Monografias.com > Física
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Esfuerzos combinados




Enviado por Jose Luis Vargas



    Indice
    1.
    Introducción

    2. Tensiones Combinadas En Estado Mas
    General

    3. Transformaciones de
    esfuerzos

    4. Determinación de las tensiones
    en un plano de orientación arbitraria.

    5. Ejes principales y esfuerzos
    principales

    6. Diagrama circular del estado
    tensional

    7. Bibliografía

    1.
    Introducción

    El estado
    más general de esfuerzo en un punto puede representarse
    por seis componente; el mismo estado de
    esfuerzo se representará mediante un conjunto diferente de
    componentes si se rotan los ejes.
    Se estudiará un estado de esfuerzo tridimensional en un
    punto dado y se desarrollará ecuaciones
    para el cálculo
    del esfuerzo en un plano de orientación arbitraria en ese
    punto, se analizarán las rotaciones de un elemento
    cúbico con respecto a cada uno de los ejes principales de
    esfuerzo y se observará que las transformaciones de
    esfuerzos pueden describirse mediante tres círculos de
    Mohr diferentes. Se observará que en el caso de un estado
    de esfuerzo plano en un punto dado, el máximo valor del
    esfuerzo cortante, obtenido antes considerando rotaciones en el
    plano de esfuerzo, no representan necesariamente el máximo
    esfuerzo cortante en ese punto.
    También se verá varios criterios de fluencia para
    materiales
    dúctiles bajo esfuerzo, como una aplicación de los
    esfuerzos tensionales tridimensionales, para predecir si un
    material fluirá en algún punto crítico. Dos
    criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a
    cortante y el criterio de la máxima energía de
    distorsión. Los dos criterios que se analizarán
    son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de
    Mohr.

    2. Tensiones Combinadas En
    Estado Mas General

    Resultantes De Las Fuerzas Internas
    En cualquier situación en que un cuerpo real se utiliza
    como un estructuras,
    se transmitirán fuerzas a través del cuerpo de
    acuerdo con los principios de la
    transmisión de fuerzas analizados en estática.
    En la mecánica de los cuerpos deformables estamos
    interesados en la distribuciones de las fuerzas internas asociada
    con la transmisión de una fuerza, con el
    fin de determinar si la resistencia del
    cuerpo es suficiente para soportar esas distribuciones de
    fuerza
    interna.
    FUERZAS INTERNAS: fuerzas invisibles que actúan en el
    interior del cuerpo, aparecen en conexión con la capacidad
    del cuerpo para resistir cambios de tamaño o forma; si el
    cuerpo entero se halla en equilibrio
    bajo la acción de las fuerzas externas, incluyendo las
    reacciones, cualquier parte del cuerpo obtenida pr seccionado del
    cuerpo debe estar también en equilibrio.
    Este requisito de equilibrio para la parte considerada nos
    permite determinar la fuerza y el momento resultantes que
    actúan sobre la superficie interna expuesta por la
    sección, estas, se pueden determinar sólo dibujando
    un diagrama de
    cuerpo libre de la parte considerada y exigiendo que se satisfaga
    el equilibrio. La distribución precisa de las fuerzas
    internas no se pueden conocer sin información adicional.

    Esfuerzo; Distribución De La Fuerzas Internas
    El esfuerzo es una cantidad que se define y que es indispensable
    para formular y resolver problemas de
    la mecánica de los cuerpos deformables.
    Para evaluar la resistencia de una estructura, es
    necesario considerar al esfuerzo de una manera más general
    que simplemente como una presión
    normal. El esfuerzo se define en un punto sobre una superficie;
    puede estar localizado sobre la superficie exterior o frontera
    (contorno) de un cuerpo deformable.
    El esfuerzo normal sobre el plano tiene por dimensiones
    F/L2; pudiendo ser positiva, indicando una
    tensión o negativa, indicando una compresión.
    Es común representar los esfuerzos por medio de flechas
    sobre un croquis; sin embargo, debe recordarse que lo que se
    está representando es, en realidad, una fuerza
    D F asociada con el
    esfuerzo que actúa sobre el área D A en consideración, y que
    las componentes de esfuerzo se deben multiplicar por un
    área apropiada antes de incluirse en las ecuaciones de
    equilibrio como fuerzas del diagrama de
    cuerpo libre.
    Los primeros pasos al formular un problema de mecánica de
    sólidos es definir un sistema de ejes
    coordenados para describir posiciones, desplazamientos y fuerzas.
    Los esfuerzos también se deben referir a un sistema de
    coordenadas, a menudo un sistema cartesiano rectangular
    dextrógiro.
    La tercera Ley de Newton
    aplicada a esfuerzos señala que cuando la normal a la cara
    tiene la dirección x negativa, los esfuerzos
    cortante positivos t
    xy y t xz tienen las direcciones y y z
    negativas respectivamente
    Esfuerzos en condiciones generales de carga. componentes del
    esfuerzo
    La mayor parte de los elementos estructurales y elementos de
    máquinas están en condiciones de
    carga más complejas que elementos bajo carga axial o
    conexiones con carga transversal.
    Consideremos un cuerpo sometido a varias cargas P1, P2, etc; en
    cual se hará un seccionamiento que ponga de manifiesto las
    distribuciones de las fuerzas internas que son
    estáticamente equivalentes a la fuerza y el momento
    resultantes F y M; la porción a la izquierda del corte
    está sometida a algunas de las cargas originales y a
    fuerzas normales y cortantes distribuidas en la sección.
    Consideremos un punto sobre la superficie; D Fx y
    D Vx son las
    fuerzas normales y cortantes que actúan en una
    pequeña área D A; D Fx tiene una dirección definida, D Vx tiene cualquier
    dirección en el plano de la sección. Se
    descompondrá en dos componentes D Vxy,
    D
    Vxz en direcciones paralelas a los
    ejes y y z. Dividiendo por el área D A y haciendo que tienda a cero,
    se definen tres componentes de esfuerzo:
    s
    x=limD A®
    0(D Fx/D A)
    t xy=limD A®
    0(D Vxy/D A)
    t xz =limD
    A® 0(D Vxz
    /D A)

    donde, el primer subíndice indica que los
    esfuerzos se ejercen sobre una superficie perpendicular al eje;
    el segundo subíndice identifica la dirección de la
    componente. el esfuerzo normal es positivo si la flecha
    correspondiente apunta en la dirección positiva del eje;
    análogamente t
    xy y t xz son positivas si las flechas
    correspondiente aparecen en las direcciones positivas, y y z. El
    análisis anterior, se puede hacer en la
    porción del cuerpo a la derecha del plano vertical; donde
    se tendrá las mismas magnitudes pero con direcciones
    opuestas; haciendo un corte paralelo al plano xz, se define las
    componentes del esfuerzo s y, t yx y t yx, finalmente, un corte
    paralelo al plano xy, da lugar a las componentes
    s z,
    t zx
    y t
    zx. Para facilitar la visualización del
    estado de esfuerzo, se considerará un pequeño cubo
    de arista a, centrado y un punto, y los esfuerzos ejercidos sobre
    cada una de sus seis caras; nótese que sólo tres
    caras son visibles y que iguales componentes de esfuerzo de signo
    contrario actúan sobre las caras ocultas.Los esfuerzos en
    las caras son ligeramente diferentes de los ejercidos sobre el
    punto señalado, el error involucrado es pequeño y
    desaparece cuando el lado a del cubo tiende a cero; a su vez para
    el plano de seccionamiento considerado inicialmente, el esfuerzo
    normal y el esfuerzo cortante serán en general diferentes
    en cada punto.
    Deduciendo ahora relaciones importantes entre las componentes de
    esfuerzo cortante. Con ejes coordenados centrados en el punto, se
    escriben las seis ecuaciones de equilibrio.
    S
    Fx=0 S Fy=0 S Fz=0
    S
    Mx=0 S My=0 S Mz=0

    De donde se deduce que fuerzas iguales y opuestas a las
    mostradas actúan en las caras ocultas del cubo, para que
    se satisfaga las 3 primeras ecuaciones. Ahora considerando la
    última de las ecuaciones S Mz=0 y usando la proyección
    en el plano xy, se notará que las únicas fuerzas
    con momentos respecto al eje z, diferentes de cero, son las
    fuerzas cortantes, entonces:
    (t
    xy D
    A)a – (t
    yx D
    A)a = 0
    obteniéndose: t
    xy = t yx
    De las restantes ecuaciones
    obtendremos de la misma forma:
    t yz = t
    zy t zx = t
    xz
    concluyéndose, que sólo seis
    componentes de esfuerzo se requieres para definir el estado de
    esfuerzo en un punto, en lugar de nueve como se supuso
    inicialmente. Estas son: s x, s y, s z, t xy, t yz, t zx. Cada esfuerzo en el
    conjunto de esfuerzos anotados anteriormente, suelen llamarse
    componente de esfuerzo; donde el conjunto de 9 esfuerzos se llama
    tensor de esfuerzo; el llamado carácter
    tensorial del esfuerzo se refleja en la manera en que éste
    se comporta bajo una transformación de coordenadas;
    después de analizar el estado
    general de esfuerzos, se llega a que existe una simetría
    del tensor de esfuerzo, cuyo sentido práctico es que, en
    cualquier punto, los esfuerzos cortantes sobre dos planos
    perpendiculares cualesquiera deben ser numéricamente
    iguales. Notándose que en un punto dado, el cortante no
    puede tener lugar solamente en un plano; un esfuerzo cortante
    igual debe ocurrir en otro plano perpendicular al primero.
    Después de este análisis de correspondencia de esfuerzos,
    se observará que las mismas condiciones de carga pueden
    ocurrir a interpretaciones diferentes de la condición de
    esfuerzo en un punto dado, dependiendo de la orientación
    del elemento considerado.

    3. Transformaciones de
    esfuerzos

    En un cuerpo sometido a fuerzas, se considerará
    dos secciones planas diferentes que contengan a un mismo punto y
    para las cuales las normales sean n y n`; se verá que los
    dos conjuntos de
    esfuerzos serán en general diferentes, esta diferencia
    constituye la ida subyacente de lo que se llama
    transformación de esfuerzos. para entender esto debemos
    preguntarnos cómo dependen los esfuerzos de la
    orientación del plano que pasa por un mismo punto en
    común; se usará el concepto de
    equilibrio para desarrollar las relaciones entre los esfuerzos
    que actúan en plano diferentes que pasan por el punto
    sitado.
    El análisis del estado tensional en un punto se comienza
    con la determinación de las tensiones en las caras del
    elemento escogido alrededor del punto. la orientación de
    los planos ortogonales deben ser elegidas de tal modo que las
    tensiones aparecidas en estas sean lo más fácil
    posible de calcularlos.
    El estado de esfuerzo en un punto consiste generalmente en las
    seis componentes de esfuerzo, el tensor de esfuerzos. Sin
    embargo, hay muchas aplicaciones en las cuales la geometría
    del cuerpo y la manera como éste está cargado son
    tales que el estado de esfuerzo es esencialmente bidimensional.
    Tal estado se asocia a menudo con una placa plana delgada cargada
    en su plano, con dirección z normal al plano de la
    placa.
    En el esfuerzo "plano", se ha supuesto que: s z=t zx=t zy, y se ha
    considerado solo transformaciones de esfuerzo asociadas con una
    rotación alrededor del eje z; ahora se considerará
    el estado de esfuerzo general y la transformación de
    esfuerzos asociada con la rotación de los 3
    ejes.

    4. Determinación
    de las tensiones en un plano de orientación
    arbitraria.

    Separemos del cuerpo tensionado, un volumen
    elemental, un tetraedro de manera que tres de sus caras coincidan
    con los planos del sistema de coordenadas, y la cuarta
    está formada por un plano de orientación
    arbitraria. Sean l, m y n los cosenos directores de la normal del
    plano inclinado.
    Las componentes del vector de la tensión en el plano
    normal son x, y y z; A es el área del triángulo
    ABC, proyectando todas las fuerzas que actúan sobre el
    elemento, sobre los ejes coordenados resulta:
    xA = s
    xlA + t yxmA + t zxnA
    yA = t
    xylA + s ymA + t zynA
    zA = t
    xzlA + t yzmA + s znA

    donde:
    x = s
    xl + t yxm + t zxn
    y = t
    xyl + s ym + t zyn
    z = t
    xzl + t yzm + s zn

    en su forma matricial,
    x s
    x t
    yx t
    zx l
    y = t
    xy s
    y t
    zym
    z t
    xz t
    yz s
    zn

    5. Ejes principales y
    esfuerzos principales

    ESFUERZOS PRINCIPALES: Las estructuras
    reales están compuestas de materiales
    reales. Cualquier material real falla al someterse a un esfuerzo
    suficientemente grande. Muchas teorías
    de falla se basan en evidencia experimental que indica que los
    materiales fallan cuando el esfuerzo normal o cortante en un unto
    alcanza un valor
    crítico. Resulta entonces necesario determinar los
    esfuerzos normal y cortante máximos dentro de un cuerpo
    para compararlos con los valores
    críticos asociados con las teorías
    de falla. Los esfuerzos normales máximo y mínimo en
    un punto se llama esfuerzos principales.

    Expresamos la tensión normal s , en un plano inclinado por x,
    y, y z, tendremos:
    s = xl + ym + zn
    Sustituyendo x, y y z, luego de las simplificaciones respectivas
    escribimos:
    s
    = s
    xl2 + s ym2 +
    s
    zn2 + 2t yzmn + 2t zxnl +
    2t
    xylm
    las coordenadas del punto de intersección de la normal con
    el plano inclinado son:
    x = rl y = rm z = rn
    donde r es el radio vector que
    une el origen de coordenadas con el punto de intersección
    arriba indicado. Eliminando los cosenos directores
    tenemos:
    s
    r2 = s xx2 + s yy2
    + s
    zz2 + 2t yzyz + 2t zxzx +
    2t
    xyxy = k
    donde: r2 = k / ½ s
    ½
    de la geometría
    analítica se sabe que girando el sistema de
    coordenadas ésta ecuación puede transformarse de
    tal manera que desaparecen los tres últimos
    términos. Estos ejes así definidos se denominan
    ejes principales (donde t xy, t yz, t zx son iguales a cero) y las
    tensiones normales que aparecen en estos planos, tensiones
    principales, son denominadas por s 3, s 2 y s 1, siendo s 3 s
    2 s 1.
    El sistema de fuerzas aplicado en el punto se simplifica, las
    ecuaciones antes deducidas quedan reducidas en:
    x = s
    1l y = s 2m z = s 3n
    como: l2 + m2 + n2 =1
    resulta: x2/s 12 +
    y2/s
    22 + z2/s 32 = 1
    El lugar geométrico de los extremos del vector de la
    tensión completa forma un elipsoide, llamado elipsoide de
    tensiones, cuyos semiejes son las tensiones principales
    s 1,
    s 2,
    s 3.
    Las tensiones principales se pueden determinar a partir de las
    seis componentes del estado tensional; para ello, supongamos
    que el plano indicado, es un plano principal; entonces si (S) es
    la tensión total en éste plano, tenemos
    x = sl y = sm z = sn
    o x2 + y2 + z2 =
    s2
    y sl = s xl + t yxm + t zxn
    sm = t
    xyl + s ym + t zyn
    sn = t
    xzl + t yzm + s zn
    ó (s
    x-s)l + t yxm + t zxn = 0
    t xyl +
    (s
    y-s)m + t zyn = 0
    t xzl +
    t yzm +
    (s
    z-s)n = 0
    se puede considerar como un sistema de ecuaciones respecto a las
    incógnitas l, m, n; que determinan la dirección del
    plano principal respecto a los ejes de referencia x, y y z. Debe
    verificarse la condición:
    l2 + m2 + n2 = 1
    Para que el sistema de ecuaciones homogénea tenga
    solución y sea diferente de cero, es necesario que la
    determinante del sistema sea igual a cero.
    s x-s
    t yx
    t
    zx
    t xy (s y-s) t zy =
    0
    t
    xz t
    yz (s
    z-s)
    resolviendo y ordenando, obtenemos:
    s3 – s2I1 + sI2
    – I3 = 0
    siendo: I1 = s x + s y + s z
    I2 = s
    ys z + s
    zs x +s
    xs y – t 2yz
    – t
    2zx – t
    2xy
    I3
    = s
    x t
    yx t
    zx
    t xy s y t zy
    t xz t yz s z
    Las raíces de la
    ecuación nos dan las tensiones principales
    s 1,
    s 2
    y s
    3.

    6. Diagrama circular del
    estado tensional

    Consideremos el estado tensional de un prisma triangular
    formado por un seccionamiento por un plano inclinado paralelo a
    uno de los ejes principales. Igualando a cero todas las fuerzas
    que actúan en las direcciones de los vectores
    s y t ,
    resultando:
    s
    dz (dy/cosa
    ) = s
    1dydz cos a + s
    2dzdy tag a sen a
    t dz (dy/cosa ) = s 1dydz sen a – s 2dzdy tag a cos a
    simplificando términos:
    s = s 1
    cos2a
    + s
    2 sen2a
    t = s 1 sen a cos a – s
    2 sen a cos a
    pueden escribirse
    s
    = (s
    1 + s
    2)/ 2 + ((s 1 – s 2)/ 2) cos 2a
    t = ((s 1 – s 2)/ 2) sen 2a
    representan las tensiones en un plano paralelo al eje. y son las
    ecuaciones paramétricas de una circunferencia. La
    ecuación de la circunferencia sumando ambas ecuaciones,
    elevadas al cuadrado:
    (s –
    (s 1
    + s
    2)/2)2 + t 2 = ((s 1 –
    s
    2)/2)2
    llamada círculo de
    Mohr o diagrama circular del estado tensional.
    Análogamente se puede construir los círculos de
    Mohr para el conjunto de planos paralelos a los vectores
    s 1 y
    s 2.
    Así se pueden construir tres círculos de Mohr para
    el estado tensional de un punto.
    Los planos no paralelos a ninguno de los ejes principales no
    pueden ser incluídas en el esquema analizado. los planos
    de inclinación arbitraria les corresponden, en el sistema
    de coordenadas (s
    ,t ) los
    puntos que se encuentran en el triángulo curvilíneo
    BCD formado por os tres círculos de Mohr correspondientes
    a las tensiones principales.

    7.
    Bibliografía

    Mecanica de materiales
    Timoshenko – gere
    Segunda edición – edit. Iberoamerica
    Mecánica de materiales
    Beer jhonson – edit. Mc graw hill
    Mecánica de los sólidos
    Brinker
    Resistencia de materiales I y II
    Teodoro Tiburcio

     

     

    Autor:

    Jose Luis Vargas

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter