Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral indefinida
El presente trabajo sobre
las aplicaciones geométricas y mecánicas de la
integral indefinida es, en gran parte, el fruto de una investigación exhaustiva en donde, se ha
mantenido contacto directo con todas y cada una de las
implicaciones matemáticas que de alguna u otra manera
afectan este tipo de comportamiento.
Con respecto al mismo conviene aclarar que su contenido
esta orientado, de manera fundamental, hacia el estudio de un
conjunto de comprobaciones y exposiciones de carácter matemático que todo
estudiante de ingeniería debe manejar para poder cumplir
con propiedad
el trabajo
intelectual que académicamente le sea requerido. En tal
sentido, podemos decir que el nivel de este trabajo es realmente
elemental, pues nuestro principal objetivo no es
otro que el de ofrecer al lector las herramientas
básicas que, al tiempo que les
ayude a superar algunas de las fallas de que adolecen en cuanto
al trabajo de el calculo de áreas, volúmenes y
longitud de curva, les permita iniciarse en la comprensión
lógica
de estas aplicaciones.
Expuestas ya las razones que justifican el presente
trabajo, pasaremos ahora a señalar brevemente su estructura.
Como quiera que una de las características de la actividad
de investigación es la claridad de los conceptos y
términos manejados, consideramos conveniente iniciar este
trabajo con el estudio de algunas cuestiones elementales
orientadas a delimitar la naturaleza del
estudio de las aplicaciones geométricas y mecánicas
de le integral definida.
- Calcular la longitud de arco de la función
Y= 4cos(x)-sen(-2x) en el intervalo [2pi,11pi], esta longitud
de arco proximar utilizando simpson n=18
y = 4*cos(x)+sin(2*x) [2*Pi ; 11*Pi] n = 18
Fórmula de longitud de arco:
F´(x)= -4*sin(x)+2*cos(2*x)
11*Pi
L= ∫ dx
2*Pi
∆x = a – b = 11 Pi
–2 Pi = 1.57079
n 18
Xi = Xo + i∆x
Xo = 6.28318+0•1.57079 = 6.2831 X11 =
6.28318+11•1.57079 = 23.5618
F(Xo) = 5.00000 F(X11) = 5.0000
X1 = 6.28318+2•1.5707 = 7.8539
X12 = 6.28318+12•1.57079 = 25.1326
F(X1) = 36.9654 F(X12) =
5.0012
X2 =6.28318+3•1.5707 = 9.4247
X13 = 6.28318+13•1.57079 = 26.7034
F(X2) = 4.9999 F(X13) =
36.9999
X3 = 6.28318+3•1.5707 = 10.9955
X14 = 6.28318+14•1.57079 = 28.2741
F(X3) = 5.0000 F(X14) =
4.9972
X4 = 6.28318+4•1.5707 = 12.56636
X15 = 6.28318+15•1.57079 = 29.8449
F(X4) = 4.9999 F(X15) =
5.0000
X5 = 6.28318+5•1.5707 = 14.1371
X16 = 6.28318+16•1.57079 = 31.4157
F(X5) = 36.9813 F(X16) =
5.0029
X6 = 6.28318+6•1.5707 = 15.7079
X17 = 6.28318+17•1.57079 = 32.9865
F(X6) = 4.99930 F(X17) =
36.9999
X7 = 6.28318+7•1.5707 = 17.2787
X18 = 6.28318+18•1.57079 = 4.9968
F(X7) = 5.0000 F(X18) =
4.9968
X8 = 6.28318+8•1.5707 =
18.8495
F(X8) = 5.0008
X9 = 6.28318+9•1.57707 =
20.420
F(X9) = 36.9999
X10 = 6.28318+10•1.57707
=21.9910
F(X10) = 4.9987
N | Xi | Yi |
n0 | 6.28318 | 5.0000 |
n1 | 7.8539 | 36.965 |
n2 | 9.4247 | 4.9999 |
n3 | 10.9955 | 5.0000 |
n4 | 12.5663 | 4.9999 |
n5 | 14.1371 | 36.9813 |
n6 | 15.7079 | 4.9993 |
n7 | 17.2787 | 5.0000 |
n8 | 18.8495 | 5.0008 |
n9 | 20.4202 | 36.9999 |
n10 | 21.9910 | 4.9989 |
n11 | 23.5618 | 5.0000 |
n12 | 25.1326 | 5.0012 |
n13 | 26.7034 | 36.9999 |
n14 | 28.2741 | 4.9972 |
n15 | 29.8449 | 5.0000 |
N16 | 31.4157 | 5.0029 |
N17 | 32.9865 | 36.9999 |
N18 | 34.5573 | 4.9968 |
Cálculo de la longitud de de arco por
simpson:
∆X = [(Y0 + 2(Y2 +
Y4 + Y6 + Y8 +…) +
4(Y1 + Y3 + Y5 + Y7 +
Y9 +…) + Yn)]
3
0.525693= 5.0000+2(4.9999+4..9999+4.9993+5.0008
+4.9989+5.0012+4.9972+5.0029)+4(36.965+5.0000+36.9813+5.0000+36.9999+5.0000+36.9999+5.0000+36.9999)+4.9968
0.52693*[5.000+ 80.0002+ 204.946 +4.9968]
=155.414315.
2) Calcular el volumen y la
superficie del solidó en revolución
alrededor del eje "X" entre [-7π ; 7π].
En Y = │cos (X/4) │. Aproximar por trapecios n = 15 y
por rectangulos superiores e inferiores n= 20
A) Cálculo
del volumen en revolución
7π
∫ │3•cos(X/4) dx
-7π
X0 = -7π + 0•2,932153143 = -7π
F(X0) = 1,131923142
X1 = -7π + 1•2,932153143 =
-19,05899543
F(X1) = 1,249383561
X2 = -7π + 2•2,932153143 =
-16,12684229
F(X2) = 1,157464973
X3 = -7π + 3•2,932153143 =
-13,19468915
F(X3) = 1,006859153
X4 = -7π + 4•2,932153143 = -10,262536
F(X4) = 1,080210775
X5 = -7π + 5•2,932153143 =
-7,33038286
F(X5) = 1,234835878
X6 = -7π + 6•2,932153143 =
-4,398229717
F(X6) = 1,202732141
X7 = -7π + 7•2,932153143 =
-1,466076574
F(X7) = 1,035490472
X8 = -7π + 8•2,932153143 =
1,466076569
F(X8) = 1,035490472
X9 = -7π + 9•2,932153143 =
4,398229712
F(X9) = 1,202732141
X10 = -7π + 10•2,932153143 =
7,330382855
F(X10) = 1,234835878
X11 = -7π + 11•2,932153143 =
10,262536
F(X11) = 1,080210776
X12 = -7π + 10•2,932153143 =
13,19468914
F(X12) = 1,006859153
X13 = -7π + 13•2,932153143 =
16,12684228
F(X13) = 1,075855461
X14 = -7π + 14•2,932153143 =
19,05899543
F(X14) = 1,24938356
X15 = -7π + 15•2,932153143 =
21,99114857
F(X15) = 1,131923143
X16 = -7π + 16•2,932153143 =
24,92330171
F(X16) = 1,000770062
X17 = -7π + 17•2,932153143 =
27,85545486
F(X17) = 1,105791498
X18 = -7π +
18•2,932153143 = 30,787608
F(X18) = 1,244481677
X19 = -7π +
19•2,932153143 = 33,71976114
F(X19) = 1,181374065
X20 = -7π +
20•2,932153143 = 36,65191428
F(X20) = 1,018665969
Trapecios:
b
∫aF(x) dx ≡
Σ ∆x yi = b
–a (Y0/2,
Y1, Y2, Y3,
Y4,…, Yn/2)
7π
∫ │3•cos(X/4) dx ≡
2,932153143•( 1,131923142 + 1,249383561 +
1,157464973
-7π 1,006859153 + 1,006859153
+ 1,234835878 + 1,202732141
1,035490472 + 1,035490472 + 1,202732141 +
1,080210776
1,006859153 + 1,075855461 + 1,24938356 +
1,131923143/2)
7π
∫ │3•cos(X/4) dx ≡
46,30929547
-7π
B) Cálculo de la superficie en
revolución
Rectángulos Superiores e
Inferiores
7π
∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2)
^1/2
-7π
∆x = a – b = 7π –
(-7π) = 2,199114858
n 20
Xi = Xo + i∆x
X0 = -7π +
0•2,199114858 = -7π
F(X0) = 2,401171588
X1 = -7π +
1•2,199114858 = -19,79203372
F(X1) = 0,866790222
X2 = -7π +
2•2,199114858 = -17,59291886
F(X2) = -1,138721304
X3 = -7π +
3•2,199114858 = -15,393804
F(X3) = -2,281218167
X4 = -7π +
4•2,199114858 = -13,19468914
F(X4) = -2,983764743
X5 = -7π + 5•2,199114858
= -10,99557429
F(X5) = -2,999955704
X6 = -7π +
6•2,199114858 = -8,796459427
F(X6) = -2,062569292
X7 = -7π + 7•2,199114858
= -6,597344569
F(X7) = -0,293895412
X8 = -7π + 8•2,199114858
= -4,398229711
F(X8) = 1,6380869
X9 = -7π + 9•2,199114858
= -2,199114853
F(X9) = 2,747312798
X10 = -7π +
10•2,199114858 = 4,9×10-9
F(X10) = 3
X11 = -7π +
11•2,199114858 = 2,199114863
F(X11) = 2,747312794
X12 = -7π +
12•2,199114858 = 4,398229721
F(X12) = 1,638086879
X13 = -7π +
13•2,199114858 = 6,597344579
F(X13) = -0,293895422
X14 = -7π +
14•2,199114858 = 8,796459437
F(X14) = -2,062569299
X15 = -7π +
15•2,199114858 = 10,99557429
F(X15) = 2,883538279
X16 = -7π +
16•2,199114858 = 13,19468915
F(X16) = -2,983389437
X17 = -7π +
17•2,199114858 = 15,39380401
F(X17) = 2,537441237
X18 = -7π +
18•2,199114858 = 17,59291887
F(X18) = -1,138721284
X19 = -7π +
19•2,199114858 = 19,79203373
F(X19) = 0,866790231
X20 = -7π +
20•2,199114858 = 21,99114858
F(20) = 2,401171591
Rectángulos Superiores:
b
∫aF(x) dx
≡ Σ ∆x Yi = b –
a (Y1, Y2,
Y3, Y4,…, Yn)
7π
∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2)
^1/2≡ 2,199114858•(0,866790222
-7π
-1,138721304-2,281218167
-2, 983764743-2,
983764743-2,062569292-0,293895412+
1, 6380869+2,
747312798+3+2,747312794+1,638086879
-0,
293895422-2,062569299+2,883538279-2,983389437
2,537441237-1,138721284+0,866790231+2,401171591)
7π
∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2)
^1/2 ≡ 14,57881245
-7π
Rectángulos Inferiores:
b
∫aF(x) dx ≡
Σ ∆x Yi = b –
a (Y0, Y1,
Y2, Y3, Y4,…,
Yn-1)
7π
∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2)
^1/2 ≡ 2,199114858•(2,401171588+
-7π
0,866790222-1,138721304-2,281218167-2,983764743
-2,983764743-2,062569292-0,293895412+1,6380869+
2,747312798+3+2,747312794+1,638086879-0,293895422
-2,062569299+2,883538279-2,983389437+2,537441237
-1,138721284+0,866790231)
7π
∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2)
^1/2 ≡ 9,673785055
-7π
Hemos llegado al momento final de nuestra exposición, y ahora solo no queda retomar
las ideas fundamentales desarrolladas a través de este
trabajo. Considerando que el estudio de las aplicaciones
geométricas y mecánicas de la integral definida
constituye uno de los ámbitos más importantes en el
estudio de las matemáticas, hemos intentado presentar al
lector una visión lo más clara posible del
mismo.
En tal sentido, nuestro propósito fundamental no
fue otro que ofrecer a los lectores algunas de las técnicas
para el calculo de áreas y volúmenes y longitud de
arco que le ayuden a abordar de manera más eficaz los
estudios referentes al tema y que, al mismo tiempo,
constituirán las herramientas de trabajo intelectual en un
nivel inicial de la carrera de ingeniería.
. Además de las imprecisiones propias de los
procedimientos
numéricos hay que añadir una dificultad más
en la resolución de las ecuaciones
para hallar los puntos de corte. Cuanto mayor sea el
intervalo, más tedioso es el cálculo de la
misma.
>
plot(4*cos(x)-sin(-2*x),x=2*Pi..11*Pi);
> with(plots):F:=plot(x, x=-Pi..10,color=red):
G:=plot(cos(((x)/4)),
x=-Pi..10,color=blue):
display({F, G});
Calatayud, Moisés
Rosales, Verónica
Huerta, Alvaro
Enviado por:
Douglas Alfredo Dominguez Ruiz
Caracas, Enero de 2006