Indice
1.
Introducción
2. Tensiones Combinadas En Estado Mas
General
3. Transformaciones de
esfuerzos
4. Determinación de las tensiones
en un plano de orientación arbitraria.
5. Ejes principales y esfuerzos
principales
6. Diagrama circular del estado
tensional
7. Bibliografía
El estado
más general de esfuerzo en un punto puede representarse
por seis componente; el mismo estado de
esfuerzo se representará mediante un conjunto diferente de
componentes si se rotan los ejes.
Se estudiará un estado de esfuerzo tridimensional en un
punto dado y se desarrollará ecuaciones
para el cálculo
del esfuerzo en un plano de orientación arbitraria en ese
punto, se analizarán las rotaciones de un elemento
cúbico con respecto a cada uno de los ejes principales de
esfuerzo y se observará que las transformaciones de
esfuerzos pueden describirse mediante tres círculos de
Mohr diferentes. Se observará que en el caso de un estado
de esfuerzo plano en un punto dado, el máximo valor del
esfuerzo cortante, obtenido antes considerando rotaciones en el
plano de esfuerzo, no representan necesariamente el máximo
esfuerzo cortante en ese punto.
También se verá varios criterios de fluencia para
materiales
dúctiles bajo esfuerzo, como una aplicación de los
esfuerzos tensionales tridimensionales, para predecir si un
material fluirá en algún punto crítico. Dos
criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a
cortante y el criterio de la máxima energía de
distorsión. Los dos criterios que se analizarán
son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de
Mohr.
2. Tensiones Combinadas En
Estado Mas General
Resultantes De Las Fuerzas Internas
En cualquier situación en que un cuerpo real se utiliza
como un estructuras,
se transmitirán fuerzas a través del cuerpo de
acuerdo con los principios de la
transmisión de fuerzas analizados en estática.
En la mecánica de los cuerpos deformables estamos
interesados en la distribuciones de las fuerzas internas asociada
con la transmisión de una fuerza, con el
fin de determinar si la resistencia del
cuerpo es suficiente para soportar esas distribuciones de
fuerza
interna.
FUERZAS INTERNAS: fuerzas invisibles que actúan en el
interior del cuerpo, aparecen en conexión con la capacidad
del cuerpo para resistir cambios de tamaño o forma; si el
cuerpo entero se halla en equilibrio
bajo la acción de las fuerzas externas, incluyendo las
reacciones, cualquier parte del cuerpo obtenida pr seccionado del
cuerpo debe estar también en equilibrio.
Este requisito de equilibrio para la parte considerada nos
permite determinar la fuerza y el momento resultantes que
actúan sobre la superficie interna expuesta por la
sección, estas, se pueden determinar sólo dibujando
un diagrama de
cuerpo libre de la parte considerada y exigiendo que se satisfaga
el equilibrio. La distribución precisa de las fuerzas
internas no se pueden conocer sin información adicional.
Esfuerzo; Distribución De La Fuerzas Internas
El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable
para formular y resolver problemas de
la mecánica de los cuerpos deformables.
Para evaluar la resistencia de una estructura, es
necesario considerar al esfuerzo de una manera más general
que simplemente como una presión
normal. El esfuerzo se define en un punto sobre una superficie;
puede estar localizado sobre la superficie exterior o frontera
(contorno) de un cuerpo deformable.
El esfuerzo normal sobre el plano tiene por dimensiones
F/L2; pudiendo ser positiva, indicando una
tensión o negativa, indicando una compresión.
Es común representar los esfuerzos por medio de flechas
sobre un croquis; sin embargo, debe recordarse que lo que se
está representando es, en realidad, una fuerza
D F asociada con el
esfuerzo que actúa sobre el área D A en consideración, y que
las componentes de esfuerzo se deben multiplicar por un
área apropiada antes de incluirse en las ecuaciones de
equilibrio como fuerzas del diagrama de
cuerpo libre.
Los primeros pasos al formular un problema de mecánica de
sólidos es definir un sistema de ejes
coordenados para describir posiciones, desplazamientos y fuerzas.
Los esfuerzos también se deben referir a un sistema de
coordenadas, a menudo un sistema cartesiano rectangular
dextrógiro.
La tercera Ley de Newton
aplicada a esfuerzos señala que cuando la normal a la cara
tiene la dirección x negativa, los esfuerzos
cortante positivos t
xy y t xz tienen las direcciones y y z
negativas respectivamente
Esfuerzos en condiciones generales de carga. componentes del
esfuerzo
La mayor parte de los elementos estructurales y elementos de
máquinas están en condiciones de
carga más complejas que elementos bajo carga axial o
conexiones con carga transversal.
Consideremos un cuerpo sometido a varias cargas P1, P2, etc; en
cual se hará un seccionamiento que ponga de manifiesto las
distribuciones de las fuerzas internas que son
estáticamente equivalentes a la fuerza y el momento
resultantes F y M; la porción a la izquierda del corte
está sometida a algunas de las cargas originales y a
fuerzas normales y cortantes distribuidas en la sección.
Consideremos un punto sobre la superficie; D Fx y
D Vx son las
fuerzas normales y cortantes que actúan en una
pequeña área D A; D Fx tiene una dirección definida, D Vx tiene cualquier
dirección en el plano de la sección. Se
descompondrá en dos componentes D Vxy,
D
Vxz en direcciones paralelas a los
ejes y y z. Dividiendo por el área D A y haciendo que tienda a cero,
se definen tres componentes de esfuerzo:
s
x=limD A®
0(D Fx/D A)
t xy=limD A®
0(D Vxy/D A)
t xz =limD
A® 0(D Vxz
/D A)
donde, el primer subíndice indica que los
esfuerzos se ejercen sobre una superficie perpendicular al eje;
el segundo subíndice identifica la dirección de la
componente. el esfuerzo normal es positivo si la flecha
correspondiente apunta en la dirección positiva del eje;
análogamente t
xy y t xz son positivas si las flechas
correspondiente aparecen en las direcciones positivas, y y z. El
análisis anterior, se puede hacer en la
porción del cuerpo a la derecha del plano vertical; donde
se tendrá las mismas magnitudes pero con direcciones
opuestas; haciendo un corte paralelo al plano xz, se define las
componentes del esfuerzo s y, t yx y t yx, finalmente, un corte
paralelo al plano xy, da lugar a las componentes
s z,
t zx
y t
zx. Para facilitar la visualización del
estado de esfuerzo, se considerará un pequeño cubo
de arista a, centrado y un punto, y los esfuerzos ejercidos sobre
cada una de sus seis caras; nótese que sólo tres
caras son visibles y que iguales componentes de esfuerzo de signo
contrario actúan sobre las caras ocultas.Los esfuerzos en
las caras son ligeramente diferentes de los ejercidos sobre el
punto señalado, el error involucrado es pequeño y
desaparece cuando el lado a del cubo tiende a cero; a su vez para
el plano de seccionamiento considerado inicialmente, el esfuerzo
normal y el esfuerzo cortante serán en general diferentes
en cada punto.
Deduciendo ahora relaciones importantes entre las componentes de
esfuerzo cortante. Con ejes coordenados centrados en el punto, se
escriben las seis ecuaciones de equilibrio.
S
Fx=0 S Fy=0 S Fz=0
S
Mx=0 S My=0 S Mz=0
De donde se deduce que fuerzas iguales y opuestas a las
mostradas actúan en las caras ocultas del cubo, para que
se satisfaga las 3 primeras ecuaciones. Ahora considerando la
última de las ecuaciones S Mz=0 y usando la proyección
en el plano xy, se notará que las únicas fuerzas
con momentos respecto al eje z, diferentes de cero, son las
fuerzas cortantes, entonces:
(t
xy D
A)a – (t
yx D
A)a = 0
obteniéndose: t
xy = t yx
De las restantes ecuaciones
obtendremos de la misma forma:
t yz = t
zy t zx = t
xz
concluyéndose, que sólo seis
componentes de esfuerzo se requieres para definir el estado de
esfuerzo en un punto, en lugar de nueve como se supuso
inicialmente. Estas son: s x, s y, s z, t xy, t yz, t zx. Cada esfuerzo en el
conjunto de esfuerzos anotados anteriormente, suelen llamarse
componente de esfuerzo; donde el conjunto de 9 esfuerzos se llama
tensor de esfuerzo; el llamado carácter
tensorial del esfuerzo se refleja en la manera en que éste
se comporta bajo una transformación de coordenadas;
después de analizar el estado
general de esfuerzos, se llega a que existe una simetría
del tensor de esfuerzo, cuyo sentido práctico es que, en
cualquier punto, los esfuerzos cortantes sobre dos planos
perpendiculares cualesquiera deben ser numéricamente
iguales. Notándose que en un punto dado, el cortante no
puede tener lugar solamente en un plano; un esfuerzo cortante
igual debe ocurrir en otro plano perpendicular al primero.
Después de este análisis de correspondencia de esfuerzos,
se observará que las mismas condiciones de carga pueden
ocurrir a interpretaciones diferentes de la condición de
esfuerzo en un punto dado, dependiendo de la orientación
del elemento considerado.
3. Transformaciones de
esfuerzos
En un cuerpo sometido a fuerzas, se considerará
dos secciones planas diferentes que contengan a un mismo punto y
para las cuales las normales sean n y n`; se verá que los
dos conjuntos de
esfuerzos serán en general diferentes, esta diferencia
constituye la ida subyacente de lo que se llama
transformación de esfuerzos. para entender esto debemos
preguntarnos cómo dependen los esfuerzos de la
orientación del plano que pasa por un mismo punto en
común; se usará el concepto de
equilibrio para desarrollar las relaciones entre los esfuerzos
que actúan en plano diferentes que pasan por el punto
sitado.
El análisis del estado tensional en un punto se comienza
con la determinación de las tensiones en las caras del
elemento escogido alrededor del punto. la orientación de
los planos ortogonales deben ser elegidas de tal modo que las
tensiones aparecidas en estas sean lo más fácil
posible de calcularlos.
El estado de esfuerzo en un punto consiste generalmente en las
seis componentes de esfuerzo, el tensor de esfuerzos. Sin
embargo, hay muchas aplicaciones en las cuales la geometría
del cuerpo y la manera como éste está cargado son
tales que el estado de esfuerzo es esencialmente bidimensional.
Tal estado se asocia a menudo con una placa plana delgada cargada
en su plano, con dirección z normal al plano de la
placa.
En el esfuerzo "plano", se ha supuesto que: s z=t zx=t zy, y se ha
considerado solo transformaciones de esfuerzo asociadas con una
rotación alrededor del eje z; ahora se considerará
el estado de esfuerzo general y la transformación de
esfuerzos asociada con la rotación de los 3
ejes.
4. Determinación
de las tensiones en un plano de orientación
arbitraria.
Separemos del cuerpo tensionado, un volumen
elemental, un tetraedro de manera que tres de sus caras coincidan
con los planos del sistema de coordenadas, y la cuarta
está formada por un plano de orientación
arbitraria. Sean l, m y n los cosenos directores de la normal del
plano inclinado.
Las componentes del vector de la tensión en el plano
normal son x, y y z; A es el área del triángulo
ABC, proyectando todas las fuerzas que actúan sobre el
elemento, sobre los ejes coordenados resulta:
xA = s
xlA + t yxmA + t zxnA
yA = t
xylA + s ymA + t zynA
zA = t
xzlA + t yzmA + s znA
donde:
x = s
xl + t yxm + t zxn
y = t
xyl + s ym + t zyn
z = t
xzl + t yzm + s zn
en su forma matricial,
x s
x t
yx t
zx l
y = t
xy s
y t
zym
z t
xz t
yz s
zn
5. Ejes principales y
esfuerzos principales
ESFUERZOS PRINCIPALES: Las estructuras
reales están compuestas de materiales
reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzo
suficientemente grande. Muchas teorías
de falla se basan en evidencia experimental que indica que los
materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto
alcanza un valor
crítico. Resulta entonces necesario determinar los
esfuerzos normal y cortante máximos dentro de un cuerpo
para compararlos con los valores
críticos asociados con las teorías
de falla. Los esfuerzos normales máximo y mínimo en
un punto se llama esfuerzos principales.
Expresamos la tensión normal s , en un plano inclinado por x,
y, y z, tendremos:
s = xl + ym + zn
Sustituyendo x, y y z, luego de las simplificaciones respectivas
escribimos:
s
= s
xl2 + s ym2 +
s
zn2 + 2t yzmn + 2t zxnl +
2t
xylm
las coordenadas del punto de intersección de la normal con
el plano inclinado son:
x = rl y = rm z = rn
donde r es el radio vector que
une el origen de coordenadas con el punto de intersección
arriba indicado. Eliminando los cosenos directores
tenemos:
s
r2 = s xx2 + s yy2
+ s
zz2 + 2t yzyz + 2t zxzx +
2t
xyxy = k
donde: r2 = k / ½ s
½
de la geometría
analítica se sabe que girando el sistema de
coordenadas ésta ecuación puede transformarse de
tal manera que desaparecen los tres últimos
términos. Estos ejes así definidos se denominan
ejes principales (donde t xy, t yz, t zx son iguales a cero) y las
tensiones normales que aparecen en estos planos, tensiones
principales, son denominadas por s 3, s 2 y s 1, siendo s 3 s
2 s 1.
El sistema de fuerzas aplicado en el punto se simplifica, las
ecuaciones antes deducidas quedan reducidas en:
x = s
1l y = s 2m z = s 3n
como: l2 + m2 + n2 =1
resulta: x2/s 12 +
y2/s
22 + z2/s 32 = 1
El lugar geométrico de los extremos del vector de la
tensión completa forma un elipsoide, llamado elipsoide de
tensiones, cuyos semiejes son las tensiones principales
s 1,
s 2,
s 3.
Las tensiones principales se pueden determinar a partir de las
seis componentes del estado tensional; para ello, supongamos
que el plano indicado, es un plano principal; entonces si (S) es
la tensión total en éste plano, tenemos
x = sl y = sm z = sn
o x2 + y2 + z2 =
s2
y sl = s xl + t yxm + t zxn
sm = t
xyl + s ym + t zyn
sn = t
xzl + t yzm + s zn
ó (s
x-s)l + t yxm + t zxn = 0
t xyl +
(s
y-s)m + t zyn = 0
t xzl +
t yzm +
(s
z-s)n = 0
se puede considerar como un sistema de ecuaciones respecto a las
incógnitas l, m, n; que determinan la dirección del
plano principal respecto a los ejes de referencia x, y y z. Debe
verificarse la condición:
l2 + m2 + n2 = 1
Para que el sistema de ecuaciones homogénea tenga
solución y sea diferente de cero, es necesario que la
determinante del sistema sea igual a cero.
s x-s
t yx
t
zx
t xy (s y-s) t zy =
0
t
xz t
yz (s
z-s)
resolviendo y ordenando, obtenemos:
s3 – s2I1 + sI2
– I3 = 0
siendo: I1 = s x + s y + s z
I2 = s
ys z + s
zs x +s
xs y – t 2yz
– t
2zx – t
2xy
I3
= s
x t
yx t
zx
t xy s y t zy
t xz t yz s z
Las raíces de la
ecuación nos dan las tensiones principales
s 1,
s 2
y s
3.
6. Diagrama circular del
estado tensional
Consideremos el estado tensional de un prisma triangular
formado por un seccionamiento por un plano inclinado paralelo a
uno de los ejes principales. Igualando a cero todas las fuerzas
que actúan en las direcciones de los vectores
s y t ,
resultando:
s
dz (dy/cosa
) = s
1dydz cos a + s
2dzdy tag a sen a
t dz (dy/cosa ) = s 1dydz sen a – s 2dzdy tag a cos a
simplificando términos:
s = s 1
cos2a
+ s
2 sen2a
t = s 1 sen a cos a – s
2 sen a cos a
pueden escribirse
s
= (s
1 + s
2)/ 2 + ((s 1 – s 2)/ 2) cos 2a
t = ((s 1 – s 2)/ 2) sen 2a
representan las tensiones en un plano paralelo al eje. y son las
ecuaciones paramétricas de una circunferencia. La
ecuación de la circunferencia sumando ambas ecuaciones,
elevadas al cuadrado:
(s –
(s 1
+ s
2)/2)2 + t 2 = ((s 1 –
s
2)/2)2
llamada círculo de
Mohr o diagrama circular del estado tensional.
Análogamente se puede construir los círculos de
Mohr para el conjunto de planos paralelos a los vectores
s 1 y
s 2.
Así se pueden construir tres círculos de Mohr para
el estado tensional de un punto.
Los planos no paralelos a ninguno de los ejes principales no
pueden ser incluídas en el esquema analizado. los planos
de inclinación arbitraria les corresponden, en el sistema
de coordenadas (s
,t ) los
puntos que se encuentran en el triángulo curvilíneo
BCD formado por os tres círculos de Mohr correspondientes
a las tensiones principales.
Mecanica de materiales
Timoshenko – gere
Segunda edición – edit. Iberoamerica
Mecánica de materiales
Beer jhonson – edit. Mc graw hill
Mecánica de los sólidos
Brinker
Resistencia de materiales I y II
Teodoro Tiburcio
Autor:
Jose Luis Vargas