Aprendemos a resolver ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales (página 2)

Los métodos en
cuanto a la relación entre el profesor y el
alumno.

• Método Individual: Es el destinado a
  la
  educación de un solo alumno. Es recomendable en
  alumnos que por algún motivo se hayan atrasado en sus
  clases.
• Método Recíproco: Se llama
  así al método
  en virtud del cual el profesor encamina a sus alumnos para que
  enseñen a sus condiscípulos.

MÉTODO A USAR EN LA SESIÓN DE
APRENDIZAJE

En nuestra clase
aplicaremos el método individual y grupal de manera que
los alumnos interioricen primero el concepto de
ecuación y luego en grupo, puedan
dialogar ye intercambiar opiniones para su
resolución

2.2.3. LA TÉCNICA

La TÉCNICA la definimos como los recursos
necesarios de la enseñanza; son los vehículos de
realización ordenada, metódica y adecuada de la
misma. Los
métodos y
técnicas tienen por objeto hacer más
eficiente la dirección del aprendizaje.
Gracias a ellos, pueden ser elaborados los conocimientos
adquiridos, las habilidades e incorporados con menor esfuerzo los
ideales y actitudes que
la escuela pretende
proporcionar a sus alumno.( Didáctica
general. UNMSM .Luis Marcel, 1999)

Destacan las principales técnicas
:

EXPOSICIÓN

Es una técnica explosiva centrada en el
instructor, y consiste en proporcionar información al grupo, al tiempo que se
limita la participación de éste.

LLUVIA DE IDEAS

Es una técnica que permite la libre
expresión de las ideas de los participantes sin las
restricciones o limitaciones con el propósito de producir
el mayor número de datos, opiniones
y soluciones
obre algún tema.

DISCUSIÓN DIRIGIDA

Consiste en un intercambio de ideas y opiniones entre
los integrantes de un grupo relativamente pequeño, acerca
de un tema específico con un método y una estructura en
la que se mezclan la
comunicación formal y las expresiones
espontáneas de los participantes.

JUEGO DE PAPELES

En esta técnica algunos participantes asumen un
papel diferente al de su propia identidad,
para representar un problema real o hipotético con el
objeto de que pueda ser comprendido y analizado por el
grupo.

EXPERIENCIA ESTRUCTURADA

Es una técnica en la cual los participantes
realizan una serie de actividades previamente diseñadas,
cuyo propósito es destacar los principales elementos de un
tema o aspecto del programa. Es
importante destacar que hay una gran confusión entre la
experiencia estructurada y las llamadas "Dinámicas
de grupo", conviene aclarar que la dinámica grupal existe en todo momento como
consecuencia del comportamiento
de las personas y de su interacción en el grupo, con independencia
de la técnica que se emplee.

LECTURA COMENTADA

Consiste en dejar a los participantes leer un documento
y que lo comenten con la dirección del instructor. Como
variante de esta práctica se puede usar el debate, cuya
mecánica es semejante.

INSTRUCCIÓN PROGRAMADA

Es una técnica individualizada por medio de
materiales que
permiten que el participante dirija su aprendizaje a su propio
ritmo, gracias a la retroalimentación constante de respuestas
correctas

TÉCNICAS A USAR EN LA SESIÓN DE
APRENDIZAJE

Nosotros usaremos las técnicas de la exposición, la experiencia estructurada, la
instrucción programada y las lluvias de ideas en el aprendizaje y
la enseñanza de las ecuaciones.

2.2.4.- ESTRATEGIAS

Todo método tiene una estrategia, de
allí que definimos ESTRATEGIA , siguiendo a la
acepción que da la Real Academia Española : el
Arte de
dirigir un asunto para lograr el objeto deseado.( RAE. Diccionario de
la Reala Academia de Lengua
Española. 2001)

Nosotros consideramos que las estrategias se
confunden con las técnicas, de allí que en matemáticas creemos que podemos emplear las
estrategias de dirigidas a obtener o movilizar información
, dirigidas a elaborar o transformar información y las
dirigidas a comunicar información (. " Estrategias y
técnicas de Enseñanza. Taylor, Joseph.
2000: 43)

Las enunciamos como un proceso
consciente e intencionado que favorece el análisis , la reflexión, el control del
proceso y la valoración de lo que se hace. Utilizamos
estrategias cuando solucionamos , comprendemos un texto
,planificamos una entrevista
(PLANCAD, 2001)

Actualmente las estrategias los mapas
conceptuales:

Los mapas
conceptuales permiten organizar de una manera coherente a los
conceptos, su estructura organizaciones
(Novack, 1999) se produce mediante relaciones significativas
entre los conceptos en forma de proposiciones, estas a su vez
constan de dos o más términos conceptuales unidos
por palabras enlaces que sirven para formar una unidad semántica. Además los conceptos se
sitúan en una elipse o recuadro, los conceptos
relacionados se unen por líneas y el sentido de la
relación se aclara con las palabras enlaces, que se
escriben en minúscula junto a las líneas de
unión. Hay que tener en cuenta que algunos conceptos son
abarcados bajo otros conceptos más amplios, más
inclusivos, por lo tanto deben ser jerárquicos; es decir,
los conceptos más generales deben situarse en la parte
superior del mapa, y los conceptos menos inclusivos, en la parte
inferior.

Los mapas
conceptuales le permiten a los profesores y alumnos intercambiar
sus puntos de vista sobre la validez de un vínculo
preposicional determinado para finalmente proporcionar un resumen
esquemático de todo lo que se ha aprendido.

Los mapas conceptuales son herramientas
útiles para ayudar a los estudiantes a aprender acerca de
la estructura del conocimiento y
los procesos de
construcción de pensamiento.

Este puede servir como punto de partida de cualquier
concepción de concepto que la persona pueda
tener concerniente a la estructura del conocimiento, es decir,
sirve para descubrir los preconceptos del alumno y cuando se
llegue al final del proceso servirá para clarificar
relaciones entre nuevos y antiguos conocimientos

ANALOGÍAS

Consiste en analizar comparaciones entre la
información nueva y la información ya
conocida.

ORGANIZADOR PREVIO

Es un material elaborado por el docente en forma de
texto o de diagramas que
contiene ideas y conceptos generales sobre el tema que van a
aprender.

ILUSTRACIONES

Son las fotografías , esculturas , dibujos,
gráficos , histogramas que tienen como
propósito despertar el interés y
mantener la atención de los alumnos sobre un
determinado aprendizaje

ESTRATEGIA A EMPLEAR EN LA SESIÓN DE
APRENDIZAJE.

En la sesión de aprendizaje emplearemos la
estrategia de grupo; desarrollan ejercicios y problemas de
ecuaciones , exposición de trabajos , intercambian
trabajos para corregir errores, exponen sus trabajos y los
mejoran con el aporte de toda la clase , ubican los trabajos en
el área de lógico matemática
del cuarto grado de educación
primaria.

2.2.5.- MEDIOS Y
MATERIALES

Los MEDIOS Y MATERIALES los definimos como Medios
auxiliares que usa el docente para lograr motivar e interesar a
los alumnos a adquirir y similar nuevos contenidos dentro de una
materia o
asignatura escolar.( " La Didáctica educativa" Marcus José
México DF.
2000)

Los Medios; su fin es le logro de los
objetivos
educacionales.

MATERIALES EDUCATIVOS

Son todos los medios y recursos que facilitan el
proceso de enseñanza y la construcción de los
aprendizajes porque estimulan la función de
los sentidos y
activa las experiencias y aprendizaje previos para acceder
más fácilmente a la información , al
desarrollo de
habilidades y destrezas y a la formación de actitudes y
valores.

CLASES DE MEDIOS Y
MATERIALES

Según los medios de
comunicación que emplea :

• Materiales impresos : Textos, manuales ,
  laminas , folletos
• Materiales audiovisuales : Videos ,
  películas , diapositivas , programas de
  radio ,
  grabaciones de audio , programas de computadoras, etc.
• Materiales multimediales : Programa de
  computadora
  con materiales impresos , equipos de laboratorio
  con textos de aprendizajes , materiales de arte plástica
  con diapositivas , sonidos grabados y uso de textos de
  autoaprendizaje.

Según su intencionalidad
:

• No estructurados : Aquellos no elaboraos
  con propósitos definidos. Generalmente se recolectan del
  entorno. Ejemplo : Chapas, semillas , etiquetas , palitos,
  hojas, cordones, envases, conchas , cuentas,
  periódicos, instrumentos
  musicales, retazos de lana, etc.
• Estructurado : Son aquellos elaboraos
  para que sirvan de soporte en las actividades de aprendizajes.
  Ejemplo : regletas de colores,
  maquetas armables, bloques lógicos, juegos de
  encaje , rompecabezas, fichas de
  aplicación.

De particular importancia para nuestro objetivo es la
clasificación de medios y materiales que establece Edgard
Dale en su famoso Cono de la experiencia (1966), donde ordena los
niveles de concreción y abstracción de los
métodos de enseñanza y los materiales instructivos
en el sentido de abstracción creciente. Dale opinaba que
las ideas pueden ser más fácilmente entendidas y
retenidas si se construyen a partir de la experiencia
concreta.

MEDIOS Y MATERIALES A USAR EN LA SESIÓN DE
CLASE

En nuestro caso aplicaremos los símbolos orales, y visuales: pizarra, tiza,
plumones, lapiceros, cuadernos de apuntes, regla, tabla de
multiplicar, fichas informativas , cuartillas, papelotes,
cuaderno de apuntes. etc. .

Aún cuando algunos de los problema que proponemos
pueden resolverse utilizando sistemas de
ecuaciones, intentaremos que el alumno los resuelva utilizando
una sola incógnita, aunque por vicio adquirido tienda a
introducir varias, método que en general le pude resultar
más fácil a la hora de plantear el problema, pero
no a la de resolverlo, pues generalmente desconoce el estudio de
la compatibilidad de sistemas.

En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar
a la discusión de la ecuación de primer grado, con
ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin
solución, con infinitas soluciones y con solución
única), y su interpretación en el problema planteado. A
la hora de resolver un problema algebraico, es aconsejable que el
alumno siga ciertas pautas. Un esquema posible a seguir es el
siguiente:

• Leer y comprender el enunciado
• Designar la incógnita
• Plantear la ecuación
• Resolver la ecuación
• Discusión e interpretación de los
  resultados

Ante resultados no satisfactorios, es decir, que el
alumno no llegue a la solución o bien ésta no
cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes
mediante el dialogo.

2.2.6- LA EVALUACIÓN

• Es un proceso interactivo , consustancial a la
  enseñanza y al aprendizaje orientado a identificar las
  necesidades de aprendizaje y valorar el valor del
  logro alcanzado por los niños
  y niñas en el desarrollo de competencias,
  con el propósito de tomar decisiones que lleven a la
  mejora de la práctica educativa.
  (PLANCAD,2001)
• La evaluación es integral y continua en todo
  proceso educativo para proporcionar al maestro la
  información que le permita mediar y apoyar de cerca los
  aprendizajes de los niños y niñas. En este
  sentido , la evaluación puede ser inicial, de proceso o
  seguimiento y de confirmación o sustantiva.

CLASES DE EVALUACIÓN

EVALUACIÓN INICIAL

Le evaluación inicial posibilita recoger datos
para precisar el nivel de expectativas , intereses y aprendizajes
previos. Esta evaluación debe hacerse en relación
al año académico , un trimestre o al inicio de una
unidad didáctica.

• Cuando un alumno llega por primera vez a una
  institución educativa ya sea para iniciar su escolaridad
  o para continuarla , si llegara por primera vez es necesaria
  una amplia recogida de datos (personales, familiares y
  sociales). Esta evaluación tiene un carácter diagnostico , servirá
  para conocer a esa niña o niños y poder
  adecuar desde el primer momento la actuación del
  profesor y del centro a sus peculiaridades.
• Cuando se inicia un proceso de aprendizaje concreto,
  por ejemplo, al inicio de una unidad didáctica. Esta
  evaluación permite detectar las idea previas que l
  alumno posee en relación con las capacidades a
  desarrollar, igualmente se puede percibir las actitudes
  manifiestas hacia las mismas.

EVALUACIÓN DE PROCESO O DE
SEGUIMIENTO

Consiste en la valoración del aprendizaje del
niño o niña y de la enseñanza del profesor
mediante el recojo sistemático de datos análisis de
los mismos y de la toma oportuna , mientras tiene lugar el propio
proceso, lo acompañan como parte constitutiva de el. La
información obtenida durante esta evaluación
permite al profesor una ayuda ajustada , entendiéndose
como la que proporciona el docente al alumno para atender
oportunamente las dificultades , obstáculos y necesidades
que se van presentando durante el desarrollo de una unidad
didáctica.

Pone de manifiesto los distintos ritmos de avances de
los alumnos y permite hacer reajustes necesarios a la programación y a las estrategias empleadas
por el docente.

EVALUACIÓN DE CONFIRMACIÓN O
SUMATIVA

Es la valoración que busca confirmar los
resultados y las tendencias que se han venido registrando durante
la evaluación de seguimiento. La información
resultante deberá ser contrastada con la evaluación
de inicio y de proceso para identificare el nivel de logros. Esta
evaluación no admite los resultados sin más, pone
en cuestión el proceso y trata de indagar si las
competencias han sido desarrolladas, si los materiales han sido
los más adecuados y si en consecuencia las medidas
adoptadas han sido eficaces.

TIPOS DE EVALUACIÓN

Existen tres tipos básicos de
evaluación:

• la Heteroevaluacion es la que realizan los
  agentes externos del proceso de aprendizaje, como el propio
  docente, otros miembros de la institución educativa y
  los padres de familia.
• La auto evaluación Cuando cada alumno
  hace una reflexión y Apreciación critica de sus
  aprendizajes, teniendo como referencia los indicadores
  de logro, considerados en la unidad didáctica que se
  esta autoevaluando.
• La coevaluacion es la apreciación de
  los desempeños que se hace entre pares (
  niña-niño) cuya finalidad es la de
  retroalimentarse mutuamente, para reconocer y precisar sus
  avances, logros, esfuerzos y meritos en relación a sus
  indicadores de logros previstos.

EVALUACIÓN QUE SE APLICARA EN LA SESIÓN
DE APRENDIZAJE

En nuestro caso estamos aplicando la Heteroevaluacion y
Auto evaluación a través de una ficha de observación, la misma que el alumno
desarrollara y evaluara la construcción de sus
aprendizajes.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Entre los instrumentos mas usados tenemos :

• Practica calificada
• Prueba Oral
• Prueba escrita
• Ficha de auto evaluación
• Ficha de coevaluacion

2.2.8.- TIEMPO

El tiempo que se utilizara para el desarrollo de la
sesión de aprendizaje será de ciento ochenta
minutos ( 180&uml😉

2. La enseñanza. es el proceso mediante el cual
   se comunican o transmiten conocimientos especiales o generales
   sobre una materia. Este concepto es más restringido que
   el de educación, ya que ésta tiene por objeto la
   formación integral de la persona humana, mientras que la
   enseñanza se limita a transmitir, por medios diversos,
   determinados conocimientos. En este sentido la educación
   comprende la enseñanza propiamente dicha.
3. Los métodos de enseñanza descansan
   sobre las teorías del proceso de aprendizaje y una
   de las grandes tareas de la pedagogía moderna a sido estudiar de
   manera experimental la eficacia de
   dichos métodos, al mismo tiempo que intenta su
   formulación teórica. En este campo sobresale la
   teoría psicológica : la base
   fundamental de todo proceso de enseñanza-aprendizaje se
   halla representada por un reflejo condicionado, es decir, por
   la relación asociada que existe entre la respuesta y el
   estímulo que la provoca.
4. La tendencia actual de la enseñanza se dirige
   hacia la disminución de la teoría, o
   complementarla con la práctica. En este campo, existen
   varios métodos, uno es los medios audiovisuales que
   normalmente son más accesibles de obtener
   económicamente y con los que se pretende suprimir las
   clásicas salas de clase, todo con el fin de lograr un
   beneficio en la autonomía del aprendizaje del individuo.
   Otra forma, un tanto más moderno, es la
   utilización de los multimedios, pero que
   económicamente por su infraestructura, no es tan
   fácil de adquirir en nuestro medio, pero que brinda
   grandes ventajas para los actuales procesos de enseñanza
   ? aprendizaje
5. El proceso enseñanza-aprendizaje constituye un
   verdadero par dialéctico en el cual y, respecto al
   primer componente, el mismo se debe organizar y desarrollar de
   manera tal que resulte como lo que debe ser: un elemento
   facilitador de la apropiación del conocimiento de la
   realidad objetiva que, en su interacción con un sustrato
   material neuronal, asentado en el subsistema nervioso central
   del individuo, hará posible en el menor tiempo y con el
   mayor grado de eficiencia y
   eficacia alcanzable, el establecimiento de los necesarios
   engranajes sensoriales, aspectos intelectivos y motores para
   que el referido reflejo se materialice y concrete, todo lo cual
   constituyen en definitiva premisas y requisitos para el logro
   los objetivos propuestos.
6. La adquisición de una metodología basada en el cuestionamiento
   científico, en el reconocimiento de las propias
   limitaciones, en el juicio crítico y razonado, debe
   insertarse en todo proyecto de
   desarrollo de la persona y colaborar en la formación de
   un ciudadano capaz de tomar sus propias decisiones, ya que
   prepara y favorece una actitud
   crítica, razonable.
7. Es difícil escoger un método como el
   ideal y único camino para realizar una investigación, pues muchos de ellos se
   complementan y relacionan entre si. A mi consideración
   el método mas completo es el método
   Inductivo-Deductivo ya que en él se plantea una hipótesis que se puede analizar deductiva
   o inductivamente y posteriormente comprobar experimentalmente,
   es decir que se busca que la parte teórica no pierda su
   sentido, por ello la teoría se relaciona posteriormente
   con la realidad. Como notamos una de las características
   de este método es que incluye otros
   métodos,
8. Las estrategias, en el ámbito educativo, son
   los procedimientos
   que el alumno pone en marcha para concretar las capacidades
   propuestas en los objetivos de aprendizaje de sus
   programaciones de aula. Por lo tanto, las estrategias
   están integradas en el propio proceso de E-A; de
   ahí, que no deban trabajarse al margen del
   currículum, tal y como proponen, por ejemplo, los
   programas para enseñar a pensar. Las estrategias las
   emplea el profesor al enseñar y el alumno al aprender y,
   si realmente son potentes y están bien ajustadas, las
   que se utilizan para transmitir información y para
   procesarla deben ser las mismas.
9. La evaluación es un aspecto fundamental de la
   práctica docente, ya que permite realizar un seguimiento
   de los aprendizajes que los alumnos y alumnas van obteniendo.
   La evaluación debe considerar la posibilidad del error
   por parte del estudiante, o de una desmesurada exigencia por
   parte del docente, por lo que una de nuestras propuestas
   principales en este ámbito es la asistencialidad como
   factor evaluativo, es decir, cada vez que sea necesario, en una
   evaluación formal, proponemos que el profesor pida a sus
   alumnos expresen sus dudad o temores en sus
   aprendizajes.

III.-
COMPETENCIA

• Resuelve ecuaciones y crea problemas
  matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para
  cuya solución se requiere de la adicción y
  sustracción, multiplicación y división de
  números naturales.
• Demuestra confianza en sus propias capacidades y
  perseverancia en la búsqueda de soluciones

Capacidades y Actitudes

• Utiliza las propiedades de los números
  naturales d dicción, sustracción,
  multiplicación y división para resolver
  ecuaciones
• Resuelve problemas que requieren de operaciones con
  números naturales en la solución de
  ecuaciones
• Halla de manera rápida y eficaz el resultado
  de una ecuación aplicando estrategias
  personales.
• Inventa y resuelve problemas relacionados con las
  ecuaciones demostrando originalidad y coherencia con la
  realidad.
• Usa distintas estrategias para resolver problemas y
  las comunica. Verifica y comprueba lo razonable de los
  resultados.

IV.- ACTIVIDADES Y
ESTRATEGIAS

V.-
INFORMACIÓN TEÓRICA

LA
ECUACIÓN

Definición

• Una ecuación es toda igualdad entre dos
  expresiones matemáticas sin importar el valor
  que
• tomen las variables
  implicadas en cada expresión.
• Forma matemática de expresar la igualdad de
  dos expresiones algebraicas; en física,
  expresión que relaciona una o dos cualidades
  fundamentales. También se emplea en Química.
  Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de
  variables y constantes.

Historia de las
ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado
fueron los árabes, en un libro llamado
Tratado de la cosa, y a la ciencia de
hacerlo, Álgebra
(del ár. algabru
walmuqābalah, reducción y cotejo).
La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en
España,
y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido
a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X
porque su sonido era
intermedio, como en México/Méjico,
Jiménez/Jiménez), los matemáticos
españoles llamaron a la cosa X y así
sigue.

Para resolver ecuaciones de primer y segundo
grado, el hombre no
encontró gran dificultad, la situación fue
completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En
efecto, la ecuación general de tercer
grado:

… ax3 +
bx2 + cx + d =
0

Requirió consideraciones bastante profundas y
resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de
la antigüedad. Sólo se pudieron resolver a principios
del siglo XVI, en la Era del
Renacimiento en Italia.
Aquí se presentará el ambiente en
que aconteció el descubrimiento de la solución de
las ecuaciones de tercer grado o cúbicas. Los
hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos,
constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como
nunca se ha dados en la historia. La mayoría
de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad,
en problemas de interés
compuesto y de seguros.

Habiéndose elevado por encima del simple cálculo
práctico, los grandes algebristas italianos
constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista
que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y
jugadores de cartas,
espadachines que frecuentaban las Callejas del
Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a
las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus
pruebas de
agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la
solución de problemas. (Algo muy similar a lo que
hacían los hindúes siglos antes).

Para hacer doblemente difícil su deporte, algunas veces
hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. El
ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa
estalló la guerra en
torno a la
ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido
encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli,
quien en 1492 publicó un compendio de
álgebra, la "Suma
Aritmética". Con ella transmitió el
álgebra inventada hasta la fecha y
terminó con la irritante observación de que los
matemáticos no podrían todavía solucionar
ecuaciones cúbicas por métodos
algebraicos.

El primer hombre en
recoger el desafío de Pacioli en torno a las
cúbicas fue, como ya dijimos Scipio del Ferro, el hijo de
un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático
de matemáticas en la Universidad de Bolonia. Habiendo
encontrado la solución general para todas las ecuaciones
cúbicas de la forma simplificada x3 +
nx = h.

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento,
probablemente para confundir a los adversarios durante las
competencias. Pero en sus últimos días
confío su solución a un estudiante, Antonio Fior,
quien la utilizó en una disputa de álgebra con un
rival, Nícolo Fontana, llamado Tartaglia
o tartamudo a causa de que padecía este
defecto.

En la época de la contienda con Fior,
Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces
solucionadores de ecuaciones de Italia, y había ideado un
arma secreta propia: Una solución general para las
cúbicas del tipo x3 +
mx2 = h

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos
específicos del tipo x3 + px +
q = 0, le respondió con ejemplos del tipo
x3 + mx2 = n. Durante
el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto
Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho días
antes de finalizar el plazo, Tartaglia había encontrado
una solución general para las ecuaciones del tipo
x3 + px = q y en dos horas
resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte,
cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer
el cómputo, Tartaglia había solucionado los
problemas de Fior y éste no había solucionado los
de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia,
Tartaglia pronto se encontró con un rival más
fuerte:
Gerolamo Cardano, hijo ilegítimo de
un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardano era un
astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un
médico que visitaba a sus enfermos y un escritor
científico de cuya pluma emanaron montañas de
libros. Fue
también un jugador inveterano, siempre
balanceándose al borde de la prisión. Pero Cardano
siempre salía bien parado.

El Santo Padre lo pensionó
solucionándole así sus problemas económicos
y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la
solución de la ecuación
cúbica.

Aunque Cardano juró mantener secreta la
solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos
años después, en 1545, en un tratado monumental
sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). Tartaglia, que
había estado a punto
de escribir su propio libro, pasó el resto de su vida
maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de
Cardano reconocía el descubrimiento de
Tartaglia.

También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a
la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo
Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años,
envenenado por su propia hermana. Así como Tartaglia
había solucionado la cúbica, de la misma forma
Ferran, cuando todavía estudiaba con Cardano,
solución de las de cuarto grado o cuárticas (con
fórmulas más complicadas que las de tercer grado).
Al descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su "Ars Magna"
pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas
y las cuárticas, divulgando los dos avances del
álgebra más trascendentales desde la muerte de
Diofanto, 1300 años antes.

En el Ars Magna, Cardano aceptó
formalmente el concepto de los números negativos y
enunció las leyes que los
rigen. También anticipó otro tipo nuevo de
número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue
la raíz cuadrada de un número negativo, que es
incluso más difícil de comprender que un
número negativo propiamente, ya que ningún
número real multiplicado por sí mismo da un
número negativo. En la actualidad los matemáticos
llaman a la
raíz cuadrada de un número
negativo número imaginario; cuando
dicha cantidad se combina con un número real, el resultado
se llama número complejo. Los matemáticos
posteriores han mostrado que los números complejos pueden
tener toda clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas
salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento
enormemente enriquecidas. El éxito
de los matemáticos italianos produjo un gran efecto. Era
la primera vez en que la ciencia
moderna había sobrepasado las conquistas de los
antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la
Edad Media, la aportación había
consistido solamente en entender el trabajo de los
antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos
no habían tenido éxito en conquistar, fueron
resueltas. Y esto sucedió en el siglo XVI, un siglo antes
de la invención de nuevas ramas de las
matemáticas:
Geometría analítica y

Cálculo diferencial e

Integral que finalmente afirmaron la
superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Después
de esto, no hubo matemático importante que no intentara
extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones
de quinto, sexto y más alto grado en forma análoga
a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general
o como se dice actualmente, resolverlas por
radicales.

El prominente algebrista del siglo
XVII,
Tschimhausen (1651- 1708) creyó
haber encontrado un método general de solución. Su
método estaba basado en la transformación de una
ecuación a otra más simple; pero esta sola
transformación requería de algunas ecuaciones
auxiliares.

Más tarde, con un análisis
más profundo se demostró que el método de
transformación de Tschimhausen, en efecto, da la
solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado,
pero para una ecuación de quinto grado se necesita
resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado,
cuya solución no era conocida.

El famoso matemático francés Lagrange en
su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de
ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771, ( con más
de 200 páginas) críticamente examina todas las
soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado
conocidas hasta su época y demostró que su
éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen
ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del
Ferro hasta este trabajo de Lagrange, más de dos siglos y
medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo
había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de
quinto grado y mayores por radicales, esto es, de encontrar
fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma,
resta, multiplicación, división,
exponenciación y raíces con exponentes enteros
positivos, que pueden expresar la solución de una
ecuación en términos de los coeficientes, esto es,
fórmulas similares a aquélla por la que se
había resuelto la ecuación de segundo grado en la
antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos
para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los
matemáticos pensaron que sus fracasos se debían
principalmente a su propia incapacidad para encontrar una
solución. Lagrange dice en sus memorias:

"El problema de resolver (por radicales)
ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de
esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la
imposibilidad de resolverlos". Lagrange avanzó bastante en
la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando
el trabajo
anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre
esta teoría y otras como la teoría de las
permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes
esfuerzos, el problema permaneció sin solución y
constituía, en palabras del mismo Lagrange, "Un reto para
la mente humana".

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los
matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de
un joven genio noruego llamado
Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el
cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una
ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no
existe ninguna expresión algebraica con dichos
coeficientes que fuera solución de la ecuación
correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los
más grandes matemáticos de todos los países
para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales
no fue coronado por el éxito por la sencilla razón
de que éste problema simplemente no tiene
solución.

Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de
segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuaciones de grado
mayor no existen tales fórmulas

Pero eso no es todo aún. Un resultado
extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones
algebraicas esperaba todavía ser descubierto. El hecho es
que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado
que sí se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas
son exactamente las que son importantes para resolver problemas
concretos de la realidad.

Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la
situación era la siguiente:

Aunque la ecuación general de grado mayor que 4
no se podía resolver por radicales, hay un número
ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se
pueden resolver por radicales. La pregunta era
¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por
radicales y cuáles no? o en otras palabras:
¿qué condiciones debe cumplir una ecuación
para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este
problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones
la dio el brillante matemático
francés
Evariste Galois.
(1811-1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo
descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de
las matemáticas y en particular dio la solución al
problema que quedaba pendiente en la teoría de las
ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado
"Memoria sobre las
condiciones para resolver las ecuaciones por radicales", que fue
escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles
escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la
edad mencionada de 20 años.

En todo lo anterior hablamos de los intentos
durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier
ecuación de cualquier grado. El problema resultó
ser más difícil y más profundo de lo que se
pensaba en un principio y dio origen a la creación de
nuevos conceptos, importantes no sólo para el
álgebra sino también para las matemáticas en
general. Para la solución práctica de las
ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el
siguiente:

Quedó claro que una fórmula general
para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun
en los casos particulares en que existe, era de poca utilidad
práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas
que se tenían que hacer. (Actualmente las computadoras
facilitan todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matemáticos desde
hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente
diferentes, que son:

En el problema de la existencia de raíces
(soluciones).

En el problema de saber algo acerca de las soluciones,
sólo trabajando con sus coeficientes.

En el cálculo aproximado de las raíces o
soluciones de una ecuación.

RECONOCIENDO LAS
ECUACIONES

En una ecuación existen cantidades desconocidas
(incógnitas), que en general se designan por letras
minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y
cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por
letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo
anterior lo introdujo el matemático René Descartes en
1637.

En la ecuación: ax + b = c

a, b y c son coeficientes, x es la
incógnita

En la ecuación 5z ? 4 = 16

Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la
incógnita es z.

Llamaremos raíces o soluciones de la
ecuación a los valores de
las incógnitas que cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy al Correo con s/. 500 y quiero despachar 3
cartas (franqueo nacional: S/.1,,50) ¿qué vuelto
recibiré? Si v representa el valor del vuelto,
éste tiene que cumplir:

500 = 3 x 150 + v

En la ecuación anterior v es la incógnita
y el valor v = 50 es la solución.

Clasificación de las ecuaciones con una
incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o
potencia
más alto que tenga la incógnita.

Así,

6x + 34 = 5 es una ecuación de primer
grado.

8×2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de
segundo grado.

4 x3 + 35 x2 ?3x + 2 =7 es una
ecuación de tercer grado.

Resolución de ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar el o los
valores de la incógnita que satisface la
igualdad.

Por ejemplo la ecuación:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)

se satisface para

v = 50

Luego el vuelto de franquear 3 cartas con s/.500 es
s/.50.

En caso que el valor de la incógnita no se pueda
encontrar por inspección se procede a

En situaciones reales la solución de la
ecuación debe tener sentido en el contexto en que se
trabaja.

Notemos los siguientes casos:

a) Pertinencia de la solución:

Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5
niños. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada
niño, x debe ser un número natural que satisfaga la
ecuación:

5 x = 24

La ecuación anterior no tiene solución en
los naturales (N).

b)Existencia de la solución

La ecuación

4x + 5 = 2

No tiene solución en los naturales (N) ni en los
enteros (Z) sino que en los racionales y en los
reales.

La ecuación

4x.x = -7

No tiene solución en los reales (R) ya que no
existe ningún número real que la
satisfaga.

c) Infinitas soluciones

La ecuación

2 + x + x = 2(x+1)

Es una ecuación que es satisfecha por cualquier
valor que tome x, luego tiene infinitas soluciones

VI.-
SESIÓN DE APRENDIZAJE

6.1.- TITULO:

APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES
APLICANDO LAS PEOPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES

6.2.- JUSTIFICACIÓN

Los niños y niñas del cuarto grado de
Primaria de la Institución educativa Nº 14970 del
caserío El Barco, comprensión de la Provincia de
Sechura desconocen la importancia de aprender a resolver
ecuaciones ,esto debido al desinterés que muestran sus
padres y ellos mismos en el proceso educativo.

Se pretende dar a conocer en esta sesión de
aprendizaje la forma como el niño (a) logra aprender
dichos contenidos para su propio beneficio.

6.3.- COMPETENCIA

• Resuelve ecuaciones y crea problemas
  matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para
  cuya solución se requiere de la adición y
  sustracción, multiplicación y división de
  números naturales
• Demuestra confianza en sus propias capacidades y
  perseverancia en la búsqueda de soluciones

CAPACIDADES ACTITUDES

• Analiza el enunciado de una ecuación para
  identificar los componentes y la incógnita de la misma a
  fin de lograr una solución acertada
• Aplica técnicas operativas o estrategias
  propias para resolver problemas de ecuaciones
• Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la
  propiedades de adición sustracción,
  multiplicación y división de los números
  naturales relacionados con las actividades que se desarrollan
  en su entorno (compra venta,
  mediciones, etc.).

6.4.- GRADO DE ESTUDIOS : 4º GRADO DE
PRIMARIA

6.5.- ORGANIZACIÓN DEL
APRENDIZAJE

VII.-
EVALUACIÓN

A : Auto evaluación

C : Coevaluacion

H : Heteroevaluacion

VIII.
RECOMENDACIONES

1. El tratamiento del concepto de ecuación y su
   identificación de componente debe partir de dar un
   ejemplo , para que después , tras la solución el
   docente denote sus componentes y como actúan en la
   solución del problema.
2. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados
   tomando como base la realidad y el contexto en donde vive e
   interactúa el alumno, de manera que le sea fácil
   su comprensión y solución
3. El docente necesita conocer a sus alumnos y alumnas:
   debe llamarlos por su nombre, tener un registro
   personal
   (situación familiar, estado de salud, etc.), conocer sus
   logros y dificultades, tener una idea sobre su carácter,
   fortalezas, debilidades, temores, etc.
4. El docente debe ser consciente de su rol como
   organizador, guía, , facilitador de los aprendizajes de
   sus alumnos y alumnas. Es necesario que reflexione sobre su
   comportamiento como persona y profesional de la
   educación, tanto en su aula como fuera de
   ella.
5. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados
   en base a situaciones reales, es decir ,las situaciones
   vinculadas con sus juegos, sus deportes, la vida
   familiar, su cultura, su
   historia, su comunidad, son,
   en este sentido, significativas.
6. El uso del texto Lógico Matemática debe
   ser estructurada como una guía para el alumno , un
   complemento e la información dada por el profesor , mas
   debe evitarse que su uso implique la copia o genere el
   facilismo en los alumnos al momento de dar solución a
   las ecuaciones
7. En el proceso de evaluación debemos tener en
   cuenta los resultados, pero también las condiciones
   iniciales, las estrategias puestas en marcha, los procesos
   desencadenados, los ritmo de consecución, la
   proporción rendimiento /esfuerzo ,etc.

IX.
BIBLIOGRAFÍA

Del docente

1. CARDOZA PEÑA, Miguel ( 2004). " La
   enseñanza de la Matemática. Pedagogía y
   Didáctica". Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú, 100
   pp.
2. PEREZ YUPANQUI, Joel (2000). " La enseñanza de
   la matemática en el Nivel Primario". En : Editorial San
   Marcos. Tomo II. Colección "Historia General del
   Perú". Lima, Perú.
3. MENDAÑA, Arturo ( 2004). "Didáctica de
   la Matemática" Editorial Abedul. Lima, Perú, 120
   pp.

Del alumno

1. SANTILLANA , Editores. ( 20003) "Lógico
   Matemática" Texto para el Cuarto Grado de Primaria.
   Editorial Santillana, Lima Perú

X.
ANEXOS

FICHA
INFORMATIVA

( ANEXO 2)

LA ECUACIONES

El misterio de las ecuaciones

Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el
concepto de igualdad.

Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo
significado, como podemos ver en los siguientes
ejemplos:

3 + 2 = 5 7 1 = 9 – 2

En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo
=

Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2; en el
segundo, 7 .1

Segundo miembro: en el primer ejemplo 5 ; en el segundo,
9 – 2.

Ahora que conocemos las igualdades, podremos desarrollar
el concepto de ecuación.

Definición

Una ecuación es una igualdad en la que se
desconoce un término de uno de los miembros. Ese
término desconocido, llamado también
incógnita, se nombra con una letra. Generalmente esa
letra es la x.

Por ejemplo:

5 + x = 12

La x representa al número que, sumado con 5,
tiene como suma al 12. Para saber cuál es el
término que falta, en este caso aplicamos la
operación inversa: sustracción.

x = 12 – 5

x = 7

En esta ecuación el valor de x
es 7, porque 5 + 7 = 12.

Con decimales

Resolver la ecuación es bastante simple si
utilizamos numerales pequeños. Veamos lo que sucede con
ejemplos en el ámbito de los decimales:

x  – 4,25 = 32,3
0,6 Resolvemos el 2º
miembro.

x  – 4,25 =
19,38 Aplicamos operación
inversa a la del primer miembro.

x = 19,38 + 4,25
Sumamos

x= 23,63 Este es el valor
de la incógnita.

Comprobamos si es efectivo reemplazando la x por su
valor:

Resolviendo problemas

Las ecuaciones son una forma rápida y efectiva
para resolver problemas.

Comprobémoslo con un ejemplo.

Mi hermano mide 1,82 metros, que equivalen a la
estatura de mi papá aumentada en 0,03 metros.
¿Cuánto mide mi papá?

Estatura del papá: x

Aumentada = más 0,03

Estatura de mi hermano: 1,82

Escribiendo la ecuación, queda
así:

x + 0,03 = 1,82

Aplicamos la operación inversa:

x = 1,82 – 0,03

x = 1,79

Hay muchos problemas cuyo enunciado
literal se transforma en una expresión matemática
relacionada con números.

Por ejemplo, si tenemos que el doble de un número
es igual a 3,5 + 26,3. Transformamos a:

2x = 3,5 +
26,3 Sumamos

2x = 29,8 Inverso de la
multiplicación de 2

x = 29,8 : 2

x = 14,9 El número es
14,9

 Expresiones matemáticas

El doble de un número: 2 x

El triple de un número: 3 x

La mitad de un número: x : 2

El número aumentado en 5,3 x + 5,3

El número disminuido en 3,9 x – 3,9

Dos números consecutivos: x y x + 1

Espero que estos contenidos te ayuden a conocer que es
la ecuación y a resolver los problemas con
ecuaciones

LISTA DE COTEJOS

Rudy Mendoza Palacios

Piura -Perú

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Otros Trabajos del Autor :

http://www.monografias.com/trabajos22/violencia-familiar/violencia-familiar.shtml

http://www.monografias.com/trabajos21/pedagogia-conceptual/pedagogia-conceptual.shtml