Pitágoras y las ecuaciones algebraicas

Partes: 1, 2

1. Un triángulo rectángulo para cada parábola
2. Un triángulo rectángulo con las raíces de una ecuación cúbica general
3. Las raíces de cualquier ecuación algebraica en una incógnita forman un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo con las soluciones de cualquier ecuación algebraica

UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO PARA CADA PARÁBOLA

La ecuación completa de segundo grado ax² + bx + c = 0 describe a parábolas que tienen su eje de simetría paralelo al eje de ordenadas.

Las raíces o soluciones de esta ecuación se calculan mediante una muy conocida fórmula: . Ahora, llamemos por comodidad "u" a una de las raíces y "v" a la otra. Estas raíces cumplen algunas propiedades muy conocidas con respecto a los coeficientes de la ecuación:

Elevemos la primera expresión al cuadrado:

Reemplazando y haciendo el correspondiente pasaje de términos, nos queda: . Ahora bien, las soluciones (x, y,

z), a la ecuación x² + y² = z² tienen las formas x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v², para u y v enteros positivos, u > v, de distinta paridad y primos entre sí; esto garantiza que la terna tiene elementos primos entre sí, caso que se denomina terna pitagórica primitiva.

Este caso para obtener triángulos rectángulos diofantinos primitivos; o sea, con sus lados enteros y primos entre sí, pero también será terna pitagórica cualquier terna primitiva multiplicada por un escalar entero positivo, lo que da las ternas con divisores comunes. Asimismo, la fórmula es aplicable a cualesquiera números reales u y v, u > v. De resultas de esto pueden aparecer ternas con divisores comunes, en cualquier anillo.

Observemos que la fórmula corresponde a la hipotenusa y a uno de los catetos. Para obtener el restante, volvemos a la fórmula para calcular las raíces:

. Elevando ambos al cuadrado y restándolos, obtenemos el otro cateto como función de los coeficientes: . Si los coeficientes de la ecuación completa no tienen divisores comunes, cada ecuación cuadrática completa tendrá un triángulo rectángulo propio que puede ser compartido con otras bajo ciertas condiciones, no muy claras todavía para mí. La misma ecuación multiplicada por un factor cualquiera dará un triángulo rectángulo semejante.

Observemos que el producto vuelve a dar otro cateto, de un triángulo que tenga por hipotenusa a y a 2u²v² por el otro cateto.