Sea Z el conjunto de los números
enteros.
donde 
denota el producto
ordinario en Z.
I(f) (la imagen de
f, por abuso de notación) es el conjunto de todos
los números enteros no primos de valor absoluto
distinto de uno.
El subconjunto I(f) 
{1,-1} que, de ahora en adelante
llamaremos Z’, goza de las siguientes
propiedades:
- Es cerrado respecto al producto ordinario de los
números enteros. - No es cerrado respecto de la suma ordinaria de los
números enteros (al respecto, las indeterminaciones
son los casos que dan resultados primos).
En este aspecto la estructura es
análoga a la del conjunto de los irracionales elementales;
este conjunto resulta cerrado respecto del producto y ampliamente
abierto con respecto a la suma.
La tabla de la página siguiente muestra una
partición del conjunto de los enteros positivos mayores
que la unidad. Asociada a esa partición, hay una
relación de equivalencia que divide al conjunto en clases.
Los representantes mínimos de esas clases son
números primos.
Con respecto a este asunto, cito un párrafo
de la obra "Análisis
Matemático 1", de J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A.
Trejo, Editorial Kapelusz S. A., Nota 1 al Capítulo 1,
parágrafo 1 -6, página 9, decimotercera tirada de
la octava edición, febrero de 1.985,
Bs.As.:
"Es importante observar que la relación de
equivalencia no nace de la comunidad del
carácter abstracto, sino que lo engendra.
Por ejemplo. No podemos definir la semejanza como igualdad de
forma, pues es justamente la relación de
«semejanza» la que permite introducir la
noción de «forma». Cada relación de
equivalencia permite definir por abstracción un nuevo
concepto."
Cuando leí este párrafo, me
pregunté ¿cuál es el nuevo concepto que
define la relación de equivalencia manifiesta en la tabla?
Y si la relación engendra el concepto de número
primo, ¿cuál es la relación?
No conozco ninguna técnica para obtener la
relación de equivalencia a partir de la partición.
Tampoco dieron resultado las consultas que realicé con
personas más capacitadas; alguna de ellas manifestó
dudas de que ello pudiera servir para algo. Con todo, sigo
pensando que quizás esto sea lo que necesitamos para
resolver ciertos problemas como
el de la distribución de los números
primos.
La idea no es nueva. He visto una tabla de divisores
mínimos para cierto conjunto de números enteros en
la famosa colección de tablas de Hoüel (logaritmos
decimales, valores
naturales de las funciones seno,
coseno y tangente, etc.). Lo que hice es agrupar todos los
números con un mismo mínimo divisor y formar una
estructura de "cociente de un conjunto por una relación de
equivalencia"; tan solo que no puedo determinar la
relación a partir de los conjuntos.
Como se verá más adelante, elegí un
camino inverso al que han seguido la mayoría de los
matemáticos profesionales. Todos ellos han buscado un
criterio para saber si un número es primo, lo mismo que
una función
que diera la distribución de todos los primos o, al menos,
alguna expresión de grado mayor a la unidad que tuviera
una infinidad de números primos, aunque contuviera valores
compuestos. En las últimas dos no han tenido ningún
éxito,
pues no se conoce ninguna fórmula que dé solamente
números primos ni tampoco alguna expresión
algebraica de la que se esté seguro de que da
infinitos valores primos, aunque sea mezclado con algún
número de enteros compuestos.
Página siguiente  |