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Deducción de las fórmulas de Erlang, Engset y Pascal



Partes: 1, 2

    1. Fórmula de
      Erlang
    2. Fórmula de
      Pascal
    3. Bibliografía

    FÓRMULA DE ERLANG

    Tiene su origen en la distribución de Poisson.

    Partiendo de que tenemos un número de canales
    infinito, nunca obtendremos congestión.

    Cuando se define el numero de canales ocupados como
    i=(0..∞), se muestran los estados del sistema como
    círculos y los cambios de estado como
    flechitas. Si el proceso es
    regular solo tendremos cambios hacia estados vecinos

    Fig. 1. Diagrama de la
    transición de estados para un sistema con infinito numero
    de canales (n), procesos de
    llegada de Poisson
    (λ) y los tiempos
    de retención exponenciales
    (μ)

    Si asumimos que el sistema esta en equilibrio
    estadístico, el estado i,
    tendrá probabilidad
    p(i). Al pasar a un estado [i+1], lo hará en λ
    unidades de tiempo y si
    pasa al estado [i-1] lo hará en μ unidades
    de tiempo, obviamente dejará de estar el
    estado i.

    Se necesita ecuaciones
    basadas en el principio de equilibrio global, para que describan
    los estados del sistema bajo la asunciòn de equilibrio
    estadístico.

    a. Ecuaciones del nodo

    En equilibrio estadístico el número de
    transiciones por la unidad de tiempo en el estado [i] es igual al
    número de transiciones fuera de estado [i].

    Por ejemplo el numero de saltos del estado 0 al estado 1
    como sube de nivel será λ*p(0),
    mientras que si baja de nivel del estado uno al estado 0,
    sería el número de saltos
    μ*p(1)

    Para el estado i, las ecuaciones de equilibrio
    son

    (Ec. 1)

    (Ec. 2)

    Las ecuaciones de nodo siempre son aplicables,
    también para los diagramas de la
    transición de estados en varias dimensiones

    b. Ecuaciones cortadas (Se basan los sistemas de
    pérdida)

    Si artificialmente cortamos entre los estados [i-1] e
    [i], el equilibrio estadístico cambia de estado de [i-1] a
    [i], el mismo numero de veces que cambia de estado [i] a [i-1].
    Es decir no importa si sube o baja de nivel (estado).

    Es la base para luego encontrar la fórmula de
    Erlang.

    (Ec. 3)

    Como el sistema siempre estará en algún
    estado, tenemos que normalizar la restricción.

    (Ec. 4)

    En la ecuación 3 notamos que solo depende de 2
    probabilidades, a diferencia de la ecuación 2 que depende
    de 3. Por consiguiente, es más fácil de resolver
    las ecuaciones cortadas. El sistema de pérdida siempre
    será capaz de entrar en equilibrio estadístico si
    el proceso de la llegada es independiente del estado del
    sistema.

    Para la transición estatal unidimensional el
    diagrama de la aplicación de ecuaciones cortadas da la
    mejor aproximación. De la figura 1 tenemos

    Expresando todo las probabilidades del estado a
    través de p(0) tendríamos

    Normalizando, como lo indica la ecuación
    4

    Se tiene la distribución de Poisson (Ec.
    5), éste proceso es la base para encontrar la
    fórmula de pérdida en Erlang.

      (Ec. 5)

    Hasta ahora se ha asumido un numero de fuentes
    infinitas para lograr 0 congestión de tiempo, 0
    congestión de llamadas y 0 congestión de
    tráfico. Además que el tráfico llevado sea
    igual al ofrecido.

    Como se ve, desde el punto de vista de diseño
    práctico, Poisson no es muy recomendado.

    Para una aplicación de diseño
    práctico se considerará un número de canales
    finito.

    Repitiendo el proceso antes detallado, encontramos la
    fórmula de Poisson Truncada que no es más que la
    fórmula de Erlang.

    Partes: 1, 2

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