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La Transformada de Laplace




Enviado por Blue J



Partes: 1, 2, 3

    1. Condición suficiente para
      la existencia de la transformada de
      Laplace.
    2. Funciones continuas a
      trozos
    3. Funciones de orden
      exponencial
    4. Funciones
      acotadas
    5. Existencia de la
      transformada
    6. Transformadas de
      Laplace
    7. Teoremas de
      traslación
    8. Función
      de Heaviside
    9. Función
      Gamma
    10. La
      transformada inversa de Laplace
    11. Teorema del
      valor inicial
    12. Teorema
      del valor final
    13. Teorema
      Linealidad de la transformada inversa
    14. Teorema
      Forma inversa del primer teorema de
      traslación
    15. Forma
      inversa del segundo teorema de
      traslación
    16. Ecuaciones
      Integrales
    17. Sistemas
      de ecuaciones diferenciales
    18. La
      transformada de Laplace en Economía
    19. Bibliografía

    La transformada de Laplace se
    define como:

    Siendo f(t) una función
    continua para ; s>0; s>so ; siendo "s"
    un parámetro real; y so un valor fijo de
    "s".

    La integral impropia se define como:

    y se dice que si el límite existe también
    existe la transformada de Laplace; y decimos que la integral
    converge.

    Se puede representar la actividad de la transformada de
    Laplace mediante el siguiente esquema:

    Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de

    ;para s>a.
    Resultado.

    Ejemplo 2: Obtener la transformada de
    Laplace de f (t)= t.

    aplicando la integración por partes:

    L{t} =

      Resultado

    Y en general : L{ } =

    Condición
    suficiente para la existencia de la transformada de
    Laplace.

    Como la transformada de Laplace se define en
    términos de una integral impropia que puede ser
    divergente, existen funciones para
    las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones
    discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener
    transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una
    funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una
    respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas
    definiciones.

    FUNCIONES
    CONTINUAS A TROZOS:

    Decimos
    que una función es continua a trozos
    si:

    1. está definida y es continua en
      todo , salvo en un número finito de
      puntos , para
    2. Para cada los límites
      :

    existen. Note que, solamente uno de estos
    límites es pertinente si es uno de los extremos de
    .

    En general, el requisito de que estos límites
    sean finitos en todos los puntos implica que las únicas
    discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo
    que aparecen en la figura

    Intuitivamente podríamos pensar que las funciones
    continuas a trozos son casi contínuas o que no son
    demasiado discontínuas.

    Otra de las ideas importantes en el estudio de la
    existencia de la transformada de Laplace es que entendemos
    porqué una función no crezca demasiado
    rápido.

    FUNCIONES DE
    ORDEN EXPONENCIAL

    Decimos
    que la función     es de orden exponencial si existen
    números , y tales que :

    para  .

    Intuitivamente esto significa que la función
    esta por debajo de una función
    exponencial, como se muestra en la
    figura.

    Observación: algunas veces,
    para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular
    el siguiente límite:

    para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor
    que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

    Ejemplo

    Compruebe que es de orden exponencial.

    Solución

    Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de
    L'Hôpital :

    para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y así es de orden exponencial.

     

    Ejemplo

    Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier
    valor de .

    Solución

    Calculando el límite

    siempre y cuando . De donde, para grande.

    Observación: no es difícil
    comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica
    como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial,
    así como, las sumas y productos de
    un número finito de estas funciones. En general, si
    y son de orden exponencial la suma y el producto
    son de orden exponencial.

    Ejemplo

    Compruebe que la función no es de orden exponencial.

    Solución

    Calculando el límite tenemos que

    para cualquier valor de , con lo cual la función no es de orden exponencial.

    El siguiente resultado enuncia un resultado que parece
    obvio.

    FUNCIONES
    ACOTADAS

    Sea     una función acotada, entonces es de
    orden exponencial.

    Demostración

    Como es acotada para todo . Entonces :

    para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.

    Observación: como y son acotadas, son de orden
    exponencial.

    Una vez definidos los conceptos de función
    continua a trozos y función de orden exponencial ya
    estamos listos para enunciar una condición necesaria para
    la existencia de la transformada de Laplace.

    EXISTENCIA DE LA
    TRANSFORMADA

    Sea     una función continua a trozos y de
    orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de
    existe. Es decir, existe un número
    tal que existe para .

    Demostración

    Por ser de orden exponencial existen
    números no negativos , y tales que , para . Así que:

     

    La primera integral

    es una integral definida, por tanto existe. Para la
    segunda integral note que

     

     

     

    Ahora, como

    siempre y cuando , tenemos que la integral

    existe y con ello la transformada.  

    Observación: el teorema anterior enuncia
    una condición suficiente y no necesaria para la existencia
    de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de
    una función que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún
    así tenga transformada, como lo muestra el siguiente
    ejemplo.

      Ejemplo

    Compruebe que la transformada

    existe, aún cuando no cumple las hipótesis del
    teorema de existencia anterior.

    Solución

    Claramente tiene una discontinuidad infinita en
    , con lo cual no es continua a trozos en
    el intervalo ; pero ;

     

     

    Para calcular esta última integral sea

    con lo cual

    Ahora note que

     

     

    Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura. Observe que
    si y son las regiones que se muestran en la
    figura entonces:

    Con lo cual, tomando el límite

    Y así, . Por lo tanto

    El siguiente ejemplo muestra una función para la
    cual no existe la transformada de Laplace.

      Ejemplo


    Compruebe que no existe.

     

    Solución

    Usando la definición

     

    Y puesto que la integral impropia

    diverge, la transformada no existe.

    Observación: la otra integral

    es convergente para , pues

    La integral

    diverge, pues, por el criterio de
    comparación

    para toda , con lo cual ambas integrales
    convergen o divergen; pero

    diverge.

    Así como hay tablas de integrales para facilitar
    la solución de problemas de
    integración, utilizaremos las tablas de transformadas de
    Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones
    diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema
    anterior resolvimos por el método de
    coeficientes indeterminados. A continuación se presentan
    las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos,
    en la solución de problemas algebraicos y en los problemas
    de aplicación.

    TRANSFORMADAS DE
    LAPLACE      

    = L {f (t)}=F(s)

    FORMULAS

    _____________________|____________________________

     ; s>a

      ; s>0

      ; s>0

      ; s>0

      ; s>0

      ; s>a

      ; s>a

    Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la
    transformada.

    A ) Linealidad de la transformada

    Si y existen entonces:

    para cualquier constante real.

    Demostración

    Es una consecuencia directa de la convergencia de la
    suma en integrales impropias.

    Ejemplo

    Calcule .

    Solución

    Como por la propiedad de
    linealidad

     

     

     

    Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la
    solución de ecuaciones
    diferenciales necesitamos calcular la transformada de una
    derivada.

    B ) Transformada de una derivada

    Si es contínua a trozos y de orden
    exponencial en el intervalo , entonces:

    Demostración

    Integrando por partes

     

     

     

    Con un argumento similar podemos demostrar que

     

     

    Ejemplo
    Use el resultado anterior para calcular

    Solución
    Haciendo
    , tenemos que

    y de aquí concluimos que :

    El siguiente resultado generaliza la transformada de una
    derivada.

    Transformada de una derivada
    generalizada

    Si son continuas a trozos y de orden
    exponencial en el intervalo , entonces :

     

     

    El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en
    una transformada la escalación de una función
    .

    C ) Propiedad de cambio de
    escala

    Sea una función continua a trozos y de
    orden exponencial en , si entonces:

    Demostración

    Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de
    variable,

     

     

    Ejemplo
    Si :

    calcule .

    Solución

    Usando la propiedad de escalamiento

     

     

    Teoremas de
    traslación

    No es adecuado utilizar la definición cada vez
    que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la
    integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta
    razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran
    trabajo en el
    cálculo
    de este tipo de transformadas.

    Si conocemos que , podemos calcular la transformada de
    como una traslación, de a , como lo enuncia el siguiente
    teorema

    Primer teorema de traslación

    Si es un número real y existe, entonces

    Donde

    Ejemplo

    Calcule

    Solución

    Usando el primer teorema de traslación

     

     

    Segundo teorema de traslación

    Si y , entonces

    Demostración
    Usando la definición

     

     

     

     

     

     

    Ejemplo
    Calcule

    Solución
    Para poder usar el
    segundo teorema de traslación debemos completar a

     

     

    Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces
    es necesario sumar y restar algunos términos con la idea
    de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero
    existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer
    esto.

    Forma alternativa al segundo teorema de
    traslación

    Sea     una función continua a trozos y de
    orden exponencial en , entonces

    Demostración

    Usando la definición

     

     

     

     

     

    Ejemplo
    Calcule

    Solución

    Usando la forma alternativa del segundo teorema de
    traslación

     

     

    Teorema  Multiplicación por

    Sea     una función continua a trozos y de
    orden exponencial en , entonces

    Ejemplo
    Calcule

    Solución
    Aplicando el teorema anterior para , tenemos que

     

     

    El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer
    teorema de traslación y el teorema anterior.

    Ejemplo
    Calcule

    Solución
    Primero aplicamos el teorema de multiplicación por
    y luego el de traslación

     

     

     

    Ejemplo
    Calcule el valor de la siguiente integral

    Solución
    Por el teorema de multiplicación por , tenemos que

     

     

    De donde obtenemos que

    y tomando

    Teorema División por

    Sea     una función continua a trozos y de
    orden exponencial en tal que el límite

    existe, entonces

    Demostración

    Sea

    entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados
    tenemos que

    Integrando

    es decir,

    Observación: la constante de
    integración debe escogerse de forma de tal que .

    El siguiente ejemplo muestra una aplicación de
    este teorema.

    Ejemplo
    Calcule

    Solución

    Tenemos que

    con lo cual

     

     

    Ejemplo
    Calcule el valor de la siguiente integral

    Solución
    Si

    entonces

     

     

    De donde

    y tomando el límite cuando , tenemos que

     

    Partes: 1, 2, 3

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