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Teoría básica y problemas propuestos de Cinemática y Dinámica

Enviado por George Castle



Partes: 1, 2

  1. Objetivo
  2. Contenidos- Conocimientos previos
  3. Desarrollo teórico
  4. Problemas propuestos con respuestas
  5. Preguntas de razonamiento
  6. Problemas propuestos sin respuestas
  7. Bibliografía recomendada

INTRODUCCIÓN

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes tales como los de momentum, fuerza y energía. Si el momentum, la fuerza, y la energía se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes.

La mecánica, es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la cinemática, que estudia el movimiento sin tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la dinámica, que a diferencia de la cinemática, fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del movimiento propuestas por Newton.

En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los movimientos clásicos que se asocian a la cinemática: movimiento rectilíneo acelerado y no acelerado, movimiento curvilíneo, movimiento parabólico y caída libre. Se presentará los conceptos de aceleración tangencial, aceleración radial y radio de curvatura; todos ellos de manifiesto en los movimientos circulares. Un apartado será dedicado a la cinemática vectorial; aquí, el álgebra con vectores se empleará en la caracterización de los movimientos. Se expondrá las leyes del movimiento de Newton, y la manera como éstas se aplican al análisis de una amplia variedad de movimientos. En determinadas situaciones se incluirá en el análisis, fuerzas de rozamiento, en sus dos variantes: fuerzas de rozamiento estático y fuerza de rozamiento dinámico. Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes.

OBJETIVO GENERAL

Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de cinemática y dinámica en la resolución de problemas prácticos que involucren movimientos tanto en el plano como en el espacio.

CONTENIDOS

  1. Movimiento uniforme acelerado y no acelerado.
  2. Características cinemáticas de cuerpos en caída libre.
  3. Características cinemáticas de cuerpos en movimiento parabólico.
  4. Características cinemáticas de cuerpos en movimiento circular.
  5. Leyes del movimiento de Newton.
  6. Fuerzas de rozamiento: estático y dinámico.
  7. Cinemática vectorial: vector posición, vector velocidad y vector aceleración.
  8. Cinemática vectorial: radio de curvatura en movimientos circulares.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

  1. Multiplicación de vectores: escalar y vectorial.
  2. Álgebra matricial: matriz adjunta y teorema del cofactor.
  3. Cálculo infinitesimal: límite y derivación de funciones matemáticas.
  4. Cálculo integral: integrales definidas con límites de integración.
  5. Trigonometría plana.
  6. Descomposición rectangular de vectores: Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

DESARROLLO TEÓRICO

1.1 Diferencia entre cinemática y dinámica.

La cinemática, es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en función del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su parte, la dinámica es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y el tiempo, considerando los agentes presentes que lo producen.

En cinemática es de gran importancia definir un referencial, el cual es un marco de referencia, cuya característica principal es la de no estar acelerado. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial.

1.2 Velocidad y aceleración: ecuaciones básicas.

La velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo t, está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo (Figura 1).

(1)

Donde:

: Velocidad media del móvil, m/s

: Magnitud del desplazamiento del móvil, m

Intervalo de tiempo, s

Como el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

Figura 1. Una partícula que se mueve en el plano x-y se localiza a través del vector posición dibujado desde el origen del sistema referencial inercial. El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en el intervalo = tf - ti, es igual al vector = .

Un concepto derivado de la velocidad media, es la velocidad instantánea, la cual se define como el límite de la velocidad promedio, , conforme tiende a cero.

(2)

La velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respecto del tiempo. La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la partícula está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección del movimiento. A la magnitud del vector de velocidad instantánea recibe el nombre de "rapidez".

La velocidad media al igual que la velocidad instantánea se expresa m/s en el sistema internacional; Ft/s en el sistema británico (se lee pies por segundo), y cm/s en el sistema c.g.s.

Dado que la velocidad de un móvil puede variar en el tiempo, nació un concepto denominado aceleración, la cual se define como la razón de cambio del vector velocidad, , en un tiempo transcurrido .

(3)

Donde:

Vf: velocidad final del movimiento, m/s

Vi: velocidad inicial del movimiento, m/s

tf – ti: intervalo de tiempo trascurrido para que el móvil pase de Vi a Vf.

Puesto que la aceleración promedio es la razón entre una cantidad vectorial, , y una cantidad escalar, , se concluye que, , es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

Un concepto derivado de la aceleración promedio, es la aceleración instantánea, la cual se define como el valor límite de la razón , cuando, , tiende a cero.

(4)

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la razón de cambio del vector velocidad respecto al tiempo.

Es importante tener en cuenta tres situaciones donde un móvil tiene una aceleración asociada: cuando la magnitud del vector (la rapidez) cambia con el tiempo; como en un movimiento acelerado en línea recta; cuando sólo la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo sin que su magnitud varíe, como en un movimiento curvilíneo; y por último, cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad se modifican continuamente.

La aceleración media, así como la aceleración instantánea se expresan en m/s2 en el sistema internacional, en Ft/s2 en el sistema británico (se lee pies por segundo cuadrado), y cm/s2 en el sistema c.g.s.

El hecho de que un cuerpo se desplace con una aceleración de 15 m/s2, implica que cada segundo su velocidad aumenta 15 m/s. También pudiese darse el caso de que un móvil ostente una aceleración negativa, por ejemplo de – 8 m/s2, lo cual indica que cada segundo su velocidad decae 8 m/s. Por último, si un móvil tiene una aceleración igual a cero, puede inferirse que: posee una velocidad constante, o se encuentra en reposo.

1.3 Movimiento rectilíneo uniforme.

Haciendo uso del cálculo integral, se deducirán las ecuaciones cinemáticas que gobiernan el movimiento unidimensional (significa que se da a lo largo de una línea recta).

Como la aceleración de un móvil está dada por: despejando dv, queda…

dv = a.dt la cual por integración, resulta...

(5)

Asumiendo que la aceleración es constante a lo largo del tiempo (movimiento con aceleración constante), nos queda:

v = a.t + C1 (6)

Donde:

a: aceleración del móvil, m/s2

t: tiempo, s

C1: constante de integración,m/s

El valor C1 depende de las condiciones iniciales del movimiento. Si se toma v = v0 cuando t = t0 y sustituimos estos valores en la ecuación 6, se tendrá…

v = a [0] + C1 despejando C1…

C1 = v0 (7)

Por tanto, se obtiene la primera ecuación cinemática (Ecuación 8), la cual relaciona la velocidad del móvil con su aceleración.

v = vo + a.t (8)

Ahora considerando la ecuación que define la velocidad instantánea: y despejando dx, nos queda:

dx = v.dt (9)

Integrando la Ecuación 9, resulta…

(10)

No obstante, dado que según la Ecuación 8: v = v0 + a.t, nos queda…

integrando…

(11)

Donde:

x: distancia recorrida, m

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

t: tiempo, s

a: aceleración del móvil, m/s2

C2: constante de integración, m

Para encontrar C2, se toma en cuenta la siguiente condición inicial x = x0, cuando t = 0. Esto produce C2 = x0. En consecuencia, se obtiene:

(12)

La Ecuación 12 relaciona: la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración del móvil con la distancia por él recorrida.

Figura 2. Gráfica velocidad – tiempo. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante, a. La aceleración matemáticamente equivale a la pendiente de la gráfica superior, el punto de corte con el eje de velocidades, es la velocidad inicial del móvil.

La Figura 2, revela que la aceleración puede calcularse aplicando la definición de pendiente, o sea:

(13)

Cuando el movimiento es unidimensional, la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo es calculada como la media aritmética de la velocidad inicial, v0, y la velocidad final, v.

(14)

Donde:

: velocidad media del móvil, m/s

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

v: velocidad inicial del móvil en cualquier tiempo t, m/s

Según la Ecuación 8, v = v0 + a.t; despejamos t…

(15)

Dado que la Ecuación 12 establece que:; se introduce la Ecuación 15 en la Ecuación 12…

desarrollando, queda…

(16)

Donde:

v: velocidad final del móvil, m/s

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

a: aceleración del móvil, m/s2

x – xo: distancia que recorre el móvil al pasar de vo a vf, m

Esta última fórmula establece la velocidad como una función del desplazamiento.

1.4 Lanzamiento horizontal: ecuaciones asociadas.

En éste tipo de lanzamiento el cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de dos movimientos:

  • Uno horizontal, con velocidad constante.
  • Otro vertical, el cual es uniformemente acelerado.

Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independiente uno del otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que lo llevaron a enunciar su "Principio de la independencia de los movimientos".

Figura 3. En este caso el disparo se hace desde una altura "Y" como lo indica la figura con una velocidad inicial , al iniciar su caída estará sometido el proyectil a la acción de dos movimientos: uno horizontal con velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado hacia abajo debido a la fuerza de gravedad.

En este movimiento, la componente horizontal de la velocidad es de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual a, .

= (17)

La componente vertical de la velocidad, , en un instante de tiempo cualquiera viene dada por:

= .t (18)

Donde:

vy: velocidad vertical del móvil, m/s

: constante de gravedad = 9,81 m/s2.

t: tiempo recorrido, s

Aplicando el Teorema de Pitágoras, es posible determinar el módulo del vector velocidad en cualquier instante, pues las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, en todo momento.

(19)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad del móvil, m/s

vy: componente vertical de la velocidad del móvil, m/s

La dirección del vector velocidad queda definida por la función tangente del ángulo .

(20)

La ecuación de posición horizontal es la misma del movimiento rectilíneo no acelerado, puesto que la rapidez en este sentido es constante, escribiéndose como:

x = v0.t (21)

La posición vertical se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre;

(22)

Donde:

y: distancia vertical que el móvil se ha desplazado, m

: constante de gravedad = 9,81 m/s2.

t: tiempo recorrido, s

El signo negativo en la Ecuación 22, se debe al vector gravedad, el cual esta dirigido verticalmente hacia el centro de la Tierra.

El desplazamiento total se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras, pues el desplazamiento vertical y horizontal son ortogonales entre si.

(23)

Donde:

x: componente horizontal del desplazamiento, m

y: componente vertical del desplazamiento, m

La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente.

(24)

Un término ampliamente usado en movimientos que se dan bajo un campo gravitatorio, es el tiempo de vuelo, el cual es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo. Al tocar el suelo el móvil ha recorrido todo la distancia vertical "Y" (Figura 3), pudiéndose escribir de acuerdo a la Ecuación 22:

despejando tv…

(25)

El alcance horizontal, es el desplazamiento total horizontal que el móvil posee al cumplirse el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal es la misma del desplazamiento horizontal, pero con t = tv

R = v0. tv(26)

A continuación se demuestra que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para cierto tiempo "t" viene dado por:

x = v0 . t despejando " t " nos queda…

(27)

Por otra parte el desplazamiento vertical al mismo tiempo "t" esta dada por la Ecuación 22…; como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir "t" de la Ecuación 27 en "t" de la Ecuación 22, quedando…

(28)

Como v0 (velocidad inicial) y g (aceleración de gravedad) son constantes se tendrá que:

y = k.x2 (29)

En donde (término constante)

Como puede notarse, la Ecuación 29 corresponde a la ecuación de una parábola, con lo que se concluye que la trayectoria del movimiento es esencialmente parabólica.

1.5 Lanzamiento inclinado: ecuaciones asociadas.

Al igual que el lanzamiento horizontal, el proyectil estará sometido a la acción de dos movimientos (Figura 4):

  • Uno horizontal con velocidad constante, es decir, la componente horizontal de la aceleración es cero.
  • Otro vertical con aceleración constante, dirigida hacia abajo.

Figura 4. Al lanzarse un proyectil inclinados un ángulo , con una velocidad inicial "vo", se produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos independientes: uno horizontal no acelerado, y otro influido por la fuerza de gravedad, precisamente éste último ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea parabólica.

Cuando el proyectil ocupa la posición P de la Figura 4, un instante "t" después de haber sido lanzado, la velocidad,, tendrá una componente horizontal,, y otra vertical,. La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y está dada por:

(30)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad, m/s

vox: componente horizontal de la velocidad inicial, m/s

: ángulo de disparo, grados

La magnitud de la componente vertical de la velocidad en cualquier instante está dada por:

(31)

Donde:

vy: componente vertical de la velocidad, m/s

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

t: tiempo, s

Dado que las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada por:

(32)

El ángulo que el vector velocidad total forma con el eje horizontal permite definir la dirección del referido vector:

(33)

El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal (x) viene dado por:

(34)

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante, , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de desplazamiento vertical, queda definida por:

(35)

El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima [ymáx], es denominado tiempo máximo. Observando la Figura 4, puede notarse que, a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a lo largo del eje y [ ] hasta hacerse cero en el vértice de la parábola descrita.

Según la Ecuación 31 y sabiendo que la velocidad vertical en el punto de máxima altura es cero.

despejando tmáx…

(36)

Por otra parte, la altura máxima la obtenemos haciendo t = tmáx en la Ecuación 35, quedandonos…

ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación 36…

Nos queda desarrollando...

(37)

Donde:

ymáx: máxima altura que alcanza el proyectil, m

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que el proyectil vaya desde A hasta B (refiérase a la Figura 4).

(38)

Las fórmulas desarrolladas tanto para el lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto resistivo del aire, la curvatura de la superficie terrestre, ni la variación gravitacional.

1.6 Movimiento circular: ecuaciones asociadas.

Ante de iniciar este apartado, se debe hablar del desplazamiento angular; el cual se refiere a los grados, vueltas, revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo largo de la trayectoria circunferencial. Una revolución es equivalente a 360º ó 2 radianes.

Cuando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se refiere a la variación del desplazamiento angular que experimenta por unidad de tiempo. Se expresa en radianes/s o bien, grados/s, revolución/s, o revolución/min [conocida como RPM]. Si un cuerpo se desplaza un ángulo "" radianes en un tiempo de "t" segundos, su velocidad angular media [rad/s] se define por la relación:

(39)

Donde;

: velocidad angular promedia, rad/s

: desplazamiento angular, radianes

t: tiempo, s

La frecuencia angular, expresa el número de radianes que el cuerpo se desplaza en un segundo. La unidad de la frecuencia en el Sistema Internacional de unidades es el Hertz o s-1.

(40)

La aceleración angular [] de un cuerpo en movimiento de rotación en torno a un eje es la variación que experimenta su velocidad angular en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo cuadrado. Si la velocidad angular de un cuerpo varía de "wo" a "wt" en rad/s en "t" segundos, resulta:

(41)

Donde:

aceleración angular, rad/s2

t: velocidad angular final, rad/s

o: velocidad angular inicial, rad/s

t: tiempo, s

Las relaciones entre las magnitudes lineales y angulares en el movimiento circular son:

S = .R (42)

Donde:

desplazamiento angular, rad

R: radio de la circunferencia trazada, m

S: arco de circunferencia, m

v = w . R (43)

Donde:

v velocidad tangencial, m/s

R: radio de la circunferencia trazada, m

: velocidad angular, rad/s

a = . R (44)

Donde:

a aceleración tangencial, m/s2

R: radio de la circunferencia trazada, m

: aceleración angular, rad/s2

Las ecuaciones del movimiento de rotación uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento lineal. Sean vo y wo las velocidades iniciales lineal y angular, respectivamente y, vt y wt las correspondientes finales. En estas condiciones:

wt = wo + t (45)

s = wot + 1/2 t2 (46)

wt2 = wo2 + 2. (47)

Figura 5. Partícula que se traslada a lo largo de una trayectoria circular.

Cuando un cuerpo está dotado de un movimiento de rotación uniforme, aunque el módulo de la velocidad es constante, la dirección varía constantemente. Como la velocidad es una magnitud vectorial y, por tanto, además de módulo posee dirección y sentido, resulta evidente que en cualquier movimiento de rotación uniforme existe una aceleración provocada por el cambio continuo de dirección, dicha aceleración es conocida como aceleración normal, central o radial (Figura 5). La dirección del vector aceleración es perpendicular a la dirección de la velocidad y su sentido es hacia el centro de la circunferencia (si no fuera así, habría una componente de aceleración en la dirección de la velocidad y el módulo de la velocidad no se mantendría constante).

El módulo de esta aceleración central aN que se denomina aceleración centrípeta (también denominada: normal, radial o central) es:

(48)

Donde:

an aceleración centrípeta, m/s2

v: velocidad tangencial, m/s

R: Radio de curvatura, m

Otras expresiones equivalentes, a la Ecuación 48, son:

(49)

(50)

Donde:

f frecuencia angular, Hertz

: velocidad angular, rad/s

R: Radio de curvatura, m

La Figura 5 muestra que conforme la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria circular curva la dirección del vector aceleración total, , cambia de un punto a otro. Este vector puede descomponerse en dos componentes ortogonales; un vector componente radial, , [el cual se explicó con detalle anteriormente], y un vector componente tangencial, . Es decir, el vector aceleración total puede escribirse como la suma vectorial de estos vectores componentes:

(51)

La aceleración tangencial proviene del cambio en la velocidad de la partícula. Su dirección es la misma del vector velocidad lineal, y se define como:

(52)

O sea, la aceleración tangencial es equivalente a la razón de cambio del vector velocidad tangencial. De la Ecuación 48 y Ecuación 52, se infiere que un móvil que describa un trayectoria circular siempre poseerá una aceleración asociada, inclusive si la velocidad tangencial fuese constante.

1.7 Cantidad de movimiento y las leyes de Newton del movimiento.

En el campo de la ingeniería, cantidad de movimiento se vincula con momento lineal. La cantidad de movimiento, se define como el producto de la masa de una partícula y su velocidad.

El momento lineal es una cantidad vectorial, pues es igual al producto de una unidad escalar: masa, y un vector, (velocidad). Su dirección está a lo largo de, , y tiene por dimensión kg.m/s en el Sistema Internacional.

Si una partícula se mueve en una dirección arbitraria, el momento lineal tendrá tres componentes a lo largo de los ejes x, y, z.

(53)

(54)

(55)

Con la segunda Ley del movimiento de Newton (las cuales se explicarán más adelante) se puede relacionar el momento lineal de una partícula con la fuerza resultante que actúa sobre ella: "la tasa de cambio en el tiempo del momento lineal de una partícula es igual a la fuerza resultante que actúa sobre la partícula." Es decir:

(56)

Una de las leyes más importantes de la mecánica, la constituye "La ley de conservación del momento lineal", la cual establece:

"El momento total de un sistema aislado es igual en todo momento a su momento inicial"

La ley de conservación del momento lineal, tiene un sin número de aplicaciones, siendo una de la más conocida el estudio de las colisiones (en el ámbito físico engloba, los choques elásticos e inelásticos).

En los párrafos anteriores se hizo mención a las leyes del movimiento de Newton, éstas son los pilares de la dinámica, pues a partir de ellas se generan las ecuaciones dinámicas del movimiento de cualquier sistema. A continuación se presentan dichas leyes:

Principio de inercia

"Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que actúe sobre él una fuerza resultante no nula. Dicho en otras palabras: para que un cuerpo posea una aceleración debe actuar sobre él una fuerza no equilibrada"

Principio de la fuerza

"Una fuerza no equilibrada aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración, de la misma dirección y sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa, m, del cuerpo"

Principio de acción y reacción

"A toda fuerza [acción] se le opone otra [reacción] igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce una acción sobre otro, este último ejerce también una acción, del mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario, sobre el primero. Estas dos fuerzas, aunque opuesta, no se equilibran mutuamente, ya que no están aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las fuerzas de acción y reacción siempre están aplicadas a cuerpos distintos"

1.8 Estrategia a seguir en la resolución de problemas usando las leyes de Newton.

El siguiente procedimiento se recomienda para abordar problemas que requieren la aplicación de las leyes de Newton (dinámica):

  • Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.
  • Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto, es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Para sistemas que contienen más de un objeto, dibuje diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre sus alrededores.
  • Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. Aplique la segunda Ley de Newton, F = m.a, en la forma de componentes. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos los términos tengan unidades de fuerza.
  • Resuelva las ecuaciones de componentes para las incógnitas. Recuerde que se deben tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para poder obtener una solución completa.
  • Verifique las predicciones de sus soluciones para valores extremos de las variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resultados.

1.9 Fuerza de fricción.

La fuerza de fricción, es una fuerza tangencial que actúa en la superficie de contacto entre dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con respecto al otro. Las fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies que están en contacto.

La fuerza de fricción se calcula:

(57)

De la ecuación 57 se desprende que la fuerza de fricción es igual al coeficiente de rozamiento entre las superficies involucradas multiplicada por el módulo del vector normal. El coeficiente de rozamiento es un parámetro adimensional que depende de la naturaleza de los materiales que friccionan entre si. El coeficiente de fricción toma valores que se encuentran acotados entre cero (superficie perfectamente rugosa) y uno (superficies perfectamente lisa).

Existen dos tipos de fuerzas de fricción:

Fuerza de rozamiento cinético: es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando una de ellas se desplaza sobre, y con respecto de, la otra.

Fuerza de rozamiento estático: es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando no existe movimiento relativo entre ellas. La fuerza tangencial entre dos superficies inmediatamente antes de que una de ellas comience a desplazarse sobre la otra recibe el nombre de "fuerza máxima de rozamiento estático".

1.10 Análisis cinemático – vectorial del movimiento.

Conocido el vector posición del móvil:

(58)

Para obtener el vector velocidad, se deriva con respecto al tiempo el vector posición:

(59)

El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad respecto del tiempo:

(60)

El vector aceleración posee dos componentes ortogonales entre si; la aceleración tangencial y la aceleración normal:

(61)

O sea, el módulo del vector aceleración normal, es equivalente al módulo del vector velocidad elevado al cuadrado sobre el radio de curvatura en un tiempo "t".

Otra manera de calcular la aceleración normal es:

(62)

O sea, el vector aceleración normal es igual al producto vectorial del vector aceleración y el vector velocidad dividido entre el modulo del vector velocidad.

La aceleración tangencial, siempre será un vector tangente a la trayectoria descrita por la partícula y se cuantifica por medio de:

(63)

O sea, la aceleración tangencial es igual al producto escalar del vector aceleración y el vector velocidad dividido entre el modulo del vector velocidad

La aceleración normal y tangencial se relaciona por medio del Teorema de Pitágoras, pues son de naturaleza vectorial:

(64)

El radio de curvatura, el cual es la distancia que existe desde el móvil hasta el centro instantáneo de rotación se calcula de la siguiente manera:

(65)

Cuando el vector posición no es una función del tiempo, sino una función de otra función la cual a subes es una función del tiempo se usa la Regla de la Cadena para resolver las ecuaciones cinemáticas.

1.11 Nociones del movimiento relativo.

Un movimiento relativo, es el cambio de posición que experimenta un móvil respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo.

En la Figura 6 se muestran dos sistemas de referencia, S y S’, que poseen un movimiento relativo de traslación uniforme. Se trata de describir desde ambos sistemas el movimiento de un punto P que se desplaza hasta P’.

Figura 6. Partícula que se traslada a lo largo de una trayectoria arbitraria y cuyo movimiento está siendo descrito con relación a dos sistemas de referencias con ejes paralelos.

Sea rPO el vector de posición del punto P respecto al origen del sistema S; rPO’ el vector de posición de este mismo punto respecto al origen del sistema S’; rP’O el vector de posición del punto en P’ respecto al origen O; rP’O’ el vector de posición de ese mismo punto respecto al origen O’, y rO’O el vector de posición de O’ respecto a O. La relación que existe entre estos vectores, tal y como se observa en la figura es:

rO’O + rPO’ = rPO (66)

rO’O + rP’O’ = rP’O (67)

Por tanto;

rPO’ – rP’O’ = rPO – rP’O = r (68)

De acuerdo a la Ecuación 68, el vector desplazamiento respecto al sistema de referencia S es el mismo que el vector desplazamiento respecto al sistema de referencia S’.

La relación entre la velocidad del punto respecto al sistema S’, vPO’, la velocidad del punto respecto del sistema S, vPO, y la velocidad relativa de ambos sistemas, vOO’, es:

vPO’ = vPO – vOO’ (69)

Como vOO’ es constante, si se deriva la expresión anterior se obtiene:

aPO’ = aPO (70)

La aceleración del punto es la misma en los dos sistemas de referencia. Esto es lo que se conoce como principio de relatividad de Galileo, según el cual todo sistema de referencia que se mueva con velocidad constante es equivalente a cualquier otro cuando se estudian las variaciones que tienen lugar en el movimiento de un cuerpo.

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