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Introducción al cálculo de incertidumbres en las mediciones




Enviado por Carolina Ospina



    1. Resumen
    2. Objetivos
    3. Marco
      teórico
    4. Procedimiento
      experimental
    5. Datos
      obtenidos
    6. Análisis y
      discusión de resultados
    7. Preguntas
    8. Conclusiones
    9. Referencias
      bibliográficas
    10. Anexos
    1. RESUMEN

    Tal y como concebimos la ciencia,
    toda teoría
    tiene fundamentada su validez en la constatación con la
    evidencia experimental, la cual está soportada en
    últimas por la medición de variables
    físicas. Sin embargo, la medición de una cantidad
    física por
    si sola, sin la especificación de su rango de
    incertidumbre o fiabilidad, no contiene mucha utilidad en la
    ciencia. Esto
    lo podemos corroborar con el experimento en el laboratorio,
    el cual, utilizando un montaje que consiste en una cuerda y una
    pesa (simulando un péndulo) permite la toma de diferentes
    medidas para encontrar la incertidumbre o fiabilidad.

    2.
    INTRODUCCIÓN

    l propósito del experimento es aprender a
    calcular incertidumbres en las mediciones que realizamos en
    nuestros experimentos y
    comprobar así que toda medición tiene una
    incertidumbre o margen de error el cual se pudo hallar por medio
    de métodos
    estadísticos y otros no estadísticos.

    Para hallar la incertidumbre del periodo de
    oscilación del péndulo se utilizara un método
    estadístico que se basa en calcular la desviación
    estándar de la media y para hallar la incertidumbre de la
    longitud del péndulo y de la aceleración de la
    gravedad (hallada indirectamente con los valores
    del periodo y de la longitud del péndulo) se utilizara un
    método no estadístico.

    Al final tendremos como resultado el valor
    aproximado de la aceleración de la gravedad con base en
    los resultados de nuestros datos.

    3.
    OBJETIVOS

    • Estudiar los conceptos básicos de magnitudes y
      mediciones
    • Utilizar el histograma que nos arrojan los datos
      durante la experiencia para aplicar análisis de graficas
    • Desarrollar los conceptos de desviación
      estándar, incertidumbre relativa, incertidumbre
      estándar de la media, promedio, histograma, error
      sistemático, error aleatorio
    • Analizar las posibles causas de error que nos
      pudieron arrojar datos inexactos.

    4. MARCO
    TEÓRICO

    Magnitudes y

    Mediciones: El Objeto de toda medida es obtener
    una información cuantitativa de una cantidad
    física. Para esto es necesario definir las Magnitudes
    Físicas Fundamentales, a fin de poder expresar
    los resultados de las medidas. Las magnitudes Físicas son
    las que no pueden definirse con respecto a las otras magnitudes y
    con las cuales toda la física puede ser discreta. Tenemos
    varios tipos de magnitudes como:

    la Longitud (unidad de longitud el metro
    (m)),

    La Masa (unidad de longitud el kilogramo
    (Kg.)),

    El Tiempo (unidad
    de longitud el segundo (s)),

    Las Cargas eléctricas, entre otras.

    Existen magnitudes derivadas las
    cuales se obtienen de las magnitudes fundamentales anteriormente
    mencionadas, por medio de ecuaciones
    matemáticas.

    Cronómetro

    Acerca de medición de Masas, podemos decir que
    medir una masa es compararla con la masa de un cuerpo definido
    como unidad; esta masa tiene un valor constante, independiente de
    cualquier condición en donde se encuentre el cuerpo. Esta
    medición se puede saber mediante una balanza, ayudada de
    masas calibradas con las masas patrones.

    Medir una Longitud es compararla con otra escogida como
    unidad. Hay ciertos instrumentos que permiten esta
    operación como lo son el metro, uno de los instrumentos de
    medición mas común existente, el metro se
    encuentra dividido en cm (10-2m) y mm (10-3
    m), aunque hay casos en los cuales los encontramos en
    pulgadas.

    Ahora bien, en la medición de Tiempo, se deben
    distinguir dos clases de medidas:

    La determinación de la hora; la cual se hace en
    los observatorios, por el estudio de las posiciones de las
    estrellas. La segunda, la medida de un intervalo de tiempo, por
    ejemplo, la medida de la duración de un fenómeno;
    se hace con los relojes.

    5. PROCEDIMIENTO
    EXPERIMENTAL

    Lista de materiales
    empleados:

    • Un soporte para sostener el
      péndulo
    • Una Cuerda
    • Una pesa o cuerpo rígido
    • Una regla
    • Un cronómetro

    Tomamos la medida de la cuerda la cual estaba amarrada
    de un extremo a un soporte y en el otro extremo estaba amarrado a
    la pesa, medimos desde la punta del soporte hasta el extremo
    donde termina la masa y nos dio como resultado 88.2cm ± —; luego se empezaron a hacer
    lanzamientos.

    Cada período lo registrábamos con la ayuda
    del cronómetro; tomamos 50 períodos los cuales
    quedaron registrados en nuestro cuaderno de apuntes, el cual se
    procedió a darle una copia de los datos obtenidos en el
    laboratorio al profesor
    asignado; proseguimos con los métodos estadísticos
    (Promedio, Desviación estándar,
    Histograma)

    Las siguientes son las fórmulas
    ha usar en los cálculos estadísticos

    Varianza de Muestra: es
    aproximadamente el promedio de las diferencias elevadas al
    cuadrado entre cada una de las observaciones en una serie de
    datos y la Media. Se denota pro medio de la siguiente
    fórmula:

    En términos de sumatoria se denota
    así:

    Donde :
    Media aritmética de la muestra

    n: Tamaño de muestra

    :
    Inésimo valor de la variable aleatoria x

    Media Aritmética: o media es el promedio o
    medición de tendencia central de uso más
    común.

    Se calcula sumando la serie de datos y luego dividiendo
    el total entre el número de elementos involucrado. Se
    representa mediante la siguiente formula.

    Y en notación de sumatoria
    sería:

    Donde: x: Medida aritmética

    n: Tamaño de la muestra

    xi: Enésima observación de la variable aleatoria
    x

    6. DATOS
    OBTENIDOS

    • Los datos de tiempos de oscilación del
      péndulo que obtuvimos en el laboratorio 1 se encuentran
      en la tabla 2 ordenada en forma ascendente la cual encontramos
      al final del laboratorio, además se complementa con un
      Histograma "Grafica 1".
    • Los datos de longitud obtenidos en el laboratorio 1
      se encuentran en la tabla 4

    7.
    ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

    • Primero medimos la longitud de la cuerda con una
      regla 4 veces y el promedio obtenido nos dio como resultado
      88.17 cm
    • Para hallar el promedio de la longitud de la cuerda
      se realizo el siguiente calculo:

    • Para hallar el promedio del periodo se realizo
      el siguiente cálculo:

    • Porque se puede tomar como el resultado mejor
      estimado?

    Consideramos este dato como el mejor estimado, pues
    este resulta de una repetición en la medición de
    los tiempos y de su respectiva división por el numero de
    veces medido, con lo cual nos podemos acercar un poco
    más a un dato confiablemente real, pues se podría
    decir que este es el dato que esta en el medio de todos los
    obtenidos.

    • Cuales fueron las principales fuentes de
      variabilidad en el sistema que
      acabamos de emplear para mediar el periodo?

    Las principales fuentes de variabilidad que consideramos
    que influyen en la diferencia entre los datos obtenidos
    son:

    • Reacción en la toma del tiempo
    • Elasticidad en la cuerda
    • Montaje en posición incorrecta
    • Desgaste de los instrumentos de
      medición
    • Para hallar la desviación estándar del
      periodo realizamos el siguiente calculo:

    • Para determinar la incertidumbre

    del periodo, como la incertidumbre estándar
    de la media
    realizamos el siguiente calculo:

    Incertidumbre

    del
    periodo,

    como la

    incertidumbre

    estándar de la media

    • la incertidumbre de resolución dada por el
      cronometro que se estima como la mitad de la división de
      escala del
      instrumento

    • Incertidumbre obtenido por la suma de la
      incertidumbre estimadas de resolución y de
      repetibilidad

    • El valor que corresponde a T con su incertidumbre
      es

    Para hallar la incertidumbre relativa

    La incertidumbre

    relativa del periodo

    • De acuerdo con el dato anterior, discuta la calidad de su
      resultado

    Teniendo en cuenta los instrumentos de medición,
    los cuales tienen un alto grado de error, podemos concluir que
    nos arrojo un resultado muy aproximado al convencionalmente
    verdadero

    • Para hallar la desviación estándar de
      la longitud realizamos el siguiente calculo:

    Desviación

    Estándar de la
    longitud

    • Para determinar la incertidumbre

    del longitud, como la incertidumbre estándar
    de la media
    realizamos el siguiente calculo:

    Incertidumbre de la longitud,

    como la incertidumbre estándar
    de la media

     

    • la incertidumbre de resolución dada por la
      regla que se estima como la mitad de la división de
      escala del instrumento

    • la incertidumbre de repetibilidad de la
      cuerda

    • Para hallar la incertidumbre relativa

    La incertidumbre

    relativa

    • La tabla con las variables de influencia y
      componentes de incertidumbre de la longitud de la cuerda se
      encuentra en la tabla 3 al final del laboratorio en los
      anexos
    • Tomando

    y el valor L medido en el laboratorio, hallamos el
    periodo el cual vamos a tomar como el valor convencionalmente
    verdadero

    • A partir de las medidas de T y l obtenidas, con la
      expresión anterior.

    Calcule el valor de g

    • Con las incertidembres como componentes de la incertidumbre

    .

    Identifique la regla de combinación y
    determine la incertidumbre del resultado obtenido anteriormente

    • Incertidumbre relativa de la
      gravedad

    • Error de la gravedad

    • Error del periodo

    • Error sidtemático

    • Error aleatorio del periodo.

    8.
    PREGUNTAS

    • Explique si las medidas fueron hechas bajo
      condiciones de repetibilidad o reproducibilidad?

    Las medidas fueron tomadas de repetibilidad ya que
    fueron efectuadas bajo las mismas condiciones.

    9.
    CONCLUSIONES

    • Con este laboratorio pudimos observar los
      métodos para realizar mediciones con sus respectivos
      cálculos de incertidumbres, comprobando que las
      incertidumbres se pueden hallar de dos formas: con
      métodos estadísticos, y no estadísticos.
      En este laboratorio utilizamos el método
      estadístico para hallar la desviación en el
      periodo del péndulo y el no estadístico para
      hallar incertidumbres de objetos que participan en las
      mediciones, pero que por distintas razones no se puede hallar
      la incertidumbre por medios
      estadísticos, como los instrumentos de medida, el
      montaje y el tiempo de reacción de la persona que
      observa el experimento.
    • También pudimos hallar luego de diferentes
      cálculos y formulas la gravedad en el laboratorio con su
      respectiva incertidumbre.
    • Dentro de las diferentes incertidumbres que pudimos
      encontrar, están la incertidumbre relativa del periodo,
      de la longitud de la regla, de la gravedad, y la
      desviación estándar de la media.
    • Después de utilizar formulas logramos
      encontrar la resolución del instrumento de medida el
      cual utilizamos para tomar el tiempo de oscilación del
      péndulo el cual fue de 0.005 s.
    • Para poder hallar incertidumbres por métodos
      no estadísticos, tuvimos que analizar las posibles
      fuentes de incertidumbre y estimar un valor para esta, algunas
      de ellas son: capacidad visual, tiempo de reacción,
      calidad del montaje, calidad de instrumentos de medición
      (Desgaste, Material)

    10. REFERENCIAS
    BIBLIOGRÁFICAS

    Física general con experimentos sencillos.
    Beatriz Alvarenga, Antonio Máximo. Editorial Harla,
    México.
    1979, 1980, 1981

    Física Fundamental 1. Michael Valero. Editorial
    Norma, Colombia.
    1996.

    Villegas Mauricio, Ramírez
    Ricardo, investiguemos 10, Voluntad, Bogota 1989

    ANEXOS

    "Datos de tiempos de oscilación del
    péndulo"

    TABLA 1

    "Datos de tiempos de oscilación
    del péndulo en forma ascendente"

    TABLA 2

    TABLA 3

    Variable de
    influencia

    (Nombre de la
    variable)

    Componente de
    incertidumbre

    (Valor estimado)
    (cm)

    capacidad visual –
    ceguera

    ∆V ± 0.05

    cuerda –
    elasticidad

    ∆L ±
    0.2

    montaje –
    posición

    ∆M ± 0.2

    regla – desgaste

    ∆R ± 0.05

    reacción –
    medidor

    ∆r ± 0.2

    INCERTIDUMBRE COMBINADA
    D

    l:

    l:0.7

    Datos de Longitud de la cuerda

    TABLA 4

    GRAFICA 1

    Histograma "T Vs. F"

     

     

    Presentado por:

    Javier Tenorio

    Natalia Guevara

    Maria Carolina Ortiz

    Carolina Ospina

    Presentación del laboratorio

    28 de agosto de 2002

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