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Vectores




Enviado por OMAR RACERO



    1. Definición de
      vectores
    2. Magnitudes
      Escalares
    3. Magnitudes
      vectoriales
    4. Descomponiendo en un sistema de
      ejes cartesianos
    5. Vectores unitarios y
      componentes de un vector
    6. Suma y resta de
      vectores
    7. Método Algebraico para la
      Suma de vectores
    8. Producto de un vector por un
      escalar
    9. Producto escalar de dos
      vectores
    10. Módulo de un
      vector
    11. Ecuación de la
      Recta.
    12. Historia del
      Cálculo
    13. Definición del
      cálculo vectorial
    14. Bibliografía

    Definición
    de vectores

    Un vector es todo segmento de recta dirigido en el
    espacio. Cada vector posee unas características que
    son:

    Origen

    O también denominado Punto de
    aplicación
    . Es el punto exacto sobre el que
    actúa el vector.

    Módulo

    Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla
    es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para
    saber cuál es el módulo del vector, debemos medir
    desde su origen hasta su extremo.

    Dirección

    Viene dada por la orientación en el espacio de la
    recta que lo contiene.

    Sentido

    Se indica mediante una punta de flecha situada en el
    extremo del vector, indicando hacia qué lado de la
    línea de acción
    se dirige el vector.

    Hay que tener muy en cuenta el sistema de
    referencia de los vectores, que
    estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares.
    Este sistema de referencia permite fijar la posición de un
    punto cualquiera con exactitud.

    El sistema de referencia que usaremos, como norma
    general, es el Sistema de Coordenadas
    Cartesianas.

    Para poder
    representar cada vector en este sistema de coordenadas
    cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos
    vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen
    módulo 1, son perpendiculares entre sí y
    corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de
    referencia.

    Magnitudes
    Escalares

    Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en
    las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de
    un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son
    las siguientes magnitudes, entre otras:

    Masa

    Temperatura

    Presión

    Densidad

    Magnitudes
    vectoriales

    Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar
    determinadas precisan de un valor
    numérico, una dirección, un sentido y un punto de
    aplicación.

    Vector

    Un vector es la expresión que proporciona la
    medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como
    un segmento orientado, en el que cabe distinguir:

    • Un origen o punto de aplicación:
      A.
    • Un extremo: B.
    • Una dirección: la de la recta que lo
      contiene.
    • Un sentido: indicado por la punta de flecha en
      B.
    • Un módulo, indicativo de la longitud del
      segmento AB.

    Vectores iguales

    Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo
    módulo y la misma dirección.

    Vector libre

    Un vector libre queda caracterizado por su
    módulo, dirección y sentido. El vector libre es
    independiente del lugar en el que se encuentra.

    Descomponiendo
    en un sistema de ejes cartesianos

    a+b=(axi+ayj+
    azk)+(bxi+byj+
    bzk)=(ax+bx)i+(ay
    +by)j+(az+bz)k

    Propiedades

    Conmutativa:
    a+b=b+a

    Asociativa:
    (a+b)+c=a+(b+c)

    Elemento Neutro: a+0=a

    Elemento Simétrico:
    a+(-a)=aa=0

    Vectores
    unitarios y componentes de un vector

    Cualquier vector puede ser considerado como resultado de
    la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la
    dirección de uno de los ejes coordenados.

    Suma y resta de
    vectores

    La suma de dos vectores libres es otro vector libre que
    se determina de la siguiente forma:

    Se sitúa el punto de aplicación de uno de
    ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que
    tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el
    extremo del segundo.

    Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con
    una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede
    formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal
    representa la resta de dichos vectores.

    Para efectuar sumas o restas de tres o más
    vectores, el proceso es
    idéntico. Basta con aplicar la propiedad
    asociativa.

    Al vector que se obtiene al sumar o restar varios
    vectores se le denomina resultante.

    Suma de Vectores

    La suma de los vectores podemos realizarla de dos
    maneras diferentes, analítica y
    gráficamente.

    Procedimiento Gráfico

    Para sumar dos vectores de manera gráfica
    utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo,
    consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos
    por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que
    obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar
    la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el
    siguiente dibujo:

    Otra manera de expresar la suma de manera gráfica
    es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el
    origen de éste, coincida con el extremo del primer vector,
    y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el
    origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la
    siguiente manera:

    Hay que tener muy
    presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se
    suman (tal y como ya hemos visto en la sección de
    la
    suma de vectores
    ), pero vectores con
    sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el
    apartado correspondiente a la resta de vectores). A
    continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de
    vectores.

     

    Método
    Algebraico para la Suma de vectores
    Dados tres vectores

    La expresión correspondiente al vector suma
    es:

    o bien

    siendo, por tanto,

    La suma de vectores goza de las siguientes
    propiedades:

    Conmutativa

    a + b = b + a

    Asociativa

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Elemento neutro o vector 0

    a + 0 = 0 + a = a

    Elemento simétrico u opuesto a'

    a + a' = a' + a = 0

    a' = -a

    Producto de
    un vector por un escalar

    El resultado de multiplicar un escalar k
    por un vector v, expresado analíticamente por
    kv, es otro vector con las siguientes
    características :

    1.- Tiene la misma dirección que v.
    2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un
    número positivo, y es el opuesto, si k es un
    número negativo.
    3.- El módulo es k veces la longitud que representa
    el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es
    el vector nulo).

    Analíticamente, tenemos que multiplicar el
    escalar por cada una de las coordenadas del vector.

    Ejemplo : Dado el vector v de componentes :
    vxi + vyj + vzk, el
    producto 3
    · v = 3 · vxi + 3
    · vyj + 3 ·
    vzk.

    La representación gráfica del producto es
    igual a sumar el vector tantas veces como indica el
    escalar.

    Ejemplo :

    Propiedades

    El producto de un vector por un escalar cumple las
    siguientes propiedades:

    Producto escalar de dos
    vectores

    El producto escalar de dos vectores, expresado
    analíticamente como r · v, se obtiene de la
    suma de los productos
    formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir,
    dados dos vectores r y v, expresados en un mismo
    sistema de coordenadas:

    r = rxi + ryj +
    rzk

    v
    = vxi + vyj +
    vzk

    teniendo en cuenta que el producto escalar de los
    vectores :

    i · i = j · j
    = k · k = 1
    i · j = i · k =
    j · k = 0

    el resultado de multiplicar escalarmente r por
    v es:

    r · v = rx·
    vx + ry · vy+
    rz · vz

    Esta operación no solo nos permite el cálculo de
    la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus
    módulos ), sino también calcular el ángulo
    que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar
    también se puede hallar en función de
    sus módulos y del coseno del ángulo que forman
    mediante la fórmula :

    r · v = |r| · |v|
    ·
    cos (r, v)

    Propiedades

    Conmutativa : r · v = v ·
    r

    Distributiva : r
    · ( v + u ) = r · v + r ·
    u
    Asociativa : ( k · r ) · v =
    k · ( r · v ) = r · (
    k · v ) siendo k escalar.

    Además :

    1.- r · r = 0 si, y sólo sí
    r = 0.
    2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0,
    esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º
    = 0).
    3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a
    multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector
    proyección del otro sobre él.

    Ejemplo :

    Proyección ortogonal
    (rv
    ) de r sobre v

    rv= |r| cos (r, v) -> r · v =
    |v| · rv

    Producto vectorial

    El producto vectorial de los vectores a y
    b, se define como un vector, donde su dirección es
    perpendicular al plano de a y b, en el sentido del
    movimiento de
    un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más
    corto de a a b,

    donde n es un vector unitario perpendicular al
    plano de a y b en el sentido del movimiento de un
    tornillo que gira hacia la derecha de a a
    b.

    Propiedades:

    Módulo de
    un vector

    Un vector no solo nos da una dirección y un
    sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le
    denomina módulo.

    Gráficamente: es la distancia que
    existe entre su origen y su extremo, y se representa
    por:

    Coordenadas cartesianas: En
    muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres
    direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un
    sistema cartesiano tridimensional.

    Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX,
    j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar
    puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales
    que:

    y aplicando el teorema de Pitágoras nos
    encontramos con que el módulo de a es:

    III.
    Ecuación De La Recta.

    Ecuación de la Recta
    Que Pasa Por El Origen

    Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma
    un ángulo de inclinación con el eje x

     

    Tómese sobre la recta los puntos
    P1(x1, y1),P2
    (x2, y2) y P3 (x3,
    y3). Al proyectar los puntos P1,
    P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los
    puntos P’1, P’2,
    P’3.

    Como los triángulos
    OP1P’1,
    OP2P’2 y
    OP3P’3 son semejantes; se tiene
    que: 

    Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,
    ó y =
    mx (1)

    La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa
    por el origen y tiene pendiente conocida m. 

    Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente
    m Y Su Intercepto b Con El Eje y

    Considere una recta l de la que se conocen m
    (m = tan ) y b

    Trácese por el origen la recta l’
    paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al 
    llamar P’ la proyección de P sobre el eje x;
    PP’ corta a la recta l’ en un punto
    P’’ de coordenadas 

    La ecuación y = mx + b es la ecuación de
    la recta en términos de su pendiente m y su
    intercepto b con el eje y.

    Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto
    Y De Pendiente Conocida

    Considere la recta l que pasa por un punto
    dado P1(x1, y1) y cuya pendiente
    m también es conocida

    ..

    Al llamar b al intercepto de la recta l con el
    eje y, entonces la ecuación de l, viene dada
    por:

                   
    y = mx +
    b            
    (1)

    Como P1(x1,
    y1) ,
    entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

                    
    y1 = mx1 +
    b         
    (2)

    Al restar de la ecuación (2) la ecuación
    (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se
    obtiene:

    y – y1 = m(x – x1)
    (3)

    La ecuación (3) es conocida como la forma:
    PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.

    Nótese que la ecuación (3) también
    puede escribirse en la forma: 

    y = mx + (y1 –
    mx1).

    Lo que indica que él intercepto b con el eje y
    viene dado por:

    b = y1 –
    mx1

    Ecuación de la recta que pasa por dos
    puntos dados P1(x1, y1) y
    P2(x2, y2)

    .. Sea l la recta
    que pasa por los puntos P1(x1,
    y1) y P2(x2, y2) y
    llámese m1 su pendiente

    Como l pasa por el punto
    P1(x1, y1) y tiene pendiente
    m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que 

                              
    y – y1 = m1 (x –
    x1)    (1)

    representa la ecuación de dicha recta.

    Ahora, como el punto P2(x2,
    y2) ,
    entonces satisface su ecuación

    La ecuación (3) se conoce como la forma:
    DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.

    Ecuación segmentaría de la línea
    recta

    Considere la recta l de la cual conocemos los
    interceptó a y b con los ejes x e y
    respectivamente

    Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b),
    entonces de acuerdo a la sección la ecuación de
    l viene dada por: 

    Dividiendo esta última ecuación por b, se
    obtiene:

    La ecuación (1) se conoce como la ecuación
    SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la
    línea recta. Los números a y b son las medidas de
    los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo
    correspondiente, pues haciendo en (1)

    y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje
    x)
    x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)

    Ecuación general de la línea
    recta

    …. La ecuación
    Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no
    son simultáneamente nulos, se conoce como la
    ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e
    y. 

    ..La ecuación
    explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye
    las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son
    de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin
    excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By
    + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de
    la línea recta, como lo afirma el siguiente
    teorema

    TEOREMA

    La ecuación general de primer grado Ax + By + C =
    0 (1) , R; A y B no son
    simultáneamente nulos, representan una línea
    recta.
     

    Demostración

     i.   Se puede Considerar varios
    casos:

    A = 0, B diferente de 0.

           En este caso, la
    ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
     

     

    La ecuación (2) representa una línea recta
    paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y
    es 

    ii. En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C
    = 0, de donde 

    La ecuación (3) representa una línea recta
    paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x
    es 

    iii. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse
    en la siguiente forma:

     

    La ecuación (4) representa una línea
    recta, cuya pendiente es  y cuyo intercepto con el eje y viene dado
    por   

    observaciones

        i.   Es posible
    escribir la ecuación general de la línea recta en
    varias formas, de tal 
             manera que solo
    involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos
    distintos 
             de cero, podemos
    escribir la ecuación (1), en las siguientes formas
    equivalentes:

          

    En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe
    esencialmente solo dos 

            constantes
    independientes, por ejemplo  en (1A)
     

    Esto indica que para determinar la ecuación de
    una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones,
    como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en
    concordancia con lo establecido en los numerales
    anteriores.

    iii.   Cuando la ecuación de una recta
    esta expresada en la forma general 
              Ax + By +
    C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto
    al eje x
    , m 
             viene dado
    por y su
    coeficiente angular n, con respecto al eje
    y  

             viene dado por
     .

          

       Los coeficientes A y B se denominan
    coeficientes directores de la recta.

    IV. Historia del
    Cálculo

     
            DE CÓMO SE GESTÓ Y VINO AL MUNDO
    EL CÁLCULO INFINITESIMAL

    N e w t o n
                  L
    e i b n i z

    ( 1 642 – 1 727 )
              ( 1
    646 – 1 716)

         Del legado de las matemáticas, el cálculo
    infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y
    eficaz para el estudio de la naturaleza. El
    cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e
    integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los
    infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del
    cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego;
    concretamente a los cálculos de áreas y
    volúmenes que Arquímedes realizó en
    el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta
    el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o
    mejor, como Platón
    afirmaría, para que se descubriera- el cálculo.
    Varias son las causas de semejante retraso.

    Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un
    sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal-
    así como del desarrollo del
    álgebra
    simbólica y la geometría
    analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y
    no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los
    cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y
    mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió
    principalmente en el siglo XVII.

    Ya los griegos se habían preocupado de como
    tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el
    infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras
    distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente
    grande. Ya se vislumbra de algún modo en la
    inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado; también,
    claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de
    Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de
    extrañar que alguien intentara regularlos.

    Ese alguien fue Aristóteles. Lo que hizo
    fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito
    exista como ser en acto o como una substancia y un principio",
    escribió, pero añadió "es claro que la
    negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias
    imposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente
    […] es por adición o división". Así, la
    regulación aristotélica del infinito no permite
    considerar un segmento como una colección de puntos
    alineados pero sí permite dividir este segmento por la
    mitad tantas veces como queramos. Fue
    Eudoxio, discípulo de Platón y
    contemporáneo  de Aristóteles quien
    hizo el primer uso "racional" del infinito en las
    matemáticas. Eudoxio postuló que "toda
    magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción
    de una cantidad determinada". Es el famoso principio de
    Arquímedes que éste toma prestado a
    Eudoxio y que sirvió a aquél para superar la
    primera crisis de las
    Matemáticas -debida al descubrimiento de los
    irracionales-.

    No obstante, fue
    Arquímedes el precursor del
    cálculo integral aunque desgraciadamente su método se
    perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en
    el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original
    método "mecánico" donde además se saltaba la
    prohibición aristotélica de usar el infinito in
    acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 … La genial
    idea del siracusano fue considerar las áreas como una
    colección -necesariamente infinita- de segmentos.
    Habrá que esperar 2000 años hasta que otro
    matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar
    de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz
    descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de
    Pascal donde éste usaba un método semejante.
     

          La necesidad de entender
    obras griegas difíciles como las de
    Arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento
    del cálculo. -ya en el siglo XVII se habían
    recuperado y se dominaban la mayoría de las obras
    griegas.

    También ayudó al surgimiento del
    cálculo el cambio de
    actitud en la
    matemática
    del siglo XVII quizá influenciada por los grandes
    descubrimientos de todo tipo -geográficos,
    científicos, médicos y tecnológicos- que fue
    el interés
    de los matemáticos por descubrir más que por dar
    pruebas
    rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin
    las limitaciones aristotélicas. Y finalmente, el
    descubrimiento de la Geometría analítica de
    Descartes y Fermat.

    La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la
    geometría analítica de Fermat
    y Descartes. La importancia de este descubrimiento
    consiste en que la geometría analítica permite el
    tratamiento algebraico de problemas
    geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc.
    fórmulas algebraicas que las describen y permiten su
    manipulación analítica. De esta forma encontrar
    tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo
    -basta saber calcular las derivadas como
    ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para
    cada curva,  procedimientos
    geométricos.

          Como ya mencionamos, en
    el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo  a
    los infinitos que los griegos les habían tenido:
    Kepler y Cavalieri fueron
    los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que
    llevaría en medio siglo al descubrimiento del
    cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a
    Cavalieri -discípulo de Galileo-.
    Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y
    volúmenes formados por trozos de áreas planas
    redescubriendo las bases metodológicas del método
    mecánico -y desconocido en aquella época- de
    Arquímedes. Cavalieri incluso fue más
    allá intentando construir una teoría
    de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos,
    demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no
    consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa
    apareciendo en alguna parte-.  Las desventajas de su
    método de indivisibles -poca generalidad, debilidad
    lógica,
    excesivos razonamientos y procedimientos geométricos-
    fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat,
    Pascal, Wallis
    y Roberval.

    Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin
    duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita
    discípulo de Clavius. Sus principales aportaciones
    las publicó en su Opus geometricum.
    En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las
    series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las
    mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de
    Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además
    resolvía magistralmente argumentando que Zenón no
    consideró en la persecución de Aquiles que el
    tiempo formaba una progresión geométrica de
    razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar
    a la tortuga. Una de las aportaciones más valiosas de
    Saint-Vicent consistió en su hallazgo de que el
    área encerrada bajo una hipérbola se expresaba
    mediante los logaritmos.

    Nuestro próximo personaje es John
    Wallis, miembro
    fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de
    Arquímedes que además escribió una
    Gramática inglesa. Wallis
    aritmetizó los indivisibles de Cavalieri
    asignándoles valores
    numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de
    áreas -hasta el momento algo meramente geométrico-
    en cálculos aritméticos más un primitivo
    proceso de límite haciendo además un uso
    "descarado" del infinito -a él debemos también el
    símbolo que usamos actualmente, ese 8
    acostado-.

    Es curiosa la opinión que él mismo
    profesaba de sus métodos:
    "Este procedimiento es
    altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien
    conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo
    que es superfluo, porque la frecuente iteración produce
    náuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede
    realizar la prueba", escribió en su Arithmetica
    infinitorum. Usando su método aritmético, la
    inducción incompleta,  y su
    intuición llegó a calcular el área de todas
    las parábolas generalizadas x ^ r con
    r racional excluyendo al 1, además de una
    bellísima fórmula para calcular Pi.

    El trabajo de Wallis influyó enormemente
    en Newton quien aseguró que el desarrollo del
    binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se
    originaron en su estudio del libro de
    Wallis en la época de estudiante en
    Cambridge.

    El mismo Wallis propone una genealogía del
    cálculo:

    Método de exhausión (Arquímedes)

    Método de los indivisibles
    (Cavalieri)

    Aritmética de los infinitos
    (Wallis)

    Métodos de las series infinitas
    (Newton)

         Dediquemos algún tiempo
    a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el
    cálculo de tangentes, que junto al de áreas
    constituyeron la base del cálculo. En la parte central del
    siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de
    cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el
    siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver
    problemas de cálculos de tangentes, áreas,
    volúmenes, etc.; los primeros darían origen al
    cálculo
    diferencial, los otros al integral.  Como hemos
    mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, …
    siguieron los pasos de Kepler y
    Cavalieri; además de los
    infinitésimos cada vez se usaban más
    fórmulas y menos dibujos: la
    geometría analítica cumplía su
    función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el
    maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien,
    podría haber arrebatado a su discípulo el
    descubrimiento del cálculo. En efecto, la geometría
    analítica amplió considerablemente el horizonte de
    las curvas geométricas. Este incremento de nuevas curvas
    hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para
    calcular tangentes.  Uno de ellos fue el método de
    adigualdades de Pierre Fermat que servía
    además para calcular máximos y mínimos. Esto
    unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un
    puesto de honor como precursor del cálculo. Newton,
    en una carta descubierta
    en 1934, escribió en relación con sus ideas para el
    desarrollo del cálculo: "La indicación me la dio el
    método de Fermat para las tangentes.
    Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e
    inversamente, yo lo hice general".

    Relacionado con los problemas de tangentes surgió
    a mediados del S.XVII el llamado problema inverso de tangentes,
    es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus
    tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue
    Florimond de Beaune,
    discípulo de Descartes, quien planteó,
    entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente
    constante. El propio Descartes lo intentó sin
    éxito
    siendo Leibniz el primero en resolverlo en la primera
    publicación de la "historia sobre el cálculo
    infinitesimal". De hecho un elemento esencial para el
    descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el
    problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas
    inversos; es por eso que la relación inversa entre la
    derivación y la integración es lo que hoy llamamos
    Teorema fundamental del cálculo.

         Newton en su
    célebre frase "Si he llegado a ver más lejos que
    otros es por que me subí en hombros de gigantes" se
    refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow.
    Barrow fue probablemente el científico que estuvo
    más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a
    las matemáticas en su afán de comprender la
    teología -de hecho se marchó de su cátedra
    en Cambridge, cediéndosela a
    Newton para continuar sus estudios
    teológicos-. En la lección X de su obra Letiones
    opticae & geometricae Barrow demuestra su
    versión geométrica del Teorema fundamental del
    cálculo.

           En el último
    cuarto del siglo XVII, Newton  y Leibniz, de
    manera independiente, sintetizaron de la maraña de
    métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos
    conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral,
    desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de
    derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos-
    Teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el
    cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas
    de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes,
    centros de gravedad, etc. que habían ocupado a sus
    predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante
    sus correspondientes reglas de cálculo.

    El primero en descubrirlo fue
    Newton, pero su fobia por publicar le
    hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton
    gestó el cálculo en sus anni mirabilis
    (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia
    de peste que asolaba Inglaterra. De
    hecho su primera obra  sobre el cálculo, De
    analyse per aequationes numero terminorum infinitas
    -que le
    valió la cátedra lucasiana que dejó su
    maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo
    la publicó en 1711. La segunda obra de
    Newton sobre el cálculo fue escrita
    dos años más tarde en 1671 pero esperaría
    hasta 1737 para ver la luz !diez
    años después de su muerte y 66
    después de escrita!. Se trata de De methodis serierum
    et fluxionum
    .  

    En ella Newton describe sus conceptos de fluente
    -es una variable en función del tiempo- y fluxión
    de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como
    entidades propias, con unas reglas algorítmicas de
    fácil uso que luego usará para resolver distintos
    problemas de máximos y mínimos, tangentes,
    cuadraturas -en relación a este último,
    estableció el ya mencionado Teorema fundamental del
    cálculo-. Para demostrar la potencia de su
    cálculo Newton se dedica en unas "pocas"
    páginas a resolver todos los problemas de cálculo
    de tangentes, áreas, etc. que habían ocupado a sus
    predecesores.  

    Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente
    es ¿por qué Newton tardó
    tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y
    las distintas disputas que tuvo con muchos de sus
    contemporáneos, Newton era consciente de la
    débil fundamentación lógica de su
    método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre
    hubo copias de sus trabajos circulando entre sus
    amigos-.

    Este temor también está patente en su obra
    cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje
    geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo
    indicio de su cálculo que probablemente usó -se
    puede encontrar una única mención del mismo en el
    lema II de la sección II del libro II: la regla para
    derivar productos-.

         Leibniz, más
    conocido como filósofo, fue el otro inventor del
    cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de
    Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar
    el invento. Lo hizo además usando una vía
    ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la
    difusión de sus resultados los publicó en una de
    las recién creadas revistas científico
    filosóficas, el Acta Eroditorum, que el mismo había
    ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para
    la ciencia
    donde empezaron a aparecer las revistas científicas que
    permitirían luego y hasta nuestro días la
    difusión del conocimiento y
    los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en
    París -ya que era un afamado diplomático-
    Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar
    matemáticas.

    En 1673, luego de estudiar los tratados de
    Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de
    tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes.
    Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y
    diferencias de sucesiones
    comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y
    diferencias infinitesimales que acabarían en la
    gestación de su cálculo por el año 1680 y a
    diferencia de Newton si lo
    publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo
    método para los máximos y los mínimos,
    así como para las tangentes, que no se detiene ante
    cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular
    género
    de cálculo para estos problemas". En este artículo
    de 6 páginas -e incomprensible como él mismo luego
    reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin
    demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial -"un
    enigma más que una explicación" dijeron de
    él los hermanos Bernoulli.

    También Leibniz resuelve el ya mencionado
    problema de De Beaune encontrando que la solución era el
    logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se
    llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el
    análisis de los indivisibles e infinitos", también
    publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece
    por primera vez la notación para la integral que
    todavía hoy usamos -en el primero introduce la
    notación "dx" para la diferencial-.

         Como colofón a estas
    páginas dedicaremos unas líneas a tratar la mayor
    de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la
    prioridad de la invención del cálculo. Las
    suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores,
    primero sobre quién había descubierto antes el
    cálculo y, después, sobre si uno lo había
    copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de
    prioridad que amargó los últimos años de
    ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable
    pues los métodos de ambos genios tienen importantes
    diferencias conceptuales que indican claramente la génesis
    independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas
    generadas por el movimiento continuo de un punto basándose
    su cálculo diferencial en la medida de la variación
    de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una
    curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya
    prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya
    geometría se obtiene la correspondiente relación
    entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de
    ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue
    resuelto totalmente mediante el concepto de
    límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la
    década 1960-70 hasta la aparición del
    Análisis no-estándard de Abrahan
    Robinson.

    La polémica en cuestión se fraguó a
    finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho
    ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton
    -que el mismo Newton le había indicado que existía
    en sus Epistolae : Expistola prior  y posterior, sendas
    cartas
    dirigidas a Leibniz. En ambas Newton explica muy someramente
    -básicamente se centra en el teorema del binomio- su
    método de cálculo.- Además en Holanda -como
    le aseguró Wallis a Newton- se atribuía el
    cálculo a Leibniz, eso sin contar que los
    discípulos de Leibniz habían publicado el primer
    libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits
    que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de
    las clases particulares que le dio Juan Bernoulli.

    La respuesta de los seguidores de Newton no se hace
    esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer
    volumen de las
    obras matemáticas de Wallis la correspondencia cursada con
    Leibniz, las Epistolas prior y posterior donde éste
    pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego
    Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber
    plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura
    curvarum, Newton alega "En una carta escrita al Sr. Leibniz en
    1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el
    cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de
    la cuadratura de figuras curvilíneas […] Hace
    años presté un manuscrito conteniendo tales
    teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con
    varias cosas copiadas de él, lo hago público en
    esta ocasión". La respuesta de Leibniz no se hizo
    esperar.

    En una reseña del De quadratura curvarum,
    publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer
    a su autor: Leibniz – en 1705 en las Actas se dice "Para entender
    mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos.
    Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo,
    una línea varía por el fluir de un punto que la
    describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados
    diferencias […] Y por tanto ha aparecido el cálculo
    diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los
    elementos de este cálculo han sido publicados por su
    inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus
    varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y
    hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En
    vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó,
    y ha empleado siempre, fluxiones". Esta reseña fue el
    detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical
    Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a
    Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society
    nombra una comisión -que resultó estar plagada de
    amigos de Newton – que luego de varias deliberaciones
    dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a
    Leibniz – aunque tampoco rectificó las duras palabras de
    Keill-. Esta absurda guerra
    duró hasta principios del
    siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses
    deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el
    momento habían ignorado.

         Como apéndice a nuestra
    exposición vamos a relatar, a modo de
    realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas
    que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta
    por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. El
    problema consistía en determinar la curva por la que un
    cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que
    no estén en posición vertical u horizontal. Este
    problema ya interesó en su día a Galileo aunque
    éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues
    para ello se precisaba del cálculo-. La historia es como
    sigue.

    En el número de junio de 1696 de las Actas
    Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores
    matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto
    a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis
    meses pero a petición de Leibniz se amplió para que
    tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que
    se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones:
    una de Leibniz,  una del mismo Juan Bernoulli, otra de su
    hermano Jacobo Bernoulli, una del Marquéz de L'Hospital y
    una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la
    solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor
    anónimo que escogió las Philosophical Transactions
    para publicar su genial solución que sólo
    contenía 67 palabras?. Un vistazo a la solución fue
    suficiente para que Juan Bernoulli exclamara "tanquam ex ungue
    leonen", algo así como "¡reconozco al león
    por sus garras!" pues claro está que era Newton.
    Años más tarde se aclaró toda la historia.
    Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos
    ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que
    comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el
    cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para
    resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan
    Bernoulli éste conjetura que sólo quien conozca el
    cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro
    está-. Como no podía ser de otra forma el reto
    llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no
    "hacía ciencia" sino que trabajaba en la Casa de la Moneda
    inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este
    recibió el problema a las 4 de la tarde cuando
    regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía
    lista su solución 12 horas después -aunque lo que
    probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya
    había pensado en ese problema unos años antes y que
    casi seguro lo
    había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar
    la memoria ese
    día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya
    había resuelto el problema ¿por qué no lo
    publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la
    que dió Augusto de Morgan "Cada descubrimiento de Newton
    tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los
    demás teníamos que descubrir que él lo
    había hecho"

    V. Definición del calculo
    vectorial

    El cálculo vectorial es un campo de las
    matemáticas referidas al análisis real
    multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste
    en una serie de fórmulas y técnicas
    para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

    Consideramos los campos vectoriales, que asocian un
    vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que
    asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la
    temperatura de
    una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor
    escalar de temperatura. El flujo del agua en la
    misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un
    vector de velocidad.

    Cuatro operaciones son
    importantes en el cálculo vectorial:

    • Gradiente: mide la tasa y la dirección del
      cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es
      un campo vectorial.
    • Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo
      vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo
      vectorial es otro campo (seudo)vectorial.
    • Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial
      a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la
      divergencia de un campo vectorial es un campo
      escalar.
    • Laplaciano

    La mayoría de los resultados analíticos se
    entienden más fácilmente usando la maquinaria de la
    geometría diferencial, de la cual el cálculo
    vectorial
    forma un subconjunto.

    VI. BIOGRAFIAS

    SIR ISAAC NEWTON

    Isaac Newton nació el día de Navidad del
    antiguo calendario en 1642 (correspondiente al 4 de Enero de 1643
    del nuevo calendario), año en que moría Galileo, en
    el pueblecito de Woolsthorpe, unos 13 Km. al sur de Grantham, en
    el Lincolnshire. Fue un niño prematuro y su padre
    murió antes de su nacimiento, a los treinta y siete
    años. Isaac fue educado por su abuela, preocupada por la
    delicada salud de su
    nieto. Su madre, mujer ahorrativa
    y diligente, se casó de nuevo cuando su hijo no
    tenía más que tres años. Newton
    frecuentó la escuela del lugar
    y, siendo muy niño, manifestó un comportamiento
    completamente normal, con un interés marcado por los
    juguetes
    mecánicos.

    El reverendo William Ayscough, tío de Newton y
    diplomado por el Trinity College de Cambridge, convenció a
    su madre de que lo enviara a Cambridge en lugar de dejarlo en la
    granja familiar para ayudarla. En junio de 1661, a los dieciocho
    años, era pues alumno del Trinity College, y nada en sus
    estudios anteriores permitía entrever o incluso esperar la
    deslumbrante carrera científica del fundador de la
    mecánica y la óptica.
    Por otra parte, el Trinity College tenía fama de ser una
    institución sumamente recomendable para aquellos que se
    destinaban a las órdenes. Afortunadamente, esta
    institución le brindó hospitalidad, libertad y una
    atmósfera
    amistosa que le permitieron tomar contacto verdadero con el campo
    de la ciencia.

    Al comienzo de su estancia en Cambridge, se
    interesó en primer lugar por la química, y este
    interés, según se dice, se manifestó a lo
    largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios,
    y probablemente por primera vez, leyó una
    obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides,
    lo que despertó en él el deseo de leer otras obras.
    Parece también que su primer tutor fue Benjamin Pulleyn,
    posteriormente profesor de
    griego en la Universidad. En
    1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la
    Geometria a Renato Des Cartes de Van Schooten, la Optica de
    Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten
    y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría
    como introducción a sus investigaciones
    sobre las series infinitas, el teorema del binomio, ciertas
    cuadraturas. También a partir de 1663 Newton
    conoció a Barrow, quien le dio clase como
    primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma
    época, Newton entró en contacto con los trabajos de
    Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir probablemente de la
    edición
    de 1659 de la Geometria de Descartes por
    Van Schooten.

    Desde finales de 1664, Newton parece dispuesto a
    contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas.
    Aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos
    de Wallis, y el cálculo de fluxiones. Después, al
    acabar sus estudios de bachiller, debe volver a la granja
    familiar a causa de una epidemia de peste bubónica.
    Retirado con su familia durante
    los años 1665-1666, conoce un período muy intenso
    de descubrimientos: descubre la ley del inverso del cuadrado, de
    la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones,
    generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la
    naturaleza física de los colores. Sin
    embargo, Newton guarda silencio sobre sus descubrimientos y
    reanuda sus estudios en Cambridge en 1667.

    De 1667 a 1669, emprende activamente investigaciones
    sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College. En
    1669, Barrow renuncia a su cátedra lucasiana de
    matemáticas y Newton le sucede y ocupa este puesto hasta
    1696. El mismo año envía a Collins, por medio de
    Barrow, su Analysis per aequationes numero terminorum infinitos.
    Para Newton, este manuscrito representa la introducción a
    un potente método general, que desarrollará
    más tarde: su cálculo diferencial e integral. En
    1672 publicó una obra sobre la luz con una
    exposición de su filosofía de las ciencias,
    libro que fue severamente criticado por la mayor parte de sus
    contemporáneos, entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y
    Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la
    naturaleza de la luz. Como Newton no quería publicar sus
    descubrimientos, no le faltaba más que eso para
    reafirmarle en sus convicciones, y mantuvo su palabra hasta 1687,
    año de la publicación de sus Principia, salvo
    quizá otra obra sobre la luz que apareció en
    1675.

    Desde 1673 hasta 1683, Newton enseñó
    álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que
    asistían pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto,
    Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742)
    reconocían sus méritos y le estimulaban en sus
    trabajos. Hacia 1679, verificó su ley de la
    gravitación universal y estableció la
    compatibilidad entre su ley y las tres de Kepler sobre los
    movimientos planetarios.

    Newton descubrió los principios de su
    cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante
    el decenio siguiente elaboró al menos tres enfoques
    diferentes de su nuevo análisis. Desde 1684, su amigo
    Halley le incita a publicar sus trabajos de mecánica, y finalmente, gracias al
    sostén moral y
    económico de este último y de la Royal Society,
    publica en 1687 sus célebres Philosophiae naturalis
    principia mathematíca. Los tres libros de esta
    obra contienen los fundamentos de la física y la astronomía escritos en el lenguaje de
    la geometría pura. El libro I contiene el método de
    las "primeras y últimas razones" y, bajo la forma de notas
    o de escolios, se encuentra como anexo del libro III la
    teoría de las fluxiones. Aunque esta obra monumental le
    aportó un gran renombre, resulta un estudio difícil
    de comprender, y parece que Newton quiso que fuera así con
    el fin «de evitar ser rebajado por pequeños
    semisabios en matemáticas». Quiso escapar así
    a las críticas suscitadas por sus textos sobre la
    luz.

    En 1687, Newton defendió los derechos de la Universidad
    de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II y, como resultado
    tangible de la eficacia que
    demostró en esa ocasión, fue elegido miembro del
    Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y
    obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño en el Parlamento
    durante varios años sin mostrarse, no obstante, muy activo
    durante los debates. Durante este tiempo prosiguió sus
    trabajos de química, en los que se reveló muy
    competente, aunque no publicara grandes descubrimientos sobre el
    tema. Se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir
    telescopios.

    Después de haber sido profesor durante cerca de
    treinta años, Newton abandonó su puesto para
    aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696.
    Durante los últimos treinta años de su vida,
    abandonó prácticamente sus investigaciones y se
    consagró progresivamente a los estudios religiosos. Fue
    elegido presidente de la Royal Society en 1703 y reelegido cada
    año hasta su muerte. En 1705 fue hecho caballero por la
    reina Ana, como recompensa a los servicios
    prestados a Inglaterra.

    Los últimos años de su vida se vieron
    ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura
    internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de
    la invención del nuevo análisis, Acusaciones mutuas
    de plagio, secretos disimulados en criptogramas, cartas
    anónimas, tratados inéditos, afirmaciones a menudo
    subjetivas de amigos y partidarios de los dos gigantes
    enfrentados, celos manifiestos y esfuerzos desplegados por los
    conciliadores para aproximar a los clanes adversos, he
    aquí en pocas palabras los detalles de esta célebre
    controversia, que se terminó con la muerte de
    Leibniz en 1716, pero cuyas malhadadas secuelas se harán
    sentir hasta fines del siglo XVIII.

    Después de una larga y atroz enfermedad, Newton
    murió durante la noche del 20 de marzo de 1727, y fue
    enterrado en la abadía de Westminster en medio de los
    grandes hombres de Inglaterra.

    "No sé cómo puedo ser visto por el mundo,
    pero en mi opinión, me he comportado como un niño
    que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en
    cuando una piedra más pulida y una concha más
    bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la
    verdad se exponía ante mí completamente
    desconocido."

    Esta era la opinión que Newton tenía de
    sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y
    ningún hombre ha
    recibido tantos honores y respeto, salvo
    quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como
    él bien dice "si he visto más lejos que los otros
    hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los
    ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de
    la dinámica y la mecánica celeste, al
    tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso
    vital que le faltaba.

    Leibniz, Gottfried Wilhelm

    Nacionalidad:
    Alemania
    Leipzig 1-7-1646 – Hannover
    14-11-1716

    Nacido en Leipzig en 1646, hijo de un profesor de
    universidad, se formó en su localidad natal en
    Filosofía y en Derecho en Jena y Altdorf,
    doctorándose a los veinte años. Erudito, sus
    contribuciones tocan los campos de la historia, las leyes, la
    lengua, la
    teología, la física y la filosofía. Al mismo
    tiempo que Newton descubre el cálculo infinitesimal.
    Continuador de la filosofía de Descartes, para quien
    existían dos clases de sustancias -corporal y espiritual-,
    para Leibniz sólo existe la segunda, que además
    será simple, indivisible y actuante, es decir, motor de la
    acción. Establece que el mundo está compuesto de
    "mónadas", unidades mínimas cargadas de atributos,
    con capacidad para percibir y actuar. Cada una de ellas es
    única y refleja en sí el universo,
    configurando a su vez un universo en
    pequeño. Las mónadas no se influyen o
    interactúan entre sí, sino que actúan de
    manera independiente y sin comunicación.

    Por otro lado, Leibniz postula la teoría de la
    armonía preestablecida, según la cual Dios es el
    creador de las cosas que hay en el universo, pero son las cosas
    las que, dotadas de movimiento, se mueven por sí mismas.
    Defensor de Dios en su "Teodicea", critica los argumentos de
    Bayle según los cuales un mundo imperfecto, en el que
    existe el mal, no puede haber sido realizado por un Dios perfecto
    y bien supremo. Leibniz argumenta que, si bien el mundo no es
    absolutamente perfecto, sí es el más perfecto de
    los posibles, como expresa un famoso personaje del
    "Cándido" de Voltaire. El
    "optimismo metafísico leibniziano" se formula
    también preguntas acerca del origen del mal y de la
    relación entre predestinación y libre
    albedrío, concluyendo que Dios permite la existencia del
    mal, si bien no la quiere, y que el destino y la libertad del
    individuo
    funcionan conjuntamente. En el campo de la matemática,
    realizó contribuciones a la teoría de los
    números, al cálculo mecánico,
    álgebra, etc. Es el iniciador de la lógica
    matemática y de la topología. Enuncia el principio
    según el cual la masa por el cuadrado de la velocidad se
    mantiene constante. Falleció en Hannover el 14 de
    noviembre de 1716, siendo el primer filósofo alemán
    de repercusión universal.

    VII.
    Bibliografía

    1. www.google.com
    2. www.rincondelvago.com
    3. Enciclopedia wikipedia
    4. Enciclopedia Encarta 2005
    5. www.biografias.com

     

    OMAR RACERO

     

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