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Teoría básica y problemas propuestos de Hidrostática e Hidrodinámica



    (Versión corregida y
    ampliada)

    1. Objetivo
      general
    2. Contenidos. Concocimientos
      previos
    3. ¿Qué es la
      hidrostática?
    4. Propiedades de los
      fluidos
    5. Presión
      hidrostática
    6. Principio fundamental de la
      hidrostática. Principio de Pascal. Principio de
      Arquímedes (Boyantez)
    7. Momento de
      Inercia
    8. Presión sobre
      superficies planas
    9. ¿Qué es la
      hidrodinámica?
    10. Gasto volumétrico y la
      ecuación de continuidad
    11. Teorema de
      Bernoulli
    12. Número de Reynolds y los
      regimenes de flujo
    13. Problemas propuestos con
      respuestas
    14. Preguntas de
      razonamiento
    15. Problemas propuestos sin
      respuestas
    16. Bibliografía
      recomendada

    INTRODUCCIÓN

    Desde el punto de vista macroscópico, se
    acostumbra clasificar la materia, en
    sólidos y fluidos. Un fluido, es una sustancia que puede
    fluir, de tal forma que el término fluido incluye a los
    líquidos y los gases. Aun la
    distinción entre un líquido y un gas no es
    tajante, en virtud de que, cambiando en forma adecuada la
    presión
    y la temperatura
    resulta posible transformar un líquido en un gas o
    viceversa; durante el proceso la
    densidad, la
    viscosidad y
    otras propiedades cambian de manera continua.

    En un sentido estricto, se puede considerar un fluido
    como un conjunto de moléculas distribuidas al azar que se
    mantienen unidas a través de fuerzas cohesivas
    débiles y las fuerzas ejercidas por las paredes del
    recipiente que lo contiene. La rama de la física que estudia
    los fluidos, recibe el nombre de mecánica de los fluidos, la cual a su vez
    tiene dos vertientes: hidrostática, que orienta su
    atención a los fluidos en reposo; e
    hidrodinámica, la cual envuelve los fluidos
    en movimiento.

    En este material instruccional, se describirá
    brevemente algunas propiedades de los fluidos: densidad, peso
    específico, volumen
    específico entre otras; nuevos principios
    físicos serán presentados para explicar efectos
    como la fuerza de
    flotación (boyantez) sobre un objeto sumergido.
    Deduciremos una expresión para la presión ejercida
    por un fluido en reposo como una función de
    la densidad y profundidad; con ello, nos introduciremos al campo
    de la manometría.

    Al estudiar los fluidos en movimientos, se
    presentará la ecuación de continuidad,
    examináremos y aplicaremos el Principio de Bernoulli en
    la resolución de problemas que involucren fluidos en
    movimiento. Se dará una introducción al concepto de
    pérdidas hidráulicas en tuberías y su
    relación con la Ley de
    Conservación de la Energía Mecánica descrita en el Módulo III
    de Física I. Al final, se ofrecerá una
    recopilación de algunos problemas que han formado parte de
    las evaluaciones de cohortes precedentes.

    OBJETIVO
    GENERAL

    Al término de éste módulo, el
    estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para
    aplicar los conceptos básicos de hidrostática e
    hidrodinámica a problemas prácticos que involucren
    fluidos newtonianos.

    CONTENIDOS

    1. Propiedades físicas de los fluidos: densidad,
      peso específico, volumen específico, viscosidad y
      gravedad específica.
    2. Principio fundamental de la
      hidrostática.
    3. Principio de Arquímedes (Boyantez).
    4. Principio de Pascal
      (Prensa
      hidráulica).
    5. Fuerzas ejercidas sobre superficies planas
      sumergidas: fuerza de presión.
    6. Momento de inercia: centro de
      presión.
    7. Ecuación de continuidad.
    8. Régimen de flujo: laminar, transición y
      turbulento.
    9. Teorema de Bernoulli y Teorema de
      Torricelli.

    CONOCIMIENTOS PREVIOS

    1. Cálculo integral: aplicaciones de integrales
      definidas con condiciones iniciales.
    2. Cálculo integral: área debajo de una
      curva.
    3. Trigonometría plana: resolución de
      triángulos.
    4. Funciones matemáticas:
      graficación.

    DESARROLLO TEÓRICO

    1.1 ¿Qué
    es la hidrostática?

    La hidrostática es una rama de la física
    que se encarga del estudio de los fluidos carentes de
    movimiento.

    1.2 Propiedades de
    los fluidos.

    Densidad: Es la masa contenida en una unidad de
    volumen de una sustancia (masa por unidad de volumen). Cuando se
    trata de una sustancia homogénea, la expresión para
    su cálculo
    es: (1)

    Donde

    : densidad de la sustancia,
    Kg/m3

    m: masa de la sustancia, Kg

    V: volumen de la sustancia, m3

    En el caso de sustancias no homogéneas se usa las
    siguientes fórmulas:

    Densidad en un punto: (2)

    Densidad promedia: (3)

    Las unidades en las cuales se suele expresar la densidad
    son: Kg/m3, Kg/dm3, gr/cm3 y
    lb/pie3

    La densidad de una sustancia varía con la
    temperatura y la presión; al resolver cualquier problema
    debe considerarse la temperatura y la presión a la que se
    encuentra el fluido.

    El agua posee una
    densidad absoluta a 4 º C y una atmósfera de
    presión igual a 999,997 Kg/m3 o 62,244
    lb/pie3

    Tabla 1. Variación de algunas propiedades
    físicas del agua con la temperatura.

    Temperatura (ºC)

    Peso específico
    (KN/m3)

    Densidad (Kg/m3)

    0

    9,805

    999,8

    5

    9,807

    1.000

    10

    9,804

    999,7

    15

    9,798

    999,1

    20

    9,789

    998,2

    25

    9,777

    997,0

    30

    9,764

    995,7

    40

    9,730

    992,2

    50

    9,689

    988,0

    60

    9,642

    983,2

    70

    9,589

    977,8

    80

    9,530

    971,8

    90

    9,466

    965,3

    100

    9,399

    958,4

    Nota: los valores se
    dan a presión atmosférica.

    Por lo general, se suele conocer la gravedad
    específica del fluido, no su densidad absoluta. La
    gravedad específica se define como la relación
    entre el peso de una sustancia y el de un volumen igual de agua
    en condiciones estándar (4 º C, 1 atm). La gravedad
    específica se conoce también como densidad relativa
    o peso específico relativo, se representa con la letra
    "s"


    (4)

    Donde:

    Wo: peso de un volumen igual al volumen de la sustancia
    de agua a 4 ºC y 1 atmósfera

    : peso
    específico del agua a 4 º C y 1 atmósfera;
    = 9806,26
    N/m3 = 62,244 lb/pie3

    :
    densidad del agua a 4 º C y 1 atmósfera; = 999,997 Kg/m3
    = 62,244 lb/pie3

    Es importante señalar que la gravedad
    específica es adimensional.

    Peso específico: Peso por unidad de
    volumen de una sustancia.

    Cuando se trata de una sustancia homogénea, la
    expresión para su cálculo es: ; en el caso de sustancias
    no homogéneas se usa las siguientes
    fórmulas:

    Peso específico en un punto: (5)

    Peso específico promedia: (6)

    Las unidades en las cuales se suele expresar son:
    N/m3, Kgf/m3,
    dina/cm3 y lbf/pie3

    Viscosidad dinámica o absoluta o newtoniana o
    coeficiente de viscosidad (): Es la medida de la resistencia de un
    fluido a ser deformado por esfuerzos cortantes


    (7)

    Donde:

    :
    esfuerzo cortante aplicado, N/m2

    :
    rapidez de deformación angular producida, Rad/s

    Las unidades usuales son: N.s/m2(Pa.s),
    dina.s/cm2(poise), Kgm/m.s,
    lbf.s/pie2

    Viscosidad cinemática o relativa (): Es la medida de la
    resistencia de un fluido a ser deformado por esfuerzos
    cortantes.


    (8)

    Unidades usuales: m2/s,
    cm2/s(stoke), pie2/s

    Existen muchas más propiedades físicas
    como: volumen específico, presión de vapor,
    tensión superficial y el módulo de elasticidad
    volumétrico las cuales se abordarán con mayor
    profundidad en subproyectos ulteriores.

    1.3 Presión
    hidrostática.

    Presión en mecánica, es la fuerza por
    unidad de superficie que ejerce un líquido o un gas
    perpendicularmente a dicha superficie.

    La presión suele medirse en atmósferas
    (atm); en el Sistema
    Internacional de unidades (SI), la presión se expresa en
    Newton por
    metro cuadrado; un Newton por metro cuadrado es un pascal (Pa).
    La atmósfera se define como 101.325 Pa, y equivale a 760
    mm de mercurio o 14,70 lbf/pulg2
    (denominada psi).

    (9)

    Donde:

    P: presión ejercida sobre la superficie,
    N/m2

    F: fuerza perpendicular a la superficie, N

    A: área de la superficie donde se aplica la
    fuerza, m2

    La mayoría de los medidores de presión, o
    manómetros, miden la diferencia entre la presión de
    un fluido y la presión atmosférica local. Para
    pequeñas diferencias de presión se emplea un
    manómetro que consiste en un tubo en forma de U con un
    extremo conectado al recipiente que contiene el fluido y el otro
    extremo abierto a la atmósfera. El tubo contiene un
    líquido, como agua, aceite o
    mercurio, y la diferencia entre los niveles del líquido en
    ambas ramas indica la diferencia entre la presión del
    recipiente y la presión atmosférica
    local.

    Para diferencias de presión mayores se utiliza el
    manómetro de Bourdon, llamado así en honor al
    inventor francés Eugène Bourdon. Este
    manómetro está formado por un tubo hueco de
    sección ovalada curvado en forma de gancho. Los
    manómetros empleados para registrar fluctuaciones
    rápidas de presión suelen utilizar sensores
    piezoeléctricos o electrostáticos que proporcionan
    una respuesta instantánea.

    Como la mayoría de los manómetros miden la
    diferencia entre la presión del fluido y la presión
    atmosférica local, hay que sumar ésta última
    al valor indicado
    por el manómetro para hallar la presión absoluta.
    Una lectura
    negativa del manómetro corresponde a un vacío
    parcial.

    Las presiones bajas en un gas (hasta unos
    10-6 mm de mercurio de presión absoluta) pueden
    medirse con el llamado dispositivo de McLeod, que toma un volumen
    conocido del gas cuya presión se desea medir, lo comprime
    a temperatura constante hasta un volumen mucho menor y mide su
    presión directamente con un manómetro. La
    presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de
    Boyle-Mariotte. Para presiones aún más bajas se
    emplean distintos métodos
    basados en la radiación,
    la ionización o los efectos moleculares.

    1.4 Principio
    fundamental de la hidrostática.

    La diferencia de presión entre dos puntos de un
    mismo líquido es igual al producto del
    peso específico del líquido por la diferencia de
    niveles

    P2 – P1 = . (h2 – h1)
    (10)

    Donde:

    P2, P1: presión
    hidrostática en los puntos 2 y 1 respectivamente,
    N/m2

    h2, h1: profundidad a la que se
    encuentran los puntos 2 y 1 respectivamente, m

    : peso específico del fluido,
    N/m3

    1.5 Principio de Pascal.

    Toda presión ejercida sobre la superficie libre
    de un líquido en reposo se transmite íntegramente y
    con la misma intensidad a todos los puntos de la masa
    líquida y de las paredes del recipiente.

    1.6 Principio de Arquímedes
    (Boyantez).

    Todo cuerpo sumergido en un líquido, recibe un
    empuje de abajo hacia arriba igual al peso del líquido
    desalojado.

    E = . V (11)

    Donde:

    E: empuje hidrostático, N

    : peso
    específico del fluido, N/m3

    V: volumen de fluido desalojado por el cuerpo,
    m3

    El concepto de "peso aparente" se refiere al "peso
    supuesto" que posee un cuerpo que se encuentra sumergido en un
    fluido.

    Pa = W – E (12)

    Donde:

    Pa: peso aparente, N

    W: peso real del cuerpo, N

    E: empuje hidrostático que recibe el
    cuerpo

    1.7 Momento de
    Inercia.

    El momento de inercia es la resistencia que un cuerpo en
    rotación opone al cambio de su
    velocidad de
    giro. A veces se denomina inercia rotacional. El momento de
    inercia desempeña en la rotación un papel
    equivalente al de la masa en el movimiento lineal.

    Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra
    pequeña y una grande aplicando la misma fuerza a cada una,
    la piedra pequeña se acelerará mucho más que
    la grande. De modo similar, si se aplica un mismo par de fuerzas
    a una rueda con un momento de inercia pequeño y a otra con
    un momento de inercia grande, la velocidad de giro de la primera
    rueda aumentará mucho más rápidamente que la
    de la segunda.

    El momento de inercia de un objeto depende de su masa y
    de la distancia de la masa al eje de rotación. Por
    ejemplo, un volante de 1 kg con la mayoría de su masa
    cercana al eje tendrá un momento de inercia menor que otro
    volante de 1 kg con la mayoría de la masa cercana al
    borde exterior.

    El momento de inercia de un cuerpo no es una cantidad
    única y fija (Tabla 2). Si se rota el objeto en torno a un eje
    distinto, en general tendrá un momento de inercia
    diferente, puesto que la distribución de su masa con relación
    al nuevo eje es normalmente distinta.

    Las leyes del
    movimiento de los objetos en rotación son equivalentes a
    las leyes del movimiento de los objetos que se mueven linealmente
    (el momento de inercia sustituye a la masa, la velocidad angular
    a la velocidad lineal)

    El elemento de inercia de un elemento de área
    respecto a un eje en su plano está dado por el producto
    del área del elemento y el cuadrado de la distancia entre
    el elemento y el eje. En la Figura 1, el momento de inercia
    dIx del elemento respecto al eje x es:


    (13)

    Donde:

    dIx: momento de inercia respecto del eje X.

    y: distancia desde el eje x al diferencial de
    área.

    dA: diferencial de área.

    Figura 1. Un diferencial de área ubicado a
    una distancia x con respecto al eje y, y una distancia y respecto
    al eje x

    Respecto al eje y, el momento de inercia es:


    (14)

    Donde:

    dIy: momento de inercia respecto del eje Y.

    x: distancia desde el eje y al diferencial de
    área.

    dA: diferencial de área.

    El momento de inercia de un área finita respecto
    a un eje en su plano es la suma de los momentos de inercia
    respecto de ese eje de todos los elementos de área
    contenidos en él. También se halla, frecuentemente,
    por medio de una integral. Si se representa por Ix este momento
    de inercia, tenemos:


    (15)


    (16)

    Las unidades del momento de inercia son la cuarta
    potencia de una
    longitud; por ejemplo: cm4, m4

    Es importante para el cálculo de momento de
    inercia en una figura plana conocer el Teorema de los ejes
    paralelos; el cual dice que el momento de inercia de una
    superficie respecto a un eje cualquiera es igual al momento de
    inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de
    gravedad, más el producto del área por el cuadrado
    de la distancia entre los dos ejes. Para la superficie de la
    Figura 2, los ejes xG e yG pasan por el
    centro de gravedad y los x e y son paralelos a ellos y
    están situados a las distancias x1 e
    y1. Sea A el área de la figura, IxG
    e IyG los momentos de inercia respecto a los ejes del
    centro de gravedad e Ix, Iy los
    correspondientes a los ejes x e y tenemos que:

    Figura 2. Una figura plana cuyo centro de
    gravedad se encuentra a una distancia x1 del eje y, y
    una distancia y1 del eje x.


    (17)


    (18)

    Tabla 2. Momentos de inercias más
    comunes.

    Forma de la compuerta

    Momento de inercia referido al
    centroide

    Rectangular

    b: ancho, h: alto

    Cuadrada

    b: lado

    Circular

    r: radio

    1.8
    Presión sobre superficies planas.

    La presión en el seno de un líquido en
    reposo se ejerce siempre normalmente a la superficie, de tal modo
    que si tuviéramos un vaso que contiene un líquido y
    hacemos orificios en varios puntos del vaso, el líquido
    saldría en chorros cuyas direcciones son normales a las
    paredes (durante un corto trayecto por supuesto) en los puntos de
    salida (Figura 3).

    Figura 3. Depósito cónico al cual
    se la realizado diferentes perforaciones.

    Supongamos que una superficie rectangular sumergida en
    el seno de un líquido, y a la que pondremos en diferentes
    posiciones con respecto a la superficie libre del
    líquido.

    Figura 4. Superficie plana colocada paralela con
    respecto a la superficie libre.

    Primero la supondremos paralela a la superficie libre,
    sumergida a una profundidad h. La presión en todos los
    puntos de esa superficie es la misma, es decir, es uniforme. Para
    calcular el valor de la presión es necesario conocer la
    profundidad h y el peso especifico del líquido. Llamando A a un punto
    cualquiera de la superficie en cuestión,
    tenemos:

    PA = . h (19)

    Para calcular la fuerza que obra sobre toda la
    superficie S (empuje del líquido sobre la superficie), que
    llamaremos F, tenemos:

    F = . h
    . S (20)

    En la expresión anterior S es la superficie y
    debe tenerse cuidado de no confundir el empuje con la
    presión. Si la presión es uniforme sobre una
    superficie determinada, la resultante de las fuerzas que se
    están ejerciendo sobre cada punto es el empuje o fuerza
    total y pasa por el centro de gravedad de la
    superficie.

    F se interpreta diciendo que "cuando la
    presión es uniforme sobre una superficie plana, el empuje
    tiene un valor igual a la intensidad de la presión en
    cualquier punto, multiplicado por la superficie
    ". El empuje
    queda representado por un vector normal a la superficie, que pasa
    por el centro de gravedad de ésta.

    Consideremos ahora una superficie pero inclinada con
    respecto a la superficie libre del líquido. Aquí la
    presión no es uniforme en todos los puntos de la
    superficie, sino que va variando siendo menor en A y aumentando
    hasta B (Figura 5).

    Figura 5. Distribución de las fuerzas
    debida a una columna de líquido en una superficie plana
    inclinada

    El empuje debe ser normal a la superficie y ya no pasa
    por el centro de gravedad de ésta sino más abajo
    porque la resultante del sistema de fuerzas paralelas formado por
    las distintas presiones estará cerca de las fuerzas de
    mayor intensidad. El punto por donde pasa el empuje que el
    líquido ejerce sobre la superficie se llama "centro de
    presión".

    Para que quede determinado el empuje es necesario
    determinar primero su intensidad y enseguida la
    localización del centro de presión.

    En la Figura 6 se muestran las proyecciones de cualquier
    superficie plana AB sujeta a la presión estática
    de un líquido con superficie libre. La superficie AB hace
    un ángulo cualquiera con la horizontal; prolongado el
    plano de esa superficie, intercepta la superficie libre del
    líquido según una recta XX’ mostrada como un
    punto M en (a).

    Figura 6. Superficie plana
    sumergida en el seno de un líquido

    Supongamos que una faja elemental de la superficie
    tomada paralelamente al eje XX’. La presión sobre
    esta faja es uniforme y a su empuje podemos llamar dF. La
    resultante de las dF es una fuerza que ya dijimos, cae en
    el centro de presión; se tiene:

    (21)

    (22)

    La superficie plana en su intersección con la
    superficie libre da una línea que es interesante
    considerar:


    (23)

    por sustitución, nos queda…


    (24)

    por cierto, que es el momento estático de la superficie S con
    respecto al eje XX’, por lo tanto:


    (25)

    por sustitución, nos queda…

    (26)

    pero como;; por lo que al sustituir…


    (27)

    "El empuje o fuerza de presión sobre la
    superficie plana, tiene por valor el producto de la
    presión en el centro de gravedad por la superficie
    considerada", o sea:


    (28)

    Donde:

    : peso
    específico del fluido en el que se encuentra sumergido la
    superficie libre.

    :
    profundidad a la que se encuentra el centro de gravedad de la
    superficie libre.

    A: área de la compuerta

    La distancia del centro de gravedad de la superficie al
    centro de presión se calcula:


    (29)

    Donde:

    Ic : momento de inercia de la superficie respecto al
    centroide

    yc: distancia desde el centro de gravedad a
    la superficie libre en la dirección de inclinación de la
    compuerta

    A: área total de la superficie
    sumergida

    1.9
    ¿Qué es la hidrodinámica?

    Es la rama de la física que se encarga del
    estudio de los fluidos animados de movimiento.

    1.10 Gasto
    volumétrico y la ecuación de
    continuidad.

    El gasto volumétrico o caudal es el volumen de
    agua que pasa a través de una sección de
    tubería por unidad de tiempo. Se
    expresa en m3/s, Lt/s, Pie3/s dependiendo
    del sistema de unidades en que se trabaje.


    (30)

    Donde:

    Q: gasto volumétrico, m3/s

    v: velocidad promedia del fluido en la sección
    transversal de estudio, m/s

    A: superficie de la sección transversal,
    m2

    t: tiempo en que circula en volumen V a través de
    la sección de estudio, s

    V: volumen que atraviesa la sección transversal,
    m3

    Cuando el gasto es igual en todas las secciones de un
    conducto, se dice que el régimen del escurrimiento es
    permanente.

    Cuando el régimen es permanente y el conducto
    tiene diámetro variable, la velocidad es diferente en cada
    sección e inversamente proporcional a ella, de tal manera
    que:


    (31)

    La anterior expresión se conoce como
    "Ecuación de continuidad"

    1.11 Teorema de
    Bernoulli.

    A medida que un fluido se mueve por un tubo de
    sección transversal y altura variable, la presión
    cambia a lo largo del mismo. En 1738, el físico suizo
    Daniel Bernoulli dedujo por vez primera una expresión que
    relaciona la presión con la velocidad y elevación
    del fluido.

    Figura 7. El fluido en la sección de
    longitud x1 se mueve en la sección de
    longitud x2. Los volúmenes de fluidos
    en las dos secciones son iguales.

    Considere el flujo de un fluido ideal por un tubo no
    uniforme en un tiempo t. Como se ilustra en la Figura 7.
    La fuerza sobre el extremo inferior del fluido es
    P1.A1, donde P1 es la
    presión en la sección 1. El trabajo
    realizado por esta fuerza es W1 =
    F1.x1 =
    P1.A1.x1 =
    P1.V1 donde V es el
    volumen de la sección 1. Análogamente, el trabajo
    realizado por el fluido en el extremo superior en el tiempo
    t es W2 = –
    F2.x2 = –
    P2.A2.x2 = –
    P2.V2 (el volumen que pasa
    por la sección 1 en un tiempo t es igual al
    volumen que pasa por la sección 2 en el mismo intervalo de
    tiempo). Este trabajo es negativo por que la fuerza del fluido se
    opone al desplazamiento. Así vemos que el trabajo neto
    hecho por estas fuerzas en el tiempo t es:

    W = (P1 –
    P2).V (32)

    Parte de este trabajo se utiliza para cambiar la
    energía cinética del fluido y otra parte para
    cambiar la energía potencial gravitatoria. Si m es
    la masa que pasa por el tubo en el tiempo t, entonces el
    cambio de energía cinética es:

    m.v22 –
    m.v12(33)

    El cambio de energía potencial gravitatoria
    es:

    U =  m.g.y2 – 
    m.g.y1(34)

    Podemos aplicar el Teorema Del Trabajo y La
    Energía en la forma W =  K +  U a este
    volumen del fluido y obtener:

    (P1 – P2).V
    = m.v22 –
    m.v12 +
     m.g.y2 – 
    m.g.y1(35)

    Si dividimos cada término entre V y
    recordamos que,
    la expresión anterior se reduce a:

    P1 – P2 = .v22 – .v12 + .g.y2 –
    .g.y1(36)

    Ordenando la expresión…


    (37)

    "Si no hay pérdida de carga entre dos secciones
    de la circulación de un líquido en régimen
    permanente, la suma de las cargas de altura o posición, de
    velocidad y de presión es constante en cada sección
    del líquido"

    Esta expresión solo es valedera si se considera
    que no existen perdidas entre el tramo 1 y 2.

    Donde:

    h : carga de altura o posición, m

    : carga
    de velocidad, m

    : carga
    de presión, m

    1.12 Número
    de Reynolds y los regimenes de flujo.

    El número de Reynolds es un número
    adimensional que se utiliza en la mecánica de fluidos para
    estudiar el movimiento de un fluido en el interior de una
    tubería, o alrededor de un obstáculo sólido.
    Se representa por R. El número de Reynolds puede ser
    calculado para cada conducción recorrida por un
    determinado fluido y es el producto de la velocidad, la densidad
    del fluido y el diámetro de la tubería dividido
    entre la viscosidad del fluido.

    Para un mismo valor de este número el flujo posee
    idénticas características cualquiera que sea la
    tubería o el fluido que circule por ella. Si R es menor de
    2.100 el flujo a través de la tubería es siempre
    laminar; cuando los valores son
    superiores a 2.100 el flujo es turbulento.

    De acuerdo con la expresión del número de
    Reynolds, cuanto más elevada sea la viscosidad de un
    fluido mayor podrá ser el diámetro de la
    tubería sin que el flujo deje de ser laminar, puesto que
    las densidades de los líquidos son casi todas del mismo
    orden de magnitud. Por este motivo los oleoductos, en
    régimen laminar, pueden tener secciones superiores a las
    conducciones de agua, ya que la viscosidad de los fluidos que
    circulan por aquéllos es mayor que la del agua.


    (38)

    Donde:

    NRe: Número de Reynold,
    adimensional

    V: velocidad media del fluido, m/s

    : densidad media del fluido,
    Kg/m3

    D: diámetro interno de la tubería,
    m

    : viscosidad absoluta del fluido,
    N.s/m2

    PROBLEMAS PROPUESTOS
    CON RESPUESTAS

    Dada la variedad de métodos para resolver
    problemas que involucren los conceptos de hidrostática e
    hidrodinámica, se presentarán los problemas sin
    ningún orden temático de
    agrupación.

    1. Denver, Colorado, se conoce como la "Ciudad a una
      Milla de Altura" debido a que está situada a una
      elevación aproximada de 5.200 pies. Si la presión
      a nivel del mar es de 101,3 KPa (abs), ¿Cuál es
      la presión atmosférica en Denver?. Densidad del
      aire = 1,29
      Kg/m3. Sol. 81,2 KPa
    2. Un barómetro indica que la presión
      atmosférica es de 30,65 pulgadas de mercurio. Calcule la
      presión atmosférica en lb/pulg2
      absoluta? Sol. 15,058 psi
    3. ¿Cuál es la lectura
      de presión barométrica en milímetros de
      mercurio correspondiente a 101,3 KPa(abs)? Sol. 759,812 mm
      de Hg a 0 ºC

    4. Para el tanque de la Figura, determine la profundidad
      del aceite, h, si la lectura en el medidor de presión
      del fondo es de 35,5 lb/pulg2 relativa, la parte
      superior del tanque está sellada y el medidor superior
      indica 30 lb/pulg2 relativa. Sol. 13,355
      Ft

    5. Para el manómetro diferencial que se muestra en la
      Figura, calcule la diferencia de presión entre los
      puntos A y B. La gravedad específica del aceite es de
      0,85 Sol. PA-PB = 37,20
      Lb/Ft2
    6. ¿A qué carga de altura de tetracloruro
      de carbono
      (densidad relativa 1,59) es equivalente una presión de
      200 KPa? Sol. 12,83 m
    7. Un recipiente contiene 10 Lt de agua pura a 20
      ºC. ¿Cuál es su masa y su peso? Sol.
      9,9758 kg y 97.862 N
    8. La misma pregunta 7, suponiendo el recipiente en la
      Luna en donde la atracción gravitacional es 1.66
      m/s2 Sol. 16,559 N
    9. Calcular el empuje que experimenta un cuerpo que
      flota sobre un líquido de densidad igual a 0,8
      g/cm3, desalojando 20 cm3 de
      líquido Sol. 0,157 N
    10. Un cuerpo pesa en el aire 600 N y sumergido
      totalmente en agua pesa 200 N. Calcular su peso
      específico Sol. 14716,7
      N/m3
    11. Un cuerpo pesa 800 N sumergido totalmente en agua y
      600 N sumergido totalmente en un líquido de densidad
      igual a 1,2 g/cm3. Hallar cuánto
      pesará sumergido totalmente en alcohol de
      peso específico igual a 0,8 g/cm3 Sol.
      1000,124 N
    12. Calcule el momento necesario para mantener la
      compuerta cerrada. La compuerta mide 2 m x 2 m. Sol.
      1090251,595 N.m sentido horario
    13. Dos recipientes pequeños están
      conectados a un manómetro de tubo en U que contiene
      mercurio (densidad relativa 13,56) y los tubos de
      conexión están llenos de alcohol (densidad
      relativa 0,82). El recipiente que se encuentra que se encuentra
      a mayor presión está a una elevación de 2
      m menor que la del otro. ¿Cuál es la diferencia
      de presión entre los recipientes cuando la diferencia
      estable en el nivel de los meniscos de mercurio es de 225 mm?.
      ¿Cuál es la diferencia en carga de altura
      piezométrica?. Si se usara un manómetro de tubo
      en U invertido conteniendo un líquido de densidad
      relativa 0,74 en lugar del anterior, ¿cuál seria
      la lectura del manómetro para la misma diferencia de
      presión? Sol. 44,2 kPa, 0,332 m; 6,088
      m
    14. ¿Cuál es la posición del centro
      de presión de un plano semicircular verticalmente
      sumergido en un líquido homogéneo y con su
      diámetro d dispuesto en la superficie libre?
      Sol. Sobre la línea central y a una profundidad
    15. Una abertura circular de 1,2 m de diámetro en
      el lado vertical de un depósito, se cierra por medio de
      un disco vertical que ajusta apenas en la abertura y esta
      pivoteado sobre un eje que pasa a través de su
      diámetro horizontal. Demuéstrese que, si el nivel
      de agua en el depósito se halla arriba de la parte
      superior del disco, el momento de volteo sobre el eje,
      requerido para mantener vertical al disco, es independiente de
      la carga de altura del agua. Calcúlese el valor de este
      momento. Sol. 998 N.m
    16. Un recipiente con agua, de masa total de 5 kg, se
      encuentra sobre una báscula para paquetes. Se suspende
      un bloque de hierro de
      masa 2,7 kg y densidad relativa 7,5, por medio de un alambre
      delgado desde una balanza de resorte y se hace descender dentro
      del agua hasta quedar completamente sumergido.
      ¿Cuáles son las lecturas en las dos balanzas?
      Sol. 2,34 kgf, 5,36 kgf
    17. Un cilindro de madera
      uniforme tiene una densidad relativa de 0,6. Determínese
      la relación entre el diámetro y la longitud del
      mismo, para que éste flote casi vertical en el agua.
      Sol. 1,386
    18. ¿Qué fuerza ejercerá el
      pistón menor de un sillón de dentista para elevar
      a un paciente de 85 Kg?, si el sillón es de 300 Kg y los
      émbolos son de 8 cm y 40 cm de radio. Sol.
      151,02 N
    19. En un tubo U se coloca agua y nafta, las
      alturas alcanzadas son 52 cm y 74 cm respectivamente,
      ¿cuál es la densidad de la nafta? Sol. 0,71
      g/cm3
    20. Un cubo de aluminio
      (=2.7 gf/cm3) de 3 cm de
      lado se coloca en agua de mar ( = 1,025
      gf/cm3). ¿Flotará? Sol.
      No
    21. Un cuerpo pesa en el aire 289 gf, en agua
      190 gf y en alcohol 210 gf.
      ¿Cuál será el peso específico del
      cuerpo y del alcohol? Sol. Cuerpo: 2,92
      gf/cm3, alcohol: 0,798
      gf/cm3
    22. Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55
      gf, ¿cuál será el empuje que
      sufrirá en éter? (= 0,72
      g/cm3) Sol. 36,69 gf

      ¿Cuál será la velocidad de
      salida? Sol. 6,41 m/s

      ¿Cuál será el alcance del
      chorro? Sol. 2,74 m

    23. Un recipiente cilíndrico de 3 m de alto
      está lleno de agua, a 90 cm de la base se le practica un
      orificio de 2 cm2 de sección,
      determinar:
    24. ¿Cuál será la sección de
      un orificio por donde sale un líquido si el caudal es de
      0,8 dm3/s y se mantiene un desnivel constante de 50
      cm entre el orificio y la superficie libre del líquido
      Sol. 2,55 cm2
    25. Calcular la velocidad de salida de un líquido
      por un orificio situado a 6 cm de la superficie libre del
      líquido. Sol. 108,4 cm/s
    26. Por un conducto recto circula agua a una velocidad de
      4 m/s. Si la sección del tubo es de 2 cm2,
      ¿cuál es el caudal de la corriente? Sol. 800
      cm3/s
    27. Por una cañería circula agua con un
      régimen estacionario a caudal constante. Considerando
      dos secciones de esa cañería; S1 = 5
      cm2 y S2 = 2 cm2,
      ¿cuál será la velocidad en la segunda
      sección, si en la primera es de 8 m/s? Sol. 20
      m/s
    28. Por un orificio sale agua a razón de 180
      l/min. Si se mantiene constante el desnivel de 30 cm entre el
      orificio y la superficie libre del líquido,
      ¿cuál es la sección del orificio? Sol.
      12,3 cm2
    29. Calcular la velocidad de salida de un líquido
      por un orificio situado a 4,9 cm de la superficie libre del
      líquido. Sol. 98 cm/s
    30. Por un tubo de 15 cm2 de sección
      sale agua a razón de 100 cm/s. Calcule la cantidad de
      litros que salen en 30 minutos. Sol. 2700 l
    31. El caudal de una corriente estacionaria es de 600
      l/min. Las secciones de la tubería son de 5
      cm2 y 12 cm2. Calcule la velocidad de
      cada sección. Sol. 2000 cm/s y 83,33
      cm/s
    32. Una corriente estacionaria circula por una
      tubería que sufre un ensanchamiento. Si las secciones
      son de 1.4 cm2 y 4.23 cm2 respectivamente, ¿cuál
      es la velocidad de la segunda sección si en la primera
      es de 6 m/s? Sol. 2 m/s
    33. Calcular el volumen que pasa en 18 segundos por una
      cañería de 3 cm2 de sección si
      la velocidad de la corriente es de 40 cm/seg Sol. 2160
      cm3
    34. ¿Cuál es el caudal de una corriente que
      sale por una canilla de 0,5 cm de radio si la velocidad de
      salida es de 30 m/s? Sol. 23,55
      cm3/seg
    35. Convertir 30 l/min a cm3/seg Sol. 5000
      cm3/seg
    1. Un tanque provisto de una compuerta circular es
      destinado a la recolección de agua de mar (S = 1,03)
      como se muestra en la figura anexa. Para impedir que la
      compuerta abra se colocará piedras en el borde inferior
      de la misma. Determine la masa de piedra necesaria para evitar
      que se aperture la compuerta. Masa de la compuerta: 1 tonelada,
      ángulo de inclinación: 30 º, diámetro
      de la compuerta: 10 m. Sol: 10273,52 Kg
    2. Un prisma de hielo se ha colocado verticalmente en
      agua de mar, sobresale 25 m. Determinar su altura total
      sabiendo que la densidad del hielo es 0,914 g/cm3 y
      la densidad del agua de mar es 1,023 g/cm3. Sol:
      234,08 m
    3. La velocidad de una corriente estacionaria es de 50
      cm/s y su caudal es 10 L/s. ¿Cuál es la
      sección transversal del tubo?. Sol: 0,02
      m2
    4. Un cilindro de anime (Sa = 0,68) se
      encuentra flotando en alcohol (Sal = 0,90).
      Determine el porcentaje de la altura total del cilindro que
      emerge sobre la línea de flotación. Si se
      colocase hierro en la parte superior del cilindro a fin de
      sumergirlo totalmente, ¿cuál es la
      relación entre la masa de hierro (SFe = 7,8)
      y la masa de anime? Sol. 24 % de la altura total;
      mFe/man = 0,322347
    5. Un sistema de bombeo funciona a plena carga trasladando
      petróleo (Sp = 0,87), desde
      un punto ubicado a 150 metros sobre nivel del mar (msnm) a
      otro localizado a 1250 msnm. La presión en la
      succión es 150 psi y en la descarga 258,6 psi. Calcula
      el caudal de fluido manejado por el sistema, sabiendo que la
      relación de diámetro entre succión y
      descarga es 3 (Ds/Dd); Dd = 20 cm. Sol. 4,474
      m3/s

      1. En la figura adjunta se presenta un contenedor de
        aceite (Sa = 0,80), el cual posee dos compuertas
        cuadradas a los lados, inclinadas respecto a la
        horizontal 60 º. Determina cuánto debe ser la
        máxima altura de fluido "h" que puede estar
        presente dentro del contenedor, sabiendo que la
        resistencia a la rotura del cable AB es de 680.000
        Pascales (el cable AB mantiene ambas compuertas
        cerradas). Cada compuerta tiene un peso de 50.000 N. El
        C.G. de las compuertas se encuentra a 2,5 m del fondo
        (medido verticalmente). Sol. 6,411 m

      2. Sabiendo que: PA – PB =
        14.500 psi; dA = 25 cm; dB = 5 cm y
        S del fluido igual 0,90. Determine el caudal en
        m3/s. Sol. 0,926 m3/s

      3. Se desea elevar un bloque de hierro (cuyo peso es
        650 N) usando una esfera de un material especial
        (Se = 0,60). Sabiendo que la línea de
        flotación de la esfera se encuentra exactamente en
        su mitad, ¿Cuánto debe ser el volumen de la
        esfera? Sol. 1,325 m3
      4. Una esfera de plástico flota en el agua con 50 % de
        su volumen sumergido. Esta misma esfera flota en aceite con
        40 % de su volumen sumergido. Determine las densidades del
        aceite y de la esfera. Sol.
        esfera = 500 kg/m3;
        aceite = 1250
        kg/m3
      5. En la figura adjunta se presenta un sistema
        cilindro – pistón. El pistón transmite
        una fuerza de 650.000 N a la superficie de un
        líquido cuya gravedad específica es 0,52. La
        sección transversal del pistón es circular.
        Al lado derecho del cilindro se ubica una compuerta
        cuadrada, que tiene libertad
        para girar alrededor del punto A. Determine,
        ¿Cuánto debe ser la magnitud de la fuerza Fx
        y su línea de acción para que la compuerta
        permanezca cerrada? Sol. 4605912,72 N; 0,02 m por debajo
        del centro de gravedad de la compuerta
    6. Un tanque presurizado con aire contiene un
      líquido de peso específico desconocido. El mismo
      posee una compuerta rectangular como se muestra en la figura
      adjunta; si la presión del aire es 200000
      N/m2 y la presión en el fondo del tanque es
      de 500000 N/m2. Determínese la magnitud de la
      fuerza de presión y la línea de acción de la misma. Sol: Fp
      = 42.012.000 N; CG-CP = 0,714 m
      .

    PREGUNTAS DE
    RAZONAMIENTO

    Definir:

    1. Presión absoluta
    2. Presión manométrica
    3. Presión atmosférica
    4. Escriba la expresión que relaciona
      Presión manométrica, Presión absoluta y
      Presión atmosférica.
    1. Dos vasos de vidrio para
      beber, con pesos iguales pero diferentes formas y diferentes
      áreas de sección transversal se llenan con agua
      hasta el mismo nivel. De acuerdo con la expresión P = Po
      + gh, la
      presión es la misma en le fondo de ambos vasos. En vista
      de lo anterior, ¿por qué uno pesa más que
      le otro?
    2. Si la parte superior de su cabeza tiene un
      área de 100 cm2, ¿cuál es el
      peso del aire sobre usted?
    3. El humo sube por una chimenea más
      rápido cuando sopla una brisa. Con la Ecuación de
      Bernoulli explique este fenómeno
    4. Una lata de refresco dietético flota cuando se
      pone en un tanque de agua, en tanto que una lata de refresco
      ordinario de la misma marca se
      sumerge en el tanque. ¿Qué pudiera explicar este
      comportamiento?
    5. Un pequeño pedazo de acero
      está pegado a un bloque de madera. Cuando la madera se
      coloca en una tina con agua con el acero en la parte superior,
      la mitad del bloque se sumerge. Si el bloque se invierte, de
      manera que el acero quede bajo el agua, ¿la cantidad
      sumergida del bloque aumenta, disminuye o permanece
      igual?¿qué pasa con el agua en el tubo cuando el
      bloque se invierte?
    6. ¿Cómo determinaría usted la
      densidad de una roca de forma irregular?
    7. Una placa plana está inmersa en un
      líquido en reposo. ¿En que orientación de
      la placa la presión sobre su superficie plana es
      uniforme?
    8. Cuándo un objeto está sumergido en un
      líquido en reposo, ¿por qué la fuerza neta
      sobre el objeto es igual a cero en la dirección
      horizontal?
    9. ¿Cuándo la fuerza de flotación
      es mayor sobre un nadador: después que él exhala
      o después de inhalar?
    10. ¿Un manómetro sirve para medir presiones
      absolutas?. Explique muy brevemente.

      PROBLEMAS
      PROPUESTOS SIN RESPUESTAS

      1. Por un tubo Venturi que tiene un diámetro
        de 25 cm en la sección de entrada y de 2000 mm en la
        sección más angosta, circula un aceite
        mineral de densidad relativa 0,80. La caída de
        presión entre la sección mayor y la de la
        garganta, medida en el aparato, es de 0,90
        lbf/cm2. Hállese el valor del caudal en
        m3/s.
      2. Un plano rectangular de 2 m por 4 m, se encuentra
        sumergido en agua, forma un ángulo de 60º con
        respecto a la horizontal, estando horizontales los lados de
        2 m. Calcúlese la magnitud de la fuerza sobre una
        cara y la posición del centro de presión
        cuando el borde superior del plano se
        encuentra:
    11. ¿Las presiones absolutas pueden ser
      negativas?. Explique muy brevemente.

    En la superficie del agua.

    A 600 mm debajo de la superficie del agua.

    A 20 Ft debajo de superficie del agua.

    3. Un tubo Venturi puede utilizarse como un medidor de
    flujo de líquido (ver figura). Si la diferencia en la
    presión P1 – P2 = 15 kPa, encuentre
    la tasa de flujo del fluido en Ft3/s dado que el radio
    del tubo de salida es 2.0 cm el radio del tubo de entrada es 4.0
    cm y el fluido es gasolina (densidad igual a 700
    Kg/m3).

    1. Por un tubo Venturi que tiene un diámetro de 0,5
      m en la sección de entrada y de 0,01 m en la
      sección de salida, circula gasolina de densidad
      relativa 0,82. Si el gasto volumétrico es de 15
      Ft3/min. Determínese la caída de
      presión entre la sección mayor y la de la
      garganta, medida Lbf/pulg2.

      Datos adicionales:

      Densidad del agua: 9810 N/m3.

      El lado más largo, horizontal al fondo del
      tanque mide 4 m.

    2. Una empresa posee
      un tanque en donde recolecta grasa animal procedente de su
      proceso productivo. El grosor de la capa de grasa es de 0,5
      m, debajo de ella se encuentra una columna de agua de 2,5 m
      de espesor. Determínese la mínima magnitud de
      la fuerza F para mantener la compuerta cerrada.
      Téngase en consideración que la fuerza F
      es ortogonal a la superficie de la compuerta, la
      inclinación de ella con relación al fondo es de
      30°.

      Debido a una situación fortuita la
      tubería principal (3 pulgadas) sufrió una
      avería por lo que se remplazará por una
      tubería de 2 pulgadas. ¿Cuál debe ser el
      nuevo caudal para que la caída de presión se
      mantenga igual a las condiciones iniciales?

    3. Un sistema de riego proporciona un caudal de 2,5
      m3/hr a un conjunto de parcelas agrícolas.
      La tubería principal tiene un diámetro de 3
      pulgadas, el cual se reduce a 1,5 pulgadas antes de llegar al
      tanque de distribución.

      Datos adicionales:

      Densidad del agua: 9810 N/m3, el peso de
      la compuerta es de 65.600 N

      La compuerta es rectangular, y posee un eje en el
      fondo del estanque

      El lado más largo, horizontal al fondo del
      tanque mide 4 m

    4. Una empresa posee un tanque en donde recolecta aceite
      mineral procedente de su proceso productivo. El grosor de la
      capa de aceite mineral es de 10 m. Determínese la
      magnitud de la fuerza de tracción a la que es sometido
      el cable de seguridad,
      el cual mantiene la compuerta cerrada.
    5. Un ingeniero debe diseñar una reducción
      para un sistema de transmisión de aceite combustible
      grado 1 cuya gravedad específica es de 0,825. A
      continuación se presentan las características que
      debe presentar el mencionado diseño:
    • Relación de diámetro: 6
      [D1/D2]
    • Relación entre la presión de entrada y
      salida: 5 [P1/P2]
    • Gasto volumétrico que debe manejarse: 6
      m3/h
    • Presión a la entrada: 100 Pa
      [Pascales]

    Calcúlese los diámetros en
    centímetros de la entrada y salida de la
    reducción

    1. Un tubo posee mercurio y en posición vertical el
      nivel es de 48 cm. Si se inclina, ¿la presión
      en el fondo aumenta o disminuye?. ¿Por
      qué?

    2. A continuación se presenta una
      configuración experimental (Tubo Venturi) para
      cuantificar el gasto volumétrico que discurre a
      través de una tubería de sección
      transversal circular. Demuéstrese que el caudal esta
      dado por la siguiente expresión:
    3. Un prisma de cemento
      pesa 2.500 N y ejerce una presión de 125 Pa.
      ¿Cuál es la superficie de su base?

      Al caer por su propio peso en agua

      Al elevarse cuando se le sumerge en mercurio de
      densidad relativa 13,5.

    4. Hallar la aceleración del movimiento de una bola
      de hierro de densidad relativa 7,8

      La velocidad del agua en el punto de
      descarga.

    5. Una bomba eleva el agua de un lago a razón de
      0,6 m3/min, a través de una tubería
      de 5 cm de diámetro, descargándola en un punto,
      al aire libre, a 20 m sobre la superficie libre del mismo.
      Hallar:

    6. La compuerta AB de 1,80 m de diámetro de la
      figura adjunta puede girar alrededor del eje horizontal C,
      situado 10 cm por debajo del centro de gravedad. ¿Hasta
      qué altura h puede ascender el agua sin que se
      produzca un momento no equilibrado respecto de C, del sentido
      de las agujas del reloj?.
    7. Una piedra pesa 54 N en el aire y 24 N cuando esta
      sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad
      relativa de la piedra. (Principio de
      Arquímedes).
    8. Una tubería, que transporta aceite de densidad
      relativa 0,877, pasa por una sección de 15 cm.
      (sección E) de diámetro, a otra de 45 cm.
      (sección R). La sección E está 3,6 m por
      debajo de la sección R y las presiones son
      respectivamente 0,930 kgf/cm2 y 0,615
      kgf/cm2. Si el caudal es de 146 L/s,
      determinar la pérdida de carga en la dirección
      del flujo. (Ver pie de página para aclarar el concepto
      de pérdida de carga).
    9. Un depósito cerrado contiene 60 cm de
      mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad
      relativa 0,750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si
      la presión manométrica en el fondo del
      depósito es de 3 kgf/cm2, ¿Cuál
      es la lectura manométrica en la parte superior del
      depósito?. Densidad relativa del mercurio: 13,6;
      densidad del agua: 1000 Kgf/cm3.
    10. Un iceberg de peso específico 912
      kgf/cm2 flota en el océano (1025
      kgf/cm2), emergiendo del agua un volumen de 600
      m3. ¿Cuál es el volumen total del
      iceberg?.
    11. Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un
      corto tramo en el que el diámetro se reduce
      gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm. La
      sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la
      sección A, situada en la tubería de 30 cm,
      donde la presión es de 5,25 kgf/cm2. Si
      entre las dos secciones anteriores se conecta un
      manómetro diferencial de mercurio, ¿Cuál
      es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo
      un caudal de agua de 120 l/s?. Supóngase que no existe
      pérdidas.

    12. La compuerta de la figura adjunta está
      articulada en B y tiene 1,20 m de ancho. El tramo AB pesa 5000
      Kgf y el tramo BC 2500 Kgf, Determine el peso del objeto M para
      que el sistema se encuentre en equilibrio.
      El fluido es aceite de densidad relativa igual a
      0,8.
    13. Un obrero registra la presión interna del
      fluido a lo largo de un gasoducto. Encuentra 265 psi en una
      zona, cuya sección transversal es de 35 pulgadas de
      diámetro; 2 Km después, mide la misma
      presión, en una zona cuya sección transversal es
      de 20 pulgadas. Explique.

    BIBLIOGRAFÍA
    RECOMENDADA

    Resnick, R. y Halliday, D. (1984) Física.
    Tomo I (Séptima impresión). Compañía
    Editorial Continental: México.

    Serway, Raymond (1998) Física. Tomo I
    (Cuarta edición). Mc Graw-Hill:
    México.

    VÍNCULOS WEB RELACIONADOS
    CON EL TEMA

    http://www.fisicanet.com

    http://www.tutoria.com

     

    Elaborado por

    Paredes T. Franklin J.

    San Carlos, Febrero 2004

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