Resolución de dos problemas matemáticos (página 2)

Con estos coeficientes se llega a la siguiente
definición de los polinomios de Taylor y de
los polinomios de Maclaurin.

Definición de los Polinomios de Taylor y de
Maclaurin:

Si f tiene n derivadas en c,
el polinomio:

Pn(x) = f (c) +
f ‘(c)(x – c) + f
‘’(c) (x –c)2 + × ×
× + f
(n)(c) (x – c)n

2! n!

se llama el polinomio de
Taylor de grado n de f en c. Si c = o,
entonces:

Pn(x) = f (0) +
f ‘(0)x + f ‘’(0)
x2 + f ‘’’(0)
x3 + × × × +
f (n)(0)
xn

2! 3! n!

se llama el polinomio de Maclaurin de f .
Entonces f es aproximadamente Pn(x).

Definición de Series de
Potencias:

Una serie de potencias puede considerarse como un
polinomio de grado infinito cuya forma de escritura es
la notación sigma (å
).

Si x es una variable, una serie de potencias es
cualquier serie de la forma:

¥

å
anxn = a0 + a1x +
a2x2 + a3x3 +
× × × +
anxn + ×
× ×

n=0

Más en general, cualquier serie de la
forma:

¥

å
an(x – c)n = a0 +
a1(x – c) + a2(x –
c)2 + × × × +
an(x – c)n + × ×
×

n=0

se dice que es una serie de potencies centrada en
c, donde c es una constante.

Definición de las Series de Taylor y
Maclaurin:

Si una función
f tien derivadas de todos los órdenes en x = c, se
llama serie de Taylor de f (centrada) en c a la
serie:

¥

å
f (n)(c) (x –
c)n = f (c) + f ‘(c)(x – c)
+ × × × +
f (n)(c) (x –
c)n + × × ×

n=0 n! n!

Si c = 0, la serie se conoce también como la
serie de Maclaurin de f .

Para encontrar la serie de una función se debe
lograr observar cual es la pauta que siguen los coeficientes en
los polinomios, ya sea de Taylor o de Maclaurin.

Ecuaciones de las Cónicas en Coordenadas
Polares:

Las ecuaciones de
las cónicas en coordenadas polares se basan en que el foco
(en el caso de la parábola), o uno de sus focos (en el
caso de la elipse o la hipérbola) se encuentra localizado
en el polo.

Clasificación de las Cónicas
según la Excentricidad:

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya
razón de distancias a un punto fijo (foco) y a una recta
fija (directriz) es constante es una cónica. La
razón constante e es la excentricidad de la
cónica.

1. La cónica es una elipse si 0 < e <
   1.
2. La cónica es una parábola si e =
   1.
3. La cónica es una hipérbola si e
   > 1.

La excentricidad de la elipse y de la hipérbola
viene dada por el cociente: e = c

a

donde c es la distancia del centro a uno de los
focos y a es la distancia del centro a uno de sus
vértices mayores (en el caso de la elipse) y a uno de sus
vértices (en el caso de la hipérbola).

Ecuaciones en Polares de las
Cónicas:

La gráfica de una ecuación en polares de
la forma:

r = ed o r = ed
.

1 ± e cos q 1 ± e sen
q

es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad y ½ d½ la distancia entre el foco situado
en el polo y su correspondiente directriz.

Los cuatro tipos de ecuaciones ya indicados admiten la
siguiente clasificación donde d > 0.

1. 1 + e sen q

2. Directriz horizontal sobre el polo: r = ed
   .

   1 – e sen q

3. Directriz horizontal bajo el polo: r = ed
   .

   1 + e cos q

4. Directriz vertical a la derecha del polo r =
   ed .
5. Directriz vertical a la izquierda del polo: r =
   ed .

1 – e cos q

SOLUCIÓN Y RESULTADOS

PROBLEMA No. 1:

a)Construir la serie de potencias, centrada en 0,
de la función:

f (x) = ln (x2 +
1) = g(x)

x2 h(x)

Se construye en primer lugar la serie de potencias de
g(x), empezando por derivar las veces que sean necesarias la
función:

g(x) = ln (x2 + 1) g¢ (x) = 2x g¢ ¢ (x) =
– 2×2 + 2

x2 +1 (x2 +
1)2

g¢ ¢ ¢ (x) =
4x(x2 – 3) g4(x) =
-12(x4 – 6×2 + 1)

(x2 + 1)3 (x2 +
1)4

g5(x) = 48x(x4 –
10×2 + 5) g6(x) =
-240(x6 – 15×4 + 15×2
– 1)

(x2 + 1)5 (x2 +
1)6

g7(x) = 1440x(x6 –
21×4 + 15×2 – 7) g8(x)
= -10080(x8 – 26×6 +
740×4 – 28x + 1)

(x2 + 1)7 (x2 +
1)8

Se evalua cero en g(x) y sus respectivas
derivadas:

g(0) = 0 g¢ (0) =
0 g¢ ¢ (0) = 2 g¢
¢ ¢ (0) = 0 g4(0) =
-12 g5(0) = 0

g6(0) = 240 g7(0) =
0 g8(0) = -10080

Se construye un polinomio de grado &uml;n¨ de la
función:

P8(x) = 0 + 0x + 2×2 +
0x3 – 12×4 +
0x5 + 240×6 +
0x7 –
10080×8

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

Pn(x) = 2×2 –
12×4 + 240×6 –
10080×8 + (-1)n +1 2(2n + 1)!
x2n

2! 4! 6! 8! (2n)!

La sumatoria desde ¨n¨ igual a uno hasta
infinito del n-ésimo término del polinomio anterior
es la serie de g(x):

¥ ¥

g(x) = å
(-1)n + 1 2(2n + 1)! x2n =
å (-1)n + 1
x2n

n=0 (2n)! n=0 n

Como f (x) es igual a g(x)/ h(x) entonces la serie de f (x) es igual
a: LA SERIE DE g(x) .

h(x) = x2

¥

f (x) = å (-1)n + 1 x2n –
2

n=0 n

b)Representar en la calculadora
f y el polinomio de Taylor de grado 8, P8(x),
de f .

f (x) » 1 – x2 +
x4 – x6 +
x8

2 3 4 5

c)Completar la tabla siquiente, donde:

d)Describir la relación entre las gráficas de f y de P8 y
los resultados de la tabla del apartado c).

Tomando en cuenta la observación de las gráficas de
f y de P8 y además los resultados de la
tabla anterior, se puede tomar a -3/ 4
< x <
3/ 4 como un intervalo aproximado
donde la gráfica de P8 es parecida a la
gráfica de f .

PROBLEMA No. 2:

El 28 de noviembre de 1963, EE.UU., lanzó el
Explorer 18. Sus puntos más alto y más bajo sobre
la superficie de la Tierra
fueron 119 millas y 122000 millas. El centro de la Tierra es el
foco de la órbita. Hallar la ecuación en polares de
la órbita y la distancia entre la superficie de la Tierra
y el satélite cuando q =
60° . (Suponer que el radio de la
Tierra es 4000 millas).

2a = 119mi + 122000mi +
2(4000mi)

a = 65059.5 millas

c = 122000mi + 4000mi – a =
126000mi – 65059.5mi

c = 60940.5 millas

excentricidad = c =
60940.5mi = e = 0.94

a 65059.5mi

En el libro de
texto el
problema muestra una
elipse cuya directriz que debe ser vertical y estar a la
izquierda del polo, por lo que la ecuación en polares de
la órbita del satélite debe tener una
ecuación del siguiente tipo:

r = ed .

1 – e cos q

r = f (q ) Þ 2a =
f (0) + f (p
)

2a = 0.94d + 0.94d = 0.94d +
0.94d = 2 (0.94d)

1 – 0.94 cos 0 1 – 0.94 cos p 1 – 0.94 1 + 0.94 1 –
0.942

130119 = 15.28d Þ d
= 8516.41

r = ed = 0.94(8516.41) = 7977.22 =
f (q )

1 – e cos q 1 – 0.94
cos q 1 – 0.94 cos q

Si r = f (q ) y
60° = p
/ 3 Þ
f (p / 3) = 7977.22 = 15004.5 millas

1 – 0.94 cos (p
/ 3)

Distancia entre la superficie de la Tierra y el
satélite es: f (p
/ 3) – radio de la
Tierra.

Distancia = 15004.5mi – 4000mi = 11004.5
millas.

CONCLUSIONES

• Los polinomios de Taylor y de Maclaurin son
  útiles para aproximar valores de
  las funciones
  trascendentales, en los cuales mientras más grande es el
  grado del polinomio menor es el error en la
  aproximación.
• Una serie de potencias puede considerarse como un
  polinomio que representa a una función, cuyo grado es
  infinito. La serie puede parecerse a la función en toda
  la recta real, en algún intervalo o solamente en
  algún punto, como es el caso del problema donde
  solamente son similares las gráficas en el intervalo
  (-1,1) aproximadamente.
• Las ecuaciones en coordenadas polares son
  útiles para verificar la trayectoria de cometas,
  planetas y
  toda clase de
  cuerpos celestes que se mueven en el espacio, debido a que la
  forma de la trayectoria de estos puede ser una de las tres
  cónicas: parábola, elipse e
  hipérbola.

BIBLIOGRAFÍA

McGraw-Hill Interamericana Editores.
Cálculo. Roland E. Larson, Robert Hostetler
y

Bruce Edwards. Traducido por Lorenzo Avellanas
Rapún. Volumen 1. Sexta
Edición.

Páginas: 676, 678, 679, 688 Y 707.

McGraw-Hill Interamericana Editores.
Cálculo. Roland E. Larson, Robert Hostetler y Bruce
Edwards. Traducido por Lorenzo Avellanas Rapún. Volumen 2.
Sexta Edición.

Páginas: 957 y 958.

Elias Felipe Nij Patzán

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ciencias

Matemática Intermedia 1