Matemática Intermedia

Ejercicio 57/Página 1166

Un equipo de oceanógrafos
está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar
recuperar un barco hundido. Por medio del sonar, desarrollan un
modelo:

, ,

donde x, y denotan las distancias en kilómetros y
D la profundidad en metros.

a)Representar la superficie en una
calculadora.

b)Como la gráfica de a) representa la
profundidad, no es un mapa del fondo oceánico.
¿Cómo se podría cambiar el modelo de modo
que se obtuviera con él la gráfica del
fondo?

c)¿A qué profundidad está el
barco, si se encuentra en el punto de coordenadas X = 1, y =
0.5?

metros

d)Calcular la pendiente del fondo en la dirección del semieje x positivo en el
punto donde se encuentra situado el barco.

e)Calcular la pendiente del fondo en
la dirección del semieje y positivo en el punto donde se
encuentra situado el barco.

f)Hallar la dirección de máximo
cambio de
profundidad en el punto posición del barco.

La dirección de máximo crecimiento de
f viene dada por Ñ
f(x,y).

Ejercicio 31/Página 1175

Consideremos la función
en los
intervalos y
.

a)Hallar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para la recta normal y una ecuación
del plano tangente a la superficie en el punto
(1,1,1).

El vector normal () del plano es igual al vector director () de la recta y viene dado
por el gradiente de la función F(x,y,z) = 0.

Siendo el vector director igual a –1k, en
el punto (1,1,1) las ecuaciones paramétricas de la recta
normal a la superficie en ese punto son:

,
&

Siendo el vector normal igual a –k, en el
punto (1,1,1) la ecuación del plano tangente a la
superficie en ese punto es:

b)Repetir el apartado a) para el punto (-1,2,-
).

Siendo el vector director igual a j – 1k, en
el punto (-1,2, )
las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la
superficie en ese punto son:

,
&

Siendo el vector normal igual a j – 1k, en el punto
(-1,2, ) la
ecuación del plano tangente a la superficie en ese punto
es:

c)Representar en una calculadora la superficie,
las rectas normales y los planos tangentes obtenidos en a) y
b).

a)

b)

d)Explicar en unas líneas la estructura de
la superficie en los dos puntos estudiados, usando información analítica y
gráfica.

Ejercicio 55/Página 1185

Consideremos la función , 0 <
< .

a)Representarla con ayuda de una calculadora,
para a =1 y b = 2, e identificar sus extremos o puntos silla.

Búsqueda de puntos críticos:

1)

2)

Para la ecuación No. 1, si:

Para la ecuación No. 2, si:

Entonces: , &
; , & . Los puntos críticos son:

,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,

,
, y .

**No se puede concluir.

**No se puede concluir.

b)Ídem para a =
-1 y b =2.

Búsqueda de puntos críticos:

1)

2)

Para la ecuación No. 1, si:

Para la ecuación No. 2, si:

Entonces: & ;
& . Los puntos
críticos son:

,
, , , , ,
, y .

c)Generalizar los resultados de los apartados a)
y b) para la función f.

Ejercicio 19/Página 1191

Los centros de venta
están situados en (0,0), (4,2) y (-2,2), y el centro de
distribución en (x,y), de modo que la suma
S de sus distancias es función de x & y.

a)Escribir la expresión de S y
representarla en una calculadora. ¿Tiene la superficie
algún mínimo?

distancia del punto (-2,2) al punto (x,y). distancia del punto (0,0)
al punto (x,y).

distancia del punto (4,2) al punto (x,y).

,

&

b)Obtener mediante cálculo
simbólico en una calculadora, Sx y
Sy. Salta a la vista que la resolución del
sistema
Sx = 0, Sy = 0 es difícil. Por
tanto, hay que estimar la localización óptima del
centro de distribución.

c)Una estimación inicial del punto
crítico es (x1,y1) = (1,1). Calcular
-Ñ S(1,1), con
componentes

-Sx(1,1) y -Sy(1,1).
¿Qué dirección señala el vector
-Ñ S(1,1)?

Como las dos componentes del vector gradiente son
negativas, este debe localizarse en el tercer cuadrante, entonces
su dirección (ángulo q )
es:

q =
6° + 180° = 186°

d)La segunda estimación del punto
crítico es (x2,y2) = (x1
– Sx(x1,y1)t, y1 –
Sy(x1,y1)t). Si se sustituyen
esas coordenadas en S(x,y), S se convierte en una función
de la variable t. Calcular el valor de t que
minimiza S. Con ese valor de t, estimar
(x2,y2).

e)Completar dos iteraciones más del
proceso del
apartado a) para hallar (x4,y4).Para esta
localización del centro de distribución,
¿cuál es la suma de distancias a los puntos de
venta?

f)Explicar por qué se ha utilizado
-Ñ S(x,y) para aproximar el
valor mínimo de S. ¿En qué tipo de problemas se
utilizaría Ñ
S(x,y)?

Ejercicio 43/Página 1203

Consideremos la función objetivo
, sujeta a la
restricción de que sean los ángulos de un
triángulo.

a)Usar multiplicadores de Lagrange para hacer
máximo el valor de .

Ligadura: Þ

Si y

b)Mediante la ligadura, reducir a una función de
dos variables independientes. Usar una calculadora para
representar la gráfica de la superficie definida por
. Identificar en
la gráfica los valores
máximos.

Si

Ejercicio 36/Página 1239

Las secciones horizontales de un bloque de hielo
desprendido de un glaciar tiene forma de cuarto de círculo
aproximado 50 pies. La base se subdivide en 20 subregiones. En el
centro de cada subregión, se mide la altura del hielo, lo
que da los siguientes puntos en coordenadas
cilíndricas.

,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , .

Aproximar:

a)El volumen del
bloque.

De r = 0 a r = 10:

Altura = Z = 7, 9, 9 y 5 Þ (promedio) =

=

De r = 10 a r = 20:

Z = 8, 10, 11 y 8 Þ
(altura promedio)
=

De r = 20 a r = 30:

Z = 10, 14, 15 y 11 Þ
(promedio) =

De r = 30 a r = 40:

Z = 12, 15, 18, 16 Þ
(promedio) =

De r = 40 a r = 50:

Z = 9, 10 , 14 y 12 Þ
(promedio) =

b)Su peso, suponiendo que el hielo pesa 56
libras/pies3.

Peso =
* =

c)El número de galones de agua que
contiene el bloque, si hay 7.48 galones en cada pie
cúbico.

# galones H2O = * =

Elías Felipe Nij Patzán

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ciencias

Matemática Intermedia 2

Cat. Ing. Oscar Martínez