Monografias.com > Física
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Teoría básica y problemas propuestos de Calor y Termodinámica




Enviado por George Castle



Partes: 1, 2

    1. Objetivo
      general
    2. ¿Qué es la
      temperatura y el calor?
    3. Escalas para medir la
      temperatura
    4. Efecto de la temperatura sobre
      la materia
    5. Dilatación
      térmica
    6. Mecanismo de transferencia de
      calor
    7. Calor latente y calor
      sensible
    8. Energía
      específica transferida por una sustancia: calor
      específico
    9. Leyes
      fundamentales de la termodinámica
    10. Procesos
      térmicos en gases ideales
    11. Problemas
      propuestos con respuestas
    12. Preguntas de
      razonamiento
    13. Problemas
      propuestos sin respuestas
    14. Bibliografía
      recomendada

    INTRODUCCIÓN

    Al analizar situaciones físicas, la atención generalmente se enfoca en alguna
    porción de la materia que se
    separa en forma imaginaria del medio ambiente
    que le rodea. A tal porción se le denomina el sistema. A todo
    lo que esta fuera del sistema, y que tiene una
    participación directa en su comportamiento, se le llama medio ambiente o
    entorno. Después, se determina el comportamiento del
    sistema, encontrando la forma en que interactúa con su
    entorno.

    Un concepto esencial
    de la termodinámica es el de sistema
    macroscópico, que se define como un conjunto de materia
    que se puede aislar espacialmente y que coexiste con un entorno
    infinito e imperturbable. El estado de
    un sistema macroscópico en equilibrio
    puede describirse mediante propiedades medibles como la temperatura,
    la presión o
    el volumen, que se
    conocen como variables
    termodinámicas. Ahora bien, en el análisis de
    sistemas tiene vital importancia la cuantificación del
    "calor", el cual se refiere a la transferencia de energía
    de una parte a otra de un cuerpo, o entre diferentes cuerpos, en
    virtud de una diferencia de temperatura.

    En este material instruccional se introducirá
    primero la diferencia entre temperatura y calor, para luego
    presentar las escalas termométricas. En forma sucinta se
    discutirá el efecto de la temperatura sobre la materia,
    enfatizando en las dilataciones térmicas: lineal,
    superficial y cúbica. Un apartado sobre los mecanismos de
    transferencia de calor se incluirá a fin de introducir las
    ecuaciones
    generales que gobiernan la conducción, convección y
    radiación.

    Por otro lado, se estudiará la manera de
    cuantificar el calor latente, de vaporización, de fusión, de
    combustión y sensible en los procesos
    físicos, asimismo, se introducirá el concepto de
    calor específico. Por último, se explicará
    la ley cero y la
    primera ley de la termodinámica y como a partir de ellas
    se caracterizan los procesos térmicos que involucren
    gases ideales.
    Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos
    problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes
    precedentes.

    OBJETIVO
    GENERAL

    Al término de éste módulo, el
    estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para
    aplicar los conceptos básicos de calor y
    termodinámica a problemas prácticos que involucren
    sistemas en donde
    se transfiera energía térmica.

    CONTENIDOS

    1. Calor y Temperatura.
    2. Escalas termométricas.
    3. Dilatación: lineal, superficial y
      volumétrica.
    4. Calor: latente y sensible.
    5. Ley cero de la termodinámica.
    6. Primera ley de la termodinámica.
    7. Mecanismos de transferencia de calor:
      conducción, convección y
      radiación.
    8. Procesos con gases ideales: isobárico,
      isocorico, isotérmico y adiabático.
    9. Calor específico: a volumen constante y
      presión constante.

    CONOCIMIENTOS PREVIOS

    1. Cálculo integral: aplicaciones de integrales
      definidas con condiciones iniciales.
    2. Ley de conservación de la
      energía.
    3. Operaciones con logaritmos: suma, resta,
      multiplicación y división.

    DESARROLLO TEÓRICO

    1.1
    ¿Qué es la temperatura y el calor?

    El calor en física se refiere a
    la transferencia de energía de una parte a otra de un
    cuerpo, o entre diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia
    de temperatura. El calor es energía en tránsito;
    siempre fluye de una zona de mayor temperatura a una zona de
    menor temperatura, con lo que eleva la temperatura de la segunda
    y reduce la de la primera, siempre que el volumen de los cuerpos
    se mantenga constante. La energía no fluye desde un objeto
    de temperatura baja a un objeto de temperatura alta si no se
    realiza trabajo.

    La sensación de calor o frío al tocar una
    sustancia depende de su temperatura, de la capacidad de la
    sustancia para conducir el calor y de otros factores. Aunque, si
    se procede con cuidado, es posible comparar las temperaturas
    relativas de dos sustancias mediante el tacto, es imposible
    evaluar la magnitud absoluta de las temperaturas a partir de
    reacciones subjetivas.

    Cuando se aporta calor a una sustancia, no sólo
    se eleva su temperatura, con lo que proporciona una mayor
    sensación de calor, sino que se producen alteraciones en
    varias propiedades físicas que pueden medirse con
    precisión. Al variar la temperatura, las sustancias se
    dilatan o se contraen, su resistencia
    eléctrica cambia, y (en el caso de un gas) su
    presión varía. La variación de alguna de
    estas propiedades suele servir como base para una escala
    numérica precisa de temperaturas.

    A manera de conclusión: la temperatura es una
    propiedad
    física de la materia que mide el grado de calor que un
    cuerpo posee.

    1.2 Escalas para medir
    la temperatura

    Una de las primeras escalas de temperatura,
    todavía empleada en los países anglosajones, fue
    diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel
    Fahrenheit. Según esta escala, a la presión
    atmosférica normal, el punto de solidificación del
    agua (y de
    fusión del hielo) es de 32 ° F, y su punto de
    ebullición es de 212 ° F. La escala centígrada
    o Celsius, ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius y
    utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0
    ° C al punto de congelación del agua y de 100 ° C
    a su punto de fusión. En ciencia, la
    escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin,
    inventada por el matemático y físico
    británico William Thomson, Lord Kelvin. En esta escala, el
    cero absoluto, que está situado en – 273,15 ° C,
    corresponde a 0 K, y una diferencia de un kelvin equivale a una
    diferencia de un grado en la escala centígrada.

    La existencia de diferentes escalas termométricas
    hace necesario conocer las relaciones entre ellas:


    (1)

    Donde:

    º C: grados centígrados

    º F: grados Fahrenheit

    º R: grados Rankine

    Para transformar grados centígrados a grados
    Fahrenheit se usa la siguiente expresión:


    (2)

    Para transformar grados Fahrenheit a grados
    centígrados se usa la siguiente
    expresión:


    (3)

    Para transformar grados centígrados a grados
    Kelvin se usa la siguiente expresión:


    (4)

    Para transformar grados Fahrenheit a grados Rankine se
    usa la siguiente expresión:


    (5)

    Para realizar conversiones que involucren incrementos de
    temperatura, se emplea:

    1,8 º F = 1 º C (6)

    1,8 R = 1 K (7)

    1 º F = 1 R (8)

    1 º C = 1 K (9)

    1.3 Efecto de la
    temperatura sobre la materia.

    La temperatura desempeña un papel importante para
    determinar las condiciones de supervivencia de los seres vivos.
    Así, las aves y los
    mamíferos necesitan un rango muy limitado
    de temperatura corporal para poder
    sobrevivir, y tienen que estar protegidos de temperaturas
    extremas.

    Las especies acuáticas sólo pueden existir
    dentro de un estrecho rango de temperaturas del agua, diferente
    según las especies. Por ejemplo, un aumento de sólo
    unos grados en la temperatura de un río como resultado del
    calor desprendido por una central eléctrica puede provocar
    la contaminación del agua y matar a la
    mayoría de los peces
    originarios.

    Los cambios de temperatura también afectan de
    forma importante a las propiedades de todos los materiales. A
    temperaturas árticas, por ejemplo, el acero se vuelve
    quebradizo y se rompe fácilmente, y los líquidos se
    solidifican o se hacen muy viscosos, ofreciendo una elevada
    resistencia por rozamiento al flujo. A temperaturas
    próximas al cero absoluto, muchos materiales presentan
    características sorprendentemente diferentes. A
    temperaturas elevadas, los materiales sólidos se licuan o
    se convierten en gases; los compuestos químicos se separan
    en sus componentes.

    La temperatura de la atmósfera se ve muy
    influida tanto por las zonas de tierra como de
    mar. En enero, por ejemplo, las grandes masas de tierra del
    hemisferio norte están mucho más frías que
    los océanos de la misma latitud, y en julio la
    situación es la contraria. A bajas alturas, la temperatura
    del aire
    está determinada en gran medida por la temperatura de la
    superficie terrestre. Los cambios periódicos de
    temperatura se deben básicamente al calentamiento por la
    radiación del Sol de las zonas terrestres del planeta, que
    a su vez calientan el aire situado por encima. Como resultado de
    este fenómeno, la temperatura disminuye con la altura,
    desde un nivel de referencia de 15 ° C en el nivel del mar
    (en latitudes templadas) hasta unos – 55 ° C a 11.000 m
    aproximadamente. Por encima de esta altura, la temperatura
    permanece casi constante hasta unos 34.000 m.

    1.4 Dilatación
    térmica.

    Cuando una varilla metálica es sometida a
    calentamiento sufre una dilatación lineal, la cual puede
    cuantificarse a través de la siguiente
    expresión:


    (10)

    Donde.

    Lo: longitud inicial de la varilla,
    m

    Lf: longitud final de la varilla,
    m

    Tf: temperatura final de la varilla, º
    C

    To: temperatura inicial de la varilla, º
    C

    : coeficiente de expansión térmica
    lineal del material, º C -1

    El coeficiente de expansión térmica lineal
    se expresa en 1/ºC ó 1/ºF dependiendo de las
    unidades usadas para expresar la temperatura. Cuando los metales se
    someten a enfriamiento progresivo sufren una contracción,
    por lo que la longitud final será inferior a la longitud
    inicial. La Tabla 1 resume el coeficiente de expansión
    térmica lineal de algunos materiales.

    Tabla 1. Coeficientes de expansión de
    algunos materiales cerca de la temperatura ambiente.

    Material

    Coeficiente de expansión lineal
    (º C –1)

    Aluminio

    24 x 10-6

    Latón y bronce

    19 x 10-6

    Cobre

    17 x 10-6

    Vidrio (ordinario)

    9 x 10-6

    Vidrio (Pirex)

    3,2 x 10-6

    Plomo

    29 x 10-6

    Acero

    11 x 10-6

    Invar(aleación de Níquel –
    Cromo)

    6,9 x 10-6

    Concreto

    12 x 10-6

    Las superficies metálicas al someterse a
    calentamiento se dilatan. El área final puede calcularse a
    través de la siguiente expresión:


    (11)

    Donde:

    Ao: área inicial de la superficie,
    m2

    Af: área final de la superficie,
    m2

    Tf: temperatura final de la superficie,
    º C

    To: temperatura inicial de la superficie,
    º C

    : coeficiente de expansión térmica
    lineal del material, º C -1

    Se debe señalara que cuando las superficies
    metálicas son sometidas a enfriamiento sufren una
    contracción.

    Los líquidos se dilatan al someterse a
    calentamiento (la mayoría), la expansión
    volumétrica de estos se puede calcular a través de
    la siguiente expresión:


    (12)

    Donde:

    Vo: volumen inicial del líquido,
    m3

    Vf: volumen final del líquido,
    m3

    Tf: temperatura final del líquido,
    º C

    To: temperatura inicial del líquido,
    º C

    : coeficiente de expansión térmica
    lineal del líquido o gas, º C
    -1

    : coeficiente de expansión
    volumétrico del líquido o gas, º C
    -1

    Nótese que:


    (13)

    La Tabla 2 resume el coeficiente de expansión
    volumétrica de algunos líquidos y gases.

    Tabla 2. Coeficientes de expansión
    volumétricos de algunos líquidos y
    gases.

    Material

    Coeficiente de expansión
    volumétrico ( º C
    -1)

    Alcohol etílico

    1,12 x 10-4

    Benceno

    1,12 x 10-4

    Acetona

    1,5 x 10-4

    Glicerina

    4,85 x 10-4

    Mercurio

    1,82 x 10-4

    Trementina

    9 x 10-4

    Gasolina

    9,6 x 10-4

    Aire a 0 º C

    3,67 x 10-4

    Helio a 0 º C

    3,665 x 10-4

    Un caso especial de dilatación térmica lo
    constituye el fenómeno de barras empotradas. Las barras
    empotradas en paredes indeformables son sometidas a esfuerzos
    mecánicos como una consecuencia de la dilatación
    térmica inherente al material constitutivo de la misma. O
    sea, la dilatación térmica es contrarrestada por la
    expansión mecánica.


    desarrollando…


    (14)

    Donde:

    Lo: longitud de la barra empotrada a la
    temperatura inicial, m

    Tf: temperatura final del sistema, º
    C

    To: temperatura inicial del sistema, º
    C

    P: fuerza de
    compresión generada en los apoyos,
    N/m2

    E: módulo de elasticidad del
    material constitutivo de la barra, N/m2

    A: área de la sección transversal de la
    barra, m2

    : coeficiente de dilatación
    térmica lineal del material de la barra, º C
    -1

    El esfuerzo mecánico al cual es sometida la barra
    se calcula, a través de la siguiente
    expresión:


    (15)

    Donde:

    P: fuerza de compresión generada en los apoyos,
    N/m2

    A: área de la sección transversal de la
    barra, m2

    : esfuerzo mecánico,
    N/m2

    La Tabla 3 resume los módulos de elasticidad de
    algunos materiales.

    Tabla 3. Valores
    comunes del módulo de elasticidad (conocido como
    módulo de Young).

    Sustancias

    Módulo de Young
    (N/m2)

    Aluminio

    7,0 x 1010

    Latón

    9,1 x 1010

    Cobre

    11 x 1010

    Acero

    20 x 1010

    Tungsteno

    35 x 1010

    Vidrio

    6,5 a 7,8 x 1010

    Cuarzo

    5,6 x 1010

    Nota: el módulo de Young mide
    la resistencia de un sólido a un cambio en su
    longitud.

    1.5 Mecanismo de
    transferencia de calor

    Los procesos físicos por los que se produce la
    transferencia de calor son la conducción y la
    radiación. Un tercer proceso, que
    también implica el movimiento de
    materia, se denomina convección. La conducción
    requiere contacto físico entre los cuerpos (o las partes
    de un cuerpo) que intercambian calor, pero en la radiación
    no hace falta que los cuerpos estén en contacto ni que
    haya materia entre ellos. La convección se produce a
    través del movimiento de un líquido o un gas en
    contacto con un cuerpo de temperatura diferente.

    1.5.1 Mecanismo de transferencia de calor por
    conducción

    El proceso de transferencia de energía
    térmica más sencillo de describir de manera
    cuantitativa recibe el nombre de conducción. En este
    proceso, la transferencia de energía térmica se
    puede ver a una escala atómica como un intercambio de
    energía cinética entre moléculas, donde las
    partículas menos energéticas ganan energía
    al chocar con las partículas más
    energéticas. A pesar de que la transferencia de
    energía térmica a través de un metal puede
    explicarse de modo parcial por las vibraciones atómicas y
    el movimiento de electrones, la tasa de conducción depende
    también de las propiedades de la sustancia que es
    calentada.

    La transferencia de calor por conducción es
    explicada satisfactoriamente por la Ley de Fourier:


    (16)

    Donde:

    q: velocidad de
    transferencia de calor por conducción, Cal/s

    A: área transversal a la dirección de flujo de calor,
    m2

    :
    gradiente de temperatura en la sección de flujo de calor,
    º C/m

    k: conductividad térmica del material a
    través del medio por donde se transfiere el calor,
    Cal/s.m.º C

    Cuando se desea calcular la velocidad de transferencia
    de calor por conducción a través de una placa o
    pared, se usa:


    (17)

    Donde:

    q: velocidad de transferencia de calor por
    conducción, Cal/s

    A: área transversal a la dirección de
    flujo de calor, m2

    L: espesor de la placa, m

    k: conductividad térmica del material a
    través del medio por donde se transfiere el calor,
    Cal/s.m.º C

    Tf: temperatura de la superficie caliente,
    º C

    To: temperatura de la superficie fría,
    º C

    El término L/(k.A) se conoce con el nombre de
    resistencia térmica del material.

    En el caso de transferencia de calor por
    conducción en tuberías se usa la siguiente
    expresión:


    (18)

    Donde:

    q: velocidad de transferencia de calor por
    conducción radial, Cal/s

    ro: radio externo de
    la tubería, m

    ri: radio interno de la tubería,
    m

    L: largo del tubo, m

    k: conductividad térmica del material a
    través del medio por donde se transfiere el calor,
    Cal/s.m.º C

    Tf: temperatura de la superficie caliente,
    º C

    To: temperatura de la superficie fría,
    º C

    El término In(ro/ri)/(2..k.L) es conocido
    como resistencia térmica del material constitutivo del
    tubo.

    La Tabla 4 resume las conductividades térmicas de
    algunas sustancias.

    Tabla 4. Conductividades térmicas de
    algunas sustancias.

    Sustancia

    Conductividad térmica (W/m
    ºC)

    Metales (a 25 ºC)

    Aluminio

    238

    Cobre

    397

    Oro

    314

    Hierro

    79,5

    Plomo

    34,7

    Plata

    427

    Gases (a 25 ºC)

    Aire

    0,0234

    Helio

    0,138

    Hidrógeno

    0,172

    Nitrógeno

    0,0234

    Oxígeno

    0,0238

    No metales (valores
    aproximados)

    Asbestos

    0,08

    Concreto

    0,8

    Diamante

    2.300

    Vidrio

    0,8

    Hielo

    2

    Hule

    0,2

    Agua

    0,6

    Madera

    0,08

    Por lo general, se suelen encontrar paredes compuestas
    por diferentes materiales o tubos recubiertos con una variedad de
    aislantes, en estos casos se suman las resistencias
    térmicas dependiendo de su
    configuración.

    Si las resistencias térmicas se encuentran en
    serie:


    (19)

    Si las resistencias están dispuestas en
    paralelo:

    (20)

    1.5.2 Mecanismo de transferencia de calor por
    convección

    Es probable que usted alguna vez haya calentado sus
    manos sometiéndolas sobre una flama descubierta. En esta
    situación, el aire directamente encima de la flama se
    caliente y expande. Como resultado, la densidad del aire
    disminuye y éste asciende. Esta masa de aire caliente le
    da calor a sus manos cuando fluye por ellas.

    Se afirma que la energía térmica
    transferida por el movimiento de la sustancia calentada se ha
    transferido por convección. Cuando el movimiento se
    produce por diferencia en la densidad, como en el ejemplo del
    aire alrededor del fuego, esta se conoce como convección
    natural. Cuando la sustancia calentada es obligada a moverse
    mediante un ventilador o bomba, como en algunos sistemas de
    calefacción de aire caliente y agua caliente, el proceso
    se denomina convección forzada.

    La velocidad de transferencia de calor por
    convección se calcula a través de la siguiente
    expresión:


    (21)

    Donde:

    q: velocidad de transferencia de calor por
    convección, Cal/s

    A: área transversal a la dirección de
    flujo de calor, m2

    hc: coeficiente convectivo de transferencia de calor del
    medio, Cal/s.m2.º C

    Tf: temperatura de la zona caliente, º
    C

    To: temperatura de la zona fría,
    º C

    1.5.3 Mecanismo de transferencia de calor por
    radiación

    La tercera forma de transferencia de energía
    térmica es denominada radiación. Todos los objetos
    radian energía continuamente en forma de ondas
    electromagnéticas. El tipo de radiación asociado a
    la transferencia de energía térmica de un lugar a
    otro se conoce como radiación infrarroja.

    La tasa a la cual un objeto emite energía
    radiante es proporcional a la cuarta potencia de su
    temperatura absoluta. Esto se conoce como la Ley de Stefan y se
    expresa en forma de ecuación como:


    (22)

    Donde:

    P: potencia radiada por el cuerpo, watt

     : constante igual a 5.6696 x 10-8
    W/m2.K4

    A: área superficial del objeto,
    m2

    e: emisividad del cuerpo, adimensional

    T: temperatura del cuerpo, K

    La emisividad depende de la naturaleza de
    la superficie del objeto, pudiendo variar de 0 a 1. Si se desea
    cuantificar la velocidad de transferencia de calor por
    radiación entre dos objetos, se usará:


    (23)

    Donde:

    q: velocidad de transferencia de calor por
    radiación, Btu/h

    : constante de Stefan – Boltzman igual a
    0,1714 x 10-8 Btu/Hr.Ft2.R4

    Fe: factor de emisividad, adimensional

    : factor de forma

    Th: temperatura de la zona caliente,
    R

    Tc: temperatura de la zona fría,
    R

    A: área a través de la cual se da la
    transferencia de calor, Ft2

    Figura 1. El calor puede transferirse de tres
    formas: por conducción, por convección y por
    radiación. La conducción es la transferencia de
    calor a través de un objeto sólido: es lo que hace
    que el asa de un atizador se caliente aunque sólo la punta
    esté en el fuego. La convección transfiere calor
    por el intercambio de moléculas frías y calientes:
    es la causa de que el agua de una
    tetera se caliente uniformemente aunque sólo su parte
    inferior esté en contacto con la llama. La
    radiación es la transferencia de calor por
    radiación electromagnética (generalmente
    infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego
    calienta la habitación.

    1.6 Calor
    latente y calor sensible

    El cambio de temperatura de una sustancia conlleva una
    serie de cambios físicos. Casi todas las sustancias
    aumentan de volumen al calentarse y se contraen al enfriarse. El
    comportamiento del agua entre 0 y 4 ° C constituye una
    importante excepción a esta regla. Se denomina fase de una
    sustancia a su estado, que
    puede ser sólido, líquido o gaseoso. Los cambios de
    fase en sustancias puras tienen lugar a temperaturas y presiones
    definidas.

    El paso de sólido a gas se denomina
    sublimación, de sólido a líquido
    fusión, y de líquido a vapor vaporización.
    Si la presión es constante, estos procesos tienen lugar a
    una temperatura constante. La cantidad de calor necesaria para
    producir un cambio de fase se llama calor latente; existen
    calores latentes de sublimación, fusión y
    vaporización.

    Si se hierve agua en un recipiente abierto a la
    presión de 1 atmósfera, la temperatura no aumenta
    por encima de los 100 °C por mucho calor que se suministre.
    El calor que se absorbe sin cambiar la temperatura del agua es el
    calor latente; no se pierde, sino que se emplea en transformar el
    agua en vapor y se almacena como energía en el
    vapor.

    Cuando el vapor se condensa para formar agua, esta
    energía vuelve a liberarse. Del mismo modo, si se calienta
    una mezcla de hielo y agua, su temperatura no cambia hasta que se
    funde todo el hielo. El calor latente absorbido se emplea para
    vencer las fuerzas que mantienen unidas las partículas de
    hielo, y se almacena como energía en el agua. Para fundir
    1 kg de hielo se necesitan 19.000 julios, y para convertir 1 kg
    de agua en vapor a 100 °C, hacen falta 129.000
    julios.

    1.6.1 Calor de vaporización

    Es la cantidad de calor que es suministrado a una
    sustancia para llevarlo de estado líquido a estado gaseoso
    sin incremento de temperatura. Se calcula a través de la
    siguiente expresión:


    (24)

    Donde:

    Q: calor de evaporación, Cal

    m: masa de la sustancia que se evapora, Kg

    e: calor de evaporación de la
    sustancia, Cal/Kg

    1.6.2 Calor de fusión

    Es la cantidad de calor que es suministrado a una
    sustancia para llevarla de estado sólido al líquido
    sin incrementar su temperatura. Se calcula a través de la
    siguiente expresión:


    (25)

    Donde:

    Q: calor de fusión, Cal

    m: masa de la sustancia que se fusiona, Kg

    f: calor de fusión de la
    sustancia, Cal/Kg

    1.6.3 Calor de combustión

    Es la cantidad de calor desprendida en la
    combustión completa de un mol de sustancia.

    La Tabla 5 resume los calores de fusión y
    evaporación de algunas sustancias. La Tabla 6 muestra los
    calores específicos de algunas sustancias a 25 º C y
    a presión atmosférica.

    Partes: 1, 2

    Página siguiente 

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter