- Un triángulo
rectángulo para cada parábola - Un
triángulo rectángulo con las raíces de una
ecuación cúbica general - Las
raíces de cualquier ecuación algebraica en una
incógnita forman un triángulo
rectángulo
Un triángulo rectángulo
con las soluciones de
cualquier ecuación algebraica
UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO PARA CADA
PARÁBOLA
La ecuación completa de segundo grado ax² +
bx + c = 0 describe a parábolas que tienen su eje de
simetría paralelo al eje de ordenadas.
Las raíces o soluciones de esta ecuación
se calculan mediante una muy conocida fórmula: 
. Ahora, llamemos por
comodidad "u" a una de las raíces y "v" a la otra. Estas
raíces cumplen algunas propiedades muy conocidas con
respecto a los coeficientes de la ecuación:
Elevemos la primera expresión al
cuadrado:
Reemplazando y haciendo el correspondiente pasaje de
términos, nos queda: 
. Ahora bien, las soluciones (x, y,
z), a la ecuación x² + y² = z²
tienen las formas x = 2uv, y = u² – v², z = u² +
v², para u y v enteros positivos, u > v, de distinta
paridad y primos entre sí; esto garantiza que la terna
tiene elementos primos entre sí, caso que se denomina
terna pitagórica primitiva.
Este caso para obtener triángulos rectángulos diofantinos
primitivos; o sea, con sus lados enteros y primos entre
sí, pero también será terna
pitagórica cualquier terna primitiva multiplicada por un
escalar entero positivo, lo que da las ternas con divisores
comunes. Asimismo, la fórmula es aplicable a cualesquiera
números reales u y v, u > v. De resultas de esto pueden
aparecer ternas con divisores comunes, en cualquier
anillo.
Observemos que la fórmula 
corresponde a la
hipotenusa y 
a
uno de los catetos. Para obtener el restante, volvemos a la
fórmula para calcular las raíces:
.
Elevando ambos al cuadrado y restándolos, obtenemos el
otro cateto como función de
los coeficientes: 
. Si los coeficientes de la ecuación completa no
tienen divisores comunes, cada ecuación cuadrática
completa tendrá un triángulo rectángulo
propio que puede ser compartido con otras bajo ciertas
condiciones, no muy claras todavía para mí. La
misma ecuación multiplicada por un factor cualquiera
dará un triángulo rectángulo
semejante.
Observemos que el producto
vuelve a dar
otro cateto, de un triángulo que tenga por hipotenusa a
y a
2u²v² por el otro cateto.
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