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Lógica matemática
Introducción.
Aprender
matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de
estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación
del porqué no aprenden las ciencias
exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden
ciencias
exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en
la escuela
(leyes,
teoremas, formulas) con los problemas
que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el
aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a
los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de
encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje,
para que de esta manera tenga una buena estructura
cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar
estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.
La
lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina
que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica
es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En
la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase
puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber
el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir
resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones.
En la computación para revisar programas.
En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo
que se realiza tiene un procedimiento
lógico, por el ejemplo; para ir de compras
al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento
lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona
desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
puede pintar si antes no prepara la pintura,
o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque
se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho,
él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso,
todo esto es la aplicación de la lógica.
La
lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas
a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia
y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos
innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
El
orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece
la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto
de proposición. Se establece el significado y utilidad
de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos
las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción
y contingente, y proporcionamos
una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se
le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad.
Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción,
en donde incluye reglas de inferencia.
En
este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que
le sean familiares. Nuestro objetivo
es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo
y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros
comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de
inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá
problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras,
ya que un programa
de computadora
no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona
establece para resolver n problema determinado.
Es
importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar
al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas
de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá
llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones
como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante
tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando
llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución,
porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de
inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.
Desarrollo.
La
lógica matemática es la disciplina
que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona
reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento
lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación
para verificar si son o no correctos los programas;
en las ciencias física
y naturales, para sacar
conclusiones de experimentos;
y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud
de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para
realizar cualquier actividad.
Proposiciones
y operaciones
lógicas.
Una
proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero
no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A
continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas,
y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones
se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente
dicha. Ejemplo.
p:
La tierra
es plana.
q:
-17 + 38 = 21
r:
x > y-9
s:
El Morelia será campeón en
la presente temporada de Fut-Bol.
t:
Hola ¿como estas?
w:
Lava el coche por favor.
Los
incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor
de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El
inciso r también es una proposición
valida, aunque el valor
de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables
x y y en determinado momento. La proposición del inciso s
también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera
se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo
los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero,
uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos
lógicos y proposiciones compuestas.
Existen
conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas
(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:
Operador
and (y)
Se
utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù,
un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:
Ejemplo.
Sea
el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque
y tiene corriente la batería”
Sean:
p:
El coche enciende.
q:
Tiene gasolina el tanque.
r:
Tiene corriente la batería.
De
tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica
es como sigue:
p = q Ù
r
Su
tabla de verdad es como sigue:
|
q |
r |
p
= q Ù
r |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Donde.
1 = verdadero
0 = falso
En
la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
significa que la batería tiene corriente y p
= q Ù
r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen
cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.
Con
este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones
es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}.
Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.
Sea
el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine
si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.
p:
Entra al cine.
q:
Compra su boleto.
r:
Obtiene un pase.
|
q |
r |
p
= q Ù
r |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
q |
r |
La
única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0),
es que no compre su boleto (q=0)
y que no obtenga un pase (r=0). |
||
|
1 |
1 |
1 |
||
|
1 |
0 |
1 |
||
|
0 |
1 |
1 |
||
|
0 |
0 |
0 |
Operador
Not (no)
Su
función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es
verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación
(falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø,-}.
Ejemplo.
La
negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo
en este momento (p’=0)
|
p |
p’ |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Además
de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento
es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero
solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el
resultado es falso.
En
este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.
Ejemplo
Sean
las proposiciones:
p:
Hoy es domingo.
q:
Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.
r:
Aprobaré el curso.
El
enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no
aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:
p
Ù
qÚ
r
Por
otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores
compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores
Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).
Proposiciones
condicionales.
Una
proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples
(o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
p
®
q
Se lee “Si p entonces q”
Ejemplo.
El
candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República
recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración
como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:
Sean
p:
Salió electo Presidente de la República.
q:
Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De
tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.
p
®
q
Su
tabla de verdad queda de la siguiente manera:
|
p |
q |
p
®
q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
La
interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere
que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación
del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo,
q=1 y recibieron un aumento
de 50% en su sueldo, por lo tanto p
®
q =1; significa que
el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que
p ®
q =0; el candidato
mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.
Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50%
en su salario,
que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco
mintió de tal forma que p ®
q =1.
Proposición
bicondicional.
Sean
p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal
de la siguiente manera:
p
«
q
Se lee “p si solo si q”
Esto
significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es
falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición
bicondicional
“Es
buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”
Donde:
p:
Es buen estudiante.
q:
Tiene promedio de diez.
por
lo tanto su tabla de verdad es.
|
p |
q |
p
«
q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
La
proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como
q son falsas o bien ambas verdaderas
A
partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado
con conectores lógicos.
Ejemplo.
Sea
el siguiente enunciado “Si no pago
la luz,
entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y
Si pago la luz,
entonces me quedaré sin dinero
o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero
y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p:
Pago la luz.
q:
Me cortarán la corriente eléctrica.
r:
Me quedaré sin dinero.
s:
Pediré prestado.
t:
Pagar la deuda.
w:
soy desorganizado.
(p’
®
q) Ù
[p
®
(rÚs)
]
Ù
[(rÙ
s) ®
t’ ]
«
w
Tablas
de verdad.
En
estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad.
A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú
(q’Ùr)
]«
(r®q).
|
p |
q |
r |
q’ |
p®q |
(q’Ùr) |
(p®q)Ú
(q’Ùr) |
r®q |
[(p®q)Ú
(q’Ùr)
]«
(r®q) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
El
número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables
de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.
No
de líneas = 2n
Donde n = número de variables distintas.
Es
importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno
deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo
proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que
el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá
entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos,
los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más
complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los
alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando
se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque
de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento
deberá ser significativo.
Tautología
y contradicción.
Tautología,
es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los
valores de verdad de sus variables.
Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
|
p |
q |
p’ |
q’ |
p®q |
q’®p’ |
(p®q)«(q’®p’) |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Note
que en las tautologías para todos los valores
de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy
importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes
en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.
A
continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas
de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el
autor no consideró..
1.- Doble negación.
a).
p''Ûp
2.- Leyes conmutativas.
a).
(pÚq)Û(qÚp)
b).
(pÙq)Û(qÙp)
c).
(p«q)Û(q«p)
3.- Leyes asociativas.
a).
[(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]
b.
[(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]
4.- Leyes distributivas.
a).
[pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]
b.
[pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]
5.- Leyes de idempotencia.
a).
(pÚp)Ûp
b).
(pÙp)Ûp
6.- Leyes de Morgan
a).
(pÚq)'Û(p'Ùq')
b).
(pÙq)'Û(p'Úq')
c).
(pÚq)Û(p'Ùq')'
b).
(pÙq)Û(p'Úq')'
7.- Contrapositiva.
a).
(p®q)Û(q'®p')
8.- Implicación.
a).
(p®q)Û(p'Úq)
b).
(p®q)Û(pÙq')'
c).
(pÚq)Û(p'®q)
d).
(pÙq)Û(p®q')'
e).
[(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]
f).
[(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]
9.- Equivalencia
a).
(p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]
10.- Adición.
a).
pÞ(pÚq)
11.- Simplificación.
a).
(pÙq)Þp
12.- Absurdo
a).
(p®0)Þp'
13.-
Modus ponens.
a).
[pÙ(p®q)]Þq
14.- Modus tollens.
a).
[(p®q)Ùq']Þp'
15.-
Transitividad del «
a).
[(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)
16.- Transitividad del ®
a).
[(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)
17.- Mas implicaciones lógicas.
a).
(p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b).
(p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]
c).
(p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]
18.- Dilemas constructivos.
a).
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b).
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]
Contradicción
es aquella proposición que siempre es falsa para todos los
valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’
. Como lo muestra
su correspondiente tabla de verdad.
|
p |
p’ |
pÙp’ |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
Si
en el ejemplo anterior
p:
La puerta es verde.
La proposición pÙp’
equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto
se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.
Una
proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla
de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.
Equivalencia
lógica.
Se
dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores
de verdad. Se indican como p º
q.
Considero
que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde
se puede observar que las columnas de (p®q)
y (q’®p’)
para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q)
º
(q’®p’)
Reglas
de inferencia
Los
argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente
correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que
intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A
esos argumentos se les llama reglas de
inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías
o hipótesis en una demostración.
Ejemplo
1
¿Es
valido el siguiente argumento?.
Si usted invierte en el mercado
de valores, entonces se hará rico.
Si se hace usted rico, entonces será feliz.
____________________________________________________
\Si
usted invierte en el mercado
de valores, entonces será feliz.
Sea:
p:
Usted invierte en el mercado
de valores.
<