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36 problemas resueltos movimiento circular y otras aplicaciones de las Leyes de Newton




Partes: 1, 2

  1. Segunda Ley de Newton aplicada al Movimiento Circular Uniforme
  2. Movimiento en marcos de referencia acelerados
  3. Movimiento en presencia de fuerzas resistivas

Ejemplo 6.1 Que tan rápido puede girar?

Una bola de 0,5 kg. De masa esta unida al extremo de una cuerda cuya longitud es 1,5 metros. La figura 6.2 muestra como gira la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50 Newton, Cual es la velocidad máxima que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa?

Solución Como en este caso la fuerza central es la fuerza T ejercida por la cuerda sobre la bola, de la ecuación 6.1 se obtiene

Despejando v

v = 12,24 m/seg.

Ejercicio Calcule la tensión en la cuerda si la rapidez de la bola es 5 m/seg.

T = 8,33 Newton

Ejemplo 6.2 El péndulo cónico SERWAY

Un pequeño cuerpo de masa m esta suspendido de una cuerda de longitud L. el cuerpo gira en un círculo horizontal de radio r con rapidez constante v, como muestra la figura 6.3. (Puesto que la cuerda barre la superficie de un cono, el sistema se conoce como un péndulo cónico.) Encuentre la velocidad del cuerpo y el periodo de revolución, TP definido como el tiempo necesario para completar una revolución.

Solución: En la figura 6.3 se muestra el diagrama de cuerpo libre para la masa m, donde la fuerza ejercida por la cuerda, T se ha descompuesto en una componente vertical, T cos u y una componente

T sen u que actúa hacia el centro de rotación. Puesto que el cuerpo no acelera en la dirección vertical, la componente vertical de T debe equilibrar el peso.

Por lo tanto:

r = L sen u

TX = T sen u

TY = T cos u

∑ FY = 0

TY – m g = 0

TY = m g

T cos u = m g Ecuación 1

Puesto que, en este ejemplo, la fuerza central es proporcionada por la componente T sen u de la segunda ley de Newton obtenemos:

∑ FX = m a pero: TX = T sen u

TX = T sen u = m a

Ecuación 2

Al dividir la ecuación 2 con la ecuación 1, se elimina T y la masa m.

V2 = r g tang u

pero: r = L sen u

En vista de que la bola recorre una distancia de 2 π r. (la circunferencia de la trayectoria circular) en un tiempo igual al periodo de revoluciσn TP (que no debe ser confundida con la fuerza T), encontramos

Pero

Si tomamos L = 1 metro u = 200

TP = 1,945 segundos

Ejemplo 6.3 Cual es la rapidez máxima de un automóvil? SERWAY

Un automóvil de 1500 Kg. que se mueve sobre un camino horizontal plano recorre una curva cuyo radio es 35 metros como en la figura 6.4. Si el coeficiente de fricción estático entre las llantas y el pavimento seco es 0,5, encuentre la rapidez máxima que el automóvil puede tener para tomar la curva con éxito?

La fuerza de fricción estática dirigida hacia el centro del arco mantiene el auto moviéndose en un circulo.

Solución: En este caso, la fuerza central que permite al automóvil permanecer en su trayectoria circular es la fuerza de fricción estática. En consecuencia de la ecuación 6.1 tenemos:

La rapidez máxima que el automóvil puede alcanzar alrededor de la curva corresponde a la rapidez a la cual esta a punto de patinar hacia fuera. En este punto, la fuerza de fricción tiene su valor máximo.

FR = μ N

∑ FY = 0

N – m g = 0

N = m g

FR = μ N = μ m g

FR = μ m g

FR = 0,5 * 1500 * 9,8

FR = 7350 Newton

Despejando v

v = 13,1 m/seg.

Ejercicio: En un día húmedo el auto descrito en este ejemplo empieza a deslizarse en la curva cuando la velocidad alcanza 8 m/seg. Cual es el coeficiente de fricción estático?

∑ FY = 0

N – m g = 0

N = m g

FR = μ N = μ m g

FR = μ m g

μ = 0,186

Ejemplo 6.4 La rampa de salida peraltada SERWAY

Un ingeniero desea diseñar una rampa de salida curva para un camino de peaje de manera tal que un auto no tenga que depender de la fricción para librar la curva sin patinar. Suponga que un auto ordinario recorre la curva con una velocidad de 13,4 m/seg y el radio de la curva es 50 metros. Con que ángulo debe peraltarse la curva?

Razonamiento: Sobre un camino nivelado la fuerza central debe ser suministrada por la fuerza de fricción entre el auto y el suelo. Sin embargo, si el camino esta peraltado a un ángulo u , como en la figura 6.5, la fuerza normal N tiene una componente horizontal N sen u apuntando hacia el centro de la trayectoria circular seguida por el auto. Supóngase que solo la componente N sen u proporciona la fuerza central. Por tanto, el ángulo de peralte que calculemos será uno para el cual no se requiere fuerza friccionante. En otras palabras, un automóvil que se mueve a la velocidad correcta (13,4 m/seg ) puede recorrer la curva incluso sobre una superficie con hielo.

∑ FX = m aC pero: NX = N sen u

NX = m aC

N sen u = m aC

Ecuación 1

∑ FY = 0

NY – m g = 0 Pero: NY = N cos u

NY = m g

N cos u = m g Ecuación 2

Al dividir 1 entre 2, se cancela N (normal) y la masa m

Tan u = 0,36644

  • = arc tan (0,36644)

u = 20,120

Ejemplo 6.5 Movimiento de satélites SERWAY

Este ejemplo trata el problema de un satélite que se mueve en orbita circular alrededor de la tierra. Para comprender mejor el problema debemos advertir primero que la fuerza gravitacional entre dos partículas con masas m1 y m2, separadas por una distancia r, es una fuerza de atracción y tiene una magnitud

Donde G = 6,672 x 10 -11 N m2/kg2 esta es la ley de gravitación de Newton que estudiaremos con mas detalle en el capitulo XIV.

Considere ahora un satélite de masa m que se mueve en una orbita circular alrededor de la tierra a velocidad constante v y a una altitud h sobre la superficie del planeta, como se muestra en la figura 6.6

a) Determine la velocidad del satélite en función de G, h, Rt (radio de la tierra) y Mt (masa de la tierra)

Solución: Puesto que la única fuerza externa sobre el satélite es la de la gravedad, la cual actúa hacia el centro de la tierra, tenemos.

De la segunda ley de Newton obtenemos:

∑ F = m aC

F = m aC

Recordar que r = Rt (radio de la tierra) + h (altitud sobre la superficie del planeta).

Despejar v y cancelar términos semejantes

Ecuación 1

b) Determine el periodo de revolución del satélite TP (el tiempo para una revolución alrededor de la tierra).

Solución: Puesto que el satélite recorre una distancia de 2 π r (la circunferencia del circulo) en un tiempo TP

Ecuación 2

Reemplazando la ecuación 1 en 2


Partes: 1, 2

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