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Graficando en coordenadas polares




Enviado por jaimemontoya



    1. Objetivos
    2. Rosa de cuatro
      hojas/pétalos
    3. Rosa de tres
      hojas/pétalos
    4. Rosa de ocho
      hojas/pétalos
    5. Una rosa dentro de
      otra
    6. Cardioides
    7. Limacones o
      caracoles
    8. Circunferencia
    9. Lemniscata
    10. La Nefroide de
      Freeth
    11. Concoides de
      Nicómenes
    12. Cisoide de
      Diocles
    13. Parábola
    14. Espiral
    15. Conclusión
    16. Bibliografía

    OBJETIVO GENERAL

    • Estudiar y analizar las diferentes figuras que se
      forman mediante la graficación de funciones
      trabajando con coordenadas polares.

    OBJETIVOS
    ESPECÍFICOS

    • Apreciar las figuras que se forman con funciones en
      el plano polar.
    • Visualizar la importancia de las coordenadas
      polares.
    • Diferenciar las figuras de funciones formadas en
      coordenadas polares.
    • Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de determinadas
      funciones.

    INTRODUCCIÓN

    Al comenzar los estudios del Cálculo se
    suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o
    coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares.
    Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio
    del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar
    coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y
    procedimientos
    que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas
    cartesianas. No se trata de que un sistema de
    coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes
    pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en
    otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del
    trabajo que
    estemos realizando.

    En este trabajo investigativo se presenta una buena
    cantidad de gráficos que nos permitirán conocer
    muchas de las figuras o gráficos que se forman usualmente
    a través de funciones en coordenadas polares. Cada uno de
    ellos tiene una breve explicación que consiste en
    describir el gráfico que resulta de la función y
    también se dan algunos breves detalles históricos o
    características que nos permiten reconocer determinado
    gráfico.

    Para hacernos una idea general de los gráficos
    que se presentarán durante las páginas que veremos
    seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de
    funciones que son graficados en este reporte o las figuras que
    resultarán:

    1. Rosa

    2. Cardioide

    3. Limaçon o caracol

    4. Circunferencia

    5. Lemniscata

    6. Nefroide de Freeth

    7. Concoide de Nicómenes

    8. Cisoide de Diocles

    9. Parábola

    10. Espiral

    Por supuesto que existen muchísimas otras figuras
    que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares,
    pero para este estudio se ha tratado de presentar las más
    importantes o comunes, a la vez que se muestra
    más de un ejemplo para casi todos los tipos de
    gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma
    que cada función tendrá al ser graficada en las
    coordenadas polares.

    Se espera que al finalizar la lectura
    completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada
    figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico
    que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas
    polares.

    ROSA
    DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

    Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de
    cuatro pétalos.
    Es fácil ver cómo se
    forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos.
    La función para este gráfico es:

    ROSA DE TRES
    HOJAS/PÉTALOS

    Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de
    tres pétalos.
    Analógicamente al gráfico
    de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es
    parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su
    forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

    ROSA DE OCHO
    HOJAS/PÉTALOS

    El siguiente gráfico es como los dos anteriores,
    pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en
    la siguiente función graficada:

    UNA ROSA
    DENTRO DE OTRA

    Un caso interesante y especial que se puede dar es el
    que se muestra en la gráfica que vemos a
    continuación, donde se aprecia una rosa de tres
    pétalos
    precisamente dentro de otra rosa de tres
    pétalos u hojas.
    Veamos:

    CARDIOIDES

    A continuación se presenta el tipo de
    gráfico que se denomina cardioide. Para este
    ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto
    al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que
    se distingue una figura como de un corazón,
    razón por la cual se llama este gráfico cardioide.
    La función que lo ha generado es:

     

    Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode,
    se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta
    hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la
    siguiente función:

    LIMACONES O CARACOLES

    Limaçon viene del latín limax que
    significa caracol. El caracol de Pascal, lo
    descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la
    primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval
    en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su
    método
    para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan
    limaçones son las funciones en coordenadas polares con la
    forma:

    r = 1 + b cos

    Ahora veamos un ejemplo concreto de un
    gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol
    que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior.
    La función para este gráfico es la
    siguiente:

    Veamos otro gráfico de una función que
    tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero
    que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia
    abajo. Veamos:

    Continuando con la gráfica de caracoles o
    limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o
    caracol con concavidad. Como podremos observar, este no
    tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a
    continuación el gráfico que resulta, el cual apunta
    hacia la izquierda:

    Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con
    la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de
    modo que tenemos un limaçon o caracol con
    hendidura o concavidad
    que está dirigido hacia la
    derecha:

    Antes de terminar el tema de los
    limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a
    los otros, que es conocido como caracol convexo o
    caracol ovalado, el cual está apuntando hacia
    arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:


    CIRCUNFERENCIA

    Esta nueva función nos presenta una forma
    conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la
    cual será formada en el gráfico polar mediante la
    siguiente función:

    Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una
    circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece
    arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a
    diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia
    aparecía abajo del radio inicial. La
    función con su gráfico es esta:

     

    LEMNISCATA

    En matemáticas, una leminscata es un
    tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en
    coordenadas polares:

    La representación gráfica de esta
    ecuación genera una curva similar a . La curva se ha
    convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente
    utilizada en matemáticas. El símbolo en sí
    mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta
    función con su respectivo gráfico lo apreciamos a
    continuación:

     

    Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero
    ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido
    horizontal:

     

    Finalmente se muestra un gráfico
    como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con
    la única diferencia que ahora se muestra en sentido
    vertical. Veamos:

    LA NEFROIDE DE
    FREETH

    Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente
    a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos
    de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es
    bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático
    inglés
    T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un
    ejemplo se aprecia en este gráfico:

     

    CONCOIDES DE
    NICÓMENES

    Nicómenes nació sobre el año 280
    antes de Cristo en Grecia y
    murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su
    vida pero es famoso por su "Las
    líneas de la Concoide".
    Veamos un
    gráfico en coordenadas polares de la concoide de
    Nicómenes:

     

    Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de
    Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la
    derecha, mientras que la que se presenta a continuación
    tiene una dirección hacia arriba. Veamos:

    Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo
    tenemos en el gráfico que se muestra a
    continuación, donde su forma se ve diferente a los dos
    gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le
    está restando un número uno a la función. El
    mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando
    uno a la función. El gráfico quedará
    así:

     

    CISOIDE DE DIOCLES

    Esta es una curva muy famosa y útil en el
    cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para
    resolver el problema de la duplicación del cubo. El
    gráfico aparece de esta forma:

     

    PARÁBOLA

    Esta figura es muy conocida en el mundo del
    Cálculo. Tal como podemos generar funciones de
    parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer
    también en coordenadas polares. Veamos el
    ejemplo:

     

    ESPIRAL

    Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal
    como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos
    encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La
    forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por
    ejemplo.

    El gráfico que se presenta a continuación
    es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor
    Arquímedes, quien fue un notable físico y
    matemático griego que al ser fascinado por la belleza de
    esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus
    propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre
    las espirales,
    escrito en el siglo III antes de
    Cristo.

    Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos
    la siguiente función en coordenadas polares que
    formará la espiral polar siguiente:

    Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como
    espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936.
    Su ecuación es r² = a² +
    . En el siguiente ejemplo se
    muestra una función y su respectiva gráfica que nos
    permiten conocer la espiral de Fertat:

    Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la
    función que veremos ahora, que podríamos
    encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo
    gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos
    apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral
    son: espiral recíproca o espiral
    hiperbolica.
    Tendremos entonces:

     

    Otro caso que se puede dar es la espiral
    logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente
    función y su respectivo gráfico:

    CONCLUSIÓN

    Luego de haber visto todas las curvas polares
    presentadas a lo largo de esta investigación, podemos darnos cuenta que
    hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que
    pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que
    las hace particulares.

    El conocer las tendencias que una función
    determinada tiene en las coordenadas polares es una gran ayuda
    previa que nos facilitará la graficación de las
    mismas.

    Aunque en la actualidad se cuenta con importantes
    programas de
    computación que hacen las gráficas
    con la simple acción
    de introducir la función que necesitamos, es totalmente
    necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman
    y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas
    figuras.

    Al graficar sobre papel sin la herramienta de una
    calculadora graficadora y sin ningún programa que
    grafique funciones polares, resultará obviamente
    más difícil y nos llevará más
    tiempo el
    crear estas figuras gráficamente, pero si tenemos los
    conocimientos necesarios en cuanto a las forma de encontrar los
    puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que
    presentará el gráfico y si es simétrico o
    no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones
    que se nos presenten y los problemas que
    se nos pida desarrollar.

    En este trabajo se ha tratado también de
    presentar más de un ejemplo de cada gráfico, de
    manera que no estemos limitados a un solo caso, sino que veamos
    las diferentes formas que pueden apreciarse en cada tipo de curva
    polar.

    Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada
    gráfico sirven para describir y dar una explicación
    general del nombre y forma que encontraremos en cada
    gráfico, y en algunos casos también se da una
    reseña histórica del porqué del nombre del
    gráfico así como también de la persona que lo
    descubrió.

    Es de esta manera que se concluye este trabajo,
    esperando que sea provechoso y de valor y
    utilidad.

    BIBLIOGRAFÍA

    Leithold, Louis. El Cálculo. Séptima
    Edición. Oxford University Press.
    ©1994

    Thomas, George. Cálculo Varias Variables.
    Undécima Edición. Pearson Addison Wesley Educación. ©2005

    Wikipedia, la enciclopedia libre.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata

    Ministerio de Educación y Ciencia.
    Formación del profesorado. España.

    http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/ arquimedes.htm

    Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.

    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648- 02/esp_fermat.html

     

    Jaime Oswaldo Montoya Guzmán

    Fecha de finalización del documento: 20 de
    febrero de 2006.
    Nivel de estudios: segundo año en la carrera
    Ingeniería en Sistemas
    Informáticos.
    Centro de estudios: Universidad
    Católica de Occidente.
    Ciudad y país: Santa Ana, El Salvador.

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