Si la fórmula de Pitágoras es representada con las letras , y entonces se tiene que:

(1)

Son ternas pitagóricas , y si y solo si cumplen las siguientes condiciones en los cuatro casos:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(1.1)

Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y .

Demostración:

Para demostrar estos teoremas es necesario expresar la formula de Pitágoras en la forma:

(2)

Donde , y pertenecen al conjunto de los enteros, por tanto también:

(2.1)

Pertenecen al conjunto de los enteros. Desarrollando los binomios de la ecuación 2 y simplificando queda:

(2.3)

Despejando por medio de la formula general cuadrática se tiene:

Simplificando:

(2.4)

Analizando la parte de la raíz de la ecuación 2.4:

(2.5)

Hay 4 posibilidades para no tener números irracionales en 2.5:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.5.1)

Donde es un entero tal que

Cuando es entero mayor que cero. Sustituyendo en las ecuaciones 2.5.1:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.5.2)

Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y . Aplicando las ecuaciones 2.5.2 a 2 quedan los casos:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.6)

Simplificando los elementos que se elevan al cuadrado de 2.6 se tienen,

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.6.1)

Entonces por las ecuaciones 2.6.1 son ternas pitagóricas enteras , y si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.6.2)

Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y , que era lo que se quería demostrar.

Observación 1: solamente se cumplen las igualdades 2.6.2, cuando se toma el elemento positivo o negativo en , y , esto es:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

O también:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Si la formula de Pitágoras es representada con las letras y entonces queda:

(3)

Cuando son ternas racionales y si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y .

Demostración:

Si la ecuación 3 es multiplicada por y se simplifica queda:

(3.1)

Por definición de número racional se sabe que los productos y son números enteros esto quiere decir que por el teorema 1 son ternas pitagóricas y si y solo si cumplen las siguientes condiciones:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(3.2)

Donde en los cuatro casos: y son enteros tal que y , por lo tanto en la ecuación 3 son ternas pitagóricas racionales y si y solo si cumplen las anteriores condiciones, que era lo que se quería demostrar.

Estos teoremas pueden servir para demostraciones geométricas cuando se tiene la figura como varios triángulos pitagóricos, o cuando se tienen lados racionales. El conjunto de los racionales contiene a los enteros, por tanto el teorema 1 es un caso particular del teorema 2.

Ejemplo 1:

Demostrar que no se puede construir un cuadrado cuyos lados y , pertenecen al conjunto de los enteros tal que (Fig. 1).

Figura 1.

Demostración: si y , pertenecen al conjunto de los enteros y

(4)

Por el teorema de Pitágoras:

(4.1)

Por el teorema 1, en todos los casos se debe de cumplir lo siguiente:

(4.2)

Esto es imposible, ya que para todos los casos y valores posibles de y siempre se cumplirá:

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Que era lo que se quería demostrar.

Demostrar que no se puede construir un paralelepípedo rectangular que tiene las características de que todas sus aristas y todas sus diagonales miden números enteros (fig.2).

Figura 2.

Demostración: si y pertenecen al conjunto de los enteros y por el teorema de Pitágoras se tienen las igualdades:

(5)

Por el teorema 1 en cualquier caso se debe cumplir que:

(5.1)

Aplicando 5.1 en 5 también se debe de cumplir:

Igualdad que por hipótesis es absurda, como se quería demostrar.

Tecnólogo

Estudiante de licenciatura en física de cuarto semestre en el Centro de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCEI), Universidad de Guadalajara

Tecnólogo Diego Galván Caldera, egresado del Centro de Enseñanza Técnica Industrial (CETI), de la carrera de Maquinas-Herramienta.