INTRODUCCIÓN
El presente trabajo
contiene la resolución de dos problemas de
aplicación del curso de matemática, así como información sobre los métodos
utilizados para su respectiva solución.
El primer problema consiste en encontrar la serie de
potencias de la función
centrada en cero, así como el polimonio de Taylor de grado
ocho de la misma función (P8(x)), luego en el
problema se pide graficar en una calculadora tanto la
función como su respectivo polinomio de
Taylor, así mismo completar una tabla en la que se
deben efectuar integrales
definidas para el polinomio y para la función desde un
punto igual a cero hasta un punto b que toma diferentes valores, por
último se debe describir la relación entre las
gráficas observadas en la calculadora y los
datos
obtenidos en la tabla donde están los valores
obtenidos de las integrales.
En el segundo problema consiste en encontrar la
ecuación en polares de la órbita de un
satélite que gira alrededor de la Tierra, como
es de esperarse la trayectoria de la órbita es una elipse,
bajo ciertas condiciones que se plantean en el
problema.
Asimismo se debe la distancia entre la superficie de
la Tierra y el
satélite cuando el ángulo que forma una
línea recta imaginaria que va desde la superficie de la
Tierra hasta el satélite es de 60 grados, con respecto a
otra recta imaginaria horizontal llamada eje polar.
Finalmente se espera que tanto el contenido de los
métodos utilizados en la resolución de los
problemas, así como la resolución de los mismos
estén lo más claro posible, para su fácil
comprensión.
OBJETIVOS
- Encontrar la serie de potencias centrada en cero de
f(x) = ln(x2 + 1)/
x2 y su respectivo polinomio de Taylor de grado 8
centrado en cero. - Encontrar la ecuación en coordenadas polares
de la órbita del satélite Explorer 18 alrededor
de la Tierra y la distancia entre la superficie de la Tierra
y el satélite cuando q =
60° . - Verificar que las ecuaciones
de las cónicas en polares tienen aplicación en
la vida real en lo que se refiere al movimiento
de los cuerpos celestes y satélites artificiales alrededor de la
Tierra.
DESCRIPCIÓN TEÓRICA DE LOS
MÉTODOS
Aproximación Polinómicas de Funciones
Elementales:
Se utilizan para aproximar las funciones trascendentales
por medio de un polinomio. Para hallar una función
polinómica P que aproxime a otra función f,
empezamos eligiendo un número c en el dominio de
f en el que P tomará el mismo valor, es
decir:
P(c) =
f (c) Las gráficas de f y P pasan por (c,
f (c))
Se dirá que la aproximación
polinómica está centrada en c.
Geométricamente, exigir que P(c) = f (c) significa obligar a la
gráfica de P a que pase por (c, f (c)). Ni que
decir que hay muchos polinomios que satisfacen esa
condición. Nuestro empeño consiste en encontrar uno
cuya gráfica sea parecida a la de f en las
proximidades de ese punto. Una forma de lograrlo consiste en
imponer la condición adicional de que la pendiente de la
función polinómica sea la misma que la de f
en el punto (c, f (c)).
P’(c) = f ‘(c) Las gráficas de
f y P tienen las misma pendiente en (c, f
(c))
Polinomios de Taylor y de Maclaurin:
Una aproximación polinómica de una
función f centrada en algún valor c, debe
ser escrita de la siguiente manera:
Pn(x) = a0 + a1(x – c) +
a2(x – c)2 + a3(x
–c)3 + ×
× × + an(x –
c)n
Así las sucesivas derivadas dan
como resultado:
Pn’(x) = a1 + 2a2(x- c) +
3a3(x – c)2 + × ×
× + nan(x –
c)n – 1
Pn’’(x) = 2a2 + 2(3a3)(x – c)
+ × × × + n(n
– 1)an(x – c)n – 2
Pn’’’(x) = 2(3a3) + × ×
× + n(n – 1)(n –
2)an(x – c)n – 3
:
Pn(n)(x) = n(n – 1)(n
– 2) × × ×
(2)(1)an
Haciendo x = c, obtenemos:
Pn(c) = a0,
Pn’(c) = a1,
Pn’’(c) = 2a2, × ×
× ,
Pn(n)(c) = n!
an
donde el símbolo n!
(se lee ¨n factorial¨). Si n es un entero positivo, se
define n factorial como: n! = 1
× 2 × 3 × 4
× × × (n
– 1) × n .
Y como el valor de f y de sus n primeras
derivadas deben coincidir con los de Pn y sus
derivadas en x = c, se sigue que:
f (c) = a0, f
‘(c) = a1, f
‘’(c) = a2, × ×
× , f
(n)(c) = an
2! n!
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