobrevivan.
4. Los altos índices de contaminación ambiental en el D.F., ha
   ocasionado la fabricación para aparatos reducirla, la
   probabilidad de realizar la venta de uno
   de estos equipos en la primera entrevista
   es del 60%, si un vendedor entrevista a 80 posibles clientes.
   ¿Cuál es la probabilidad de al menos 40 clientes
   efectúen una compra?
5. Un ingeniero Industrial cree que el 20% de la
   pérdida de trabajo
   horas – hombre en la
   planta en que labora, se debe a que los empleados no cumplen
   adecuadamente con su trabajo en el horario asignado. Calcula la
   probabilidad de que 80 trabajadores investigados de esta
   fábrica de 14 a 20 incurran en esta
   irregularidad.
6. Una prueba de C.O.E. tiene 50 preguntas de
   opción múltiple con tres respuestas posibles.
   ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que
   no sabe nada conteste correctamente de 14 a 25
   preguntas?
7. El gerente de
   una fábrica sabe que el 2% de los artículos que
   fabrica son defectuosos. Para hacer una prueba de control de
   calidad se seleccionan 1,000 artículos
   aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que
   el número de artículos defectuosos, a) Sea mayor
   o igual a 14, b) Sea menor de 10?
8. Un 30% de los estudiantes del I.P.N. son de
   provincia. Si se eligen aleatoriamente 200 estudiantes en una
   facultad determinada. ¿Cuál es la probabilidad de
   que a los más del 25% de estos estudiantes sean de
   provincia?
9. Una compañía farmacéutica
   fabrica una medicina para bajar la presión
   arterial alta, afirma que es efectiva en el 90% de los casos en
   los pacientes de este mal. El Seguro
   Social para verificar esta afirmación utiliza una
   muestra de 150 individuos con presión alta y les da el
   medicamento, si es efectivo en 128 enfermos o más se
   acepta. ¿Cuál es la probabilidad de, a) aceptarlo
   si la efectividad es realmente 80%?, b) rechazarlo cuando la
   efectividad es menor o igual al 80%?
10. En una gasolinera en la que se aceptan tarjetas de
    crédito, el 30% de los usuarios la
    utilizan. ¿Cuál es la Probabilidad de que 300
    clientes al menos 195 paguen en efectivo?
11. Una prueba de opción múltiple contiene
    30 preguntas, cada una de ellas tiene 4 posibles respuestas. Si
    un estudiante que no estudió contesta en forma aleatoria
    cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que
    más de la mitad estén correctas?
12. Una fábrica produce bombas para
    desaguar lavadoras, debido a su equipo ya obsoleto, se sabe que
    el 15% de su producción tiene alguna falla, se
    seleccionan 50 de estos aparatos aleatoriamente para una prueba
    de control de
    calidad-
    ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 8
    estén defectuosos?
13. En una encuesta realizada por una empresa,
    encontró que el 60% de los entrevistados utilizan un
    automóvil de la marca W. Si se pregunta aleatoriamente a
    100 personas con automóvil, que marca tienen de
    automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que
    a lo más 70 de este grupo tenga un automóvil de
    la marca W?
14. Se sabe que el 15% de las lámparas que
    adquiere un municipio están defectuosas. En una muestra
    aleatoria de 200 lámparas, hallar la probabilidad de que
    a los más 25 o al menos 40 estén
    defectuosas.

Distribución
Exponencial

1. En el conmutador de una compañía se
   reciben llamadas telefónicas a una razón de 3
   llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de
   que transcurran al menos 20 minutos antes de la siguiente
   llamada?
2. Las fallas de un equipo de radar siguen la
   distribución exponencial, el promedio de fallas es de
   una por cada hora 300 horas. Si se tiene una probabilidad del
   96% de que no exista una avería en un intervalo de
   tiempo mayor o igual a t, calcule el tiempo para esta
   probabilidad.
3. Una fábrica de llantas para automóviles
   garantiza que duran dos años en promedio, si el desgaste
   de estas llantas sigue la distribución exponencial.
   ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta dure
   menos de 4 años?
4. En los bancos
   Mexicanos sé a instituido el sistema
   "unicola" para atender a los clientes, el tiempo de espera
   sigue una distribución exponencial con una medio de 10
   minutos. Determinar la probabilidad de que un cliente sea
   atendido en menos de 9 minutos en al menos 6 de los 8
   días siguientes.
5. Según estadísticas que se han llevado a cabo un
   molino de trigo se descompone en promedio una vez cada dos
   años ¿Cuál es la probabilidad de que la
   siguiente descompostura sea dentro de 6 meses?
6. De acuerdo a la escala de
   Richter la magnitud de un terremoto en la ciudad de
   México, se supone que sigue la distribución
   exponencial con un promedio de 1 cada 10 años.
   ¿Cuál es la probabilidad de que un terremoto
   supere el 7.5 de esta escala, la magnitud del gran terremoto de
   1985 ocurrido en la ciudad?
7. El tiempo de espera en una cola de banco con ideas
   modernas, para ser atendido sigue una distribución
   exponencial y en promedio es de un cliente cada 10 minutos.
   Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a
   9 minutos.
8. En una clínica de la Cruz Roja, el tiempo
   entre llamadas de emergencia que se reciben en las primeras
   horas de un día cualquiera sigue una distribución
   exponencial con un tiempo medio de una hora entre llamadas.
   Calcule la probabilidad de que entre dos llamadas transcurran
   menos de tres horas.
9. Una terminal de computadoras
   esta conectada a una de si un estudiante la utiliza, el tiempo
   de respuesta de la
   computadora central sigue una distribución
   exponencial con un tiempo promedio de 4 segundos.
   ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran a los
   más 6 segundos para la llegada de la
   respuesta?
10. Un ciudadano contrató un servicio de
    alarma con una compañía del ramo. Si la alarma se
    activa, el tiempo de respuesta de la compañía
    sigue una distribución exponencial con una respuesta de
    20 minutos en promedio. Determine la probabilidad de que la
    respuesta de la compañía tarde al menos 17
    minutos.
11. El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de
    un cliente en un restaurante que da servicio en su coche, sigue
    una distribución exponencial con una respuesta de
    atención
    al cliente de 4 minutos en promedio. ¿Qué
    probabilidad hay de que de los 4 clientes siguientes al menos
    dos deban esperar menos de 4 minutos?
12. La llegada de los trenes del metro (Indios Verdes
    – Universidad)
    a la estación Basílica sigue una
    distribución uniforme en el intervalo [0, 5] y la
    llegada de los trenes (Martín Carrera – Rosario) a
    esta misma estación siguen una distribución
    exponencial con parámetro l .
    Encuentre el valor del parámetro l si var(I-V) = var(M –
    R)
13. Una compañía que produce tarjetas de
    video para P.C. sabe que el tiempo de vida de estas, sigue
    una distribución exponencial con una vida medio de 10
    años. Si el fabricante no quiere reemplazar más
    del 8% de su producto, determine este tiempo de garantía
    al mes más cercano.
14. En la estación del metro Pantitlan en la
    Ciudad de México, el tiempo de llegada de los trenes
    sigue una distribución exponencial con 10 minutos en
    promedio por llegada. Determinar la probabilidad de que un
    usuario tenga que esperar más de 6 minutos la llegada de
    un tren.
15. Una compañía que fabrica focos para un
    fin determinado sabe que el tiempo de vida de estos sigue una
    distribución exponencial con una vida media de 7
    años, la compañía quiere determinar un
    tiempo de garantía de tal manera que no tenga que
    reemplazar más del 10% de los focos. Determinar este
    tiempo de garantía, aproxime al mes más
    cercano.

Resumen

Distribución uniforme de
Probabilidad

Una variable aleatoria X está
distribuida uniformemente en a < x
< b si su función de
densidad es

y la distribución se llama distribución
uniforme.

La función de distribución está
dada por

La media y la varianza son respectivamente

Distribución Normal de Probabilidad y
Aproximación a la Binomial

Uno de los más importantes ejemplos de una
distribución de probabilidad continua es la
distribución normal, algunas veces denominada la
distribución gaussiana.

La función de densidad para la
distribución está dada por

donde m y s son la media y la desviación
típica respectivamente.

PROPIEDADES:

2. 
3. f (x) > 0 " x
4. 
5. f [(x + m )]
   = f [- (x – m )]. La
   densidad es simétrica alrededor de m .
6. El valor máximo de f ocurre en x
   = m
7. Los puntos de inflexión de f
   están en x = m
   ± s

La función de distribución
correspondientes está dada por

En este caso decimos que la variable aleatoria X
está normalmente distribuida con media m y varianza s
2.

La distribución normal estándar
correspondiente es F ,
donde

Si hacemos que Z sea la variable normalizada
correspondiente a X, es decir si hacemos

entonces la media o el valor esperado de Z es 0 y
la varianza es 1.

Si n es muy grande y ni p y ni q
están muy próximas a cero, la distribución
binomial puede aproximarse estrechamente a la distribución
normal con variable tipificada dada por

Aquí X es la variable aleatoria que da el
número de éxitos en n pruebas de Bernoulli y
p es la probabilidad de éxitos. La
aproximación es tanto mejor conforme aumenta n, y
en el límite es total.

3.8 Teorema de Chebyshev

Distribución Exponencial

La distribución exponencial tiene
función de densidad

donde l es una constante
positiva real.

El valor esperado y la varianza de la
distribución exponencial son

Otras Publicaciones del autor

La siguiente tabla muestra los trabajos publicados por
el Ingenierio Ivan Escalona para quien este interesado en
consultar los diversos temas y bajar los trabajos, comentarios al
correo:

Autor

Ing. Iván Escalona

Consultor Logística,

(México)

Ingeniero Industrial

,

Nota: Si deseas agregar un comentario o si tienes alguna
duda o queja sobre algún(os) trabajo(s) publicado(s),
puedes escribirme a los correos que se indican,
indicándome que trabajo fue el que revisaste escribiendo
el título del trabajo(s), también de donde eres y a
que te dedicas (si estudias, o trabajas) Siendo
específico, también la edad, si no los indicas en
el mail, borraré el correo y no podré ayudarte,
gracias.

– Estudios Universitarios: Unidad Profesional
Interdisciplinaria de Ingeniería y
Ciencias Sociales y Administrativas
(U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politécnico Nacional
(I.P.N.)

– Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la
UNAM)

Origen: México