Los principales objetivos de
este artículo son:
(1) Exponer las características básicas de
los sistemas modales
epistémicos basados en estructuras de Kripke.
(2) Mostrar mediante un ejemplo imaginario, cómo
podría representarse a través de estas estructuras
el
conocimiento que los miembros de un determinado grupo (un
grupo de agentes), tienen acerca de alguna
situación, de sí mismos o de otros sujetos. (2.3.
Sistemas multi-agente: El caso del detective).
(3) Relacionar estos ejemplos con algunos enigmas
lógicos propuestos por R. Smullyan u otros autores
así como algunas variantes del dilema del prisionero o
teorías
filosóficas acerca de la inteligencia
artificial.
PALABRAS CLAVE: Lógica
modal epistémica, sistemas multi-agente, modelos de
Kripke.
Los diseños de sistemas multi-agente basados
en la lógica modal epistémica pueden
estar fundamentados en estructuras de Kripke (o Modelos de
Kripke), denominadas así en honor a S. Kripke, cuyos
trabajos han constituido la base de las aportaciones
posteriores relativas a la lógica modal. (cfr.
S.Kripke, 1959, 1963a, 1963b, 1965).Estas estructuras, nos permiten representar el
razonamiento de uno o varios agentes acerca del conocimiento de otro u otros agentes o incluso
de su propio conocimiento, (en cuyo caso podríamos
representar una situación de
introspección).A través de estas estructuras podemos
representar además, no sólo el conocimiento
particular de cada agente, sino también el
conocimiento de grupo, común o distribuido de un
determinado grupo de agentes que pertenecen al conjunto de
agentes que han sido asociados al modelo
sobre el que estemos trabajando. Los primeros trabajos sobre
razonamiento acerca del conocimiento fueron escritos
por von Wright (1951), pero fue J.Hintikka (1962) quien puso
de manifiesto por primera vez la relevancia de la
lógica epistémica. Sin duda estas dos
aportaciones, junto con las de Kripke han constituido una
fuente de referencia para los trabajos posteriores sobre
lógica modal epistémica. Pero debemos recordar
también a Lewis (1969), un autor en el que otros como
Halpern y Moses (1990) vieron un precedente de su desarrollo
formal sobre la noción de conocimiento común
(implicit Knowledge) y conocimiento
distribuido.Todas estas cuestiones han sido recogidas en
trabajos más recientes como R.Fagin, J.Y.Halpern,
Y.Moses, M.Y.Vardi (1995) y Huth, M., Ryan, M.
(2000).A través del ejemplo que aquí
planteamos, intentamos mostrar de un modo general cómo
se pueden expresar todas estas ideas mediante los modelos
lógico-epistémicos basados en estructuras de
Kripke y cómo esto puede constituir un punto de
partida para representar otras situaciones de interacción entre agentes, en las que
podamos comprobar el conocimiento que cada uno tiene acerca
del conocimiento de los demás o acerca de su
entorno.- INTRODUCCIÓN
- LÓGICA
MODAL EPISTÉMICA
2.1. Sintaxis y semántica
Los sistemas modales epistémicos son variantes de
los sistemas modales y por tanto, están basados en los
mismos principios y
reglas que los sistemas de lógica clásica, con la
diferencia de que permiten el uso de nuevos conectores
monádicos para los que en otros sistemas modales se
utilizan signos como
estos '[]' o '<>' y que aquí corresponden a los
siguientes:
‘K’,’E’,‘C’,’D’.
La diferencia entre la lógica modal epistémica y
otras variantes modales, estriba principalmente en la interpretación de estos conectores y en las
aplicaciones de los mismos.
Si interpretamos ‘[]’ como necesidad, tal
vez no se requiera utilizar algunas fórmulas que sí
podríamos utilizar al interpretar el mismo signo como
conocimiento y aplicarlo al diseño
de modelos capaces de representar el conocimiento. Hay que
señalar sin embargo, que algunas fórmulas son
sintácticamente válidas en todas las variantes
lógicas modales, como la fórmula K (denominada
así en honor a Kripke), que podemos expresar de estas dos
maneras:
[] (pà q)
& [] p à []
q
O bien así
[] (p à q)
à ([] p à [] q)
En este caso, utilizaremos el conector 'K' en lugar de
‘[]’ para expresar la idea de "conocimiento", 'E'
para expresar la idea de "conocimiento de grupo", 'C' para
expresar la de "conocimiento común" y 'D' para expresar la
de "conocimiento distribuido".
De este modo, podemos interpretar la proposición
Kip, como: "El agente i conoce p", donde p es una
variable que puede ser interpretada como un enunciado acerca de
una situación cualquiera o el conocimiento sobre
algo.
Desde un punto de vista semántico, la
noción de verdad en los modelos de Kripke (o estructuras
de mundos posibles) adquiere un carácter local, ya que cada fórmula
únicamente es verdadera en un "mundo", exceptuando las
fórmulas válidas que tendrían un
carácter universal. Para entender esta idea, podemos
definir la noción de estructura de
Kripke como sigue:
Una estructura o modelo de Kripke cuenta con una serie
de mundos (S) (que en sistemas multi-agente podemos interpretar
como las diferentes situaciones en las que se puede encontrar o
puede imaginarse un agente), un conjunto de relaciones entre
mundos (K1,….Kn) ( estas relaciones
determinan el acceso que cada agente tiene a la verdad de
determinadas proposiciones, es decir, determinan el conocimiento
de cada agente) y una función
a través de la que podemos asignar a cada
fórmula un valor de
verdad "local" dentro de cada mundo.
Formalmente la definición de modelo de Kripke
sería, M = (S, , (K1… K n)). Podemos
interpretar la idea de verdad local de este modo: Si un
mundo s del conjunto de mundos S de un modelo M satisface (' |=
') una fórmula p, entonces se cumple que (M,s ) |=
p.
Esta definición nos facilita la tarea de
comprobar que una fórmula es verdadera en un mundo, pero
¿cómo comprobamos la verdad del conocimiento de
cada agente acerca de esa fórmula? Intuitivamente
podríamos pensar que aunque una proposición p fuera
verdadera el agente no tendría porqué conocerla y
por tanto Kip no sería una proposición
verdadera.
Podemos entender la idea de conocimiento verdadero
recurriendo a la idea de accesibilidad (Cfr. Huth y Ryan (2000,
cap.5)). Así, podemos entender que el conocimiento que un
agente tiene acerca de algo refiere a su acceso a un tipo de
información verdadera que consiste en lo siguiente:
Un agente sólo puede conocer algo cuando en todos
los mundos m1, m2, m3,…,
m n a los que tiene acceso desde un determinado
mundo m, esa fórmula es verdadera.
Es importante tener en cuenta que el conocimiento de
cada agente se evalúa tomando como referencia algún
mundo. Por tanto, si desde un mundo s un agente i tiene acceso a
otros mundos t y z a través de la relación
Ki, podemos decir, que el agente conoce una
proposición p solo si, esa proposición se satisface
en todos los mundos a los que el agente tiene acceso desde s
(esto es, si p se satisface en t y en z). Formalmente
podríamos expresar esta idea así:
(M, s) |= Kip, sii -si y solo si- para cada
t S, hay una relación R(s,t) = Ki.
Como resultado t |= p.
A partir de la definición de conocimiento
podemos expresar la de creencia, como
¬Ki¬ p o ¬ Kip. La primera
fórmula serviría para expresar la idea de que
agente i no sabe que p no sea cierto, es decir, que cree que
pueda ser verdadero. La segunda expresaría la idea de que
el agente i no sabe que p es cierto. Pero también
podría interpretarse como que cree que lo es. Otro caso
sería, que el agente supiera (estuviera convencido) de que
algo no es cierto, en cuyo caso tendríamos que
utilizar esta otra fórmula: Ki ¬ p (El
agente sabe que p no es cierto).
La definición de verdad de las funciones propias
de la lógica clásica como la negación, la
conjunción, la disyunción, la implicación o
la equivalencia sería como sigue:
Comencemos por las variables
simples. ¿Cuando son verdaderas?
(M, s) |= p sii (si y solo si) p
(s) (si con la función
hemos asignado la fórmula p al mundo
s)
Prosigamos con las funciones
(M, s) |= ¬ p sii (M,s) ||-/- p
(M, s) |= (p & q) , sii ((M,s) |= p) y ((M,s) |=
q)
(M, s) |= (p v q), sii ((M,s) |= p) o ((M,s) |=
q)
(M, s) |= (p à q) ,
sii ((M,s) |= q), siempre que ((M,s) |= p)
(M, s) |= (p ß
à q), sii (M,s |= p) sii
((M,s) |= q).
Otras definiciones propiamente modales además de
la de conocimiento de un agente serían las de conocimiento
de grupo, común o distribuido entre varios
agentes:
CONOCIMIENTO DE GRUPO
(M,s) |= EG p sii (M,s) |= Kip,
para cada i G
Algo es conocimiento de grupo cuando todos los miembros
de un grupo lo conocen
CONOCIMIENTO COMÚN
(M,s) |= CG p sii (M,s) |= EGkp,
for k=1, 2, 3…
Intuitivamente el conocimiento común sería
una reiteración del conocimiento de grupo.
Consistiría en la idea de que todos los miembros de un
grupo saben que los demás saben que ellos saben…..algo.
Se basa en la idea de que el conocimiento de algo puede ser
alcanzado después de un número finito (k) de
pasos.
CONOCIMIENTO DISTRIBUÍDO
(M, s) |= DG p sii (M, t) |= p para cada t,
tal que (s, t) Intersection i
GKi
El conocimiento distribuido equivale a la
dispersión del conocimiento entre un grupo de sujetos. De
este modo, la única manera de obtener un conocimiento
completo de alguna situación sería que todos
pusieran en común lo que saben acerca de algo.
2.2. Relaciones entre mundos
Es importante tener en cuenta que el tipo de relaciones
mediante las que vinculemos los mundos de nuestros modelos,
determinan la verdad de una serie de fórmulas. En el
ejemplo propuesto, las relaciones entre mundos serían de
equivalencia, esto es, reflexivas, simétricas y
transitivas, que informalmente podríamos definir como
sigue:
— Una relación es reflexiva cuando para cada
mundo s S, tenemos una relación R
(s,s).
— Una relación es simétrica cuando para
cada mundo s y t S, se cumple que si R(s,t)
entonces R(t,s)
— Una relación es transitiva cuando para cada s,
t, z S, se cumple que si R(s,t) y R(s,z) entonces
R(s,z).
Este tipo de relaciones convierte en verdaderas estas
fórmulas:
a) (M,s) |= Kip à p (si un agente conoce p desde un
mundo s entonces p es verdadero en ese mundo)
b) (M,s) |= p à
Ki ¬ Ki¬ p (Si p es verdadero en un
mundo al que el agente tenga acceso, entonces el agente sabe que
no tiene conocimiento de que p no sea verdadero, esto no quiere
decir que sepa que p es verdadero, pero al menos lo
cree)
c) Kip à
Ki Kip (Esta fórmula
correspondería a un acto de introspección positiva,
mediante el cual el agente analiza su propio conocimiento. Si
sabe algo, también sabe que lo sabe).
d) ¬ Kip à Ki ¬ Kip
(Es opuesta a la anterior. Corresponde a un acto de
introspección negativa. Si el agente no sabe algo,
también sabe que no lo sabe).
2.3. Sistemas multi-agente: El caso del
detective
Imaginemos una situación policíaca como
las que se describen en las novelas en las
que aparece el personaje Sherlok Holmes. En este caso el
detective está tratando de llegar a una conclusión
acerca de lo que ocurrió el día X y para ello,
necesita reflexionar sobre lo que saben tres de los personajes
con los que ha hablado: A, B y C. A partir de lo que le han
contado y de que su hipótesis es que s representa la
situación real (lo que sucedió realmente) intuye
que A sabe que ocurrió p, pero B cree que pudo suceder p o
q mientras que C no sabe lo que ocurrió aunque B y A creen
que sospecha que pudo suceder p o q. El detective podría
construir un esquema gráfico similar al que aquí
presentamos basándose en un modelo de Kripke para
representar el conocimiento (en este caso las convicciones) de
cada uno. Hagamos primeramente una descripción explícita de los
elementos con que podemos contar:
//Contamos con tres mundos
S = {s, t, z}
//en cada mundo, una de estas proposiciones es
verdadera
= s |= p = V
= t |= q = V
= z |= p = V
//El conocimiento de cada agente está determinado
por las relaciones Ki
Ka = {(s,z),(s,s),(z,z),(z,s)}
Kb = {(s,t),(t,s),(s,s),(t,t)}
Kc = {(t,z),(z,t),(t,t),(z,z)}
¿Qué afirmaciones podría hacer el
detective teniendo en cuenta este modelo? Supongamos que desde su
punto de vista, la situación correcta fuera s. En este
caso,
CONOCIMIENTO DE CADA AGENTE ACERCA DE LA
SITUACION:
1.- B duda entre p y q, no esta convencido de ninguna de
las dos posibilidades porque (M,s) |= ¬ KB p dado
que (M,t) |= ¬ p. Por la misma razón (M,s) |=
¬Kb q
2.- A sí sabe que ocurrió p, porque en los
dos mundos a los que tiene acceso desde s, se satisface p. ((M,s)
|= p y (M,z) |= p. Por tanto, (M,s) |= Ka
p)
3.- C no tiene acceso a s y por tanto, no sabe lo que
ocurrió. (M,s) |= ¬Kc p &
¬Kcq
CONOCIMIENTO ACERCA DEL CONOCIMIENTO DE LOS
DEMÁS
¿Qué podríamos decir acerca de lo
que cada uno sospecha que saben los demás?
4. A cree C y B no saben que ocurrió p, porque
(M,s) |= ¬ Ka[¬ Kbp v
¬Kbq) & (¬Kcp v
¬Kcq)]
5. B cree que A sabe que ocurrió p porque (M,s)
|= ¬Kb ¬Ka p y también cree
que C no lo sabe porque (M,s) |= ¬Kb
Kcp.
6. C no sabe lo que saben A ni B, pero tanto A como B
creen que C cree que A sabe lo que ocurrió y que B no
está seguro, porque
(M,s) |= (¬Kb¬KcKbp)
&
(¬Ka¬Kc¬Kap)
CONOCIMIENTO DE GRUPO
El detective podría incluso hacer afirmaciones
acerca de determinados conocimientos de grupo, por
ejemplo:
7. A cree que tanto B como C creen que A sabe que
ocurrió p porque (M,s) |= ¬Ka
¬Kb Kap & ¬Ka
¬Kc Kap. Por tanto (M,s)|=
¬Ka ¬Eb,cKap
8. Tanto A como B creen que C cree que A sabe que
ocurrió p porque (M,s) |= ¬Ka
¬Kc Kap & ¬Kb
¬Kc Kap,.Por tanto,
¬Ea,b¬KcKap
CONOCIMIENTO DISTRIBUIDO
El conocimiento distribuido sería el que tiene el
detective, que juzga la situación desde fuera. Si ponemos
en común el conocimiento de A y de B que son los que
tienen acceso a s y nos quedamos con la intersección de su
conocimiento, obtenemos p.
El detective podría quizás llegar a nuevas
conclusiones si además tuviese en cuenta las creencias o
convicciones de otros personajes acerca de lo que ocurrió
o acerca de lo que estos personajes dicen que saben.
2.4. Aplicaciones
Los diseños lógico-epistémicos
basados en estructuras de Kripke, podrían ser utilizadas
como punto de partida para la representación de
situaciones enigmáticas similares a las que se describen
en diferentes libros de
ejercicios de lógica (cfr.R.Smullyan (1978)).Por ejemplo
los referentes a las adivinanzas sobre caballeros y escuderos
(op.cit. 37-44)
También podrían servir como fundamento de
teorías de juegos
relativas a las variantes del dilema del prisionero (cfr.
M.Resnik (trad. 1998) o W.Poundstone (trad.1992)) o incluso para
el desarrollo de teorías sobre inteligencia
artificial como los programas que se
diseñaron con objeto de superar el test de Turing
(cfr. M.Garrido, 1974: 375-391).
Variantes de programas como Eliza (Weizenbaum, 1965) que
imitaba a un psicoanalista rogeriano, o STUDENT podrían
ser diseñadas a partir de las nociones
lógico-epistémicas. En todos estos ejemplos hay una
idea central que permanece latente, a saber, la idea de
interacción entre agentes (máquina-humano,
máquina-máquina, o entre sujetos
virtuales).
A pesar de que la lógica epistémica basada
en estructuras de Kripke cuenta con los mismos principios y
reglas que la lógica clásica y por tanto, no
podría considerarse una lógica alternativa e
independiente de la misma y sería discutible si constituye
una extensión de la lógica clásica
estándar debido a que muchas fórmulas modales
epistémicas podrían ser traducidas al lenguaje
clásico, sin embargo, en mi opinión, el aspecto
más interesante que se podría destacar de estos
modelos, es la posibilidad de representar el conocimiento de
diferentes agentes desde una perspectiva más intuitiva,
posibilitada por las estructuras de Kripke lo que constituye la
principal ventaja de este tipo de lógica con respecto a la
clásica.
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Licenciada en Filosofía