Investigación ex-aula sobre la discriminante o hessiano (matriz hessiana)

Discriminante o hessiano
(matriz hessiana)
Notación en derivadas
parciales
Matriz hessiana de dos
variables
Matriz hessiana de tres
variables
Significado de cada elemento de
la matriz hessiana de tres variables
Matriz hessiana de "n"
variables
Pasos a seguir para encontrar
máximos y mínimos utilizando matrices
hessianas
Ejemplo de aplicación de
matriz hessiana
Conclusión
Bibliografía

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo
explica de manera detallada el discriminante, hessiano o
matriz
hessiana.

Primero se da a conocer una reseña
histórica y biográfica del creador o inventor de
las matrices
hessianas y luego se presenta paso a paso la forma de resolver
ejercicios de 2 o más variables
haciendo uso de matrices hessianas.

Al final se resuelve un ejercicio completo de 3
variables y se explica detalladamente cada uno de los procesos
realizados.

También se presenta en este trabajo 7 pasos a
seguir para encontrar máximos y mínimos utilizando
matrices hessianas, lo cual será útil para la
solución de cualquier ejercicio de este tipo.

DISCRIMINANTE O HESSIANO (MATRIZ
HESSIANA)

Ludwig Otto Hess
(1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante
o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por
Hesse, matemático alemán quien nació en 1811
y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl
Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo
que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de
las integrales
múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig
Otto Hess se sabe que nació precisamente en Konigsberg,
Alemania
(aunque actualmente es Rusia) el 22
de abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal
(Konigsberg), donde se desempeñó primero como
maestro de física y química y
posteriormente como profesor. En
1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció
doce años, antes de tomar un puesto en Munich, donde
falleció el 4 de agosto de 1874.

Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que
introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas
cúbicas y cuadráticas.

NOTACIÓN EN DERIVADAS
PARCIALES

Primeramente se aclaran las notaciones que se pueden
utilizar y que representan lo mismo al trabajar con derivadas
parciales:

MATRIZ HESSIANA DE DOS VARIABLES

Si tenemos un ejercicio con dos variables, obtendremos
una matriz hessiana 2 x 2. Si el ejercicio fuera de tres
variables, la matriz gesiana será 3 x 3, y así
sucesivamente. Para el caso de dos variables, la matriz hessiana
2 x 2 se genera de la siguiente manera:

En este trabajo se estará usando la
notación que aparece en el miembro izquierdo de las
ecuaciones por
considerarlo más sencillo de comprender a primera
vista.

MATRIZ HESSIANA DE TRES
VARIABLES

Antes de presentar ejemplos, se muestra la matriz
resultante cuando se trabaja con ejercicios o problemas de
tres variables. La matriz hessiana será de 3 x 3 y queda
de esta forma:

SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ HESSIANA
DE TRES VARIABLES

Con el objetivo de
explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se expresa
el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro
de la matriz:

Significa que se deriva la función
original por primera vez con respecto a x y luego ese resultado
se deriva por segunda vez con respecto a x nuevamente.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda
vez pero ahora con respecto a y.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a x y luego ese resultado se deriva por segunda
vez pero ahora con respecto a z.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda
vez pero ahora con respecto a x.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda
vez con respecto a y nuevamente.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a y y luego ese resultado se deriva por segunda
vez pero ahora con respecto a z.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda
vez pero ahora con respecto a x.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda
vez pero ahora con respecto a y.

Significa que se deriva la función original por primera
vez con respecto a z y luego ese resultado se deriva por segunda
vez con respecto a z nuevamente.

NOTA: Es bueno tomar en cuenta que:

, , ,
…

MATRIZ HESSIANA DE "N" VARIABLES

Ya se presentó la matriz hessiana de 2 variables
y de 3 variables. Sin embargo podemos enfrentarnos a problemas en
los que hayan más de tres variables, para lo cual se
presenta a continuación lo que se tiene que hacer cuando
se tengan matrices hessianas de cuatro variables o más,
osea matrices 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6, etc.

La manera de resolver este tipo de problemas de
más de dos variables se presenta con la siguiente matriz,
y funciona para cualquier problema donde se utilice matriz
hessiana con más de dos variables:

Antes de continuar se debe decir que para ser capaces de
resolver problemas utilizando matrices hessianas se debe poder resolver
sin problemas determinantes cuadradas, pues es algo que se
utiliza al trabajar con matrices. En este trabajo no se explica
cómo resolver determinantes cuadradas pero se aclara que
es algo indispensable en el trabajo y
resolución de problemas utilizando matrices
hessianas.

PASOS A SEGUIR PARA ENCONTRAR MÁXIMOS Y
MÍNIMOS UTILIZANDO MATRICES HESSIANAS

1. Tener la función original que se va a
trabajar.

2. Calcular las primeras derivadas parciales de la
función con respecto a cada una de las variables que se
tiene la función original.

3. Igualar a cero las primeras derivadas que se
calcularon en el paso 2.

4. Simultanear las ecuaciones generadas en el paso 3
para encontrar el valor de cada
una de las variables. Esos valores
encontrados para cada una de las variables serán las
coordenadas de los puntos críticos.

5. Teniendo los puntos críticos que se
encontraron en el paso 4, se tiene que calcular las segundas
derivadas parciales en el punto crítico de modo que
asignemos los valores de
cada elemento de la matriz hessiana, ya sea matriz 2 x 2 (si la
función es de 2 variables), 3 x 3 (si la función es
de 3 variables), 4 x 4 (si la función es de 4 variables),
n x n (si la función es de n variables).

6. Resolver la matriz hessiana normalmente como se
resuelve la determinante de una matriz cuadrada. El resultado que
se obtenga de la matriz hessiana es la respuesta.

7. Se sacan conclusiones de la respuesta obtenida en el
paso 6 de la siguiente manera:

CASO DE DOS VARIABLES O MATRIZ HESSIANA 2 X
2:

Si el determinante de la matriz hessiana es mayor que
cero, entonces se procede a ver si es positivo o negativo. Si es positivo o mayor que
cero entonces la función tiene un MÍNIMO en el
punto crítico. Si es negativo o menor que cero entonces la
función tiene un MÁXIMO en el punto
crítico.
Si el determinante de la matriz hessiana es menor que
cero entonces se concluye que la función tiene un PUNTO
DE SILLA en el punto crítico.
Si el determinante de la matriz hessiana es cero
entonces se concluye que NO HAY INFORMACIÓN o EL
CRITERIO NO ES CONCLUYENTE.

CASO DE TRES O MÁS VARIABLES O MATRIZ HESSIANA 3
X 3 O N X N:

Si todos los determinantes de la matriz hessiana
tienen signo positivo, entonces la función tiene un
MÍNIMO en el punto crítico.
Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando
con un valor negativo), entonces la función tiene un
MÁXIMO en el punto crítico.
Si no se cumple lo dicho en los literales a) y b),
osea en cualquier otro caso se concluye que HAY DUDA, NO HAY
INFORMACIÓN o EL CRITERIO NO ES CONCLUYENTE.

NOTA: En el caso de tener funciones de tres
o más variables significa que comenzaremos trabajando la
matriz hessiana f(x) o de 1 x 1, luego f(x,y) o de 2 x 2, luego
f(x,y,z) o de 3 x 3,… hasta llegar a f(x,y,z,…n) o
de n x n. Así llegaremos finalmente a concluir si se trata
de máximo, mínimo o si no se sabe, de acuerdo a los
tres literales anteriores.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MATRIZ
HESSIANA

Encontrar los máximos y mínimos (si los
hay) de la función:

f(x,y,z) = x² + y² +
7z² – xy

Solución:

Calculando las primeras derivadas parciales de la
función con respecto a cada una de las variables que tiene
la función original:

Igualando a cero las primeras
derivadas:

22x – y = 0

2y – x = 0

14z = 0

Simultanear las ecuaciones anteriores para encontrar
los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los
puntos críticos:

Al simultanear las ecuaciones obtenemos que los valores
de x, y y z (osea los puntos críticos) son:

x = 1/3

y = 2/3

z = 0

Esto significa que las coordenadas del punto
crítico son: f(1/3,2/3,0).

Calcular las segundas derivadas en el punto
crítico para generar la matriz hessiana:

Resolver la matriz hessiana tal como se resuelve la
determinante de una matriz cuadrada:

H(x,y,z) = -6

Sacar conclusiones de la respuesta
obtenida:

La determinante de la matriz hessiana H(x) o de 1×1 da
como resultado – 2 (resultado negativo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y) o de 2×2 da
como resultado 3 (resultado positivo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y,z) o de 3×3
da como resultado -6 (resultado negativo).

Anteriormente se explicó que "Si los
determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor
negativo), entonces la función tiene un MÁXIMO en
el punto crítico." Tal como se acaba de ver, los
signos se
alternan porque tenemos -2, +3 y -6, lo cual significa que la
función la función tiene un MÁXIMO en el
punto crítico.

Conclusión de la resolución del
ejercicio:

La función f(x,y,z) = x² + y² +
7z² – xy es o tiene un máximo en el punto
crítico (1/3,2/3,0).

CONCLUSIÓN

Luego de la realización de este trabajo se ha
podido observar la facilidad con la que podemos encontrar
máximos y mínimos de una función de varias
variables.

Se ha aprendido a aplicar las matrices hessianas, lo
cual es de gran provecho porque así se determina una parte
muy importante del comportamiento
de una función, tal como lo es el punto de silla, los
máximos y los mínimos.

Se ha visto que estos procesos son sencillos y solamente
se necesita plantear correctamente la matriz hessiana y luego
simplemente se resuelve la matriz que se tiene por el método que
ya se conoce de la determinante de una matriz
cuadrada.

Este trabajo es de mucho valor e importancia para
el aprendizaje
y se espera que sea muy provechoso para quienes lo
lean.

BIBLIOGRAFÍA

Universitat de Barcelona. www.maia.ub.es/cag/docencia/analiIII.pdf

School of Mathematical and Computational Sciences.
University of St Andrews.

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/PictDisplay/Hesse.html

Instituto Balseiro

http://ib.cnea.gov.ar/~mecanica/apuntes2003/apuntes/apunte022.pdf

Thomas, G. B. Jr. (2006). CÁLCULO VARIAS
VARIABLES (undédima edición). Massachusets: Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Leithold L. (1998). EL CÁLCULO
(séptima edición). Oxford University Press
México, S.A. de C.V.

SATD. SERVICIO DE
APOYO TECNOLÓGICO A LA DOCENCIA

http://www.satd.uma.es/matap/svera/probres/pr3/pr3a3_1.html

Weber, J. E. (1984). MATEMÁTICAS PARA
ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (cuarta
edición). Harla, S.A. de C.V.