36 problemas resueltos movimiento circular y otras aplicaciones de las Leyes de Newton

Partes: 1, 2

Ejemplo 6.1 Que tan
rápido puede girar?

Una bola de 0,5
kg. De masa esta unida al extremo de una cuerda cuya longitud es
1,5 metros. La figura 6.2 muestra como gira
la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede
soportar una tensión máxima de 50 Newton, Cual
es la velocidad
máxima que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda
se rompa?

Solución Como en este caso la fuerza central
es la fuerza T ejercida por la cuerda sobre la bola, de la
ecuación 6.1 se obtiene

Despejando v

v = 12,24
m/seg.

Ejercicio
Calcule la tensión en la cuerda si la rapidez de la bola
es 5 m/seg.

T = 8,33
Newton

Ejemplo 6.2 El péndulo
cónico SERWAY

Un pequeño
cuerpo de masa m esta suspendido de una cuerda de longitud L. el
cuerpo gira en un círculo horizontal de radio r con
rapidez constante v, como muestra la figura 6.3. (Puesto que la
cuerda barre la superficie de un cono, el sistema se conoce
como un péndulo cónico.) Encuentre la velocidad del
cuerpo y el periodo de revolución, TP definido como el
tiempo
necesario para completar una revolución.

Solución: En la figura 6.3 se muestra el
diagrama de
cuerpo libre para la masa m, donde la fuerza ejercida por la
cuerda, T se ha descompuesto en una componente vertical, T cos
u y una
componente

T sen
u que actúa
hacia el centro de rotación. Puesto que el cuerpo no
acelera en la dirección vertical, la componente vertical
de T debe equilibrar el peso.

Por lo
tanto:

→ r = L sen
u

TX =
T sen u

TY =
T cos u

∑
FY = 0

TY
– m g = 0

TY = m
g

T cos
u = m g Ecuación
1

Puesto que, en
este ejemplo, la fuerza central es proporcionada por la
componente T sen u
de la segunda ley de Newton
obtenemos:

∑
FX = m a pero: TX = T sen u

TX = T
sen u = m a

Ecuación
2

Al dividir la
ecuación 2 con la ecuación 1, se elimina T y la
masa m.

V2 = r
g tang u

pero: r = L sen
u

En vista de que la
bola recorre una distancia de 2 π r. (la circunferencia de la
trayectoria circular) en un tiempo igual al periodo de
revoluciσn TP
(que no debe ser confundida con la fuerza T),
encontramos

Pero

Si tomamos L = 1
metro u =
200

TP =
1,945 segundos

Ejemplo 6.3
Cual es la rapidez máxima de un automóvil?
SERWAY

Un
automóvil de 1500 Kg. que se mueve sobre un camino
horizontal plano recorre una curva cuyo radio es 35 metros como
en la figura 6.4. Si el coeficiente de fricción
estático entre las llantas y el pavimento seco es 0,5,
encuentre la rapidez máxima que el automóvil puede
tener para tomar la curva con éxito?

La fuerza de
fricción estática
dirigida hacia el centro del arco mantiene el auto
moviéndose en un circulo.

Solución: En este caso, la fuerza central que
permite al automóvil permanecer en su trayectoria circular
es la fuerza de fricción estática. En consecuencia
de la ecuación 6.1 tenemos:

La rapidez máxima que el
automóvil puede alcanzar alrededor de la curva corresponde
a la rapidez a la cual esta a punto de patinar hacia fuera. En
este punto, la fuerza de fricción tiene su valor
máximo.

FR = μ N

∑
FY = 0

N – m g =
0

N = m g

FR = μ N = μ m g

FR
= μ m g

FR = 0,5 * 1500 *
9,8

FR = 7350
Newton

Despejando v

v = 13,1
m/seg.

Ejercicio:
En un día húmedo el auto descrito en este ejemplo
empieza a deslizarse en la curva cuando la velocidad alcanza 8
m/seg. Cual es el coeficiente de fricción
estático?

∑
FY = 0

N – m g =
0

N = m g

FR = μ N = μ m g

FR
= μ m g

μ = 0,186

Ejemplo 6.4 La rampa de salida
peraltada SERWAY

Un ingeniero desea diseñar
una rampa de salida curva para un camino de peaje de manera tal
que un auto no tenga que depender de la fricción para
librar la curva sin patinar. Suponga que un auto ordinario
recorre la curva con una velocidad de 13,4 m/seg y el radio de la
curva es 50 metros. Con que ángulo debe peraltarse la
curva?

Razonamiento: Sobre un
camino nivelado la fuerza central debe ser suministrada por la
fuerza de fricción entre el auto y el suelo. Sin
embargo, si el camino esta peraltado a un ángulo u , como
en la figura 6.5, la fuerza normal N tiene una componente
horizontal N sen u apuntando hacia el centro de la
trayectoria circular seguida por el auto. Supóngase que
solo la componente N sen u proporciona la fuerza central.
Por tanto, el ángulo de peralte que calculemos será
uno para el cual no se requiere fuerza friccionante. En otras
palabras, un automóvil que se mueve a la velocidad
correcta (13,4 m/seg ) puede recorrer la curva incluso sobre una
superficie con hielo.

∑ FX = m
aC pero: NX = N sen u

NX = m
aC

N sen u = m
aC

Ecuación 1

∑ FY = 0

NY
– m g = 0 Pero: NY = N cos u

NY = m
g

N cos u = m g Ecuación
2

Al dividir 1 entre 2, se cancela N
(normal) y la masa m

Tan u = 0,36644

= arc tan (0,36644)

u =
20,120

Ejemplo 6.5 Movimiento de
satélites
SERWAY

Este ejemplo trata el problema de
un satélite que se mueve en orbita circular alrededor de
la tierra.
Para comprender mejor el problema debemos advertir primero que la
fuerza gravitacional entre dos partículas con masas
m1 y m2, separadas por una distancia r, es
una fuerza de atracción y tiene una magnitud

Donde G = 6,672 x 10
-11 N m2/kg2 esta es la ley de
gravitación de Newton que estudiaremos con mas detalle en
el capitulo XIV.

Considere ahora un satélite
de masa m que se mueve en una orbita circular alrededor de la
tierra a
velocidad constante v y a una altitud h sobre la superficie del
planeta, como se muestra en la figura 6.6

a) Determine la velocidad del
satélite en función de
G, h, Rt (radio de la tierra) y Mt (masa de
la tierra)

Solución: Puesto que
la única fuerza externa sobre el satélite es la de
la gravedad, la cual actúa hacia el centro de la tierra,
tenemos.

De la segunda ley de Newton
obtenemos:

∑ F = m
aC

F = m
aC

Recordar que r =
Rt (radio de la tierra) + h (altitud sobre la
superficie del planeta).

Despejar v y
cancelar términos semejantes

Ecuación
1

b) Determine el
periodo de revolución del satélite TP
(el tiempo para una revolución alrededor de la
tierra).

Solución:
Puesto que el satélite recorre una distancia de 2
π r (la circunferencia del
circulo) en un tiempo TP

Ecuación
2

Reemplazando la ecuación
1 en 2

Partes: 1, 2

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