1. El tiempo de vida de una locomotora de ferrocarril, se comporta según un modelo uniforme continuo en el intervalo [5, 13] años. Hallar la Probabilidad de que se recuperen los gastos de inversión, si por lo menos funciona 8 años.
2. Sea X una variable aleatoria continua, distribuida uniformemente en el intervalo cerrado [0, t]. Obtenga el valor de t, si se sabe que P (X < 2) = 0.4
3. Un grupo de investigadores interesados en estudiar el Río Usumacinta, encontró que de profundidad varía de un día a otro uniformemente entre 12 y 15 metros.

1. Calcule la probabilidad de que en la siguiente medición se obtenga menos de 13 metros.
2. ¿Cuál es la profundidad promedio del Río?
3. Obtenga la desviación estándar (s ) para esta distribución

1. Un satélite que ha cumplido su ciclo en órbita alrededor de la Tierra esta a punto de caer en ella, los especialistas calcularon su caída en algún lugar entre los puntos P y Q, si su comportamiento es uniforme calcular la probabilidad de que, a) Caiga más cerca de P que de Q, b) la distancia con respecto a P sea dos veces más larga con respecto a Q.
2. Sea X una variable aleatoria con distribución



a) Determine F(x), b) Calcule P(2 < x < 4) c) Calcule P(x > 5) d) Haga las gráficas de f (x) y F (x). e) Encuentre la media m y la varianza s ².

3. En un moderno negocio de hamburguesas se despacha el refresco en vasos, con una variabilidad uniforme entre 130 y 160 mililitros (ml).

1. Obtener un vaso que contenga a los más 140 ml.
2. ¿Cuántos ml. contiene en promedio un vaso?
3. Obtenga la varianza para esta distribución.

1. Un meteorólogo hace una medición del tiempo al azar, suponiendo que está distribuida uniformemente en el intervalo [1, 4]. A) Calcule la probabilidad de que la medición este entre 5/2 y 3. b) Si se realizan 6 mediciones independientes, hallar la probabilidad de que exactamente 3 de ellas estén entre 2 y 3.
2. Un punto se elige en un segmento de línea [1, 3]. Suponiendo que X es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en este intervalo, encontrar f (x) y F (x).
3. Suponga que X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [-a, a] en donde a > 0, determinar a en los casos que sea posible:

a) P(x > 2) = 1/3, b) P(x > 2) = ½, c) P(x < ½) = 0.8, d) P(|x| < 2) = P(|x| > 2)

4. Una resistencia se comporta de acuerdo a una distribución continua entre 900 y 1,100 Ohms, encuentre la probabilidad de que la resistencia, a) aguante a los más 950 ohms antes de quemarse, b) este entre 950 y 1,050 ohms.
5. Sea X una variable aleatoria continua, referida al error cometido al determinar la densidad de una substancia. Supóngase que X esta distribuida uniformemente en el intervalo [-0.02, 0.02]. ¿Cuál es la probabilidad de que el error cometido este, a) entre 0.010 y 0.014, b) entre –0.011 y 0.011?
6. El tiempo que tarda un autobús en ir de un destino A a un destino B y viceversa, está distribuido uniformemente en un intervalo de 70 a 90 min. Hallar la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 85 minutos, si se sabe que el viaje dura más de 55 minutos.
7. Una variable aleatoria X esta distribuida uniformemente, con media igual a uno y varianza tres. Encuentre P ( -1 < x < 3).
8. Supóngase que la concentración de contaminación en la Ciudad de México (D.F.), se encuentra distribuida uniformemente en el intervalo [40, 250] I.M.E.C.A. (Índice Metropolitano de la Contaminación del Aire). Si se considera como tóxica una concentración de 150 I.M.E.C.A.s o más. Hallar la probabilidad de que al hacerse una medición la concentración de contaminación sea tóxica.
9. Sea X una variable aleatoria continua, con distribución uniforme en el intervalo cerrado [a, b] Encuentre P(m - s < x < m + s ).
10. Sea X una variable aleatoria continua, con distribución uniforme en el intervalo [a, b], a < b. Si la media es igual a uno y la varianza es 12, encuentre los valores de a y b.
11. Demuestre que

1. En una carrera automovilística, las velocidades registradas tienen una media de 90 km/h. Con una desviación estándar de 8 km/h. Si se supone normalidad, encuentre los porcentajes de velocidad, a) mayores de 100 km/h, b) menores de 80 km/h, c) Que se encuentran entre 85 y 95 km/h.
2. El tiempo necesario para llenar un frasco de un producto es una variable aleatoria que sigue una distribución normal, con una media de 10 minutos y una desviación estándar de un minuto. Encuentre el tiempo de llenado del frasco de manera tal que la probabilidad de exceder esta sea de 0.03.
3. Una fábrica de tornillos produce un tipo de tornillo con un diámetro promedio de 6.5 mm y una desviación estándar de 1.5 mm, ¿cuál es la probabilidad de encontrar tornillos con diámetro a) mayor que 7mm, y b) entre 6 y 7 mm? Suponga normalidad.
4. En invierno en la Sierra de Chihuahua la temperatura media diaria fue de 5ºC con una desviación estándar de 2ºC. Si la distribución de las temperaturas diarias es aproximadamente normal. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado la temperatura hubiera estado, a) entre 3 y 6º C? b) a lo más de 4ºC? c) Por lo menos de 5.5ºC?
5. Una empresa fabrica baleros con un diámetro de 2.006 cm y una desviación estándar de 0.02 cm. Estadística realizadas demostraron que todos los baleros fabricados con un diámetro de 1.95 cm hasta 2.03, son aceptados por los distribuidores fuera de estos se regresan a la fabrica. ¿Cuántos baleros de un grupo de 500 se espera que sean rechazados si el diámetro especificado sigue una distribución normal?
6. En un aserradero se producen polines cuyo largo debe ser 2.12m en promedio, sin embargo si estos polines se encuentran entre 2m y 2.24m se observa que se rechazan aproximadamente el 2.5% por exceder el largo superior y un 2.5% por no llegar al largo inferior. Suponiendo que las longitudes están distribuidas normalmente, encuentre la desviación estándar de esta distribución.
7. La vida útil de un refrigerador de una marca de prestigio es de 5 años en promedio con una desviación estándar de 1.5 años. La garantía de estos aparatos es por un año, hallar la probabilidad de que si se adquiere uno de estos refrigeradores se tenga que reclamar la substitución.
8. El tiempo promedio que tarda un ciclista en recorrer una distancia del punto A al punto B es de 40 minutos, con una varianza de 16 minutos. Hallar la probabilidad de que, a) tarde al menos 45 minutos, b) tarde de 36 a 45 minutos. Suponga normalidad.
9. La vida útil de la pilar alcalinas de la marca E, tienen una media de 8.5 h con un desviación estándar de 0.5 h, las pilas de la marca D (Duracel), tienen un media de 8.2 h y una desviación estándar de 0.4 h, en ambas marcas la vida útil tiene una distribución normal. Si se elige una pila de cada marca, ¿cuál es la probabilidad de que la marca E dure más de 8.25 h y la marca D menos de 8.4 h?
10. Las pruebas que se han realizado en cierto componentes electrónicos han mostrado que tienen una vida media de 20 h con una desviación estándar de 2 h, su distribución es normal. Hallar la probabilidad de que si se eligiera una muestra de 5 de estos componentes a lo más dos fallen antes de 16 h.
11. El tiempo que tarda un camión materialista entre la bodega de carga y la obra de construcción, es aproximadamente normal con una media de 25 minutos y una desviación estándar de 4 minutos. A que hora debe salir el camión de la bodega, para tener una probabilidad del 95% de estar en la obra de construcción a la 10 de la mañana.
12. En un laboratorio médico se envasan ciertos medicamentos en sobre cuya distribución de pesos sigue la distribución normal con una desviación estándar de 1.4 gramos. Si el 1% de los sobres pesan más de 6 gramos. ¿Cuál es el valor de la media?
13. La fuente de sodas "EL CEREZO ROSA" ha instalado una máquina automática, regulable de tal manera que la cantidad media de milk sea la que se desee, en cualquier caso esta cantidad sigue la distribución normal con una desviación estándar de 5.2 ml.

1. si el nivel medio se ajusta a 303.9 ml. ¿Qué porcentaje de vasos de milk contendrá menos de 209 ml?
2. A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que sólo el 2.28% de los vasos contenga a los más 205 ml?

1. El promedio de vida de una licuadora de la marca S (Sony) es de 4 años, con una desviación estándar de un año, la fábrica repone sin cargo alguno al cliente todas las licuadoras que dejen de funcionar dentro del tiempo de garantía. Si sólo se desea reponer el 2% de las licuadoras que funcionen mal. ¿Qué tiempo de garantía se debe ofrecer? Suponga normalidad.
2. El peso que soporta una varilla especial para construcción, sigue la distribución normal, si en promedio aguanta 25 toneladas antes de romperse con una varianza de 4 toneladas, a) ¿A qué proporción de estas varillas aguantan un peso mayor de 27 Toneladas? b) Si las especificaciones dadas por el fabricante requieren que todas las varillas aguanten un peso entre 22 y 28 toneladas. ¿Qué % de varillas se esperan rechazar? c) de acuerdo a lo especificado en el inciso b, si se tiene un lote de 4,000 varillas, ¿cuántas se rechazarían?
3. El diámetro interior para un balero delantero de un automóvil de una marca W, está distribuido normalmente con una medio de 5 cm y una varianza de 0.04 cm, ¿Cuál es la probabilidad de que un balero tenga un diámetro interior, a) mayor a 5.04 cm? B) entre 4.98 y 5.02 cm?
4. El promedio de tiempo en que un coche de una marca japonesa empieza a dar problemas es 3.5 años con una desviación estándar de 0.5 años, un coche de fabricación alemana tiene una media de 4 años con una desviación estándar de 0.4 años. En ambos casos el tiempo en que empiezan a dar problemas, sigue una distribución normal. Si se elige al azar un automóvil de cada marca, ¿Cuál es la probabilidad de que la marca japonesa dure más de 3 años y la marca alemana a lo más 4.2 años?
5. Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en entrevistar a una aspirante para una vacante en su compañía sigue una distribución normal. Si el 10% de los entrevistados tardan más de 60 minutos y el 4% duran menos de 35 minutos, hallar la media y la varianza.
6. La resistencia de los alambres que se usan en una computadora de una marca especial, esta distribuida normalmente. Si el 8% de estos alambres soportan una resistencia de más de 100 Ohms y el 25% soportan menos de 95 Ohms, encuentre la media y la desviación estándar.
7. En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4m en promedio, con una desviación estándar de 0.2m, estas longitudes están distribuidas normalmente.

1. Si se elige un lote de 500 trozos ¿Cuál será el número probable de estos que superen la longitud de 4.1m?
2. Si se eligen 8 trozos ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 tengan una longitud mayor de 4.1m?

1. Una compañía produce baleros con diámetros que tienen una distribución normal con una media de 3.0005 mm, y una desviación estándar de 0.0010 mm. Las especificaciones requieren que los diámetros estén en el intervalo 3.000 ± 0.0020 mm. Se rechazan los baleros que quedan fuera del intervalo debiéndose volver a maquinar. ¿Qué fracción de la producción será rechazado?
2. Para seleccionar a sus empleados, un comerciante usa una prueba que tiene una puntuación promedio m , una desviación estándar s = 10. Suponga que la distribución de las puntuaciones es normal; y que una puntuación mínima de 65 le permite al solicitante seguir siendo considerado ¿Cuál debe ser el valor de m , si se quiere que aproximadamente el 2.5% de los solicitantes sigan siendo considerados después de esta prueba?
3. Los diámetros promedio del grueso del diámetros de una gran número de tornillos se distribuyen normalmente con un promedio igual a 2.4 cm y desviación estándar igual a 0.5 cm.

1. ¿Qué fracción de tornillos tendrá un diámetro promedio mayor que 3.0 cm?
2. Si los tornillos que tienen un promedio de diámetro igual o menor que 1.9 cm son desechados ¿Qué porcentaje se elimina?
3. Se supone que se selecciona al azar tres tornillos de entre todos ¿cuál es la probabilidad de que los tres tengan diámetro promedio mayor que 3 cm?

1. Un estudio reporta que el 10% de los obreros de cierto departamentos pesan 112 lb o menos, y que 10% pesan 140lb o más. Suponga que esas frecuencias relativas pueden tomarse como probabilidades y que la distribución de los pesos es una distribución normal. Encuentre la media y la varianza de dicha distribución.

1. Una encuesta realizada por la dirección del agua potable entre los residentes de una ciudad indica que el 20% desea que se le instale un medidor de agua por considerar que la cuota fija de pago es superior al costo real de consumo. Si 100 residente solicitan su medidor de agua en dicha ciudad. Hallar la probabilidad de que entre 17 y 19 inclusive, le instalen su medidor de agua.
2. La probabilidad de que un foco falle antes de 1,200 horas es del 30%. Encuentre la probabilidad de que un lote de 250 de estos focos, 60 fallen antes de 1,200 horas de uso continuo.
3. Un enfermo de leucemia, debido al avance en la medicina tiene una probabilidad del 45% de recuperarse. Si de 90 personas que han contraído la enfermedad, encuentre la probabilidad de que al menos 25 sobrevivan.
4. Los altos índices de contaminación ambiental en el D.F., ha ocasionado la fabricación para aparatos reducirla, la probabilidad de realizar la venta de uno de estos equipos en la primera entrevista es del 60%, si un vendedor entrevista a 80 posibles clientes. ¿Cuál es la probabilidad de al menos 40 clientes efectúen una compra?
5. Un ingeniero Industrial cree que el 20% de la pérdida de trabajo horas – hombre en la planta en que labora, se debe a que los empleados no cumplen adecuadamente con su trabajo en el horario asignado. Calcula la probabilidad de que 80 trabajadores investigados de esta fábrica de 14 a 20 incurran en esta irregularidad.
6. Una prueba de C.O.E. tiene 50 preguntas de opción múltiple con tres respuestas posibles. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que no sabe nada conteste correctamente de 14 a 25 preguntas?
7. El gerente de una fábrica sabe que el 2% de los artículos que fabrica son defectuosos. Para hacer una prueba de control de calidad se seleccionan 1,000 artículos aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que el número de artículos defectuosos, a) Sea mayor o igual a 14, b) Sea menor de 10?
8. Un 30% de los estudiantes del I.P.N. son de provincia. Si se eligen aleatoriamente 200 estudiantes en una facultad determinada. ¿Cuál es la probabilidad de que a los más del 25% de estos estudiantes sean de provincia?
9. Una compañía farmacéutica fabrica una medicina para bajar la presión arterial alta, afirma que es efectiva en el 90% de los casos en los pacientes de este mal. El Seguro Social para verificar esta afirmación utiliza una muestra de 150 individuos con presión alta y les da el medicamento, si es efectivo en 128 enfermos o más se acepta. ¿Cuál es la probabilidad de, a) aceptarlo si la efectividad es realmente 80%?, b) rechazarlo cuando la efectividad es menor o igual al 80%?
10. En una gasolinera en la que se aceptan tarjetas de crédito, el 30% de los usuarios la utilizan. ¿Cuál es la Probabilidad de que 300 clientes al menos 195 paguen en efectivo?
11. Una prueba de opción múltiple contiene 30 preguntas, cada una de ellas tiene 4 posibles respuestas. Si un estudiante que no estudió contesta en forma aleatoria cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad estén correctas?
12. Una fábrica produce bombas para desaguar lavadoras, debido a su equipo ya obsoleto, se sabe que el 15% de su producción tiene alguna falla, se seleccionan 50 de estos aparatos aleatoriamente para una prueba de control de calidad- ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 estén defectuosos?
13. En una encuesta realizada por una empresa, encontró que el 60% de los entrevistados utilizan un automóvil de la marca W. Si se pregunta aleatoriamente a 100 personas con automóvil, que marca tienen de automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 70 de este grupo tenga un automóvil de la marca W?
14. Se sabe que el 15% de las lámparas que adquiere un municipio están defectuosas. En una muestra aleatoria de 200 lámparas, hallar la probabilidad de que a los más 25 o al menos 40 estén defectuosas.

1. En el conmutador de una compañía se reciben llamadas telefónicas a una razón de 3 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 20 minutos antes de la siguiente llamada?
2. Las fallas de un equipo de radar siguen la distribución exponencial, el promedio de fallas es de una por cada hora 300 horas. Si se tiene una probabilidad del 96% de que no exista una avería en un intervalo de tiempo mayor o igual a t, calcule el tiempo para esta probabilidad.
3. Una fábrica de llantas para automóviles garantiza que duran dos años en promedio, si el desgaste de estas llantas sigue la distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta dure menos de 4 años?
4. En los bancos Mexicanos sé a instituido el sistema "unicola" para atender a los clientes, el tiempo de espera sigue una distribución exponencial con una medio de 10 minutos. Determinar la probabilidad de que un cliente sea atendido en menos de 9 minutos en al menos 6 de los 8 días siguientes.
5. Según estadísticas que se han llevado a cabo un molino de trigo se descompone en promedio una vez cada dos años ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente descompostura sea dentro de 6 meses?
6. De acuerdo a la escala de Richter la magnitud de un terremoto en la ciudad de México, se supone que sigue la distribución exponencial con un promedio de 1 cada 10 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un terremoto supere el 7.5 de esta escala, la magnitud del gran terremoto de 1985 ocurrido en la ciudad?
7. El tiempo de espera en una cola de banco con ideas modernas, para ser atendido sigue una distribución exponencial y en promedio es de un cliente cada 10 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 9 minutos.
8. En una clínica de la Cruz Roja, el tiempo entre llamadas de emergencia que se reciben en las primeras horas de un día cualquiera sigue una distribución exponencial con un tiempo medio de una hora entre llamadas. Calcule la probabilidad de que entre dos llamadas transcurran menos de tres horas.
9. Una terminal de computadoras esta conectada a una de si un estudiante la utiliza, el tiempo de respuesta de la computadora central sigue una distribución exponencial con un tiempo promedio de 4 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran a los más 6 segundos para la llegada de la respuesta?
10. Un ciudadano contrató un servicio de alarma con una compañía del ramo. Si la alarma se activa, el tiempo de respuesta de la compañía sigue una distribución exponencial con una respuesta de 20 minutos en promedio. Determine la probabilidad de que la respuesta de la compañía tarde al menos 17 minutos.
11. El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de un cliente en un restaurante que da servicio en su coche, sigue una distribución exponencial con una respuesta de atención al cliente de 4 minutos en promedio. ¿Qué probabilidad hay de que de los 4 clientes siguientes al menos dos deban esperar menos de 4 minutos?
12. La llegada de los trenes del metro (Indios Verdes – Universidad) a la estación Basílica sigue una distribución uniforme en el intervalo [0, 5] y la llegada de los trenes (Martín Carrera – Rosario) a esta misma estación siguen una distribución exponencial con parámetro l . Encuentre el valor del parámetro l si var(I-V) = var(M – R)
13. Una compañía que produce tarjetas de video para P.C. sabe que el tiempo de vida de estas, sigue una distribución exponencial con una vida medio de 10 años. Si el fabricante no quiere reemplazar más del 8% de su producto, determine este tiempo de garantía al mes más cercano.
14. En la estación del metro Pantitlan en la Ciudad de México, el tiempo de llegada de los trenes sigue una distribución exponencial con 10 minutos en promedio por llegada. Determinar la probabilidad de que un usuario tenga que esperar más de 6 minutos la llegada de un tren.
15. Una compañía que fabrica focos para un fin determinado sabe que el tiempo de vida de estos sigue una distribución exponencial con una vida media de 7 años, la compañía quiere determinar un tiempo de garantía de tal manera que no tenga que reemplazar más del 10% de los focos. Determinar este tiempo de garantía, aproxime al mes más cercano.

Una variable aleatoria X está distribuida uniformemente en a < x < b si su función de densidad es

y la distribución se llama distribución uniforme.

La función de distribución está dada por

La media y la varianza son respectivamente

Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es la distribución normal, algunas veces denominada la distribución gaussiana.

La función de densidad para la distribución está dada por

donde m y s son la media y la desviación típica respectivamente.

PROPIEDADES:

1. 
2. f (x) > 0 " x
3. 
4. f [(x + m )] = f [- (x - m )]. La densidad es simétrica alrededor de m .
5. El valor máximo de f ocurre en x = m
6. Los puntos de inflexión de f están en x = m ± s

La función de distribución correspondientes está dada por

En este caso decimos que la variable aleatoria X está normalmente distribuida con media m y varianza s ².

La distribución normal estándar correspondiente es F , donde

Si hacemos que Z sea la variable normalizada correspondiente a X, es decir si hacemos

entonces la media o el valor esperado de Z es 0 y la varianza es 1.

Si n es muy grande y ni p y ni q están muy próximas a cero, la distribución binomial puede aproximarse estrechamente a la distribución normal con variable tipificada dada por

Aquí X es la variable aleatoria que da el número de éxitos en n pruebas de Bernoulli y p es la probabilidad de éxitos. La aproximación es tanto mejor conforme aumenta n, y en el límite es total.

3.8 Teorema de Chebyshev

La distribución exponencial tiene función de densidad

donde l es una constante positiva real.

El valor esperado y la varianza de la distribución exponencial son

Autor

Consultor Logística,

(México)

Ingeniero Industrial

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- Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la UNAM)

Origen: México