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UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO CON LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CÚBICA GENERAL

Dada una ecuación cúbica general en una incógnita Ax³ + Bx² + Cx + D = 0, sabemos que es igual a A (x – u) (x – v) (x – w), donde u, v y w son sus raíces o soluciones.

Los coeficientes se relacionan con las raíces como sigue:

Si elevamos la primera igualdad al cuadrado y le restamos el doble de la segunda, obtenemos una suma de tres cuadrados como función de los coeficientes de la ecuación. Esta suma puede interpretarse como la diagonal de un paralelepípedo recto rectángulo y esta diagonal como la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tenga por catetos un lado del paralelepípedo y la diagonal de una cara.

LAS RAÍCES DE CUALQUIER ECUACIÓN ALGEBRAICA EN UNA INCÓGNITA FORMAN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Si consideramos la ecuación general en una incógnita y llamamos a sus raíces, se cumple siempre que:

; siendo la suma de cuadrados la diagonal de un politopo ortoédrico, que es caso análogo de un parelelepípedo recto rectángulo en espacios de más dimensiones. Todas las soluciones conforman un triángulo rectángulo, según la siguiente terna:

También es interesante el hecho de que cualquier curva algebraica sea descomponible en el producto de a lo sumo n rectas distintas; las que forman los factores (x - ), con pendiente igual a 1, o sea, rectas que son todas paralelas y a 45º de inclinación con respecto a un par de ejes coordenados y ortogonales. A esto se agrega que el cociente desarrolla la fracción de los coeficientes como suma de fracciones de denominador unitario de las raíces, a la manera egipcia de escribir fracciones.

Volvamos ahora a la hipotenusa .

La ecuación indeterminada para un triángulo rectángulo es. x² + y² = z², el clásico teorema de Pitágoras. En cursos iniciales de álgebra se demuestra que todas las soluciones enteras de esa ecuación son: z = k (u² + v²); x = k (u² - v²); y = k 2uv, donde u, v y k son enteros positivos arbitrarios, u > v, u y v de distinta paridad y primos entre sí. Cada trío de números enteros positivos que elijamos en las condiciones prefijadas dará un triángulo rectángulo. Si k = 1, las ternas tienen elementos primos entre sí. Todos los triángulos con u y v fijos y k variable son semejantes. Como estas fórmulas constituyen una identidad, y por el principio de permanencia en las extensiones del concepto de número, también son válidas para números reales positivos.

Hay una cuestión interesante para tratar, aunque se aparta un poco del hilo del tema. Si damos un valor numérico entero positivo a la variable z, tratar de determinar en qué condiciones son enteros los catetos para ese valor dado de la hipotenusa. Este problema fue abordado por Fermat. La respuesta es la siguiente:

Para la ecuación x² + y² = n², n un entero positivo conocido, ¿en qué condiciones existen catetos enteros?

Si n es un número primo de la forma 4m + 1, existe una única descomposición de n como suma de dos cuadrados. Luego, hay una única terna pitagórica primitiva y primaria (hipotenusa prima).

Si n es un número primo de la forma 4m + 3, no es posible descomponerlo en suma de dos cuadrados y, por tanto, no existe una terna pitagórica (se entiende, diofantina; o sea, con todos sus componentes enteros positivos. Siempre existen valores no enteros, como sucede en el trazado de una circunferencia –la ecuación canónica de la circunferencia es básicamente el teorema de Pitágoras- o en el cálculo trigonométrico).

Si n es compuesto, pueden pasar varias cosas:

El número n es descomponible en factores primos de la forma 4m + 1 o en factores primos de la forma 4m + 3 elevados a una potencia par, en ese caso n es descomponible como suma de dos cuadrados de varias maneras, tanto en ternas primitivas, como no primitivas.

El número n se descompone en factores primos, pero hay factores de la forma 4m + 3 elevados a potencias impares; n no es descomponible como suma de dos cuadrados, pero los factores de la forma 4m + 3 que molesten pueden agruparse en el entero k o factor común y descomponer la totalidad o una parte de los factores que sí dan descomposiciones como suma de dos cuadrados enteros y calcular los catetos en base a la descomposición considerada y al factor común. También hay varias ternas obtenibles, todas no primitivas.

Si n se descompone solamente en factores primos de la forma 4m + 3 todos distintos, o sea, elevados a la primera potencia, no hay forma de escribirlo como suma de dos cuadrados de números enteros

Si bien esta descripción es completa, descomponer un número n lo suficientemente grande en factores primos puede ser una tarea extremadamente difícil. Por este motivo, no se considera que el problema esté exhaustivamente resuelto.

Volvamos al análisis. Tenemos, entonces, , que puede considerarse como una circunferencia con centro en el origen y radio o como una forma cuadrática ku² + kv² , cuyo discriminante es -4k², menor que cero; lo que indica que las soluciones x e y forman una elipse.

De cualquiera de las dos formas aparecen secciones cónicas en el análisis de cualquier ecuación algebraica de grado arbitrario n, entero positivo.

Si fuera fácil calcular u y v, podríamos llegar a despejar una raíz ; pero el estudio de estas formas cuadráticas está lejos de la completitud, si es que es posible lograr un análisis cabal de estas formas cuadráticas. Para más claridad: estas ecuaciones están resueltas pero sus raíces no están acotadas, en general. La falta de acotación de raíces resta valor práctico a estas consideraciones.

Lo que propongo analicen los que saben más que yo, tanto en teoría de ecuaciones como en teoría de números, es si resulta importante que para cada ecuación algebraica de cualquier orden exista una forma cuadrática asociada y si esto no entra en conflicto con la teoría de grupos de Galois.

 

Carlos Alberto Carcagno