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Deducción de las fórmulas de Erlang, Engset y Pascal




Partes: 1, 2

  1. Fórmula de Erlang
  2. Fórmula de Pascal
  3. Bibliografía

FÓRMULA DE ERLANG

Tiene su origen en la distribución de Poisson.

Partiendo de que tenemos un número de canales infinito, nunca obtendremos congestión.

Cuando se define el numero de canales ocupados como i=(0..∞), se muestran los estados del sistema como círculos y los cambios de estado como flechitas. Si el proceso es regular solo tendremos cambios hacia estados vecinos

Fig. 1. Diagrama de la transición de estados para un sistema con infinito numero de canales (n), procesos de llegada de Poisson (λ) y los tiempos de retención exponenciales (μ)

Si asumimos que el sistema esta en equilibrio estadístico, el estado i, tendrá probabilidad p(i). Al pasar a un estado [i+1], lo hará en λ unidades de tiempo y si pasa al estado [i-1] lo hará en μ unidades de tiempo, obviamente dejará de estar el estado i.

Se necesita ecuaciones basadas en el principio de equilibrio global, para que describan los estados del sistema bajo la asunciòn de equilibrio estadístico.

a. Ecuaciones del nodo

En equilibrio estadístico el número de transiciones por la unidad de tiempo en el estado [i] es igual al número de transiciones fuera de estado [i].

Por ejemplo el numero de saltos del estado 0 al estado 1 como sube de nivel será λ*p(0), mientras que si baja de nivel del estado uno al estado 0, sería el número de saltos μ*p(1)

Para el estado i, las ecuaciones de equilibrio son

(Ec. 1)

(Ec. 2)

Las ecuaciones de nodo siempre son aplicables, también para los diagramas de la transición de estados en varias dimensiones

b. Ecuaciones cortadas (Se basan los sistemas de pérdida)

Si artificialmente cortamos entre los estados [i-1] e [i], el equilibrio estadístico cambia de estado de [i-1] a [i], el mismo numero de veces que cambia de estado [i] a [i-1]. Es decir no importa si sube o baja de nivel (estado).

Es la base para luego encontrar la fórmula de Erlang.

(Ec. 3)

Como el sistema siempre estará en algún estado, tenemos que normalizar la restricción.

(Ec. 4)

En la ecuación 3 notamos que solo depende de 2 probabilidades, a diferencia de la ecuación 2 que depende de 3. Por consiguiente, es más fácil de resolver las ecuaciones cortadas. El sistema de pérdida siempre será capaz de entrar en equilibrio estadístico si el proceso de la llegada es independiente del estado del sistema.

Para la transición estatal unidimensional el diagrama de la aplicación de ecuaciones cortadas da la mejor aproximación. De la figura 1 tenemos

Expresando todo las probabilidades del estado a través de p(0) tendríamos

Normalizando, como lo indica la ecuación 4

Se tiene la distribución de Poisson (Ec. 5), éste proceso es la base para encontrar la fórmula de pérdida en Erlang.

  (Ec. 5)

Hasta ahora se ha asumido un numero de fuentes infinitas para lograr 0 congestión de tiempo, 0 congestión de llamadas y 0 congestión de tráfico. Además que el tráfico llevado sea igual al ofrecido.

Como se ve, desde el punto de vista de diseño práctico, Poisson no es muy recomendado.

Para una aplicación de diseño práctico se considerará un número de canales finito.

Repitiendo el proceso antes detallado, encontramos la fórmula de Poisson Truncada que no es más que la fórmula de Erlang.


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