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Teorema 1:
Si la fórmula de Pitágoras es representada con
las letras
,
y
entonces se tiene que:
(1)
Son ternas pitagóricas
,
y
si y solo si cumplen las siguientes condiciones en los cuatro casos:
Caso 1:
![]()
![]()
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
![]()
![]()
Caso 4:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
(1.1)
Donde en los cuatro casos: ![]()
y
son enteros tal que
y
.
Demostración:
Para demostrar estos teoremas es necesario expresar la formula de Pitágoras en la forma:
(2)
Donde
,
y
pertenecen al conjunto de los
enteros, por tanto también:
(2.1)
Pertenecen al conjunto de los enteros. Desarrollando los binomios de la ecuación 2 y simplificando queda:
(2.3)
Despejando
por
medio de la formula general cuadrática se tiene:
Simplificando:
(2.4)
Analizando la parte de la raíz de la ecuación 2.4:
![]()
(2.5)
Hay 4 posibilidades para no tener números irracionales en 2.5:
Caso 1:
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
![]()
Caso 4:
![]()
(2.5.1)
Donde
es un entero
tal que
![]()
Cuando
es entero
mayor que cero. Sustituyendo
en
las ecuaciones 2.5.1:
Caso 1:
![]()
Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

(2.5.2)
Donde en los cuatro casos: ![]()
y
son enteros tal que
y
. Aplicando las ecuaciones 2.5.2
a 2 quedan los casos:
Caso 1:
![]()
Caso 2:
![]()
Caso 3:
![]()
Caso 4:
(2.6)
Simplificando los elementos que se elevan al cuadrado de 2.6 se tienen,
Caso 1:
![]()
Caso 2:
Caso 3:
![]()
Caso 4:
![]()
![]()
(2.6.1)
Entonces por las ecuaciones 2.6.1 son ternas pitagóricas
enteras
,
y
si y solo si cumplen las siguientes
condiciones:
Caso 1:
![]()
![]()
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
![]()
![]()
Caso 4:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
(2.6.2)
Donde en los cuatro casos: ![]()
y
son enteros tal que
y
, que era lo que se quería
demostrar.
Observación 1: solamente se cumplen las igualdades 2.6.2,
cuando se toma el elemento
positivo
o negativo en
,
y
, esto es:
Caso 1:
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
Caso 4:
![]()
O también:
Caso 1:
![]()
Caso 2:
Caso 3:
![]()
Caso 4:
![]()
Teorema 2:
Si la formula de Pitágoras es representada con las letras
![]()
![]()
![]()
![]()
y
entonces queda:
(3)
Cuando
son ternas
racionales ![]()
y
si y solo si cumplen las siguientes
condiciones:
Caso 1:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 4:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Donde en los cuatro casos: ![]()
y
son enteros tal que
y
.
Demostración:
Si la ecuación 3 es multiplicada por
y
se simplifica queda:
(3.1)
Por definición de número racional se sabe que
los productos ![]()
y
son números enteros esto
quiere decir que por el teorema 1 son ternas pitagóricas ![]()
y
si y solo si cumplen las siguientes
condiciones:
Caso 1:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 4:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
(3.2)
Donde en los cuatro casos: ![]()
y
son enteros tal que
y
, por lo tanto en la ecuación
3 son ternas pitagóricas racionales ![]()
y
si y solo si cumplen las anteriores
condiciones, que era lo que se quería demostrar.
Estos teoremas pueden servir para demostraciones geométricas cuando se tiene la figura como varios triángulos pitagóricos, o cuando se tienen lados racionales. El conjunto de los racionales contiene a los enteros, por tanto el teorema 1 es un caso particular del teorema 2.
Demostrar que no se puede construir un cuadrado cuyos lados
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
y
, pertenecen al conjunto de los
enteros tal que
(Fig. 1).

Figura 1.
Demostración: si ![]()
![]()
y
, pertenecen al conjunto de los
enteros y ![]()
(4)
Por el teorema de Pitágoras:
(4.1)
Por el teorema 1, en todos los casos se debe de cumplir lo siguiente:
(4.2)
Esto es imposible, ya que para todos los casos y valores posibles
de ![]()
y
siempre se cumplirá:
Caso 1:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 2:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 3:
![]()
![]()
![]()
![]()
Caso 4:
![]()
![]()
![]()
![]()
Que era lo que se quería demostrar.
Ejemplo 2:
Demostrar que no se puede construir un paralelepípedo rectangular que tiene las características de que todas sus aristas y todas sus diagonales miden números enteros (fig.2).

Figura 2.
Demostración: si ![]()
![]()
![]()
![]()
y
pertenecen al conjunto de los enteros y
por el teorema de Pitágoras se tienen las igualdades:
![]()
(5)
![]()
Por el teorema 1 en cualquier caso se debe cumplir que:
(5.1)
Aplicando 5.1 en 5 también se debe de cumplir:
Igualdad que por hipótesis es absurda, como se quería demostrar.
Referencias:
[1] Apóstol, T. M. (1984/2002). Introducción a la teoría de números. (2ª Reimpresión, p.4). Sevilla: Reverte, S.A.
Diego Galván Caldera
Tecnólogo
Estudiante de licenciatura en física de cuarto semestre en el Centro de Ciencias Exactas e Ingenierías (CUCEI), Universidad de Guadalajara
galvancalderadiego30732[arroba]yahoo.com
Tecnólogo Diego Galván Caldera, egresado del Centro de Enseñanza Técnica Industrial (CETI), de la carrera de Maquinas-Herramienta.
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