Método acelerado para el análisis de pórticos planos (página 2)

Partes: 1, 2

En estas figuras 2.1 y 2.1a S.C.L. significa sistema de
coordenadas locales, que están referidas con
relación al miembro considerado, en el que la dirección x coincide con la del eje del
miembro antes de aplicar las cargas y la dirección oy es
perpendicular a ox. Aplicando el principio de
superposición a la posición deformada de la figura
2.1a, como se indica en la figura 2.2 siguiente:

Mi j y Mj i Son los
momentos definitivos o finales en los extremos i y j
respectivamente, debido al sistema de cargas.

Figura 2.2 Posición deformada de un
miembro en el sistema real.

Esta será igual por el principio de
superposición, a un miembro de una estructura
totalmente inmovilizada en las juntas, isogeométrico, con
las cargas existentes o reales mas el de una estructura
hipergeométrica con los desplazamientos en las juntas
iguales al original o real:

Fig. 2.3 Sistemas equivalentes al real por
superposición.

El Segundo sistema de la figura 2.3 anterior será
igual a resolver el siguiente:

Fig. 2.4 Miembro del sistema
hipergeométrico.

y este a su vez será igual por
superposición a la suma de estos los dos
subsistemas

siguientes:

Fig. 2.5 Subsistemas del sistema
hipergeométrico.

Para completar la igualdad del
sistema real con los dos subsistemas debe cumplirse además
con las ecuaciones de
compatibilidad o deformaciones consistentes
siguientes:

Donde fi. j = fj.,i por ser el
material lineal y elástico, según la Ley de Maxwell o
de Maxwell-Betti de las deformaciones recíprocas, que
establece la igualdad de las deformaciones
recíprocas.

Los términos f denominados factores de
flexibilidad se determinan por el principio de las fuerzas
virtuales o trabajo
virtual complementario, resolviendo los sistemas (i) y
(j), es decir:

Fig. 2.6 Ecuaciones y diagramas de los
subsistemas con carga unitaria.

De acuerdo a esta figura podemos definir como un
factor de flexibilidad genérico, fi
j, en la cual i y j son dos direcciones
de desplazamientos lineales o angulares genéricas
cualesquiera en una estructura o miembro, a un desplazamiento
en la dirección j producido por una fuerza
unitaria en la dirección i.

Ahora bien sumándoles a los términos de
momentos M’i j y M’j i
definidas en ecuaciones 2.3a y 2.3b los Momentos de empotramiento
respectivos, se obtienen reordenando términos e
introduciendo las llamadas constantes elásticas Ci, Cj
y C, que más adelante se definen, las expresiones de
los momentos definitivos llamadas ecuaciones de
rotación, como se indican a
continuación:

M i j = MEi j +
EKO Ci q i +
EKO C q j +
EKO (Ci + C) j
i j …..(2.4a)

M j i = MEj i +
EKO Cj q j +
EKO C q i +
EKO (Cj + C) j
i j …..(2.4b)

De tal manera que si se conoce el momento en alguno de
los dos extremos por ser articulado o cualquier otra
razón, por ejemplo si se conoce el Mj i , se
despeja de la 2.4b la rotación θj o
Ekoθj
y se introduce en 2.4a, de igual manera que si se conoce el
Mi j se despeja de la 2.4a la rotación
θI o
EKoθi
y se introduce en 2.4b, es decir:

Para miembros de sección constante y que
solo se tomen en cuenta los efectos de flexión
(S.C.) las constantes elásticas toman los valores
de: Ci = Cj = 4 y C = 2, las ecuaciones de rotación
serán:

Para definir en forma general Ci, Cj y C, en la
figura siguiente se presenta un miembro de directriz recta de
sección transversal variable y con segmentos en los
extremos rígidos:

Fig. 2.7 Miembro de
sección cualquiera con extremos
rígidos.

Donde:

I , j : Extremos inicial y final del miembro
respectivamente.

A0 , I0 : Area y
momento de inercia de una sección transversal
seleccionada

en un punto arbitrario cualquiera sobre el eje del
miembro o valores

arbitrarios cualesquiera.

A = b (w )
Ao = Area de una sección transversal
cualquiera; b (w ) = ley de

Variación de A.

I = a (w ) I0 = Momento de inercia de una
sección transversal cualquiera ;

a (w ) = Ley de variación de
I.

X i , X j = Longitudes de
segmentos rígidos, en extremos i, j
respectivamente,

en estos se considera que el elemento tiene rigidez
infinita

L = Longitud total o luz del
miembro.

X = Coordenada a lo largo del eje del miembro o
abscisa.

w = (X / L)=Coordenada
a lo largo del eje del miembro o abscisa adimensional.

f = Factor de forma para la distribución de los esfuerzos de
corte.

E = Modulo de elasticidad
longitudinal.

G = Módulo de corte o de elasticidad
transversal.

f v =
Influencia o efecto de las deformaciones de corte en
los

coeficientes elásticos.

Se denominan coeficientes o factores elásticos
f i , f j y f y
son dependientes o están relacionados con los factores de
flexibilidad fi i , fj j y
fi j respectivamente a las siguientes
expresiones de integrales
definidas:

En las tres primeras expresiones f i ; f
j ; f el término
f n
corresponde al efecto por corte y el otro a los efectos por
deformaciones a flexión.

De tal manera que las constantes elásticas Ci
, Cj , y C empleadas en las ecuaciones de KANI y de
rotación vienen dadas por las expresiones :

Ci = f
i / (f i f j – f 2 ) …..(2.6a) ;
Cj = f j /
(f i f
j – f
2 ) …..(2.6b) ;

C = f / (f i f j
– f
2 ) …..(2.6c)

EJEMPLO PARA DEFINICIÓN DE Xi
y Xj :

En el siguiente ejemplo note que los extremos
rígidos están en la zona común de dos
elementos. De igual manera puede considerarse los extremos
rígidos en el elemento vertical.

Fig. 2.8 Miembro horizontal unido a
dos elementos verticales.

NOTA: Los métodos
que utilizan Las ecuaciones de rotación como son el
método de
las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran
métodos de rigidez ya que en ellos las incógnitas
son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o
desplazamientos horizontales de los niveles, aunque
indirectamente se utiliza el método de las fuerzas para
obtener sus expresiones y las ecuaciones de momentos de
empotramiento. El método de flexibilidad aplicado a una
estructura cualquiera no es práctico ya que cualquier
estructura común indeterminada tiene muchos sistemas
primarios isostáticos, mientras que la rigidez de
cualquier miembro y toda una estructura es
única.

EXPRESIONES PARA DETERMINAR EN LOS EXTREMOS DE UN
MIEMBRO LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO.

Dado el elemento en la siguientes figura con extremos
empotrados, inamovibles:

S.E. (Solicitaciones externas
cualesquiera)

Fig. 3.0 Caso General.

Aplicando el método de las fuerzas,
seleccionando un sistema primario isostático eliminando
las fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos de
empotramientos MEi j y MEj
i se puede establecer que este caso será igual
utilizando el principio de superposición a la suma de los
tres casos indicados en la siguiente figura:

Fig. 3.1 Casos equivalentes por el
método de las fuerzas.

Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones
de compatibilidad de deformaciones o deformaciones consistentes,
es decir, las deformaciones en el sistema original en los
extremos del miembro deben ser iguales por el principio de
superposición a las sumas correspondientes a los tres
sistemas, como es:

0 = fi, 0 + MEi j
(fi,i) + MEj I (fi,j
) …..(3.1a)

0 = fj,0 + MEi j
(fj,i) + MEj I ( fj,j
) …..(3.1b) donde los valores f i j son
los que hemos llamado anteriormente factores de flexibilidad y
estos son siempre deformaciones o desplazamientos, de tal manera
que uno de ellos es la deformación en la dirección
de i producido por una fuerza unitaria en la dirección j.
En el caso de fi,0 y fj,0 son las
deformaciones en las direcciones i,j respectivamente producidas
en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas
ecuaciones de compatibilidad se resuelven
obteniéndose:

1º) Los factores de flexibilidad f por medio
del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera que el
sistema virtual con fuerza unitaria será el que indica el
primer subíndice y el otro sistema es el que corresponde
al segundo subíndice.

2º) Despejar los Momentos de empotramiento
ME de 3.1a y 3.1b, obteniéndose las siguientes
expresiones si se toman en cuenta los efectos de flexión y
corte:

Donde MO y VO corresponden a
las expresiones de Momento y Corte en el sistema ( 0 )
isostático.

Cuando se trabaja manualmente se pueden
despreciar efectos de extremos rígidos y de corte (
VO ) haciéndolos iguales a cero, es
decir:

Xi = Xj = VO =
0

Si se tiene el caso particular articulado en uno
de los extremos se puede proceder, aplicando el principio
de superposición como se indica en la siguiente
figura:

Caso un extremo articulado con Momento aplicado en
extremo articulado de signo o sentido contrario al
anterior.

Fig. 3.2 Caso del Momento de empotramiento con un
extremo articulado.

POR TANTO EL MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PARA UN EXTREMO
ARTICULADO SERÁ CONOCIDO Y PARA EL EXTREMO EMPOTRADOS
SERA:

MoEi j =
MEi j —
MEj i (C/Cj )
(Articulación en extremo j ) …..(3.3a) y de
manera similar con el extremo i articulado se obtiene:

MoEj i =
MEj i —
MEi j (C/Ci )
(Articulación en extremo i )
…..(3.3b)

OJO CON LOS SIGNOS:
RECUERDE QUE EN ESTAS ECUACIONES 3.3a y b LOS MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTOS MEi j, MEj
i SE COLOCAN CON SU SIGNO, positivo contrario a las
agujas del reloj o negativo en el sentido de las agujas del
reloj, o puede trabajar con la convención contraria,
positivo en el sentido de las agujas del reloj si esta ha sido su
selección personal.

Estas expresiones también pueden obtenerse
directamente a partir de las expresiones 2.4c y 2.4d
respectivamente, haciendo θi
= θj =
φi j = 0 y Mj
i = 0 (3.3a) para articulación en j o Mi
j = 0 (3.3b) para articulación en i.

NOTA EN EL CASO PARA S.C. : C/Ci = ri
j = C/ Cj = rj i = 1/ 2 (Usualmente
llamado en el método de Cross como FACTOR DE TRANSPORTE del
momento en el extremo i de un miembro al extremo j del mismo
miembro o del momento en el extremo j al extremo i
respectivamente.)

FÓRMULA PARA INTEGRACIÓN
NUMÉRICA:

Pueden emplearse la fórmula siguiente
(3.4):

Del trapecio: o también puede utilizarse cualquier
fórmula estudiada en cálculo
numérico como la de Simpson o de Romberg.

Ejemplo de cálculo de constantes
elásticas y momentos de empotramiento para un miembro
de sección variable:

Determinar los momentos de empotramiento y constantes
elásticas, despreciando el efecto de corte, sabiendo que
el modulo de elasticidad del material es E es de 210.000Kg/cm2
(2.100.000Ton/m2), para el siguiente elemento:

Seleccionemos las unidades en que
trabajaremos: Ton. y m.

Determinación de los coeficientes o factores
elásticos f i ,
f j y f

(L-xj)/L = (6,3m-0,15)/6,30m = 0,9762 ;
xi /L = 0,1575 /6,30 = 0,025

Coordenada en punto de cambio de
sección: 2,15m/6,30 m = 0,3413

Determinemos f i
según expresión 2.5a, para lo cual hay que
dividir la integración en tantas como leyes o
fórmulas de variación de inercia se tenga, en este
caso son dos, es decir:

=
+

Deducción de a
(w ) para coordenada
ω entre 0,025 y 0,3413:

Verificando esta para: w
=0,025 H=1,00; w =0,17937 H=0,75m ;
w =0,3413 H=0,60

Por lo tanto: I = B H3 /12 =
(1,0514-2,055w )(2,1546w 2 – 2,0539w + 1,05) 3/12
m4

Si seleccionamos I0 el menor, es
decir para ω = 0,3413

Io = =
0,35X0,603/12 = 0,0063m4 y
A0 = 0,35×0,60= 0,21m2 , por lo
tanto:

esto
es:

I = (1,0514-2,055w
)(2,1546w 2 –
2,0539w + 1,05) 3
Io/(12×0,0063) m4

I = (13,9074-27,1825 w
)(2,1546 w 2 – 2,0539
w + 1,05) 3 Io
m4 =
α(ω)
I0

De igual manera se tiene que:

A=BHXA0/A0=(1,0514-2,055ω)(2,1546ω2-2,0539ω+1,05)A0/0,21

A = β(ω)
A0

De igual manera a
(w ) y
β(ω) para ω entre 0,3413 y 0,9762 (=6,15/6,3)
:

I =0,35X0,603/12
=0,0063m4=0,0063 Io / 0,0063 =
Io = Sección constante por lo tanto
a (w )=β(ω)=
1

Determinación de las integrales para obtener los
factores elásticos f
i ; f j y
f según las expresiones
2.5a, 2.5b y 2.5c respectivamente y así poder obtener
las constantes elásticas, Ci , Cj
y C según 2.6a, 2.6b y 2.6c esto es:

f i = + = +
=

La primera integral la evaluaremos por
integración numérica, dividiendo en cuatro
intervalos iguales, es decir (0,3413-0,025)/4, y la segunda es
una integral conocida:

((0,3413-0,025)/4)(
f(ω1)+f(ω2)+f(ω3)+(f(ω0)/2)+(f(ω4)/2))
+ (0,97623 – 0,34133)/3 =

Donde: ω0 =
0,025;
ω1=0,025+(0,3413-0,025)/4
= 0,3413+0,079075=0,1041;

ω2=ω1+0,079075=0,1832;
ω3=0,2622;
ω4=0,3413 , de tal
manera que se obtiene:

f i =
(4.724,8/2+154.048,1+905.385,9+3.533.431,9+11.648.537,1/2)x10-8×0,079075+

0,296843 = 0,104.194.968.5×0,079.075 +0,296843
=

0.008.239.217 + 0,296843 = 0,30508

Si dividimos el intervalo en 10 espacios en lugar de 4
se obtiene:

ω0 = 0,025;
ω1=0,025+(0,3413–0,025)/10
= 0,025 + 0,03163= 0,05663;

ω2 =
0,05663+0,03163= 0,08826; ω3
= 0,08826+0,03163=0,11989;

ω4 =
0,15152; ω5 =
0,18315; ω6 =
0,21478; ω7 =
0,24641; ω8 =
0,027804; ω9 =
0,30967; ω10 =
0,3413

f I
=(4.724,8/2+11.648.537,1/2+31.158,7+97.485,9+232.083,3+478.859,0+904.524,0

+1.609.123,7+2.741.869,2+4.526.741,3+7.308.660,2)x10-8×0,03163+
0,296843 =

7.514×10-6+0,296843 = 0,30436
muy poca diferencia entre 4 y diez intervalos,
0,24%, debido a que el tramo más largo es de
sección constante, lo que lo hace el más importante
en la integral de las f . Las
otras constantes elásticas f
i y f tendrán los
siguientes valores:

f j
=(0,071866×0,5+0,086467+0,104029+0,125070+0,150159+0,179925+0,215072+

0,256449+0,305209+0,363206+0,433885×0,5)x0,03163+(0,9762-0,3413)
–

(0,97622 –
0,34132)+(0,97623 –
0,34133)/3 ) = 0,1597389 = 0,15974

f =
(0,001842×0,5+0,005191+0,010071+0,017037+0,026815+0.040342+0,058828+

0,083854+0,117542+0,162928
+0,224814×0,5)x0,03163+((0,97622
–0,34132)/2)

– ((0,97623-0,34133)/3)
= 0,1415119 = 0,14151

Por lo tanto las constantes elásticas,
Ci , Cj y C y otros valores
relacionados con ellas tendrán los siguientes
valores:

(f i f j – f
2) = 0,30436×0,15974 – 0,141512
= 0,02860

Ci = f
i /( f i f j – f
2) = 0,30436/0,02860 = 10,6420

Cj = f
j /( f i f j – f
2) = 0,14151/0,02860 = 5,5853

C = f /(
f i f j – f
2) = 0,14324/0,02820 = 4,9479

Ci / C = 10,6420/4,9479 =
2,1508 ; Cj / C = 5,5863/4,9479 =
1,1288

Determinemos la ecuación del Momento en el
sistema 0 (M0) isotático: Primero
debemos encontrar las reacciones en los extremos del miembro,
por medio de las ecuaciones de equilibrio,
suma de fuerzas y momentos iguales a cero en cualquier
punto.

Hay que encontrar la ecuación de M0
en los tres intervalos que varia la carga,
efectuaremos para de estos tres tramos de la siguiente
manera:

Ecuación de M0 para x entre 0,1575
y 2,15m (ω entre 0,025 y 0,3413
respectivamente) : La
ecuación de la carga aplicada q0(x)
es:

De tal manera que la expresión del momento
es:

Veamos a continuación:

Verifiquemos los resultados

de esta ecuación con la anterior en x=2,15m ya
que deben dar iguales, es decir:

M0(X=2,15) =
0,7528/3X2,153-5,2371/2X2,152+9,1313X2,15 –
0,063 = 9,9589 T-m

M0(X=2,15) = 8,3251X2,15 +
(2,15-0,1575)3/(3,985) – 2,5X(2,15-0,1575)2
=9.9589

Ecuación de M0 para x entre 2,15m y
4,15m (ω entre 0,3413 y 0,6587
respectivamente) : La
ecuación de la carga aplicada q0(x)
es:

Para llevarla a términos de la variable
ω, como sabemos ω = X / L por lo
tanto:

x = L ω = 6,3ω , sustituyendo esta
expresiσn en la ecuación de
momentos

Ecuación de M0 para x entre 4,15m y
6,15m (ω entre 0,6587 y 0,9762
respectivamente) : La
ecuación de la carga aplicada q0(x)
es:

Para llevarla a términos de la variable ω,
como sabemos ω = x / L por lo
tanto:

x = L ω = 6,3ω , sustituyendo esta
expresiσn en la ecuación de momentos
resulta:

Dejaremos al lector como ejercicio la
determinación de los momentos de empotramiento en los
extremos aplicando las expresiones antes descritas y por
integración numérica. También
serían necesarias las ecuaciones del corte si se quieren
tomar en cuenta los efectos del cortante en los momentos de
empotramiento, se deja también al lector esto como
ejercicio para que compare que diferencia existe si se toman
en cuenta o no estos efectos.

5. DEDUCCIÓN DE ECUACIONES FUNDAMENTALES
DE KANI.

5.1 EXPRESIONES PARA ESTRUCTURAS
CON ELEMENTOS EJE RECTO Y

SECCION CUALQUIERA O CONSTANTE.

Sea la ecuación de rotación para un
miembro definida anteriormente en 2.4a, es decir: M i
j = MEi j + EKO Ci
q i + EKO C
q j + EKO (Ci +
C) j i j
…..(2.4a)

Redefinamos algunos términos para proceder
según metodología propuesta por KANI de la
siguiente manera:

K i j = KO C =
IO C ………(5.1)

2 Li j 2

M´i = 2E q i = Participación en los
momentos por influencia del giro q
i de la

junta i, en los extremos i de los miembros que llegan a
ella …..(5.2a)

M´j = 2E q j = Participación en los
momentos por influencia del giro q j de la junta j,

en los extremos j de los miembros que llegan a ella
…(5.2b) M´´i j =
M´´j i = – 6Ej i j = Participación en
los momentos en los extremos i y j del

miembro i j por influencia de la rotación o giro
j i j del

miembro i j.
……………………….(5.2c)

Por lo tanto de 5.1:

KO = (2 K i j ) / C
…..(5.3a) o lo que es lo mismo:

KO = (IO / Li j )
(2/C) …..(5.3b) donde:

IO = Inercia de una sección de
referencia para el miembro considerado, en un

punto cualquiera del eje del miembro, usualmente la
menor o en el centro

del tramo, o si el miembro es de sección
constante es la inercia de esta

sección. Esta inercia puede referirse con
relación a un valor
cualquiera

arbitrario seleccionado para toda la
estructura.

Li j = Longitud del eje del miembro, o
para simplificar simplemente = L

De tal manera que si el miembro es de sección
constante, no tiene extremos rígidos y no se toman en
cuenta los efectos de corte se tiene que C = 2 por
tanto:

K i j = KO (2/2) =
KO
………………………………………..(5.3b)

Sustituyendo estas expresiones 5.2a, 5.2b, 5.2c y 5.3a
en 2.4a se obtiene que el Momento definitivo o final M i
j , en el extremo i de un miembro i j resulta
ser:

M i j = ME i
j + Ki j M´i Ci +
M´j Ki j + Ki j
M´´i j (Ci + C)
……………(5.4a)

C 3C

De igual manera se obtiene la expresión del
momento en el otro extremo Mj i es decir:

M j i = ME j
i + Ki j M´j Cj +
M´i Ki j + Ki j
M´´i j (Cj + C)
……………(5.4b)

C 3C

Ci/C y Cj/C son los inversos de lo que se denominan
en el método de Cross como Factores de Transporte (
ri j = C/Ci) del Momento de i para j y ( rj
i = C/Cj) del Momento de j para i
respectivamente.

Kani definió el siguiente término
como Factor de corrección para M´´i
j bi = (Ci+C)/ (3C)

Consideremos el caso de un miembro
cualquiera ( i j ) de una estructura y su deformada final,
para el cual aplicando el principio de superposición se
puede indicar sus efectos totales reales como la suma de varios
casos aislados:

Caso: Sistema original real .

Aplicando el Principio de Superposición de
Efectos este caso será igual o puede expresarse como la
suma de los cuatro casos siguientes vea las ecuaciones de
rotación modificadas según KANI 5.4a y 5.4b
:

Caso: Sistema ( 0 ) Miembro con Juntas
inmovilizadas.

El sistema (0) se suele llamar sistema primario con
Momentos de Empotramiento en los extremos (ME ), y al
conjunto de los sistemas o subsistemas (1),(2) y (3) se denomina
usualmente Sistema Complementario, que toman en cuenta los giros
de las juntas q i ,
q j , y rotación del
miembro como cuerpo rígido j
i j .

INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS
(M´i ) DEBIDO A LOS GIROS O ROTACIONES EN
LAS JUNTAS q i
.

Si en una junta i cualquiera aplicamos la
condición de equilibrio, es decir, suma de todos los
momentos M i j según 5.4a de todos los miembros
o elementos que llegan a ella resulta:

å M i j =
å MEi j +
å Ki j
M´i (Ci/C) + å
Ki j M´j + å Ki j M´´i
jj (Ci + C) / 3C = 0

(i ) (i ) (i ) (i ) (i
)

Despejando el término å Ki j M´i
(Ci/C) se obtiene:

(i )

å Ki j
M´i (Ci/C) = – [ å MEi j + å Ki j M´j +
å Ki j
M´´i j (Ci + C) / 3C ]
……..(5.5)

(i ) (i ) (i ) (i )

Si multiplicamos las expresiones (5.2a) por
Ki j Ci /C de cada uno de los mismos y todos los
miembros que llegan a la junta i considerada y se suman todas
ellas se obtiene:

å M´i
Ki j Ci =å 2 E
q i Ki j
Ci y debido a que todos los extremos de los miembros
que

(i ) C (i ) C

llegan a la junta i, continua y rígida, giran en
cada caso el mismo ángulo de giro q i ,

se puede decir que: å
M´i Ki j Ci = 2Eq i å
Ki j Ci Despejando 2Eq i que es
M´i

(i ) C (i ) C

según se definió en (5.2a) resulta que:
M´i = ___1 ____ å M´i Ki
j (Ci) å K i j
( Ci) (i ) (C)

(i ) (C)

y colocando el valor del numerador según (5.5) en
esta y designando parámetros similares a los propuestos
por Kani se obtiene lo que denominamos como:

EXPRESIÓN FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA
PEÑA PARA M´i

M´i = m
i [ M i + å Ki j M´j +
å Ki j
M´´i j b i ]
……………(5.6a)

(i ) (i )

Donde: m i =
– 1 …..(5.6b) Se le llama factor de
giro

2 å Ki
j (Ci)

(i ) 2C de la junta
considerada.

M i = å
MEi j ….(5.6c) y se le
denomina Momento de

(i )

Sujeción del nodo o junta i,
que

impide el giro del mismo.

b i = (Ci + C) / (3C) ……(5.6d) es
el factor de corrección para las influencias
M´´i j , de los momentos debidos a
los giros de los miembros j i
j , para miembros de sección variable,
con o sin extremos rígidos y/o con o sin efectos por
corte.

Si todos los miembros que llegan a una junta i son de
SECCION CONSTANTE, sin extremos rígidos y no se
toman en cuenta los efectos de corte, entonces los valores de las
constantes elásticas son:

Ci = Cj = 4 ; C = 2, resulta entonces
que:

bi = bj = 1 ; m
i = – 1 1 ……….. (5.5e)

å K i
j

(i )

5.1.3 MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ PARA
ELEMENTOS CON

EXTREMOS ARTICULADOS.

De la expresión de la ecuación de
rotación para miembros de sección variable para un
extremo articulado considerando solo la influencia o
término con q i
:

Este momento es EK o q
i ( Ci – C 2 ) y como K
O = (2K i j )/C, entonces

y si ambos extremos son continuos este momento
según expresión (5.4b) y caso: sistema1 anterior
será igual a K i jM´i (Ci) /
(C ) , y como según ecuación (5.2a)

M´i = 2E q i , es decir este momento para ambos
extremos continuos será igual a

Igualando estos dos momentos (5.6a) = (5.6b)
resulta que la rigidez Koi j de un
miembro articulado deberá multiplicarse por un
factor para obtener y usar en los cálculos
una rigidez equivalente K i j como si el
miembro tuviera ambos extremos continuos o rígidos, es
decir:

Donde usualmente ri j = C/Ci =
Factor de transporte (Definido así por
Hardi

Cross en su método de análisis estructural) de
Momentos

desde la junta i para la junta j o
simplemente factor

de transporte de i para j.

rj i = C/Cj = Factor de transporte
de j para i.

Factor de corrección para rigidez

modificada por extremo articulado.
…….(5.7b)

De tal manera que si la SECCION ES CONSTANTE sin
extremos rígidos y se desprecian los efectos por
deformaciones de corte:

Ci = Cj = 4 ; C = 2;

r i j = rj i = 1/2
;

K i j = (3/4) Koi j
………….(5.7c)

5.1.4 INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS,
M´´i j ,

DEBIDO A LA ROTACION O GIRO DE LOS ELEMENTOS
j i j .

En el caso de pórticos solo los elementos
verticales o columnas son los que sufrirán giro de miembro
j , ya que los extremos de los
elementos horizontales se trasladan horizontalmente sin que ellos
sufran desplazamientos verticales, por lo tanto no rotan. Por lo
antes dicho solo las columnas son los únicos
elementos de los sistemas estructurales aporticados que
tendrán influencias M´´i
j en los momentos extremos. Esto partiendo de la
hipótesis de las ecuaciones de
rotación que no toman en cuenta o desprecian las
deformaciones debidas a las fuerzas axiales.

Este efecto de traslación por desplazamientos
horizontales que sufren las juntas de un pórtico se
denomina usualmente desplazabilidad lateral o simplemente
DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este método
resuelve el sistema de ecuaciones rotación para toda la
estructura, por lo tanto se cumplen las bases del método
de los desplazamientos, que descompone los efectos del sistema
real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a
continuación:

Este sistema real, con sus
solicitaciones externas cualesquiera (S.E.),
Hipergeométrico, es decir, un sistema con grados
de libertad, que
son desplazamientos independientes, G.D.L. mayores que
cero. En éste existen juntas que sufren giros o rotaciones
q (Desplazamientos angulares) y/o
desplazamientos lineales, que provocan en algunos miembros, como
indicamos al principio de este punto, en las columnas, giros como
cuerpos rígidos, j i
j . Los momentos en los extremos de cada miembro
se llaman usualmente momentos finales o reales, Mi
j Los efectos o resultados de este sistema lo podemos
obtener por el Principio de Superposición como la suma de
los efectos de los dos sistemas que indicamos a
continuación:

Consideremos una columna cualquiera i-j ,
en un piso p también cualquiera y en el sistema
complementario:

Si tomamos momentos en la junta inferior j
resulta:

Sumando todos los cortes (Fuerzas cortantes) de todas
las columnas de un mismo piso p y si todas tienen la misma altura
se tiene que:

Vp = Corte total del piso p = å Vi j = å (Mi j + Mj i )
/ hi j Sustituyendo a Mi j y a
Mj i

(p) (p)

por sus valores según expresión (5.4a) de
la ecuación de rotación y como todos los miembros
de una mismo piso (Columnas) tienen el mismo valor para
M´´i j según expresión 5.2c
ya que tienen los mismos D i
j = D P y hi
j = h P , por tanto el mismo

j i j =
D i j / hi j =
j P , es decir: j p = D
p / h p , llamaremos a este
M´´i j como M´´p
influencias de los momentos debidas a los giros j i j = j p y multiplicando y dividiendo por
tres cada miembro y como en el sistema complementario no hay
momentos de empotramientos se tiene que:

. ……….(5.9a)

…..(5.9b)

Por lo tanto se obtiene:

……..(5.10)

Despejando el término con
M´´p
resulta:

………(5.11a)

Como según ecuación (5.2c)
M´´p = – 6E j p =
– 6E D
p / h p ……..(5.11b) y si
se multiplica cada M´´p de cada
columna por el factor Ki j (bi+bj) / 3 y se
suman todos estos términos de las columnas de un mismo
piso se obtiene:

…..(5.11c) Igualando los segundos términos de las
expresiones (5.11a) y (5.11c) y sacando fuera los
términos D P y
hP de la expresión å donde ellos están y despejando de
aquí el cociente D P
/ h P se obtiene que:

D P / h
P =
sustituyendo este valor en la expresión (5.2c) de
M´´i j ahora llamado
M´´P resulta:

ordenando y definiendo algunos términos nuevos se
obtiene la ECUACION FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEÑA
PARA M´´p y
M´´i j de la manera
siguiente:

…..(5.12a)

M ´´p = M´´i
j = – 6 E D
P Si todas las columnas de un mismo piso
tienen la

hP misma altura
hP

Donde:

=
Factor de corrimiento del piso p

…….(5.12b) Se calcula para cada
piso.

=
Momento del piso
(p). Se calcula

…..(5.12c) para cada piso.

Si todas las columnas del mismo piso tienen
sección constante sin

extremos rígidos y se desprecian las
deformaciones por corte, se tendrá:

bi = bj = ( Ci + C ) / (3C) = (Cj + C ) / (3C) =
(4 + 2) / (3×2) = 1

(bi+bj) /2 = (1+1)/2 = 1

…(5.13a)
……………(5.13b)

5.1.4.1 EXPRESION PARA M´´ P
CON COLUMNAS DE DIFERENTES ALTURAS.

Consideremos el siguiente esquema general de columnas
con diferentes alturas:

Definamos el Factor de corrección por
diferencia de altura para cada columna de un mismo piso C
i j como: Ci j 1 = hp /
hi j 1 = 1 ; Ci j 2 = hp /
hi j 2 ;

para una columna k cualquiera del piso p Ci j
k = hp / hi j k o para
simplificar la nomenclatura:
Ci j = hp / hi j
…..(5.14a)

hi j = hp / Ci
j ………. (5.14b) y sustituyendo en (5.8)
:

Vi j = – (Mi j+ Mj i) /
hi j = – (Mi j+ M j i ) /
(hp / Ci j ) Sustituyendo a Mi j
y a Mj i por sus valores según expresión
5.4a y 5.4b, y según expresión (5.2c) a
M´´i j = M´´j i
= – 6Ej i j = -6E
D P/
hi j = (-6ED P/
h p )Ci j = M´´p
Ci j así como multiplicando y dividiendo
por tres todos los términos del segundo miembro y
ordenarlos se obtiene:

Sumando todos los cortes Vi j de todas
las columnas de un mismo piso (p) : ……(5.15a)

y
despejando de esta expresión el término que
contiene M´´P
:

………(5.15b)

como M´´P = -6E j P = -6E D
P / h P ………(5.16)

Multiplicando ambos miembros de 5.16 por Ki j
C2i j(bi+bj) / 3 y se suman todos estos
términos de las columnas de un mismo piso y sacando del
signo å los coeficientes
constantes para el mismo piso (p) se obtiene:
…….(5.17a)

igualando los segundos términos de las ecuaciones
(5.15a) y (5.17a) y despejando

D P/hp
resulta:

…………………………………..(5.17b)

Sustituyendo este valor de (D P / hp ) en la
ecuación (5.16) y multiplicando y dividiendo el
denominador por dos resulta modificada la ecuación
fundamental de Kani-Takabeya-Peña para
M´´P de la manera
siguiente:

…………………..(5.18a) y además se tiene
que:

M´´i j = M´´j
I = M´´P Ci j
….…………….(5.18b)

…………………..(5.18c)

……(5.18d)

5.1.4.2 EXPRESIÓN PARA
M´´i j PARA COLUMNAS
ARTICULADAS Y DE DIFERENTES ALTURAS.

Si igualamos los momentos en el extremo i en cada
caso ( M* = M** ) producidos por los giros del miembro
(j i j y j ´i j) para conseguir el valor
de h´i j que produce el mismo efecto
del momento (M´´P ),
según las ecuaciones de rotación:

h´i j hi j
(Ci+C) m Ci

Encontremos una expresión para
M´´i j para columnas con un
extremo articulado, en el sistema complementario:

Despejando de ésta el término que contiene
M´´i j , multiplicando y
dividiendo por tres el segundo término y ordenando
términos se obtiene:

si se
suman todos estos términos de todas las columnas de un
mismo piso:

es
decir,

…………(5.21a)

De expresión (5.2c ) y (5.14b) se tiene:
M´´i j = – 6EKi j j
i j = – 6EKi j
D
h´i j

M´´i j = – 6E D
P Ci j = M´´P C
i j ……….(5.21b)

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por
bi Ci j Ci +C y sumando

todos estos términos de todas las columnas de un
mismo piso (p) resulta:

igualando el segundo término de esta ecuación con
el de la (5.21a) y despejando D /
hp :

y
sustituyendo en (5.21b):

Si dentro de un mismo piso (p) existen columnas
articuladas en extremos i ,

y/o en extremos j y/o con extremos no articulados
(Rígidos) y como:

M´´i j = – 6E D
P Ci j = M´´p C
i j de donde M´´p =
M´´ i j / C i j

se puede decir que a continuación se tiene lo que
hemos denominado como:

EXPRESIÓN O ECUACION GENERAL FUNDAMENTAL DE
KANI-TAKABEYA-PEÑA PARA
M´´p :

…..(5.22a)

M ´´i j =
M´´P Ci j = – 6 E D P Ci
j

Donde: Ci j = hP /
h´i j ; hP = Altura patrón del
piso p ;

h´i j = h I j (Altura
real de columna) x m

m = (Ci+C) / (Ci) ó = (Cj+C) / (Cj) Factor de
corrección solo para columnas articuladas en extremo i o
en extremo j respectivamente. En columnas no articuladas m =
1.

= Factor
de corrimiento del piso (p).

…….(5.22b) Se calcula para cada
piso.

Mp = (Vp hp)/ 3 =
Momento del piso (p) ……..(5.22c)

Rigidez modificada para columnas articuladas.

Con K0 = I0/Li
j ; I0 = Inercia de referencia.

=
Rigidez para columnas sin articulaciones.

SI LAS SECCIONES DE LAS COLUMNAS SON DE SECCION
CONSTANTE, NO

TIENEN SEGMENTOS EXTREMOS RÍGIDOS Y NO SE
DESPRECIAN LAS

DEFORMACIONES POR CORTE SE TENDRA QUE: m = 3/2 ;
Ki j = K0 3/4 ;

y Ci j = hi j 3( Para
columnas articuladas)

hp 2

m = 1 ; Ki j = K0 =
I0 / L y Ci j = hi j /
hp Para columnas no articuladas

NOTA: En columnas articuladas en ambos extremos su
rigidez Ki j = o

6. ALGORITMO DE
TRABAJO PARA ESTE MÉTODO

ASPECTOS GENERALES:

a)SELECCION CONVENCION DE SIGNOS Y
UNIDADES

Las unidades usuales son cm y Kg o m y
Ton.

b)IDENTIFICACIÓN NUMÉRICA DE LAS
JUNTAS

I I DETERMINACIÓN PREVIA DE VALORES
INVARIABLES:

I I . I PARA CADA MIEMBRO :

– LAS CONSTANTES
ELASTICAS : C, Ci, Cj según el punto
2

– SU RIGIDEZ : K
i j = K0 C / 2 y si tiene un extremo
articulado la rigidez

modificada.

Si es de sección constante, sin extremos
rígidos y sin considerar efectos por

corte (SC) :

– LOS MOMENTOS (
MEi j ; MEj
i ), Y FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

HORIZONTALES ( HEi j ;
HEj i ) .

I I . I I EN CADA JUNTA O NODO CUALQUIERA ( i )
donde llegan por lo

menos dos miembros contínuos y que no
sean juntas de apoyo:

– Momento de
Empotramiento MEI : Si hay momentos
en las juntas.

– EL MOMENTO DE SUJECION
: M i = å
MEi j +
MEi = suma de todos los

( i )

momentos de empotramiento en la junta.

– LOS FACTORES DE GIRO
m p DE
JUNTA:

— LAS FUERZAS EQUIVALENTES HORIZONTALES EN LOS
NODOS QUE

NO SON APOYOS = Iguales en
magnitud pero de sentido contrario a las de

empotramiento mas las fuerzas horizontales externas
aplicadas en las

juntas ( HEQi j =
-HEi j ; HEQj i =
-HEj i ).

I I.III EN CADA PISO ( p ) : Limitado por dos
niveles superior ( j ) e inferior ( i ):

— Seleccionar la altura patrón o de
referencia, se recomienda tomar la de la

columna de mayor valor h p
.

— El Corte Total en el piso: V p =
å Vi j
.

(i)

Donde Vi j son todas las Fuerzas
Equivalentes Horizontales por encima

del piso considerado.

— EL MOMENTO DE PISO: M p =
Vp hp / 3

— LOS FACTORES : bi , bj :

EL FACTOR DE CORRIMIENTO u
P del piso considerado:

Si todas las columnas del piso son de sección
constante, sin extremos rígidos y no se toma en cuenta el
efecto por cortante: bi =1 , bj =1 , (bi+bj)/2=1/2, m =3/2 (Un
extremo articulado) , m = 1(Ambos extremos continuos no
articulados, [bi+bj]/2=1 ).

III. PROCEDIMIENTO DE CALCULO POR APROXIMACIONES
SUCESIVAS:

III . I En cada piso aplicar la
expresión:

Los valores iniciales de M’ se toman
iguales a cero.

III . II En cada junta o nodo de la estructura que
llegan dos o más miembros sin

Articulación aplicar la siguiente
ecuación:

III . III ESQUEMA PARA LLEVAR LOS CALCULOS ANTERIORES
III .I Y III .II:

III . IV ¿ SE LOGRA LA CONVERGENCIA
?

¿Todos los M´i son
aprox. = a los M´i
anteriores?

¿Todos los
M´´P son aprox. = a los
M´´P anteriores?

NO IR A III . II

III . V SI NO HACER MAS CICLOS Y CALCULAR
LOS MOMENTOS FINALES

SEGÚN Mi j =
MEi j +
M´i Ki j (Ci / C) +
M´j Ki j +
M´´P Ki j Ci
j bi

Mi i =
MEj i +
M´j Ki j (Ci / C) +
M´i Ki j +
M´´P Ki j Ci
j bi

También se pueden obtener las
rotaciones,
θi, de las juntas y
las rotaciones o giros, φ, de las columnas
de las expresiones:
θi =
M´i / (2E) ; φ =
ΔP / Altura real de
la columna ; ΔP = -(
hP M´´P ) / (6E)
.

OBSERVACIONES:

Cuando las rigideces se
obtienen en función de una inercia de
referencia para toda la estructura llamada
Ir, o una rigidez de referencia
llamada Kr, entonces los valores que se
iteran son M´/Ir y
M´´/Ir o
M´/Kr y
M´´/Kr respectivamente. De tal
manera que los factores de giro y de corrimiento estarán
en función
de 1/Ir o 1/Kr.
Los primeros valores o los valores iniciales
como no se conocen de M´ se toman iguales a
cero. El orden de los cálculos es arbitrario porque
el método es autocorrectivo y si cometemos algún
error aumentará el número de ciclos.
Cuando se hacen cálculos manuales e
incluso automáticos mediante el uso de programas de
computación, es importante hacer notar
que cuando se trata del análisis de un pórtico
por cargas verticales los efectos más
importantes se deben a las influencias
M´ y se pueden despreciar los
efectos por M´´, lo contrario
para cargas horizontales los efectos
M´´ son los más
importantes y los M´ podemos
despreciarlos.
En el caso de Pórticos espaciales,
podemos suponer que no hay torsión en planta y todas las
columnas de un piso tienen la misma desplazabilidad, es decir
habrá un solo M´´ por piso y todas las
columnas del piso colaboran en el único factor de
corrimiento para el mismo y habrá un solo Momento de
piso. Un procedimiento
mas exacto sería considerar un momento de piso producido
por la fuerza horizontal equivalente y un factor de corrimiento
para cada pórtico, es decir, cada pórtico
tendrá una desplazabilidad distinta.

COLUMNAS
QUE PERTENECEN A MÁS DE UN PISO

7.1 Veamos el siguiente caso:

Esta rigidez produce que todos los desplazamientos
horizontales del piso sean iguales y por lo tanto podemos
suponer una viga ficticia de dimensiones nulas:
Si existe una placa rígida por ejemplo a
nivel 2 :
Si no existe placa o elemento suficientemente
rígido o un vacío (caso usual):

La columna colabora en las influencias
M´´p de los pisos a que
pertenece. Se reparte su influencia proporcionalmente a las
M´´ de cada piso, y en M´ colaboran todas las
M´´p de los pisos a que pertenece la
columna.

6.2 OTROS EJEMPLOS:

8 . EJEMPLO NUMÉRICO:

Resolver el siguiente pórtico plano del
ejercicio mostrado a continuación

empleando este método acelerado :
4ton/m

Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y
m.

NUMEREMOS LAS JUNTAS O NODOS:

DETERMINACIÓN DE LOS VALORES
INVARIABLES:

PARA CADA MIEMBRO:

Constantes elásticas y Rigidez: Para los
miembros de sección variable ya se indicaron al
principio del problema. PARA MIEMBROS DE SECCION CONSTANTE:
Todos los miembros excepto el 11-12 y el 2-6 tienen como
valores Ci = Cj =4 y C = 2.

Momentos de empotramiento (MEi
j ) ; Fuerzas de empotramiento horizontales
(HEi j ) ; como se indica a
continuación:

MIEMBRO 5-8:

MIEMBRO 8-11:

MIEMBRO 11—12:

MIEMBRO 12—13:

MIEMBRO 13—14:

MIEMBRO EN VOLADO JUNTA 13:

MIEMBRO EN VOLADO JUNTA 14:

MIEMBRO 2 — 6

MIEMBRO 6 — 9

MIEMBRO 9 — 12

MIEMBRO 3 7

MIEMBRO 7 10

MIEMBRO 10 13

MIEMBRO 4 15

MIEMBRO 15 14

MIEMBRO 8 9

MIEMBRO 9 10

MIEMBRO 10 15

MIEMBRO 5 6

MIEMBRO 6 7

MIEMBRO 7 15

PARA CADA JUNTA :

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN JUNTAS:

JUNTA O NODO 10:

El resto las pondremos directamente en el siguiente esquema
para el cálculo:

Los momentos finales o definitivos están
subrayados

Note que la suma de todos los momentos definitivos en los
extremos que llegan a una junta debe ser o aproximadamente cero,
por ejemplo en junta 10:
12,867-1,909-10,961=-0,003≈0,00

Como se observa en el cuarto ciclo se tiene una exactitud del
20%. Recomendación para acelerar al principio la
convergencia y después de haber realizado tres ciclos
consecutivos para M´´ y si estos valores van
creciendo uno de otro o decreciendo, es decir, X1 <
X2 < X3 o X1 >
X2 > X3 se puede decir que puede usar en
lugar de X3 de una manera aproximada el valor
X3´= X1 +
0,9x(3x(X3-X2) +
2x(X2-X1))

En este ejemplo para M´´ :

Del último piso para el cuarto ciclo pudo haberse
tomado como M´´ = -22,068 +
0,9x(3x(-62,719+44,973)+2x(-44,973+22,068)) = -111,211 usar este
valor en lugar de 62,719

Del segundo piso para el cuarto ciclo pudo haberse tomado como
M´´ = -28,398 +
0,9x(3x(-67,315+51,482)+2x(-51,482+28,398)) = -112,698 usar este
valor en lugar de 67,315

Del primer piso para el cuarto ciclo pudo haberse tomado como
M´´ = -34,373 +
0,9x(3x(-50,444+46,701)+2x(-46,701+34,373)) = -66,670 usar este
valor en lugar de 50,444

En el caso de que no hay desplazabilidad o se desprecia, esto
es, las M´´ son cero, como el caso de cargas
verticales la convergencia es rápida obteniéndose
entre el segundo y tercer ciclo de iteración valores
aceptables para los M´. Las M´´ iniciales
están muy alejadas de su valor final como se observa en el
ejemplo.

Veamos como obtenemos los M´´p
utilizando la formula en III.I

En el piso 3 o último :

M´´3 / Ir=
-2,5962Ir-1x
(8,5+29,157Ir-1x
0,1875Irx(2/3)+16,709 Ir-1×0,25
Ir+34,23Ir-1×0,25Ir

+7,314Ir-1 x0,3Ir
+52,206Ir-1 x0,3Ir = 110,950
Ir-1 al multiplicar ambos

miembros por Ir resulta
M´´3 = 110,950 De igual manera se
obtiene:

En el piso 2: M´´2 =
-3,174x(8,9472+29,157×0,25x(2/3)+(34,23+25,241)x0,3333+

52,206×0,1714×0,5714×117,598/(117,598+58,116) =
-117,598

En el piso 1: M´´1 =
-2,3898x(14,3833+7,427×0,2863×0,8939×1,0173+25,241×0,25

52,206×0,1741×0,5742×58,116/(58,116+117,598) =
-58,116

Ahora mostremos como se obtienen los
Mi´ utilizando la fórmula en
III.II

En la junta 6: M´5/Ir =
-0,78xIr-1x(0,0+25,241xIr-1×0,2222Ir+

-58,116xIr-1×0,2863Ir
x0,8939×1,0173) = 7,427 Ir-1 al

multiplicar ambos miembros por Ir resulta:
M´5 = 7,427 De

igual manera en las otras juntas se obtiene:

En la junta 7: M´7 =
-0,6207x(0,0+34,230×0,3333+7,427×0,2222+-117,598×0,3333+

-58,116×0,25 = 25,241

En la junta 8: M´8
=-0,8889x(0,667+-110,950×0,1875x(2/3)x1+-117,598×0,25x(2/3)x1)

= 29,157

En la junta 10: M´10 =
-0,6667x(3+16,709×0,25+25,241×0,3333+-110,950×0,25+

-117,598×0,3333) = 34,230

En la junta 12: M´12 =
-1,3142x(-5,601+16,709×0,1667 = 3,700

En la junta 13: M´13 =
-0,6976x(-7,583+3,700×0,1667+7,314×0,3+34,23×0,25+

-110,95×0,25 = 16,709

En la junta 14: M´14 =
-0,8333x(3,833+16,709×0,3+52,206×0,3+ -110,950×0,3 =
7,314

En la junta 15: M´15 =
-1,0607x(-0,919+7,314×0,3 + -110,950×0,3x1x1+

(-117,598+-58,116)x 0,1714×0,5714×1 = 52,206

Notese que todos los valores de M´ y
M´´ han convergido a su valor final con tres

cifras significativas. Para los valores finales de los
momentos utilizar las

expresiones de Momentos definitivos y fuerzas internas de
los miembros

III.V: Mi j = MEi
j + M´i Ki j (Ci /
C) + M´j Ki j +
M´´PKi j Ci
j bi

Mi i = MEj I +
M´j Ki j (Ci / C) +
M´i Ki j +
M´´PKi j Ci
j bi

También podemos obtener el giro de una junta
cualquiera digamos la 8,
θ8 ,
desplazamiento relativo entre dos niveles consecutivos, digamos
el piso 2 entre niveles 1 y 2,
Δ2 ,
así como la rotación de la columna 5-8 del piso
2,
φ5-8, de la
siguiente manera:

Debemos comenzar el despiece o diagrama de
cuerpo libre para cada elemento, con fuerzas internas para
aquellos miembros que llegan solo dos en una junta, para
así obtener las fuerzas horizontales y verticales que
faltan que serán dos y como tendremos en esa junta dos
ecuaciones de equilibrio con dos incógnitas, estará
perfectamente definido el despiece de ambos miembros, en este
ejemplo seleccionamos 8-11 y 11-12. Luego continuamos con los
miembros adyacentes. Finalmente si se quiere se pueden hacer los
diagramas de corte, fuerza axial y momentos y sus respectivas
ecuaciones. Veamos a continuación

Miembro 8-11: