Deducción de las fórmulas de Erlang, Engset y Pascal (página 2)

Enviado por Omar Esteban Le�n Ullauri

Partes: 1, 2

La distribución de tiempo es una
distribución exponencial.

El número de estados se vuelve [n+1], y el
diagrama de la
transición de estados se muestra en Figura
2.

Figura 2.Diagrama de la
transición de estados para un sistema con un
número limitado de fuentes (n),
procesos de
llegada de Poisson (λ) y los tiempos
de retensión exponenciales
(μ)

Tenemos las mismas ecuaciones
cortadas que en caso de Poisson (Ec 3), pero el número de
estados está limitado y la condición de normalización dada en la ecuación
condicional (Ec. 4) se convierte en:

(Ec. 6)

Tenemos así la distribución truncada de
Poisson, o llamada también la primera fórmula
de Erlang.

(Ec. 7)

El nombre de truncado significa que en realidad puede
ser interpretado como la Distribución de Poisson
condicional p(i|i≤n). Esto se aprecia mejor si multiplicamos
el numerador y denominador por e-A.

En literatura más vieja
en teoría
del teletrafico la fórmula de Poisson truncado
se conoce también como distribución de
Erlang.

Para evitar confusión, este nombre debe
sólo se usado para una suma de k distribuciones
exponenciales (distribución pendiente o
Erlank-k).

La probabilidad que
todos los canales n están ocupados en un punto del azar de
tiempo es igual al tiempo en el que todos los canales
están ocupados (promedio de tiempo). Esto se obtiene de la
(Ec.7) para cuando i=n

(Ec. 8)

Ésta es la famosa fórmula de Erlang
B. (congestión de llamadas)

Es denotado por En(A) = E1;n(A), donde el 1
se refiere a que es la primera fórmula de
Erlang.

FÓRMULA DE ENGSET

Parte de la distribución binomial

Considerando un sistema un número limitado S de
fuentes (subscriptores). La fuente cambia entre los estados
ocioso y ocupado. Una fuente está ociosa un intervalo de
tiempo que es exponencialmente distribuido con intensidad
, y la fuente
que está ocupada tiene una distribución
exponencialmente distribuida con intervalos de tiempo con
intensidad .
Este tipo de fuente se llama una fuente esporádica o una
fuente del on/off. El número total de canales n en esta
sección es asumida que sea mayor que o iguala al
número de fuentes (n≥S), para que ninguna llamada se
pierda. Tanto n y S se asumen como valores
enteros, pero es posible tratar con valores no
enteros.

Figura 3: Cada fuente individual
ociosa u ocupada, se comporta independiente de todas las otras
fuentes.

Ecuaciones de equilibrio

Figura 4: Diagrama de la
transición de Estados para el caso Binomial. El
número de fuentes S es menor al número de circuitos n
(n≥ S).

Estamos sólo interesados en el p(i), y basamos
nuestros cálculos en la transición de estados como
se indica en la Fig. 4. Consideramos un corte entre estados
vecinos y encontramos

(Ec 9)

Expresando a través de p(0): Este es el inicio
del análisis combinatorio para la deducción de la fórmula de
Engset.

El total de todas las probabilidades debe ser igual a 1
(ecuación de normalización)

(Ec.
10)

Con la expansión del binomio y haciendo
β=λ/μ tenemos

(Ec. 11)

El parámetro β es el tráfico ofrecido
por la fuente ociosa (es el número de intentos de la
llamada por la unidad de tiempo para una fuente ociosa),
encontramos:

(Ec. 12)

Donde

La ecuación 12 es la Distribución
binomial, base para deducir Engset, hay que notar el
análisis combinatorio que involucra.

Cuando un intento de llamada de una fuente ociosa nunca
se bloquea, el α es igual al trαfico llevado por la
fuente α= que es equivalente a la probabilidad que una fuente
está ocupada a un momento cualquiera.

Un ciclo desde el inicio de un estado
ocupado, hasta el inicio del siguiente estado ocupado, es
representativo en la escala de tiempo,
y los promedios de tiempo se obtienen promediando más de
un ciclo. Para un sistema con bloqueo tenemos un
α≠

En teoría del teletrafico se llama a veces
Distribución de Bernoulli,
pero esto debe evitarse cuando en estadísticas usamos este nombre para una
distribución que involucre dos puntos.

La Ecuación 12 puede ser derivada a través
de consideraciones elementales. Todos los subscriptores pueden
separarse en dos grupos (fig. 3):
los subscriptores ociosos y los subscriptores
ocupados.

La probabilidad que un subscriptor arbitrario se
clasifique en "ocupado" es α= que es independiente del
estado de todos los otros subscriptores; el sistema no tienen
ningún bloqueo y los intentos de llamadas siempre se
aceptan.

Hay S suscriptores en total (fuentes) y la p(i) de que i
fuentes estén ocupadas en un tiempo determinado
está dado por la Distribución Binomial.

Distribución de Engset

La única diferencia comparando con la
Distribución Binomial, es que ahora el número de
fuentes S es mayor al número de troncales (n < S). Por
consiguiente, puede haber congestión.

Figura 5 El caso de Engset. Diagrama
de la transición de estados para el caso de Engset
con

S > n, donde S es el número
de fuentes y n es el número de canales.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones cortadas son idénticas a (Ec 9),
pero ellos sólo existen para

0 ≤ i ≤ n (Fig 5). La ecuación de
normalización ( Ec. 10) se vuelve:

y permitiendo β=λ/μ las probabilidades
estatales se vueltas:

(Ec. 13)

Se puede usar

Y reescribirlo de manera análogo a la (Ec
.12):

(Ec. 14)

Que es llamada Distribución Binomial Truncada o
Distribución de Engset

Características del tráfico de
Engset

La Engset-distribución produce cálculos
más complicados que el sistema de pérdida de
Erlang.

El problema principal es el entendimiento de las
definiciones:

Congestión de tiempo E: Por definición es
igual al tiempo que el sistema se bloquea para los nuevos
intentos de la llamada

(Ec. 15)

Esta es la ecuación que pretendíamos
demostrar

Congestión de llamada B: Por definición es
igual a los intentos de llamada que se pierden. Solo los intentos
de llamada que llegan al sistema en estado n se
bloquean.

Durante una unidad de tiempo conseguimos la
relación entre el número de intentos de llamada
bloqueada y el número total de intentos de
llamada:

Desde

Por consiguiente, se tiene

(Ec. 16)

Este resultado puede interpretarse como sigue: La
probabilidad que un intento de llamada de una fuente al azar que
se rechaza, es igual a la probabilidad de que las S-1 fuentes
restantes ocupen todos los n canales. Esto se llama el teorema de
la llegada, y puede mostrarse para ser válido para
cualquiera sistema (pérdida y " retraso) con un
número limitado de fuentes.

FÓRMULA DE PASCAL

Llamado también Binomio
Negativo

En el caso del Binomio la intensidad de la llegada
disminuye linealmente cuando el número de fuentes ocupadas
aumenta linealmente con el número de fuentes
ocupadas.

La intensidad de la llegada en i estados se da
por:

(Ec. 17)

donde
y S son constantes positivas. Se asume que el tiempo de espera es
exponencialmente distribuido con intensidad .

Figura.6: Diagrama de
transición de estados para Pascal (Binomio
Negativo truncado)

Asumimos que el número de canales es infinito.
Preparamos una transición de estados de la Fig 6 con n
infinito y encontramos las probabilidades de estados que
sólo existen para

<
(Ec
18)

Obtenemos:

(Ec
19)

Donde

(Ec 20)

La Fórmula 19 es la distribución Binomio
Negativa (Distribución de Pascal)

Las características del tráfico de este
modelo son
obtenidas por una substitución apropiada de
parámetros de la distribución del
Binomio.

Un caso más realista es la distribución
de Pascal Truncada

Consideramos los mismos procesos de tráfico que
en el caso anterior, pero ahora restringimos el número de
servidores a
un número limitado n. La restricción de la (Ec 18)
es trivial cuando nosotros siempre obtendremos equilibrio
estadístico con un número de estados
finitos.

El diagrama de la transición de estados es
mostrado en la Figura 6, y las probabilidades de cada estado
están dadas por:

(Ec 21)