Pitágoras y las ecuaciones algebraicas (página 2)

UN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO CON LAS RAÍCES DE UNA
ECUACIÓN CÚBICA GENERAL

Dada una ecuación cúbica general en una
incógnita Ax³ + Bx² + Cx + D = 0, sabemos que es
igual a A (x – u) (x – v) (x – w), donde u, v y
w son sus raíces o soluciones.

Los coeficientes se relacionan con las raíces
como sigue:

Si elevamos la primera igualdad al
cuadrado y le restamos el doble de la segunda, obtenemos una suma
de tres cuadrados como función de
los coeficientes de la ecuación. Esta suma puede
interpretarse como la diagonal de un paralelepípedo recto
rectángulo y esta diagonal como la hipotenusa de un
triángulo rectángulo que tenga por catetos un lado
del paralelepípedo y la diagonal de una cara.

LAS RAÍCES DE CUALQUIER ECUACIÓN
ALGEBRAICA EN UNA INCÓGNITA FORMAN UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO

Si consideramos la ecuación general en una
incógnita y llamamos a sus raíces, se cumple siempre que:

;
siendo la suma de cuadrados la diagonal de un politopo
ortoédrico, que es caso análogo de un
parelelepípedo recto rectángulo en espacios de
más dimensiones. Todas las soluciones conforman un
triángulo rectángulo, según la siguiente
terna:

También es interesante el hecho de que cualquier
curva algebraica sea descomponible en el producto de a
lo sumo n rectas distintas; las que forman los factores (x –
), con pendiente
igual a 1, o sea, rectas que son todas paralelas y a 45º de
inclinación con respecto a un par de ejes coordenados y
ortogonales. A esto se agrega que el cociente desarrolla la
fracción de los coeficientes como suma de fracciones de
denominador unitario de las raíces, a la manera egipcia de
escribir fracciones.

Volvamos ahora a la hipotenusa .

La ecuación indeterminada para un
triángulo rectángulo es. x² + y² =
z², el clásico teorema de Pitágoras. En cursos
iniciales de álgebra se
demuestra que todas las soluciones enteras de esa ecuación
son: z = k (u² + v²); x = k (u² – v²); y = k
2uv, donde u, v y k son enteros positivos arbitrarios, u > v,
u y v de distinta paridad y primos entre sí. Cada
trío de números enteros positivos que elijamos en
las condiciones prefijadas dará un triángulo
rectángulo. Si k = 1, las ternas tienen elementos primos
entre sí. Todos los triángulos con u y v fijos y k variable son
semejantes. Como estas fórmulas constituyen una identidad, y
por el principio de permanencia en las extensiones del concepto de
número, también son válidas para
números reales positivos.

Hay una cuestión interesante para tratar, aunque
se aparta un poco del hilo del tema. Si damos un valor
numérico entero positivo a la variable z, tratar de
determinar en qué condiciones son enteros los catetos para
ese valor dado de la hipotenusa. Este problema fue abordado por
Fermat. La respuesta es la siguiente:

Para la ecuación x² + y² = n², n
un entero positivo conocido, ¿en qué condiciones
existen catetos enteros?

Si n es un número primo de la forma 4m + 1,
existe una única descomposición de n como suma de
dos cuadrados. Luego, hay una única terna
pitagórica primitiva y primaria (hipotenusa
prima).

Si n es un número primo de la forma 4m + 3, no es
posible descomponerlo en suma de dos cuadrados y, por tanto, no
existe una terna pitagórica (se entiende, diofantina; o
sea, con todos sus componentes enteros positivos. Siempre existen
valores no
enteros, como sucede en el trazado de una circunferencia
–la ecuación canónica de la circunferencia es
básicamente el teorema de Pitágoras- o en el
cálculo
trigonométrico).

Si n es compuesto, pueden pasar varias cosas:

El número n es descomponible en factores primos
de la forma 4m + 1 o en factores primos de la forma 4m + 3
elevados a una potencia par, en
ese caso n es descomponible como suma de dos cuadrados de varias
maneras, tanto en ternas primitivas, como no
primitivas.

El número n se descompone en factores primos,
pero hay factores de la forma 4m + 3 elevados a potencias
impares; n no es descomponible como suma de dos cuadrados, pero
los factores de la forma 4m + 3 que molesten pueden agruparse en
el entero k o factor común y descomponer la totalidad o
una parte de los factores que sí dan descomposiciones como
suma de dos cuadrados enteros y calcular los catetos en base a la
descomposición considerada y al factor común.
También hay varias ternas obtenibles, todas no
primitivas.

Si n se descompone solamente en factores primos de la
forma 4m + 3 todos distintos, o sea, elevados a la primera
potencia, no hay forma de escribirlo como suma de dos cuadrados
de números enteros

Si bien esta descripción es completa, descomponer un
número n lo suficientemente grande en factores primos
puede ser una tarea extremadamente difícil. Por este
motivo, no se considera que el problema esté
exhaustivamente resuelto.

Volvamos al análisis. Tenemos, entonces, , que puede considerarse
como una circunferencia con centro en el origen y radio o como una forma
cuadrática ku² + kv² , cuyo discriminante es -4k², menor
que cero; lo que indica que las soluciones x e y forman una
elipse.

De cualquiera de las dos formas aparecen secciones
cónicas en el análisis de cualquier ecuación
algebraica de grado arbitrario n, entero positivo.

Si fuera fácil calcular u y v, podríamos
llegar a despejar una raíz ; pero el estudio de estas formas
cuadráticas está lejos de la completitud, si es que
es posible lograr un análisis cabal de estas formas
cuadráticas. Para más claridad: estas ecuaciones
están resueltas pero sus raíces no están
acotadas, en general. La falta de acotación de
raíces resta valor práctico a estas
consideraciones.

Lo que propongo analicen los que saben más que
yo, tanto en teoría
de ecuaciones como en teoría de números, es si
resulta importante que para cada ecuación algebraica de
cualquier orden exista una forma cuadrática asociada y si
esto no entra en conflicto con
la teoría de grupos de
Galois.

Carlos Alberto Carcagno