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Teoría de juegos




Partes: 1, 2

  1. John Forbes Nash
  2. Juegos
  3. Para que la teoría de juegos
  4. Origen
  5. Equilibrio Nash
  6. Importancia y límites del equilibrio Nash
  7. Equilibrio Nash ante condiciones restrictivas
  8. Equilibrio Nash y óptimo
  9. Juego competitivo
  10. Juego de coordinación
  11. Dilema del prisionero
  12. Matriz de pagos del dilema del prisionero
  13. Gallina
  14. Juego de confianza
  15. Resultados de los juegos
  16. Juegos NxM
  17. Conclusión
  18. Anexos
  19. Bibliografía

Introducción:

En la vida cotidiana se presentan muy a menudo fenómenos o situaciones que involucran a dos o más partes con intereses diferentes y con la posibilidad de llevar a cabo diversas acciones para lograr su objetivo. Este tipo de situaciones se llaman situaciones conflictivas o, para abreviar más, conflictos. Un conflicto típico se caracteriza por tres componentes básicos:

• Partes interesadas

• Decisiones posibles

• Intereses de las partes

Las situaciones conflictivas extraídas de la vida cotidiana suelen ser bastante difíciles de analizar por su complejidad. A esto hay que añadir diversos factores, aunque haya alguna parte de ellos que ni influya en el desarrollo del conflicto ni en el resultado. Por eso, para analizar estos conflictos es necesario olvidarse de estos factores secundarios, de manera que si las condiciones son óptimas se pueda construir un modelo normal y simplificado. Dicho modelo se suele denominar juego. Este concepto se diferencia del conflicto en que se desarrolla de acuerdo a unas reglas definidas de manera total.

La necesidad de estudiar conflictos susceptibles de ser representados con modelos matemáticos simples (juegos) ha dado lugar a un aparato matemático llamado teoría de juegos. Vamos a enunciar algunos conceptos básicos utilizados por esta teoría.

John Forbes Nash (1928 - )

Matemático estadounidense. En el colegio no destacó por su brillantez intelectual sino más bien por su torpeza en las relaciones sociales. En un principio iba a estudiar Ingeniería Química, pero su gran capacidad para las matemáticas hizo que se decantara por esta área.

A los 20 años pidió ser admitido en la Universidad de Princeton donde por aquel entonces estudiaban personalidades como Einstein o el propio Von Neumann. Allí elaboró grandes postulados matemáticos no sólo en la teoría de juegos sino también en topología y geometría algebraica.

En 1955 se le diagnostica una enfermedad llamada esquizofrenia paranoica consistente en delirios, alucinaciones y conductas inhabituales. Sus delirios se centrarían en mensajes cifrados y conspiraciones. En 1959 viajó a Europa para pedir asilo político ya que pensaba que era perseguido por los comunistas. Durante los años siguientes permaneció ingresado en hospitales por periodos de cinco a ocho meses. Jamás pudo curarse de su enfermedad, lo que le costó, entre otras cosas, su matrimonio.

Al igual que Von Neumann, Nash destacó desde un principio en la teoría de juegos. A los 21 años escribió una disertación de 27 páginas en la que expuso por primera vez la solución para juegos estratégicos no-cooperativos utilizando dos teoremas emergentes en aquella época: el teorema del punto fijo de Kakutani y el teorema del punto fijo de Brouwer ya que, en realidad, el punto de equilibrio que encontró Nash no es otra cosa que un "punto fijo". Esta disertación pasaría a ser su tesis doctoral que en un principio la iba a dirigir el mismo John Von Neumann, pero éste se negó en rotundo al considerarlo una trivialidad.

Sin embargo, el término de equilibrio Nash no llega hasta 1950. Ese mismo año publica la Solución de Negociaciones de Nash y en 1951 publicó el Programa de Nash en el que reducía los juegos cooperativos a un marco no-cooperativo.

Gracias a sus avances en la teoría de juegos fue miembro de la RAND, una institución dedicada a la investigación estratégica que en ese momento reclutaban talentos para la aplicación de la teoría de juegos a las circunstancias mundiales.

Toda esta labor en la teoría de juegos le valió el reconocimiento en 1994 con la concesión del Premio Nobel de Economía por algo que el mismo Nash definió como "mi trabajo más trivial".

El punto de equilibrio Nash es un conjunto de estrategias, una para cada jugador, que presentan la característica de que ningún jugador está incentivado para cambiar unilateralmente su decisión. Los jugadores están en equilibrio si un cambio de estrategia decidido por un jugador, conduciría a que ese jugador ganase menos que si mantuviera la estrategia.

En otras palabras, es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos.

Entre los trabajos publicados por John Forbes Nash se destacan:

"Equilibrium points in N-Person Games", 1950, Proceedings of NAS.

"The Bargaining Problem", 1950, Econometrica.

"A Simple Three-Person Poker Game", en colaboración con L.S. Shapley, 1950, Annals of Mathematical Statistics.

"Non-Cooperative Games", 1951, Annals of Mathematics.

"Two-Person Cooperative Games", 1953, Econometrica.

La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.

La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Forbes Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos.

Juegos

Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

Las situaciones de conflicto reales conducen a una gran diversidad de juegos. En la actualidad no existe ninguna clasificación universal de los juegos, aunque éstos se diferencian por diversos criterios como: número de participantes, número de estrategias, relación entre los jugadores, tipo de pago, número de movimientos, cantidad de información que posee cada jugador. Vamos a analizar sin entrar en muchos detalles estas diferencias.

* Número de jugadores. Dependiendo del número de jugadores se definen tres tipos: juegos de un jugador (sin consideración en teoría de juegos), juegos de dos jugadores (la más estudiada) y juegos n-personales con un proceso de simulación y resolución muy dificultoso.

* Número de estrategias. Los juegos se dividen en juegos finitos en los que cada jugador tiene un número finito de estrategias, y juegos infinitos en los que al menos un jugador posee infinitas estrategias.

* Relación entre los jugadores. Se clasifican en juegos sin coaliciones en los que los jugadores no pueden firmar ni acuerdos ni coaliciones, juegos con coaliciones y juegos cooperativos en los cuales los acuerdos se firman con anterioridad y deben ser respetados obligatoriamente.

* Tipo de pago. Se distinguen los juegos de suma cero en el que el beneficio de un jugador implica la pérdida en misma cantidad de otro y juegos de suma no nula.

* Número de movimientos. Los juegos se dividen en juegos de un paso que terminan cuando cada jugador realiza un movimiento, y juegos multipasos los cuales también se dividen en juegos de posición (cada jugador puede realizar más de un movimiento en el tiempo, juegos estocásticos (al elegir una nueva posición existe probabilidad de volver a la anterior), juegos de tipo duelo ( se caracterizan por el instante en el cual se hace el movimiento y por la probabilidad de obtener un pago dependiendo del tiempo transcurrido), ...

* Información disponible. Los juegos se clasifican en juegos de información completa en los que cada jugador conoce los movimientos hechos por los demás, y juegos de información incompleta en los que no se conocen todas las jugadas anteriores.


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