Teoría básica y problemas propuestos de Trabajo mecánico y energía
- Objetivo
general - Contenidos. Conocimientos
previos - ¿Qué es el
impulso mecánico? - Trabajo
mecánico - Trabajo debido a la
aceleración de gravedad - Fuerzas conservativas y no
conservativas - Relación entre la
energía cinética y el trabajo
mecánico - Potencia
mecánica - Principio de
conservación de la energía
mecánica - Conservación del momento
lineal - Tipología de las
colisiones - Problemas propuestos con
respuestas - Preguntas de
razonamiento - Problemas propuestos sin
respuestas - Bibliografía
recomendad
Un problema fundamental de la dinámica de las partículas es el de
encontrar cómo se moverá un elemento móvil
cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre el. Sin
embargo, el problema se hace más difícil cuando la
fuerza que
opera sobre él no es constante. En tal caso, aún se
puede obtener la aceleración de la partícula a
partir de la segunda ley de Newton del
movimiento
(Ley de la Fuerza), para ello se emplea el proceso de
integración matemática.
El procedimiento
seguido para determinar el movimiento de una partícula
sujeta a tales fuerzas conduce a los conceptos de trabajo y
energía cinética, y a desarrollar el teorema de la
variación de la energía, que es el motivo central
de este módulo.
En este material instruccional se introducirá en
forma sucinta los lineamientos básicos sobre impulso
mecánico y cantidad de movimiento. Se presentarán
los conceptos de trabajo, energía cinética y
energía potencial (gravitatoria y elástica); los
cuales permitirán incorporar lo concerniente al principio
de conservación de la energía mecánica. Se desarrollará la
teoría
de función
potencial, que es una herramienta muy útil pues permite
simplificar en gran medida problemas que involucren sistemas
estáticos.
En determinadas situaciones se hará uso del
principio de conservación del momento lineal, dado su
utilidad en el
estudio de colisiones inelásticas y elásticas;
asimismo, se esbozará el concepto de
potencia mecánica. Al final, se ofrecerá una
recopilación de algunos problemas que han formado parte de
las evaluaciones de cohortes precedentes.
Al término de éste módulo, el
estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para
aplicar los conceptos básicos de trabajo mecánico y
energía en la resolución de problemas
prácticos que involucren transformación de
energía mecánica.
- Impulso mecánico.
- Cantidad de movimiento.
- Trabajo debido a la aceleración de
gravedad. - Trabajo debido a una fuerza variable.
- Función potencial.
- Potencia mecánica.
- Energía cinética y
potencial. - Principio de conservación de la energía
mecánica. - Colisiones elásticas e
inelásticas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
- Integración con límites
de integración. - Cálculo diferencial.
- Ecuaciones cinemáticas del
movimiento. - Diagrama de Cuerpo Libre.
- Ley de la fuerza de Newton.
DESARROLLO TEÓRICO
1.1
¿Qué es el impulso mecánico?
El impulso de una fuerza F es igual al cambio en el
momento de partícula. Supongamos que una fuerza F
actúa sobre una partícula y que esta fuerza puede
variar con el tiempo.
Según la segunda Ley de Newton;
F = dp/dt(1)
Donde:
F: fuerza que actúa sobre la partícula,
N
dp: diferencial de cantidad de movimiento,
kg.m
dt: diferencial de tiempo, s
Despejando dp de la ecuación 1…
dp = F.dt (2)
Integrando la ecuación 2 se encuentra el cambio
en el momento de una partícula. Si el momento de la
partícula cambia de pi, en el tiempo
ti a pf en el tiempo tf,
entonces la integración de la ecuación
produce:
(3)
La cantidad del lado derecho recibe el nombre de impulso
de la fuerza para el intervalo t = tf –
ti. El impulso es un vector definido por:
(4)
Figura 1. Una fuerza que actúa sobre una
partícula puede variar en el tiempo. El impulso es el
área bajo la curva fuerza contra tiempo. La fuerza
promedio [línea horizontal interrumpida] da el mismo
impulso a la partícula en el tiempo t que la
fuerza variable en el tiempo descrito inicialmente.
Las unidades del impulso mecánico en el sistema
internacional es Kg.m/s.
El trabajo mecánico, W, efectuado por un agente
que ejerce una fuerza constante es el producto de la
componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento, y la magnitud
del desplazamiento de la fuerza (Figura 2).
W = F.s.Cos
(5)
Donde:
F: magnitud de la fuerza, N
s: magnitud del desplazamiento, m
: ángulo que forma F con s.
La unidad de trabajo en el sistema internacional es N.m
(se lee newton por metro), esta unidad física recibe el
nombre de Joule.
Figura 2. La fuerza que actúa sobre el
cuerpo señalado posee dos componentes: una vertical y otra
horizontal, no obstante, la componente horizontal es quien genera
el movimiento del cuerpo a lo largo de la distancia "d"; el trabajo
asociado a la fuerza "F" está dado por
F.d.Cos().
En el caso de fuerzas variables, el
trabajo producido por F para el desplazamiento del objeto
de xi a xf esta dado por:
(6)
Otra variante para el cálculo de
trabajo es el referente a los resortes. Según la "Ley de
Hooke" la fuerza ejercida por un resorte, está dada
por:
F = – K.x (7)
Donde:
K: constante del resorte, N/m
F: fuerza aplicada, N
x: desplazamiento o elongación, m
Introduciendo la ecuación 7 dentro de la
ecuación 6 e integrando desde una elongación
inicial, xi, a una elongación final,
xf, queda…
(8)
Donde:
W: trabajo de compresión o expansión del
resorte, Joule
xi: elongación inicial del resorte,
m
xf: elongación final del resorte,
m
K: constante del resorte, N/m
1.3 Trabajo
debido a la aceleración de gravedad
La energía que un objeto tiene debido a su
posición en el espacio recibe el nombre de
energía potencial gravitacional, ésta es la
energía mantenida por un campo gravitacional y transferida
al objeto conforme éste cae.
A continuación se obtendrá una
expresión para energía potencial gravitatorio de un
objeto en un punto dado. Para hacerlo, considérese un
bloque de masa, m, a una altura inicial
hi sobre el suelo, como en la
Figura 3. Ignore la resistencia del
aire y considere
que cuando cae el bloque la única fuerza que hace trabajo
sobre él es la gravitatoria, m.
. El trabajo realizado por
la fuerza gravitatorio conforme el bloque experimenta un
desplazamiento hacia abajo,
, es el producto de la fuerza hacia abajo por el
desplazamiento, o sea:
W = m.g. (hi –
hf) (9)
Donde:
W: trabajo realizado por la gravedad, Joules
m: masa del cuerpo, kg
g: aceleración de gravedad, [9,81
m/s2]
hi: altura inicial que posee el cuerpo con
respecto a un nivel de referencia, m
hf: altura final que posee el cuerpo con
respecto a un nivel de referencia, m
El termino m.g.h es conocido como energía
potencial del cuerpo.
Figura 3. El trabajo hecho por la fuerza
gravitacional cuando el bloque cae de hi a
hf es igual a mg [hi –
hf].
1.4 Fuerzas
conservativas y no conservativas
Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre
una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera
es independiente de la trayectoria seguida por la
partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza
conservativa ejercida sobre una partícula que se mueve por
una trayectoria cerrada es cero. Un ejemplo de fuerza
conservativa, lo constituye la fuerza de gravedad.
Una fuerza no conservativa o disipativa es una fuerza
que produce pérdida en la energía cinética
de una partícula. Una fuerza es no conservativa si produce
un cambio en la energía mecánica.
Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una
superficie horizontal y lo regresa a su misma posición y
al mismo estado de
movimiento, pero encuentra que fue necesario realizar una
cantidad de trabajo neta sobre el objeto, entonces algo debe
haber disipado esa energía transferida al objeto. Esa
fuerza disipativa se conoce como fricción entre la
superficie y el objeto. La fricción es una fuerza
disipativa o "no conservativa". Por contraste, si el objeto se
levanta, se requiere trabajo, pero la energía se recupera
cuando el objeto desciende. La fuerza gravitatoria es una fuerza
no disipativa o "conservativa".
1.5 Relación
entre la energía cinética y el trabajo
mecánico
La Figura 4 muestra una
partícula de masa, m, que se mueve hacia la derecha
bajo la acción
de una fuerza neta constante F. Como la fuerza es
constante, por la segunda Ley de Newton sabemos que la
partícula se moverá con aceleración
constante; a. Si la partícula se desplaza una
distancia, s, el trabajo neto efectuado por la fuerza, F,
será:
Wneto= F. s = m.a.s (10)
Donde:
W neto: trabajo mecánico,
Joules
F: fuerza aplicada, N
s: desplazamiento, m
a: aceleración del móvil,
m/s2
m: masa del móvil, kg
Figura 4. Una partícula que experimenta un
desplazamiento y un cambio de su velocidad bajo
la acción de una fuerza neta constante
F.
Como la partícula experimenta una
aceleración constante:
(11)
Donde:
s: desplazamiento que experimental el móvil,
m
vf: velocidad final del móvil,
m/s
vi: velocidad inicial del móvil,
m/s
t: tiempo que transcurre para que el móvil pase
de vi a vf, s
(12)
Donde:
a: aceleración promedia del móvil,
m/s2
vf: velocidad final del móvil,
m/s
vi: velocidad inicial del móvil,
m/s
t: tiempo que transcurre para que el móvil pase
de vi a vf, s
Sustituyendo la ecuación 11 y la ecuación
12 en la ecuación 10, quedará…
(14)
El termino 1/2 mv2 representa la
energía asociada al movimiento de una partícula, y
es conocida como energía cinética. En
conclusión: "El trabajo efectuado por una fuerza neta
constante, F; al desplazarse una partícula es igual
al cambio en la energía cinética de la
partícula".
Cuando un cuerpo se desplaza a través de una
superficie rugosa pierde energía cinética, esa
pérdida esta asociada a la fuerza de fricción
cinética. Parte de esta energía se transfiere a la
energía interna del bloque, y parte se transfiere del
bloque a la superficie.
En efecto, la pérdida de energía
cinética del bloque produce un aumento de la
energía interna tanto del bloque como de la superficie en
forma de energía térmica (calor). Por
ejemplo, si la pérdida de energía cinética
del bloque es 300 J, y aparecen 100 J como un aumento en la
energía interna del bloque, entonces los restantes 200 J
deben haber sido transferido del bloque a la superficie. Por
ende, en el análisis de
sistemas donde se presente fuerzas friccionantes debe tenerse
en consideración el hecho de que dichas fuerzas generan
pérdidas de energía cinética en los
móviles. La pérdida se cuantifica a través
de la expresión:
(15)
Donde:
K: variación de energía
cinética que experimenta el móvil,
Joules
f: fuerza de fricción, N
s: desplazamiento, m
La potencia mecánica se refiere a la tasa de
transferencia de energía por unidad de tiempo.
(16)
Donde:
:
potencia promedio, Joules/s [Watt]
W: trabajo efectuado, Joules
t: intervalo de tiempo, s
Por otra parte, la potencia instantánea es el
valor
límite de la potencia promedio cuando t tiende a
cero.
(17)
Donde se ha representado el valor infinitesimal del
trabajo por dW [aún cuando es un cambio y, por tanto, una
diferencial]. Como dW = F.dS, la potencia
instantánea puede escribirse:
(18)
En el sistema internacional de unidades la potencia se
expresa en Joules/segundo; llamado también Watt [en honor
a James Watt].
1.7 Principio de
conservación de la energía
mecánica
"La conservación de la energía requiere
que la energía mecánica total de un sistema
permanezca constante en cualquier sistema aislado de objetos que
interactúan sólo a través de fuerzas
conservativas". Por consiguiente, es posible aplicar la
conservación de la energía en la forma
Ei = Ef(19)
Donde:
Ei: energía mecánica inicial
del sistema, Joules
Ef: energía mecánica final del
sistema, Joules
Dado que la energía mecánica es igual a la
suma de la energía cinética más la
energía potencial (gravitatoria o elástica), la
ecuación 19 desarrollada queda:
Ki + Ui = Kf +
Uf(20)
Donde:
Ki y Kf: son las energías
cinéticas iniciales y finales respectivamente,
Joules
Ui y Uf: son las energías
potenciales iniciales y finales respectivamente,
Joules
En el caso de existir fuerzas dispativas la
ecuación 20 se modifica para incluir la pérdida por
efecto de la fricción:
Ki + Ui – (Kf +
Uf ) = – f.s (21)
Donde:
Ki y Kf: son las energías
cinéticas iniciales y finales respectivamente,
Joules
Ui y Uf: son las energías
potenciales iniciales y finales respectivamente,
Joules
f: fuerza disipativa, N
s: desplazamiento, m
1.8
Conservación del momento lineal
"El momento total de un sistema aislado es igual en todo
momento a su momento inicial". En el estudio de colisiones, el
momento lineal es de gran importancia, pues el momento total de
un sistema exactamente antes del choque es igual al momento total
de un sistema justo después del choque.
Figura 5. El choque de dos objetos como resultado
de contacto físico directo.
Cuando dos partículas de masas,
m1, y, m2 chocan como muestra
la Figura 5, las fuerzas impulsivas pueden variar en el tiempo de
complicadas maneras, una de las cuales se describe en la Figura
6.
Figura 6. Las fuerzas de impulso como una
función del tiempo para las dos partículas en
choque descrita en la Figura 5.
Advierta en la Figura 5, que F12 = –
F21. Si F12 es la fuerza
ejercida sobre m1, por m2, y
suponemos que no actúan fuerzas externas sobre las
partículas, entonces el cambio en el momento de
m1 debido al choque está dado por la
ecuación:
(22)
Donde:
P1: variación del momento
lineal que experimenta la bola 1, kg.m/s
F12: fuerza ejercida sobre m1 por
m2, N
dt: diferencial de tiempo, s
Del mismo modo, si F21 es la fuerza
ejercida sobre m2 por m1, el
cambio en el momento de m2 es:
(23)
Donde:
P2: variación del momento
lineal que experimenta la bola 2, kg.m/s
F21: fuerza ejercida sobre m2 por
m1, N
dt: diferencial de tiempo, s
Como la tercera Ley de Newton (Ley de acción y
reacción) establece que la fuerza ejercida sobre
m1 por m2 es igual y opuesta
a la fuerza ejercida sobre m2 por
m1, entonces:
(24)
Donde:
P1: variación del momento
lineal que experimenta la bola 1, kg.m/s
P2: variación del momento
lineal que experimenta la bola 2, kg.m/s
Puesto que el momento total del sistema es
ptotal = p1 + p2, se concluye
que el cambio en el momento del sistema debido al choque es
cero.
1.9 Tipología
de las colisiones
Una colisión inelástica es una en la cual
la energía cinética total no es constante [aun
cuando el momento es constante]. Cuando dos objetos chocan y
quedan enganchados, se mueven con cierta velocidad común
después del choque; ello se conoce como choque
perfectamente inelástico.
Durante una colisión elástica la
energía cinética total es constante [así
como el momento]. Los choques de bolas de billar, y los de
moléculas de aire con las paredes de un recipiente a
temperatura
ordinaria son muy elásticos.
PROBLEMAS
PROPUESTOS CON RESPUESTAS
- Si una persona saca de
un pozo una cubeta de 20 Kg y realiza 6,00 KJ de trabajo,
¿cuál es la profundidad del pozo?. Suponga que la
velocidad de la cubeta permanece constante cuando se levanta.
Sol. 30,58 m - Un bloque de 2,5 Kg de masa es empujado 2,2 m a lo
largo de una mesa horizontal, sin fricción, por una
fuerza constante de 16 N dirigida a 25º debajo de la
horizontal. Encuentre el trabajo efectuado por:
- La fuerza aplicada. Sol. 31,90 J
- La fuerza normal ejercida por la mesa. Sol. 0
J - La fuerza de la gravedad. Sol. 0 J
- La fuerza sobre el bloque. Sol. 31,90
J
- Una fuerza F = (6i – 2j) N actúa
sobre una partícula que experimenta un desplazamiento
s = (3i + j) m. Encuentre:
- El trabajo realizado por la fuerza sobre la
partícula. Sol. 16 J - El ángulo entre F y
s. Sol. 36,86 º
- Si se necesita 4 J de trabajo para alargar 10 cm un
resorte que cumple la Ley de Hooke a partir de su longitud no
deformada, determine el trabajo extra necesario para extenderlo
10 cm adicionales. Sol. 4 J - Un mecánico empuja un auto de 2.500 Kg desde
el reposo hasta una velocidad v, efectuando 5.000 J de trabajo
en el proceso. Durante ese tiempo, el auto se mueve 25 m.
Ignore la fricción entre el auto y el camino, y
encuentre:
- ¿Cuál es la velocidad final, v del
auto? Sol. 2 m/s - ¿Cuál es el valor de la fuerza
horizontal ejercida sobre el auto? Sol. 200
N
- Un marino de 700 N en un entrenamiento
básico sube por una cuerda vertical de 10 m a una
velocidad constante en 8 s. ¿Cuál es la potencia
de salida? Sol. 875 W - Una partícula de 4 Kg se mueve a lo largo del
eje x: Su posición varia con el tiempo de acuerdo con
donde x se mide en metros y t en segundos.
Encuentre,
- La energía cinética en cualquier tiempo
t - La aceleración de la partícula y la
fuerza que actúa sobre ella en el tiempo t - El trabajo efectuado sobre la partícula en el
intervalo t = 0 a t = 2 s. Sol. 48 J
- Una fuerza constante actúa durante un minuto
sobre un cuerpo de 3 N comunicándole una velocidad de 2
m/s. Hallar la energía cinética adquirida por el
cuerpo y el valor de la fuerza. Sol. 0,01 N - Calcular la fuerza promedio ejercida por los gases de la
pólvora sobre un proyectil de 8 N que adquiere, al salir
del tubo de 3 m de longitud, una velocidad de 600 m/s
Sol. 48.929,6 N - Hallar la potencia desarrollada por un hombre que
arrastra un peso de 100 N a una velocidad de 1 m/s, ejerciendo
una fuerza que forma un ángulo de 20º con la
horizontal y sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual
a 0,9. Sol. 3,96 W - Calcular la potencia necesaria para que una
máquina eleve un peso de 500 N a una altura de 2 m en 1
minuto. Sol. 16,7 W - Calcular el trabajo necesario para alargar un resorte
de 20 a 30 cm de longitud, sabiendo que en equilibrio
mide 10 cm y que para alargarlo 2 cm hay que ejercer una fuerza
de 2 N. Sol. 0,45 J - Una partícula de 10 Kg se mueve a lo largo del
eje x: Su posición varia con el tiempo de acuerdo con
donde x se mide en metros y t en segundos.
Encuentre,
- La energía cinética en cualquier tiempo
t. Sol. 10 ( 2t + 80t3 + 5t4
)2 - La aceleración de la partícula y la
fuerza que actúa sobre ella en el tiempo t. Sol.
10 ( 2 + 240t2 + 20t3 ) - El trabajo efectuado sobre la partícula en el
intervalo t = 0 a t = 2 s.
- Calcular el trabajo necesario para alargar un resorte
de 10 a 50 cm de longitud, sabiendo que en equilibrio mide 10
cm y que para alargarlo 2 cm hay que ejercer una fuerza de 250
N Sol. 156.250 J - Una partícula de 10 Kg se mueve a lo largo del
eje x: Su posición varia con el tiempo de acuerdo con
donde x se mide en metros y t en segundos.
Encuentre,
- La energía cinética en cualquier tiempo
t. Sol. 10 ( -2/t3 + 63t2
)2 - La aceleración de la partícula y la
fuerza que actúa sobre ella en el tiempo t. Sol.
6/t4 + 126t ; 10 (6/t4 +
126t) - El trabajo efectuado sobre la partícula en el
intervalo t = 0 a t = 1 s.
- Un bulto de 400 Kg de masa se eleva hasta una
plataforma a una altura de 1,5 m por medio de un plano
inclinado de 6 m de longitud. Calcular la fuerza, paralela al
plano, que es necesaria aplicar y el trabajo realizado,
suponiendo que no existe rozamiento. Sol. 951,709 N;
5.881,561 J - Un péndulo simple está constituido por
una esfera de 10 Kg de masa y un hilo de 1 m de longitud.
Calcular:
- El trabajo necesario para desplazar el péndulo
desde la posición vertical a la horizontal. Sol.
98,1 J - La velocidad y la energía cinética en
el instante en que pasa por la posición más baja
de la trayectoria, cuando se le abandona a sí mismo a
partir de la posición horizontal. Sol. 4,43 m/s;
98,1 J
- Un ascensor de 2 Toneladas de masa se eleva desde la
planta baja y cuando pasa por el cuarto piso, situado a una
altura de 20 m, su velocidad es de 3 m/s. Suponiendo que la
fuerza de rozamiento es constante e igual a 50 N.
Calcúlese el trabajo realizado por el mecanismo de
elevación. Sol. 402.400 J - Hallar la resistencia media de una pared sabiendo que
un martillo de 2 Kg, con una velocidad horizontal de 6 m/s,
introduce en ella un clavo que penetra 15 mm. Sol. 4800
N - Calcular la fuerza constante de arrastre que hay que
aplicar a un tren de 500 Toneladas para que después
recorrer un tramo de 1 Km sobre una vía horizontal su
velocidad sea de 70 Km/h. Se supone de rozamiento es constante
e igual a 5 N/Tonelada. Sol. 9.678,4 N - Un vagón de mercancías de 75 Toneladas
de masa es arrastrado por una fuerza constante de 500 N para
subir un tramo de 1500 m de longitud con una pendiente del 0,75
%. Suponiendo que la velocidad inicial es de 15 m/s y que la
fuerza de rozamiento es de 4 N/Tonelada, calcúlese la
velocidad al final del tramo. Sol. 3,55 m/s - Hallar la potencia desarrollada por un hombre que
arrastra un cuerpo de 100 Kg a una velocidad de 1 m/s,
ejerciendo una fuerza que forma un ángulo de 20º
con la horizontal y sabiendo que el coeficiente de rozamiento
es igual a 0,9. Sol. 882,9 W - Calcular el trabajo necesario para alargar un resorte
de 20 a 30 cm de longitud, sabiendo que en equilibrio mide 10
cm y que para alargarlo 2 cm hay que ejercer una fuerza de 2 N.
Sol. 2,5 J - Se lanza un bloque hacia la parte superior de un
plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la
horizontal con una velocidad de 15 m/s. Sabiendo que el
coeficiente de rozamiento es igual a 0,4.
Calcúlese:
- La velocidad del bloque cuando vuelve al punto de
partida. Sol. 6,389 m/s - El tiempo que invierte en ascender y descender por el
plano. Sol. 6,046 s
- Una losa de mármol de 2 m de longitud y 250 Kg
de masa está apoyada sobre una pared horizontal.
Calcular el trabajo que hay que realizar para ponerla en
posición vertical. Sol. 2.452,5 J - Una fuerza horizontal de 10 N impulsa a un cuerpo de
25 N a lo largo de 30 m sobre una superficie horizontal. Siendo
el coeficiente de rozamiento cinético igual a 0,1.
Hállese los trabajos realizados contra las fuerzas de
rozamiento y de la gravedad. Indique que clase de
energía adquiere el cuerpo. Sol. – 75 J; 0
J - Encuéntrese la resistencia de un terreno
sabiendo que un martillo de 2 Kg de masa, con una velocidad
vertical de 6 m/s introduce en él una estaca que
penetra 30 mm. Sol. 1.200 N
Siendo m el coeficiente de fricción
estático entre las llantas y el pavimento. - Mediante consideraciones de trabajo y energía,
demuestre que la mínima distancia que requiere para
detenerse un auto de masa m que se mueve con una
velocidad v en un plano completamente horizontal
es - Un hombre empuja un bloque de 270 N recorriendo 9,1 m
a lo largo de un piso horizontal, con rapidez constante y con
una fuerza inclinada a 45º por debajo de la horizontal. Si
el coeficiente de fricción cinética es de 0,20.
¿Cuál es el trabajo efectuado por el hombre
sobre el bloque. Sol. 610 J - Se usó una cuerda par descender verticalmente
una distancia d, con una aceleración constante hacia
debajo de g/4, a un bloque de masa M. Encontrar el trabajo
efectuado por la cuerda sobre el bloque. Sol.
- ¿Desde que altura tendría que caer un
automóvil para ganar la energía cinética
equivalente a la que hubiese tenido corriendo a 97 km/h?
Sol. 37 m - Una ametralladora dispara sus proyectiles de 50 g con
una rapidez de 1000 m/s. El tirador, manteniéndola en
sus manos, puede ejercer una fuerza media de 180 N contra ella.
Determinar el número máximo de balas que puede
disparar por minuto. Sol. 220 balas/minutos. - Una vasija que esta en reposo, explota
rompiéndose en tres fragmentos. Dos de ellos, que tienen
igual masa, vuelan perpendicularmente entre si y con la misma
rapidez de 30 m/s. El tercer fragmento tiene tres veces la masa
de cada uno de los otros dos. ¿Cuál es la
dirección y la magnitud de su velocidad inmediatamente
después de la explosión?. Sol. 14 m/s a
135º respecto de cualquiera de los otros
fragmentos. - Una pelota de masa m y de rapidez v choca
perpendicularmente contra una pared y rebota sin disminuir su
rapidez. Si el tiempo de colisión es t,
¿Cuál fue la fuerza promedio que ejerció
la pelota contra la pared?. Sol. 2mv/t - Una bala de 10 g pega en un péndulo
balístico de 2 kg de masa. El centro de masa se eleva
una distancia vertical de 12 cm. Suponiendo que la bola
permanece incrustada en el péndulo, calcular la rapidez
inicial. Sol. 310 m/s - Dos pelotas, A y B, que tienen masa diferentes pero
desconocidas, chocan entre si. Inicialmente A esta en reposo y
B tiene un rapidez v. Después de la colisión, B
tiene una rapidez v/2 y se mueve perpendicularmente a su
trayectoria original. Encontrar la dirección en la que
se mueve la bola A después de la
colisión.¿Puede determinar la rapidez de A con la
información dada?. Sol. 117º
de la dirección final de B; No - Una bola, con una rapidez inicial de 10 m/s; choca
elásticamente contra dos bolas idénticas, cuyos
centros están sobre una línea perpendicular a la
velocidad inicial y que originalmente estaban en contacto entre
si. La primera bola se apuntó directamente al punto de
contacto y ninguna bola tiene fricción. Encontrar las
velocidades de las tres bolas después de la
colisión. Sol. v2 y v3
estarán a 30º respecto a vo y
tendrán una magnitud de 6,9 m/s. v1
estará en la dirección opuesta a vo y
tendrá una magnitud de 2 m/s.
- Cuando una partícula gira en círculo,
una fuerza central actúa sobre ella en dirección
al centro de rotación. ¿Por qué esta
fuerza no efectúa trabajo sobre la
partícula? - ¿La energía cinética puede ser
negativa?. Explique. - Si la velocidad de una partícula se duplica.
¿Qué sucede con la energía
cinética? - La energía cinética de un objeto
depende del marco de referencia en el cual se mide el
movimiento. Brinde un ejemplo para ilustrar este
punto. - Cite dos ejemplos en los que una fuerza es ejercida
sobre un objeto sin que se haga ningún trabajo sobre
éste. - ¿La energía potencial puede ser
negativa alguna vez?. Explique. - Una persona deja caer una pelota desde el techo de un
edificio, mientras otra persona desde abajo observa el
movimiento. ¿Coincidirán estas dos personas en el
valor de energía potencial de la pelota? ¿En su
transformación de energía potencial? ¿En
su energía cinética? - ¿Una fuerza externa que actúa sobre una
partícula cambia necesariamente:
- su energía cinética
- su velocidad
- Una bola se lanza al aire en línea recta hacia
arriba. ¿En qué posición su energía
cinética es máxima? ¿En qué
posición su energía potenciales
máxima?
PROBLEMAS
PROPUESTOS SIN RESPUESTAS
- Dos vehículos, A y B, viajan hacia el oeste y
hacia el sur, respectivamente, dirigiéndose a una misma
intersección donde chocan y quedan unidos. Antes de la
colisión, A (900 lb de peso) se movía con una
rapidez de 40 mi/h y B (1200 lb de peso) tenía una
rapidez de 60 mi/h. Encontrar la magnitud y la dirección
de las velocidades de los vehículos unidos
inmediatamente después de la
colisión. - Una fuerza conservativa aislada, F = 2x+4
actúa sobre una partícula de 5 Kg, donde x se
mide en metros y F en Newton. Cuando la partícula se
mueve a lo largo del eje x, desde x = 1 m hasta x = 5 m.
Calcule:
- El trabajo efectuado por esta fuerza
- El cambio en energía potencial
- La energía cinética en x = 5 m si la
velocidad en x = 1 m es de 3 m/s
- Una masa de 5 Kg se une a una cuerda ligera que pasa
por una polea sin fricción y sin masa. El otro extremo
de la cuerda se une a una masa de 3,5 Kg. Utilice el Principio
de Conservación de la Energía para determinar la
velocidad final de la masa de 3 Kg después de haber
caído (desde reposo) 4 m. Encuentre la altura
máxima a la cual sube la masa de 3 Kg - Una masa de 5 Kg se une a una cuerda ligera que pasa
por una polea sin fricción y sin masa. El otro extremo
de la cuerda se une a una masa de 3,5 Kg. Utilice el Principio
de Conservación de la Energía para determinar la
velocidad final de la masa de 5 Kg después de haber
caído (desde reposo) 2,5 m - Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en
un plano inclinado de 30 º con la horizontal. La velocidad
inicial del lanzamiento es de 8 m/s. El bloque se detiene
después de recorrer 3 m a lo largo del plano.
Determinar:
- El cambio de energía
cinética - El cambio de energía potencial
- La fuerza de fricción ejercida sobre
él - El coeficiente de fricción
cinético
- Una masa de 3 Kg parte del reposo y se desliza por
una pendiente, sin fricción de 30º, una distancia
d y hace contacto con un resorte no deformado de masa
despreciable. La masa se desliza 0,20 m adicionales cuando
alcance momentáneamente el reposo y comprime un resorte
(K = 400 N/m). Encuentre la separación inicial d
entre la masa y el resorte. - Una bala con masa m y una velocidad v penetra un
árbol hasta una distancia d. Utilice consideraciones de
energía para encontrar la fuerza de fricción
promedio que detiene la bala. Suponga que la fuerza de
fricción es constante y determine cuanto tiempo
transcurre entre el momento en que la bala entra en el
árbol y el momento en que se detiene. - Una bola de acero de 5
Kg se deja caer sobre una placa de cobre desde
una altura de 10 m. Si la bola deja una abolladura de 0,32 cm
de profundidad, ¿cuál es la fuerza promedio
ejercida sobre la bola por la placa durante el
impacto? - Una cantinera hace deslizar una botella de whisky
sobre una barra horizontal al enviarla a un cliente a 7,0 m
de distancia. ¿Con qué velocidad suelta la
botella si el coeficiente de roce es de 0,10 y la botella se
detiene frente al cliente? - Un paracaidista de 50 Kg de masa salta desde un
avión a una altura de 1000 m y llega al suelo con una
velocidad de 5,00 m/s. ¿Cuánta energía
perdió por la fricción del aire durante el
salto?
- Un bloque se desliza hacia abajo por una pista curva
sin fricción y después sube por un plano
inclinado, como se ve en la figura. El coeficiente
cinético de fricción entre el bloque y la
pendiente es . Con métodos
de energía demuestre que la altura máxima
alcanzada por el bloque es: - Hallar la potencia desarrollada por un hombre que
arrastra un peso de 1.100 N a una velocidad de 1 m/s,
ejerciendo una fuerza que forma un ángulo de 32º
con la horizontal y sabiendo que el coeficiente de rozamiento
es igual a 0,8 - Una caja de 50 Kg inicialmente en reposo se empuja 5
m por un piso rugoso horizontal con una fuerza aplicada
horizontal de 130 N. Si el coeficiente de fricción entre
la caja y el piso es 0,10, encuentre:
- El trabajo realizado por la fuerza
aplicada - La energía cinética pérdida
debido a la fricción - El cambio en la energía cinética de la
caja - La velocidad final de la caja
- Una partícula de 0,4 Kg se desliza sobre una
pista circular horizontal de 1.50 m de radio. Se le da
una velocidad inicial de 8 m/s. Después de una revolución su velocidad se reduce a 6 m/s
por causa de la fricción. Encuentre:
- La energía pérdida por la
fricción en una revolución - El coeficiente de fricción
cinético - ¿Cuántas revoluciones completa la
partícula antes de detenerse?
- Un motor jala una
caja de 200 Kg por una superficie plana. Si el coeficiente de
fricción entre la caja y la superficie es 0,60.
Encuentre:
- ¿Cuánta potencia debe entregar el motor
para mover la caja a 10 m/s? - ¿Cuánto trabajo efectúa el motor
en 3 minutos?
- Una pequeña esfera de masa m cuelga de una
cuerda de longitud L, como se muestra en la figura adjunta. Una
fuerza variable horizontal F se aplica a la esfera de manera
tal que ésta se mueve lentamente desde la
posición vertical hasta que la cuerda forma un
ángulo con la vertical. Si se considera que la
esfera está siempre en equilibrio, demuestre que el
trabajo desarrollado es:
- A un bloque de 0,60 Kg de masa se le imprime una
velocidad inicial de 8 m/s en el pie de una pendiente de
30º con la horizontal. La fuerza de fricción que
retarda su movimiento es de 15 N. Si el bloque se desplaza
hacia arriba de la pendiente:
- ¿Qué distancia se mueve antes de
detenerse? - ¿Deslizará hacia abajo por la
pendiente?
- El coeficiente de fricción () entre la
masa de 3 Kg y la superficie de la figura adjunta es 0,40. El
sistema parte del reposo. ¿Cuál es la velocidad
de la masa de 3 Kg cuando ha caído 0.60 m?Donde x esta expresado en metros y t en segundos.
Encuentre el trabajo realizado sobre la partícula
durante los primeros tres segundos de movimiento. - Una fuerza neta que varía en el tiempo
actúa sobre una partícula de 4 Kg y produce en
ésta un desplazamiento dado por:
- Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en
un plano inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El
bloque se detiene después de recorrer tres metros a lo
largo del plano, el cual esta inclinado un ángulo de
30º respecto a la horizontal. Determine:
- El cambio en la energía cinética del
bloque. - El cambio en su energía potencial.
- La fuerza de fricción ejercida sobre él
(supuestamente constante). - El coeficiente de fricción
cinético.
- Un bloque de 2 Kg se sitúa sobre la parte
superior de un bloque de 5 Kg, como se muestra en la Figura
adjunta. El coeficiente de fricción cinético
entre el bloque de 5 Kg y la superficie es 0,20. Una fuerza
horizontal F se aplica al bloque de 5 Kg.
Determine:
- Calcula la magnitud de la fuerza necesaria para jalar
ambos bloques hacia la derecha con una aceleración de
3m/s2 - Encuentre el coeficiente mínimo de
fricción estático entre los bloques tal que el de
2 Kg no se deslice bajo una aceleración de 3
m/s2
- Un bloque de 2 Kg situado sobre una pendiente rugosa
se conecta a un resorte de masa despreciable que tiene una
constante de resorte de 100 N/m (ver Figura adjunta). El bloque
se suelta desde el reposo cuando el resorte no está
deformado, y la polea no presenta fricción. El bloque se
mueve 20 cm hacia abajo de la pendiente antes de detenerse.
Encuentre el coeficiente de fricción cinético
entre el bloque y la pendiente. - Un hombre empuja un bloque de 265 N una distancia de
9,14 m en un piso completamente horizontal aplicando una fuerza
inclinada 60º por debajo de la horizontal. Si el
coeficiente de fricción cinético es 0,20.
Determínese el trabajo que hace el hombre sobre el
bloque. - Un cuerpo de 150 N es empujado hacia arriba de un
plano inclinado a 30º sin fricción, de 3,05 m de
largo, mediante una fuerza horizontal F - Un cuerpo de 150 N es empujado hacia arriba de un
plano inclinado a 30º sin fricción, de 3.05 m de
largo, mediante una fuerza horizontal F - Si la velocidad en la parte inferior del plano es de
0,61 m/s y en la parte superior 3,05 m/s ¿Cuánto
trabajo hace la fuerza F?
- Suponga que el plano tiene fricción y que es
de 0.15., ¿Qué trabajo hace esa
misma fuerza? - ¿Cuál es la energía
cinética del cuerpo en el punto más
alto?
- Un bloque de 10 Kg choca contra un resorte horizontal
sin peso, de constante de fuerza 2 N/m. El bloque comprime el
resorte 4 m a partir de su posición de reposo.
Suponiendo que el coeficiente de fricción
cinético es de 0,25. ¿Cuál era la
velocidad del bloque antes del choque? - Un camión puede subir por una carretera que
tiene una pendiente de 1 en 50, con una velocidad de 24,14
Km/h. La fuerza de fricción es la veinticincoava parte
del peso del camión. ¿Con qué rapidez se
moverá el camión de bajada, aplicando la misma
potencia? - Un bloque de 200 g se empuja contra un resorte de
constante de fuerza 1400 N/m hasta que el bloque comprime el
resorte 10 cm. El resorte descansa en el pie de una rampa
inclinada a 60º con la horizontal. Utilice consideraciones
de energía para determinar que distancia se mueve el
bloque hacia arriba de la rampa antes de detenerse:
- Si no hay fricción entre el bloque y la
rampa - Si el coeficiente de fricción cinético
es 0,40
- Un bloque de 2 Kg se deja caer desde una altura de 40
cm sobre un resorte cuya constante K es 1.960 N/m. Hallase la
longitud máxima que será comprimido el
resorte. - Un bloque de 1,50 Kg de masa se empuja contra un
resorte horizontal de masa insignificante y K igual a 250 N/m,
comprimiéndolo 0,20 m. Al soltarse el bloque se desliza
sobre una mesa horizontal que tiene un igual a
0,30.
- ¿Qué distancia recorrerá el
bloque desde su posición inicial antes de
detenerse?
- Un hombre que va corriendo tiene la mitad de la
energía cinética que lleva un muchacho que tiene
la mitad de su masa. El hombre aumenta su velocidad en 1 m/s y
entonces tiene la misma energía cinética que el
muchacho. ¿Cuáles eran las velocidades iniciales
del hombre y del muchacho? - Un paquete de 0,20 Kg se libera del reposo en el
punto A de una vía que forma un cuarto de circulo de
radio 1,60 m. El paquete es tan pequeño relativo a dicho
radio que puede tratarse como una partícula; se desliza
por la vía y llega al punto B (parte última del
medio circulo) con rapidez de 4,20 m/s. A partir de ahí,
el paquete se desliza 3 m sobre una superficie horizontal hasta
C, donde se detiene.
- ¿Qué coeficiente de fricción
cinético tiene la superficie horizontal? - ¿Cuanto trabajo realiza la fricción
sobre el paquete entre A y B?
- Una fuerza de 120 N estira un resorte 0,040 m
más halla de su longitud en reposo
- ¿Qué fuerza se requiere para un
estiramiento de 0,010 m? - Para una compresión de 0,080 m
- ¿Cuanto trabajo debe efectuarse en los dos
casos?
- Un bloque de 150 g se deja caer desde el punto A por
una pista sin roce que se asemeja a un riel semicircular cuyo
radio es 40 cm cuando llega al punto B. Empalma con un plano
inclinado que forma 30º con la horizontal y perpendicular
al radio de la circunferencia en ese punto. Calcule la
distancia "d" a lo largo del plano que alcanzará el
bloque si el coeficiente de roce dinámico entre el
bloque y la superficie es 0,30 - Un pequeño bloque de masa m, resbala en una
vía sin fricción en forma de rizo, como se
muestra en la figura adjunta.
- Si parte de reposo en P. ¿Cuál es la
fuerza resultante que obra sobre el en Q? - ¿A que altura sobre la parte inferior del rizo
debería soltarse el bloque para que la fuerza que ejerce
contra la vía en la parte superior del rizo sea igual a
su peso?
- Una fuerza neta de 0,5 N, obra sobre u cuerpo de 15
Kg de masa, que inicialmente se encuentra en reposo. Calcule el
trabajo hecho en el primero, en el segundo y en el tercer
segundo así como la potencia instantánea que
existe al terminar el tercer segundo. - Para mantener la velocidad de 54 km/h de un
vehículo se necesita que el motor proporcione una
potencia de 22.050 W. Sabiendo que la masa del vehículo
es de una tonelada, y que se está moviendo por una
carretera horizontal, calcular:
- La fuerza de rozamiento, supuesta
constante. - La potencia que tendrá que desarrollar el
motor para subir por una pendiente de 6 º - La potencia que tendrá que desarrollar para
bajar por una pendiente de 2 º
En los casos b) y c) se supone que se mantiene la misma
velocidad de 54 km/h
- Un paquete de 0,20 Kg se libera del reposo en el
punto A de una vía que forma un cuarto de circulo de
radio 1,60 m. El paquete es tan pequeño relativo a dicho
radio que puede tratarse como una partícula; se desliza
por la vía y llega al punto B (parte última del
medio circulo) con rapidez de 4,20 m/s. A partir de ahí,
el paquete se desliza 3 m sobre una superficie horizontal hasta
C, donde se detiene.
- ¿Qué coeficiente de fricción
cinético tiene la superficie horizontal? - ¿Cuanto trabajo realiza la fricción
sobre el paquete entre A y B?
- Un cuerpo de 1 kg de masa se deja caer por una
superficie curva desde una altura de 1 m, tal como indica la
figura. Despreciando rozamientos, calcular:
- La velocidad de la partícula en el momento en
que choca con el muelle. - La máxima deformación que
experimentará el muelle si su constante elástica
es de 200 N/m
- Una masa de 50 kg sube una distancia de 6 m por la
superficie de un plano inclinado 37º, aplicándole
una fuerza de 600 N horizontal. El coeficiente de rozamiento es
de 0.2. Calcular:
- El trabajo realizado por la fuerza
resultante. - El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
¿En qué se convierte dicho trabajo? - El incremento de la energía
cinética.
describe con precisión la interacción entre los nucleones (es
decir, entre los neutrones y los protones, que son las
partículas que constituyen los núcleos). La
constante ro tien un valor aproximado de 1,5 x
10-15 m y la constante Uo es de alrededor de 50
MeV. Determinar la expresión correspondiente a la
fuerza de atracción.- El llamado potencial de Yukawa
- Un cuerpo de 1 kg choca contra un resosrte
horizontal, sin peso, cuya constante elástica es de 2
N/m. El cuerpo comprime al resorte en 4 m, a partir de su
posición relajada. Suponiendo que el coeficiente de
fricción cinético entre el cuerpo y la superficie
horizontal es de 0,25. ¿Cuál era la rapidez del
cuerpo en el instante de la colisión? - Un cuerpo de 4 kg comienza a subir por un plano
inclinado a 30º, con 128 J de energía
cinética. ¿Qué distancia recorrerá
sobre el plano si el coeficiente de fricción es de
0,30? - Un taco golpea una bola de billar ejerciendo una
fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 10 ms (se lee
milisegundo). Si la bola tenía una masa de 0,20 kg.
¿Cuál fue su rapidez después del
impacto? - Dos partículas, una de las cuales tiene el
doble de masa que la otra, se mantienen unidad por medio de un
resorte comprimido entre ellas. La energía almacenada en
el resorte es de 60 J. ¿Qué cantidad de
energía cinética tiene cada partícula
después que se le suelta?. - Un objeto de 5 kg con una rapidez de 30 m/s, incide
sobre una lámina de acero con un ángulo de
45º y rebota con la misma rapidez y con el mismo
ángulo. ¿Cuál es el cambio del
ímpetu del objeto? - Un cohete de 6000 kg está dispuesto para un
disparo vertical. Si la velocidad de expulsión es de
1000 m/s, ¿qué cantidad de gas por segundo
debe ser expulsada para suministrarle el impulso necesario para
superar el peso del cohete; para dar al cohete una
aceleración inicial de 20 m/s2 hacia
arriba? - Un tobogán de 12 lb que transporta 80 lb de
arena, resbala hacia abajo por una pendiente de hielo de 300
pies de longitud inclinada 30º por debajo de la
horizontal. El tobogán tiene un orificio en el fondo, de
tal forma que la arena se derrama a razón de 5 lb/s.
¿Qué tiempo le toma al tobogán alcanzar el
final de la pendiente? - Una partícula de 4 Kg se mueve a lo largo de
un eje x bajo la influencia de una fuerza conservativa. El
trabajo realizado sobre la partícula es de 80 J conforme
se mueve de xo = 2 m a xf = 5 m;
Encuentre:
- El cambio en energía
cinética - El cambio en energía potencial
- La velocidad en x = 5 m si parte de reposo en x = 2
m
Alonso, M. y Finn, E. (1986) Física. Volumen I:
Mecánica. Addison – Wesley
Iberoamericana.
Resnick, R. y Halliday, D. (1984) Física.
Tomo I (séptima impresión). Compañía
Editorial Continental: México.
Serway, Raymond (1998) Física. Tomo
I (Cuarta edición). Mc Graw-Hill:
México.
VÍNCULOS WEB RELACIONADOS
CON EL TEMA
http://www.fisicanet.com
http://www.tutoria.com
Elaborado por
Paredes T. Franklin J.
San Carlos, Noviembre 2003