Números Primos (página 2)

Con respecto a criterios de reconocimiento más
rápidos y efectivos que el método de
la fuerza bruta
(dividir un entero por todos los números primos menores a
su raíz cuadrada), miles de matemáticos
profesionales se han dedicado a buscar y lo que se ha encontrado
hasta ahora ayuda un poco pero está lejos de dar una
solución práctica al problema.

Por ello se espera que un aficionado no tenga éxito
donde los que saben más fracasaron. Pero los aficionados
tienen una ventaja sobre los más sabios, que es la falta
de prejuicios y de tradiciones. Los profesionales se
empeñan en escalar una montaña siempre por la misma
ruta, aún sabiendo que todos cayeron en grietas y
diferentes trampas. El aficionado no sabe tanto y, por eso mismo,
intenta llegar a la cima por cualquier lado, muchas veces ignora
por dónde intentaron subir otros. Si lo logra –y no
es fácil ni común que lo haga- una vez en ella es
muy sencillo determinar qué caminos son imposibles,
cuáles los más fáciles y cuáles los
difíciles e interesantes como desafío a la virtud
del escalador.

Entonces ¿por qué no encontrar una
fórmula que dé únicamente todos los
números compuestos? Como en la criba de
Eratóstenes, los primos saldrán por descarte. Para
que un número sea compuesto basta, simplemente, con que
sea producto de
dos factores cualesquiera, cada uno de ellos distinto de la
unidad. Esto conduce forzosamente a una ecuación
cuadrática en una incógnita o a una forma
cuadrática, si el análisis se vuelve de tipo
indeterminado.

BÚSQUEDA DE UN CRITERIO
PRÁCTICO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O
COMPUESTO

Para j Î Z y k Î Z, j > 0 y k ≥0,

TEOREMA

Para z número entero positivo, z : primo,
z2 no tiene solución
en números enteros positivos j > 0 y k ≥
0.

Supongamos que z no es un número primo. Luego
existen dos factores ambos mayores que la unidad. Si escribimos z
como en el enunciado, . Ahora bien, 2j + 1 > 1 => j > 0 y 2k + 2j
+ 1 > 1 => 2k > -2j => k > -j pero, como j debe
ser mayor que cero, también k debe ser 0 ó un
número mayor. Hemos demostrado no p implica no q, que es
lo mismo que demostrar q implica p.

Si z es primo, luego sus divisores son 1, -1, z y
–z. Dado que exigimos para j y k, si existen, que sean
positivos, sólo interesan 1 y z.

La factorización de (k+2j+1)2 –
k2 nos conduce forzosamente a una de estas dos
igualdades:

2k + 2j + 1 = 1 ó 2j + 1 = 1

La primera es imposible, porque tendríamos k + j
= 0 y sabemos que la hipótesis obliga a que ambos sean
positivos. La segunda también es imposible porque 2j = 0
j = 0 y j > 0
por hipótesis. Luego,
no existen j y k soluciones de
[1], en las condiciones de la hipótesis.

Este teorema garantiza que cualquier número
positivo impar que pueda escribirse de esta forma es compuesto.
También resultan de ella todos los
números compuestos impares positivos, como
demostraré a continuación.

Supongamos que existe un número w, entero
positivo, impar y compuesto, que no cumple la igualdad w =
(2k+2j+1) (2j+1) [*], en las condiciones de la hipótesis.
Por ser compuesto, será divisible por un número
primo impar p = 2v + 1. Como w es impar, el cociente de w por p
también lo será; o sea: w = (2v+1) (2m+1). Ahora
bien, hay tres posibilidades: m = v, m > v ó v >
m.

Si m = v, w = (2v+1)2 , que corresponde al
caso k = 0 del teorema demostrado; o sea, que w cumple con [*];
lo que contradice el supuesto.

Si m > v, entonces m = v + h; luego: w = (2v+1)
(2(v+h)+1) = (2v+1) (2v+2h+1), que también tiene la misma
forma del teorema, contradiciendo el supuesto.

Para v > m, tenemos v = m + b; que nos lleva a un
resultado análogo. Luego, no existe ningún w entero
positivo, impar y compuesto, que no cumpla con el
teorema.

La ecuación (2k+2j+1) (2j+1) – p = 0 tiene
solución única (en enteros positivos) para p primo,
con j = 0. Para p compuesto hay una solución con j = 0 y
por lo menos otra con j > 0. Encontrando un algoritmo de
cálculo
para las soluciones enteras de la ecuación [1], con p
entero positivo impar dado, tendríamos un criterio
práctico para determinar si un número es primo o
no.

Si consideramos la ecuación general de segundo
grado con dos incógnitas , la "curva" que describen sus soluciones
depende del valor que toma
el discriminante . Para el caso que nos ocupa, 4kj + 4j2 + 4j + 2k
+ 1 – z = 0, el discriminante mayor que cero indica una
curva "hiperbólica". En Internet hay una
página muy buena del profesor
Darío Alejandro Alpern (UTN), en la que se puede utilizar
un programa en
JAVA para
calcular las soluciones enteras. Para los que se interesan
más en las fórmulas "elegantes" de los
matemáticos teóricos, cualquier ecuación
cuadrática en dos incógnitas puede ser llevada, por
sustitución de las variables, a
la forma (con
irracional), que
se conoce como ecuación de Pell generalizada. Las
soluciones de este tipo de ecuación dependen del desarrollo en
fracción continua de la raíz cuadrada de A, pero la
bibliografía
consultada por mí hasta ahora no trata más que
casos particulares.

Al parecer, una solución para el caso general es
complicada, o no hay interés en
divulgarla. Yo confieso ser incapaz de dar un método
algebraico general de búsqueda de raíces que no sea
el de "ensayo y
error", pero los profesionales conocen un método
universal, por lo que el criterio de determinación
planteado más arriba tiene solución práctica
y no necesita recurrir a números "astronómicos"
como los que suelen aparecer con el teorema de Wilson.

Este tema puede cobrar importancia a partir del revuelo
causado por el gran matemático indio Agrawal, cuando
publicó un algoritmo que está siendo perfeccionado
por los más importantes matemáticos de las
universidades de renombre.

Este algoritmo parece ser más complicado que la
obtención de una fracción continua, pero el
desarrollo del método que propongo podría destruir
la seguridad
informática como se practica actualmente, porque
habría una manera relativamente rápida de
determinar el carácter primo de un número entero
muy grande. De todas formas, hay muchas formas de cifrado, como
la esteganografía del abate Juan Tritemo y otras que no
dependieran de un primo enorme.

Un matemático profesional, que se hace conocer
por el pseudónimo Xhantt, me comunicó que, para
este tipo de ecuación o forma cuadrática, las
soluciones no están todavía acotadas, por lo que
por un tiempo largo
no podrá usarse ésta como criterio práctico.
No puedo discutir con él acerca del tema, porque no estoy
capacitado. De todas formas, creo recordar que no solamente se
puede recurrir a una ecuación de Pell, sino que esta
misma, sin "retocar", tendría un método de
resolución debido a Gauss y que desarrolla el
número primo o compuesto como fracción continua. El
caso general para desarrollar cualquier número como
fracción continua, que necesitaría de métodos
más refinados, parece que está en un libro del
afamado y muy notable matemático soviético
Gelfond.

Con todo, lo expuesto aquí basta para mostrar que
el problema básico de la divisibilidad o del
carácter de primo o compuesto de un número, es, en
principio, un problema cuadrático; pues basta con
encontrar un par de factores, no importa en cuántos
factores primos se divida un número.

Ya que estamos bailando, sigamos haciéndolo
mientras tengamos fuerzas y ganas.

SEGUNDA PARTE

LA
DIFERENCIA DE CUADRADOS TIENE MAS DE UNA
DESCOMPOSICIÓN

La diferencia de cuadrados se divide en dos factores que
algunos denominan "quinto caso de factoreo". Se la enseña
desde la escuela media
y forma parte de un sin fin de demostraciones en teoría
de ecuaciones,
problemas
geométricos y de teoría de números. Es una
forma común y cómoda de
análisis por la misma sencillez de la
descomposición.

Analizando la ecuación cúbica reducida
x3 – x – m = 0, se me ocurrió
considerar la igualdad x3 – x = m; con lo que,
si a es una raíz de la ecuación, a3
– a = m = a (a2 – 1).

Según la conocidísima
descomposición de una diferencia de cuadrados,
a2 – 1 = (a + 1) (a – 1). El
término independiente se reduce, entonces, al producto de
tres factores: a, a + 1 y a – 1. Como el producto de las
soluciones resulta ser igual a (-1)n y las raíces
son tres, procedí a verificar si los términos a + 1
y a – 1 eran raíces, con resultado negativo. Luego
dividí la ecuación por x – a, obteniendo una
ecuación cuadrática y dos raíces iguales a
y . Nuevamente, el
producto de estas dos expresiones es igual a , el cociente entre el
término independiente y el coeficiente del término
cuadrático de la ecuación cuadrática
obtenida al dividir por x – a y estas tres sí son
las raíces de la ecuación cúbica. Cuando
a3 – a es un número entero, es
también un número congruente de Fibonacci , para b
= 1.

Desde este punto es sencillo obtener la identidad
[*],
fácilmente verificable "haciendo las cuentas".

Esta identidad nos introduce en los racionales de
denominador 2, en irracionales cuadráticos de
denominadores iguales a potencias de dos y hasta en
números complejos con coeficientes irracionales
cuadráticos. Sin embargo, también los dos
términos de la derecha toman valores
enteros cuando dentro de la raíz hay un cuadrado perfecto
y la suma del numerador es par. Por lo que esta identidad
debería ser tomada en cuenta aún en problemas
dentro de Z, que es un dominio de
factorización única.

La siguiente y tercera descomposición se obtiene
por un camino diferente. Consideremos el triángulo
aritmético de Fibonacci:

Si f designa el número de fila del
triángulo, f 3 es el valor de la suma de los
elementos de la fila, f 2 – (f – 1) es el
primer elemento de la fila y f 2 + (f – 1) el
último. El número de sumandos es f.

Conocemos la igualdad 1+2+3+4+5+….+n = que se demuestra por
inducción matemática
en los cursos elementales de álgebra;
también sabemos que 13 + 23 +
33 + …+ n3 = =. Si escribimos la suma anterior hasta el
penúltimo sumando, tenemos que:

;
evidentemente:

Esta identidad, trivial, podría jugar un papel
importante en algunos temas de la Teoría de
Números. Es más, cualquier potencia
impar cumple la identidad

; como
es fácil verificar.

Como cualquier potencia impar puede ser escrita como una
diferencia de cuadrados, es posible aplicar la segunda identidad
encontrada a esta fórmula.

Sea ;
para y , vale:

; esto
nos lleva a la identidad , que vale para todo número real x. Podemos
reemplazar la letra x por la expresión "a2
– b2" sin inconvenientes. Aquí tenemos
una fórmula que permite escribir cualquier número o
expresión algebraica como una diferencia de
cuadrados.

Estas dos nuevas expresiones del quinto caso de factoreo
son muy elementales y fáciles de comprender.
Podrían ser enseñadas sin ninguna dificultad en las
escuelas de enseñanza media. Sin embargo, nunca vi una
consideración semejante en ninguna parte; lo que me lleva
a suponer que estas fórmulas son inéditas.
Pregunté a personas con formación matemática
terciaria muy superior a la mía si conocían alguna
otra descomposición diferente a (a + b) (a – b) para
una diferencia de cuadrados y ninguna contestó por la
afirmativa; aún aquellas que habían estudiado las
extensiones de Kummer.

Ahora veamos cómo obtenemos distintas
descomposiciones en diferencias de cuadrados para un mismo
número dado que, por simplicidad, tomaremos igual a
cuarenta. Esto para no caer en consideraciones teóricas
más engorrosas; pero el procedimiento es
válido para la generalidad de los números enteros
positivos.

40 = 72 – 32 40 =
112 – 92

,
y así sucesivamente, hasta el infinito.

Los valores enteros o racionales de denominador 2 se
obtienen de los divisores positivos del número
considerado, tomando los pares cuyo producto es igual al
número dado y calculando su media aritmética. Al
cuadrado de esa media aritmética se le resta el
número dado para obtener el segundo cuadrado. Los
demás valores surgen al aplicar a cada uno de ellos la
segunda fórmula encontrada. El proceso no
tiene fin; hay una infinidad de diferencias de cuadrados para un
mismo número; ya que la 2ª fórmula encontrada
puede ser aplicada recurrentemente. En algunos casos, esta
descomposición irracional cuadrática produce
valores enteros, además de los irracionales
cuadráticos reales o complejos que surgen naturalmente de
la fórmula utilizada.

Las expresiones complejas encontradas en la generalidad
de los casos podrían resultar factores primos en ciertos
anillos de números complejos. Esto pondría a la
diferencia de cuadrados dentro de las consideraciones de la
teoría algebraica de números y, en especial, de las
extensiones de Kummer. Resulta que la fórmula conocida
para la descomposición en factores de una diferencia de
cuadrados es utilizada en un sinnúmero de demostraciones
de teoremas, cálculo de soluciones de ecuaciones
diofánticas (como la que surge del Teorema de
Pitágoras) y otras consideraciones. Sugiero que esos
análisis y demostraciones son incompletos y sus resultados
parciales. Una diferencia de cuadrados a2 –
b2 no debe ser considerada a partir de sus componentes
a y b, sino desde lo que la diferencia de cuadrados representa
como un todo (un número real o complejo). Pienso que todas
las demostraciones en las que aparecen diferencias de cuadrados
deben ser profundamente revisadas.

Ahora veamos algo acerca de la ecuación de Pell
que, en realidad, fue estudiada por Brouncker y atribuida a Pell
por un error de Euler.

La ecuación irracional, es la ecuación conocida con el
nombre de Pell. Se la divide en factores según la
fórmula clásica de tal forma que queda: . El caso es más general y
difícil.

Se buscan las soluciones estudiando las unidades en un
anillo porque se
descompone la ecuación utilizando el elemental y conocido
quinto caso de factoreo; para el cual en este trabajo
encontré otra descomposición: la fórmula
[*]. ¿Agrega esta nueva forma de re-escritura otro
conjunto de soluciones? ¿Son equivalentes estas
soluciones? ¿Es por esa razón que
todavía no se han acotado debidamente las soluciones?
No hay que olvidar que la fórmula [*] conduce
también a resultados enteros. O sea, debe tomarse en
cuenta para los problemas diofantinos.
Para responder a ello, hay que atreverse a desafiar el paradigma
dominante y revisar todas las demostraciones considerando estas
nuevas identidades y los efectos que provocan. Esto es lo que
cabría esperar de alguien que se llame científico;
no hay que aceptar las cosas "porque están demostradas",
por el temor reverencial hacia personas más inteligentes
que la mayoría de nosotros o el peso de la autoridad.
Hacer esto significa ser crédulo, no
científico.
Hacer esto – dirán algunos – es recomenzar continuamente.
Sí, pero, ¿no es esto lo que llevó a la
Relatividad Restringida? ¿No fue la revisión de
la calidad lógica
de lo que se conocía desde el Renacimiento
lo que pulió la matemática actual y condujo a otras
geometrías desconocidas hasta entonces?

 Carlos Carcagno