Introducción al estudio de los circuitos lógicos y sistemas numéricos

1. Sistemas
   numéricos
2. Conversión entre los
   sistemas numéricos
3. Operaciones aritméticas
   de los distintos sistemas.
4. Complemento de un número
   con respecto a la base del sistema.
5. Representación
   numérica en complemento a dos.
6. Operaciones
   aritméticas en complemento a dos.
7. Códigos de
   numeración, alfanuméricos y de
   errores.
9. Códigos
   detectores y correctores de errores.
10. Distancia y peso
    de los datos binarios.
11. Detección de
    error usando el método de paridad.
12. Detección
    y corrección de errores mediante el código
    hamming.
13. Bibliografía.

Sistemas numéricos

Un sistema
numérico son un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para
representar datos
numéricos o cantidades. Se caracterizan por su base que
indican el número de símbolos distinto que utiliza
y además es el coeficiente que determina cual es el
valor de cada
símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Estas
cantidades se caracterizan por tener dígitos enteros y
fraccionarios.

Si aj indica cualquier dígito de la
cifra, b la base del sistema de numeración y además
de esto la cantidad de dígitos enteros y fraccionarios son
n y k respectivamente, entonces el número representado en
cualquier base se puede expresar de la siguiente
forma:

Nb =
[an-1.an-2.an-3……….a3.a2.a1.a0,a-1.a-2.a-3
…….a-k]b

Donde: j = {n-1, n-2,………2, 1, 0,-1, -2,
……, -k} y n + k indica la cantidad de dígitos
de la cifra.

Por ejemplo, el número 31221,
324 en base cuatro tiene n=5 y
k=2 con la parte entera:
an-1=a4=3;
a3=1; a2=2;
a1=2; a0=1 y parte
fraccionaria a-1=3;
a-2=2

SISTEMA DECIMAL.

Este es el sistema que manejamos cotidianamente,
está formado por diez símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9} por lo tanto la base del sistema es diez
(10).

SISTEMA BINARIO.

Es el sistema que utiliza internamente el hardware de las computadoras
actuales, se basa en la representación de cantidades
utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2
(número de dígitos del sistema). Cada dígito
de un número en este sistema se denomina bit
(contracción de binary digit). Se puede
utilizar con nombre propio determinados conjuntos de
dígitos en binario. Cuatro bits se denominan
cuaterno (ejemplo: 1001), ocho bits octeto o
byte (ejemplo: 10010110), al conjunto de 1024 bytes se le
llama Kilobyte o simplemente K, 1024 Kilobytes
forman un megabyte y 1024 megabytes se denominan
Gigabytes.

SISTEMA OCTAL.

El sistema numérico octal utiliza ocho
símbolos o dígitos para representar cantidades y
cifras numéricas. Los dígitos son: {0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7}; la base de éste es ocho (8) y es un sistema que
se puede convertir directamente en binario como se verá
más adelante.

SISTEMA HEXADECIMAL.

El sistema numérico hexadecimal utiliza
dieciséis dígitos y letras para representar
cantidades y cifras numéricas. Los símbolos son:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del
sistema es dieciséis (16). También se puede
convertir directamente en binario como se verá más
adelante. En la tabla 1.1 se muestran los primeros veintiuno
números decimales con su respectiva equivalencia binaria,
octal y hexadecimal.

Tabla 1.1. Equivalencia entre sistemas de los
primeros veintiuno números decimales.

CONVERSIÓN ENTRE LOS SISTEMAS
NUMÉRICOS

CONVERSIÓN DECIMAL-BINARIO: Los métodos
mas conocidos son:

1. Divisiones sucesivas entre 2: Consiste en
dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes
que se van obteniendo entre 2, hasta que una de las divisiones se
haga 0. La unión de todos los restos obtenidos escritos en
orden inverso, nos proporcionan el número inicial
expresado en el sistema
binario. Ej.:

10(10)=1010(2)

2. Multiplicación sucesiva por 2:
Se utiliza para convertir una fracción decimal a
binario, consiste en multiplicar dicha fracción por 2,
obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los
dígitos binarios de la fracción binaria que
buscamos. A continuación repetimos el mismo proceso con la
parte fraccionaria del resultado anterior, obteniendo en la parte
entera del nuevo resultado el segundo de los dígitos
buscados. Iteramos sucesivamente de esta forma, hasta que
desaparezca la parte fraccionaria o hasta que tengamos los
suficientes dígitos binarios que nos permitan no
sobrepasar un determinado error.

Ejemplo:

Convertir la fracción decimal 0.0828125 en
fracciones binarias

0.82812510à 0.1101012

3. Métodos de las restas sucesivas de las
potencias de 2: Consiste en tomar el numero a convertir y
buscar la potencia de 2 mas
grande que se pueda restar de dicho numero, tomando como nuevo
numero para seguir el proceso el resultado de la resta. Se
repiten las mismas operaciones hasta
que el número resultante en una de las restas es 0 o
inferior al error que deseamos cometer en la conversión.
El numero binario resultante será un uno (1) en las
posiciones correspondientes a las potencias restadas y un cero
(0) en las que no se han podido restar. Ej.

Convertir el número decimal 1994 a
binario.

Resp: 199410à
111110010102

CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL: El
método
consiste en reescribir él número binario en
posición vertical de tal forma que la parte de la derecha
quede en la zona superior y la parte izquierda quede en la zona
inferior. Se repetirá el siguiente proceso para cada uno
de los dígitos comenzados por el inferior: Se coloca en
orden descendente la potencia de 2 desde el cero hasta n, donde
el mismo el tamaño del número binario, el siguiente
ejemplo ilustra de la siguiente manera. Utilizando el teorema
fundamental de la numeración tenemos que 1001.1es igual
a:

CONVERSIÓN DECIMAL – OCTAL: Consiste
en dividir un número y sus sucesivos cocientes obtenidos
por ocho hasta llegar a una división cuyo cociente sea 0.
El numero Octal buscado es el compuesto por todos los restos
obtenidos escritos en orden inverso a su obtención.
Ej.:

1000(10)=3710(8)

CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN DECIMAL A
UNA OCTAL: Se toma la fracción decimal y
se multiplica por 8, obteniendo en la parte entera del resultado
el primer dígito de la fracción octal resultante y
se repite el proceso con la parte decimal del resultado para
obtener el segundo dígito y sucesivos. El proceso termina
cuando desaparece la parte fraccionaria del resultado o dicha
parte fraccionaria es inferior al error máximo que
deseamos obtener. Ej. :

CONVERSIÓN OCTAL A DECIMAL: Existen varios
métodos siendo el más generalizado el indicado por
el TFN (Teorema fundamental de la numeración) que hace la
conversión de forma directa por medio de la formula.
Ej. : utilizando el teorema fundamental de la
numeración tenemos que 4701 es igual a:

Conversión decimal – hexadecimal: Se
divide el numero decimal y los cocientes sucesivos por 16 hasta
obtener un cociente igual a 0. El número hexadecimal
buscado será compuesto por todos los restos obtenidos en
orden inverso a su obtención. Ej.:

1000(10)=3E8(16)

CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN DECIMAL A
HEXADECIMAL: a la fracción decimal se multiplica por
16, obteniendo en la parte entera del resultado el primer
dígito de la fracción hexadecimal buscada, y se
repite el proceso con la parte fraccionaria de este resultado. El
proceso se acaba cuando la parte fraccionaria desaparece o hemos
obtenido un número de dígitos que nos permita no
sobrepasar el máximo error que deseemos obtener.
Ej.: Pasar a hexadecimal la fracción decimal
0.06640625

0.06640625*16=1.0625

0.0625*16 = 1.0

Luego
0.06640625(10)=0.11(16)

CONVERSIÓN HEXADECIMAL- DECIMAL: el
método más utilizado es el TFN que nos da el
resultado por la aplicación directa de la formula. Ej.
: utilizando el teorema fundamental de la numeración
tenemos que 2CA es igual a:

CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL-BINARIO: para
convertir un número hexadecimal a binario, se sustituye
cada dígito hexadecimal por su representación
binaria según la siguiente tabla.

Ej.: pasar el
número 2BC a binario

Finalmente él número hexadecimal en
binario es igual a: 001010111100

CONVERSIÓN DE OCTAL A BINARIO: para
convertir un numero octal a binario se sustituye cada
dígito octal en por sus correspondientes tres
dígitos binarios según la siguiente
tabla.

Ej.: Convertir el número octal 1274 en
binario.

Por lo tanto el número octal en binario es igual
a: 001010111100

OPERACIONES ARITMÉTICAS DE LOS DISTINTOS
SISTEMAS.

Al igual que en el sistema decimal, también en
otros sistemas de
numeración, se pueden realizar operaciones
aritméticas, tales como: suma, resta,
multiplicación y división tomando como referencia
la base del sistema dado.

SUMA BINARIA, OCTAL Y HEXADECIMAL.

En general, para realizar la suma se procede de la misma
forma como se hace en el sistema decimal. Por ejemplo, si
es un
número dado en una base b y es otro dado en la misma
base entonces la suma se debe realizar de la siguiente
forma:

Los dígitos
mj=(aj+hj+cj-1)
pertenecientes al resultado se forman sumando los dígitos
de cada columna de los cosumandos, más el acarreo
cj-1 que viene de la columna anterior.
Cada unidad de acarreo tiene el mismo valor de la base del
sistema, por ejemplo, en la suma binaria es dos, en octal ocho y
en hexadecimal dieciséis. Por ejemplo, llevar 2 en
hexadecimal significa que el acarreo es el doble de la base y
vale exactamente 32; de este mismo modo, en binario equivale a 4
veces y 16 en octal. Los acarreos aparecen cuando las semisumas
de las columnas superan la base del sistema
numérico.

SUMA BINARIA: Las operaciones de suma binaria se
realizan de la siguiente forma:

Ejemplo: Dado los números
binarios: W=1111100012; T=11011101012;
Obtener W+T

SUMA OCTAL: Se debe restar o dividir
la semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del
sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el
valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del
sistema. De esta misma forma cada unidad que se acarree equivale
a ocho unidades de la columna anterior.

Ejemplo: Dado los números binarios: A.
40740647 y B. 25675300, Obtener A+B

SUMA HEXADECIMAL: Se debe restar o dividir la
semisuma de cada columna, cuando la misma exceda la base del
sistema, y colocar en la columna inmediata del lado izquierdo, el
valor del acarreo tantas veces se haya superado la base del
sistema. Cada unidad que se acarree equivale a dieciséis
unidades de la columna anterior.

Ejemplo: Dado los números
binarios:

MULTIPLICACIÓN BINARIA, OCTAL Y
HEXADECIMAL.

La operación aritmética de
multiplicar se realiza del mismo modo que en el sistema
numérico decimal.

MULTIPLICACIÓN BINARIA:

Ej: Multiplicar A. 1110112 y B.
1112

MULTIPLICACIÓN OCTAL:

Ej: Multiplicar A. 672348 y B.
168

MULTIPLICACIÓN HEXADECIMAL:

Ej: Multiplicar A. 67D3416 y B.
1216

DIVISIÓN BINARIA, OCTAL Y
HEXADECIMAL.

La operación
aritmética de dividir se realiza del mismo modo que en el
sistema numérico decimal.

DIVISIÓN BINARIA:

DIVISIÓN OCTAL Y HEXADECIMAL: La
división se efectúa del mismo modo que en el
sistema decimal y se realiza directamente en la misma base del
sistema octal o hexadecimal. Sin embargo, también se puede
obtener previamente la conversión en binario y proceder,
como en el caso anterior, a realizarla en binario; y
después el resultado transformarlo de nuevo al sistema
numérico original.

COMPLEMENTO DE UN NÚMERO CON RESPECTO A LA
BASE DEL SISTEMA.

Las representaciones de los números en los
distintos sistemas son hechas por convenciones y acuerdos. La
finalidad de esto es buscar formas sencillas de manejar
universalmente operaciones y representaciones numéricas,
representar números fraccionarios, números
negativos, etc. El complemento de un número sirve para
normalizar y reglamentar las operaciones aritméticas con
signo, de forma que puedan ser procesadas por los circuitos
internos de una calculadora o computadora.

El complemento a la base de un número se define
por la siguiente fórmula:

(Ec.1.3) donde es el número complementado a la base del sistema,
n la cantidad de dígitos y es el número
dado.

Ejemplo: Hallar el complemento a diez del
número 89732410

Solución: El número esta dado en el
sistema decimal y la cantidad de dígitos es
seis

Ejemplo: Hallar el complemento a dieciséis
del número A9EFC2116

Solución: El número está
dado en el sistema hexadecimal y la cantidad de dígitos es
siete.

Ejemplo: Hallar el complemento a ocho del
número 604728

Solución: El número está
dado en el sistema octal y la cantidad de dígitos es
cinco.

Ejemplo: Hallar el complemento a dos del
número 1001110111012

Solución: El número está
dado en el sistema binario y la cantidad de dígitos es
doce.

COMPLEMENTO DISMINUIDO EN UNO A LA BASE DEL
SISTEMA.

Existe otra forma de hallar el complemento a la base del
sistema, ésta es, obteniendo el complemento disminuido a
uno y luego sumando uno. Para obtener esta fórmula se
procede con un artificio en la Ec.1.3 de la siguiente
forma:

(Ec.1.3.1). El valor (Ec.1.4)

Se conoce como el complemento de la base disminuido a
uno. También se le denomina complemento a
uno del sistema numérico correspondiente y por lo
tanto, para hallar el complemento a la base solamente se le debe
sumar uno a la (Ec.1.4).

COMPLEMENTO DISMINUIDO A UNO DEL SISTEMA BINARIO,
OCTAL Y HEXADECIMAL.

El complemento disminuido a uno se obtiene aplicando la
Ec.1.4 en cualquiera de los sistemas numéricos. La
expresión (bn-1) se debe usar
como minuendo en el tope de la potencia bn
menos uno, lo que significa tener una cifra compuesta por los
dígitos más significativos y de mayor valor del
sistema numérico. Por ejemplo, para hallar el minuendo de
564378, en el sistema octal, se procede de la
siguiente forma:

n=5; entonces 85 -1=1000008
-1=777778. Ahora, para hallar el complemento
disminuido a uno se resta el número dado: .

Ejemplo: Hallar el complemento disminuido a uno
de los siguientes números:

a) 24BCA0F716; b)
100111011012; c)
12657308

Sol. (a):

Sol. (b):

Sol. (c):

En cualquier sistema de numeración el complemento
disminuido a uno se puede hallar con la fórmula resultante
de la Ec.1, Ec.2 y Ec.3 de la siguiente forma:

Donde
cada (b-1) corresponde al dígito de mayor
peso en el sistema de numeración de base b.
Los aj son los n
dígitos del número que se va complementar, con
j=0,1,….,n-2,n-1. El complemento disminuido a uno
se halla, en forma directa, de la siguiente manera:

(Ec.1.4.1).

Ejemplo: Hallar el complemento disminuido a uno
de los siguientes números:

a) FCBC4016; b)
1010110112

Solución (a):

Solución (b):

COMPLEMENTO A UNO.

Es un caso particular del complemento disminuido a uno
de la base binaria, tiene muchas aplicaciones en los circuitos
digitales y sistemas de computación. Sirven para representar tablas
numéricas de cantidades positivas y negativas, invertir
los estados de los bits que conforman el dato binario y es
utilizado como paso previo para hallar el complemento a dos. De
la Ec.1.4 se puede determinar que el complemento a uno se
obtiene invirtiendo el estado o
nivel de los bits que conforman la cifra.

Ejemplo: Hallar el complemento a uno de los
siguientes números binarios:

a) 1100010101011110102; b)
1010110101012

Solución (a):

Solución (b):

COMPLEMENTO A DOS.

Es un caso particular del complemento a la base del
sistema binario, tiene muchas aplicaciones en los circuitos
digitales y sistemas de computación. Sirven para
representar tablas numéricas de cantidades positivas y
negativas, invertir los estados de los bits que conforman el dato
binario y realizar operaciones aritméticas con signo en el
sistema binario. Con la Ec.1.3 se puede determinar el
complemento a dos de un número binario; no obstante, con
la misma ecuación se puede hallar un método directo
para obtener también el complemento a dos. Este
método consiste en ir seleccionando y colocando de derecha
a izquierda los dígitos binarios hasta conseguir el primer
bit en uno, de allí en adelante se cambian de estado todos
los bits restantes.

El otro método para hallar el complemento a dos
consiste en obtener el complemento a uno de la cifra y luego
sumarle uno; esto último está reflejado en la
(Ec.1.3.1).

Ejemplo: Hallar el complemento a dos de los
siguientes números binarios:

a) 1011001010101112; b)
100011010001002; c)
101110011100002

Aplicando el método con la
(Ec.2.1);

Solución (a):

Solución (b):

Solución (c):

REPRESENTACIÓN NUMÉRICA EN
COMPLEMENTO A DOS.

En el sistema binario, la forma más utilizada
para representar los números enteros con signo es la de
complemento a dos. Los circuitos microprocesadores
poseen internamente unidades de procesamiento aritmético
que trabajan bajo éste formato, el cual puede estar
constituido por n bits múltiplos de la potencia de base
dos. Por ejemplo, para representar los números positivos y
negativos se definen datos con tamaño estándar:
ocho bits, 16 bits, 32 bits, etc.

En este formato, el bit más significativo (MSB)
del dato se utiliza para indicar el signo y los bits restantes
representan la magnitud del número. En la figura 1.2 se
puede apreciar la representación del formato utilizado
para 16 bits, donde el más significativo (B15) indica que
el signo es negativo si vale uno o positivo si vale cero. Las
cantidades positivas se encuentran en binario normal mientras que
los números negativos están en complemento a dos,
esto significa que estos últimos, se deben complementar
para poder hallar
su verdadero valor.

El complemento de un número, en éste
formato, es igual que cambiar el signo del mismo. Por otra parte,
el complemento del complemento da como resultado el mismo
número.

Ejemplo: Determinar el valor de los siguientes
números dados en representación con signo de 16
bits (Formato de 16 bits):

a) 11001010101110002; b)
7FA816; c)
11111100000111002;

d) 1761028; e)
FA816;

Solución (a): El bit 15 del dato vale uno;
esto significa que el número es negativo y está
dado en complemento a dos. Primero se debe complementar el dato
para hallar su verdadero valor en binario y después se
transforma a decimal.

Solución (b): Se debe transformar
hexadecimal a binario y completar con ceros a la izquierda en
caso de que el dato no tenga los 16 bits completos. Luego se hace
la transformación a decimal.

Solución (c): El bit 15 del dato vale uno;
esto significa que el número es negativo y está
dado en complemento a dos. Primero se debe complementar el dato
para hallar su verdadero valor en binario y después se
transforma a decimal.

Solución (d): Se debe transformar octal a
binario y completar con ceros a la izquierda en caso de que el
dato no tenga los 16 bits completos. Luego se hace la
transformación a decimal.

Solución (e): Se debe transformar
hexadecimal a binario y completar con ceros a la izquierda en
caso de que el dato no tenga los 16 bits completos. Luego se hace
la transformación a decimal.

OPERACIONES ARITMÉTICAS EN
COMPLEMENTO A DOS.

La suma y resta son las operaciones
básicas realizadas por los microprocesadores, cualquiera
otra operación, es consecuencia recursiva de
éstas. A continuación se describen estas dos
operaciones aritméticas, realizadas con números
binarios en complemento a dos utilizando formato de signo y
magnitud de 16 bits.

SUMA EN COMPLEMENTO A DOS.

Son cuatro casos que se presentan al sumar dos datos en
formato con signo de complemento a dos:

I) SUMA DE DOS NÚMEROS POSITIVOS.
El resultado debe ser positivo, y el bit más significativo
de la suma, siempre dará cero.

Ejemplo: A = 1000111110001002; B =
100101101110112.

Antes de realizar la suma binaria se debe tener la
precaución de sumar en decimal los números. De esta
manera se puede chequear el resultado de la suma para tener la
certeza de que no exceda el valor +3276710 y
por lo tanto no sobrepasar el formato de 16 bits (Esto se conoce
como OVERFLOW). También el 16vo bit en uno señala
el sobreflujo de la operación.

II) SUMA DE UNO NEGATIVO Y OTRO POSITIVO.
El resultado debe poseer el signo del que tenga mayor valor
absoluto. En este caso el resultado es positivo y el 16vo bit
vale cero.

Ejemplo: A = 11010110010101102; B =
1101101101110112

III) SUMA DE UNO POSITIVO Y OTRO NEGATIVO.
El resultado debe poseer el signo del que tenga mayor valor
absoluto. En este caso el resultado es negativo y el 16vo bit
vale cero; del mismo modo no se debe tomar en cuenta el acarreo
del 17vo bit.

Ejemplo: A = 110110110101012; B =
10010110111010012

A = 11110011111100002; B =
1001110111001012

Con dos números de distintos signos se dan
los casos de acarreo en el 17vo bit. Si éste acarreo es
cero significa que el resultado es negativo y se debe
complementar para hallar su verdadero valor de la otra forma, si
el acarreo es uno, entonces el signo del resultado es mayor o
igual a cero y se encuentra en verdadero valor.

IV) SUMA DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS.
El resultado debe ser negativo, por lo tanto el bit más
significativo de la suma siempre dará uno.

Antes de realizar la suma binaria se debe tener la
precaución de sumar en decimal los números. De esta
manera se puede chequear el resultado de la suma para tener la
certeza de que no exceda el valor -3276710 y
por lo tanto no sobrepasar el formato de 16 bits (Esto se conoce
como OVERFLOW). También el 16vo y/o 17vo bits en cero
señalan el sobreflujo de la operación.