- Reseña de la
integral - La
antiderivada - Aplicación
de la integral en los sólidos de
revolución - Conclusiones
- Bibliografía
RESEÑA DE LA INTEGRAL
Arquímedes de Siracusa (287 –
212) resolvió los primeros problemas
relativos al (hoy llamado) cálculo
integral. En particular, halló el centro de gravedad de un
paralelogramo, un triángulo y un trapecio; y de un
segmento de parábola. Calculó el área de un
segmento de parábola, cortado por una cuerda.
Demostró que (a) la superficie de una esfera es 4 veces la
de su círculo máximo; (b) el volumen de una
esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito; (c) la
superficie de una esfera es 2/3 de la superficie de este
cilindro, incluyendo sus bases. Resolvió el problema de
como intersectar una esfera con un plano, de forma de obtener una
proporción dada entre los volúmenes
resultantes.
Johannes Kepler: Kepler parece haberse casado con
su primer esposa, Bárbara, por amor (a pesar
de que el casamiento fue acordado mediante un intermediario). El
segundo casamiento, en 1613, fue una cuestión de necesidad
práctica; precisaba alguien para encargarse de sus
hijos.
La nueva esposa de Kepler, Susana, tuvo un curso
acelerado sobre el carácter de Kepler: en la carta
dedicatoria al libro de
casamiento explica que en la celebración de la boda el
notó que los volúmenes de los barriles de vino eran
estimados mediante una vara introducida en forma diagonal, por el
agujero de la tapa, y comenzó a preguntarse como
podría funcionar eso.
El resultado fue el estudio de los volúmenes de
los sólidos de revolución
(New stereometry of wine barrels…, Nova sterometria
doliorum…, Linz, 1615) en la cual Kepler, basándose en
el trabajo de
Arquímedes, utilizó la
resolución en `indivisibles'. Este método fue
luego desarrollado por Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) y es
parte de la historia ancestral del
cálculo infinitesimal.
Sir Isaac Newton… en un período de menos
de dos años, cuando Newton
tenía menos de 25 años, comenzó con avances
revolucionarios en matemática, óptica,
física, y
astronomía. Mientras Newton estaba en casa
(debido a una plaga que cerró la Universidad de
Cambridge, en la que estudiaba) estableció las bases del
cálculo
diferencial e integral, varios años antes de su
descubrimiento, en forma independiente, por Leibniz.
El método de las fluxiones, como él lo
llamó, estaba basado en su crucial visión de que la
integración de una función
era meramente el procedimiento
inverso de su derivación. Tomando la derivación
como la operación básica, Newton produjo sencillos
métodos
analíticos que unificaban muchas técnicas
diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas
aparentemente no relacionados como calcular áreas,
tangentes, longitud de curvas y los máximos y
mínimos de funciones. El De
Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671,
pero Newton no pudo publicarlo, y no apareció impreso
hasta que John Colson produjo una traducción al ingles en 1736.
El número e se define por la fórmula
e=exp. (1) donde exp. (x) es la función inversa de la
función Log(x). (El logaritmo se define como la integral
en el intervalo [1, x] de la función 1/x.) Se
escogió la letra e en memoria del
matemático y físico suizo Leonhard Euler
(1707-1783), y se llama número de Euler. El número
e es un número trascendental; es decir, no se puede
expresar como la raíz de ningún polinomio con
coeficientes enteros. (La demostración de que e es un
número trascendental se debe a Charles Hermitte en 1873.)
El valor de
e=2.718281828…
de "El Cálculo con Geometría
analítica", de Louis Leithold.
Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre
de 1642 según el calendario Juliano, todavía usado
por entonces en Inglaterra, o el
4 de Enero de 1643 con respecto a nuestro calendario Gregoriano.
Fue profesor de
matemáticas en Cambridge y luego jefe de la
casa de la moneda en Londres. Sus principales ideas fueron
desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa
natal de la aldea de Woolsthorpe, ya que el Trinity College de
Cambridge, donde Newton era estudiante, estuvo cerrado por la
epidemia de la peste. Alli desarrolló sus ideas de la
gravitación universal, de la teoría
de los colores y sobre
la serie del binomio y el cálculo de fluxiones.
De naturaleza
entonces tímida era reacio a publicar sus resultados, para
así evitar las posibles críticas y controversias de
sus contemporáneos. En Octubre de 1666 escribió un
tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre
series infinitas que circuló en forma de manuscrito entre
los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre
fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura
de curvas de 1693. Sin embargo estos fueron publicados hasta bien
tarde y algunos sólo lo fueron después de su
muerte. De
analysi fue publicado en 1711 y el tratado sobre cuadratura de
curvas, De Quadratura Curvarum de 1693 apareció como un
apéndice de su Opticksen 1704. Su obra más famosa,
donde expone su teoría de la gravitación universal,
los Principia, fue publicada en 1687, pero sus argumentos son muy
geométricos y sólo dan una idea de sus
métodos del cálculo infinitesimal.
De entre el trabajo
matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden
distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en
serie de potencias, en especial el desarrollo del
binomio, algoritmos
para hallar raíces de ecuaciones y
de inversión de series, relación
inversa entre diferenciación e integración y el
concepto de
fluentes y fluxiones como variables que
cambian en el tiempo. Newton
estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de la
historia y en la interpretación de las sagradas
escrituras.
Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del
vice-presidente de la facultad de filosofía de la
universidad de Leipzig. De joven, estudió
filosofía, derecho y lenguas clásicas. Su principal
interés
estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje
simbólico para representar los conceptos fundamentales del
pensamiento
humano y las maneras de combinar estos símbolos para llegar a conceptos más
elaborados. Esta idea filosófica, que tiene
relación con la combinatoria, fue ya algo en parte
elaborada por franciscano mallorquín Ramón
Llull (1235-1316) en su Arte
Luliano.
Poco después de acabar sus estudios, Leibniz
empezó en 1672 una misión
diplomática en Paris donde permanecería unos cuatro
años hasta 1676. Allí conoció a numerosos
filósofos y miembros de la alta sociedad, en
particular al holandés C. Huygens (1629-1695), entonces
miembro de la recién creada Académie Royale des
Sciences. Como curiosidad Huygens le planteó a Leibniz que
hallara la suma de los inversos de los números
triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de
hallar la suma de esta serie y entonces creció su
interés en estudiar matemáticas, cuya
formación hasta entonces había sido muy escasa.
Huygens le recomendó que leyera la renovada edición
en latín de
van Schooten de la Géometrie de Descartes y
los trabajos de Pascal. La
entrada matemática de Leibniz fue entonces impresionante,
ya que le llevó al descubrimiento del cálculo en
1675 y su elaboración y publicación en dos cortos
artículos del Acta Eruditorum después en 1684 y
1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo
sobre cálculo integral.
El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los
numerosos artículos que publicó en Acta y por sus
cartas
personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre
estos documentos
están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y
el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la
cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e
integral.
Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo
de Leibniz son las reglas para la manipulación de los
símbolos "
" y "d" de la integral y la
diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar
un lenguaje simbólico y operacional para representar los
conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los
razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos
y fórmulas. En matemáticas su cálculo es en
parte esto, un algoritmo para
escribir los métodos geométricos de cuadraturas y
tangentes por medio de símbolos y fórmulas. Las
otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son
la relación entre la sumas de sucesiones con
las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado
triángulo característico.
Leibniz pasó la mayor parte del resto de su vida
en Alemania, como
consejero del duque de Hannover. Aparte de la invención y
del desarrollo de su cálculo y en la solución de
problemas geométricos y de ecuaciones
diferenciales, Leibniz tiene otros trabajos en solvabilidad
de ecuaciones y determinantes y escribió y
contribuyó enormemente en prácticamente todos los
campos del conocimiento
humano, religión, política, historia,
física, mecánica, tecnología, lógica,
geología,
linguística e historia natural.
Aunque oscuros y difíciles de leer, los dos
artículos de Acta de Leibniz de 1684 y 1686 fueron leidos
por los hermanos Jakob y Johann Bernoulli.
Jakob Bernoulli era profesor de matemáticas en Basilea y
su hermano Johann, unos trece años más joven, le
sucedió después en 1705. Ambos entendieron
notablemente el simbolismo y los conceptos de Leibniz y
publicaron varios artículos en Acta a partir de 1690.
Después iniciaron una intensa y productiva correspondencia
con Leibniz, resolviendo en unos pocos años numerosos
problemas en los que el nuevo cálculo demostró toda
su fuerza, tales
como el la isócrona, la catenaria, la tractriz, la
isócrona paracéntrica o la braquistocrona.
LA
ANTIDERIVADA
Una forma de ver la operación inversa de la
derivación, clásicamente, se realiza de la
siguiente forma:
Encontrar la función f(x) de la cual derivada es
conocida.
Dada la diferencial de la función df(x) encontrar
la función f(x)
La función que se pide se le conoce como integral
de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para
encontrar la integral se le conoce como integración. Al
igual que el símbolo de derivada, el símbolo de
integración, cuyo operador nos indicara la
operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de
rasgos históricos hasta llegar a símbolo: 
Concretamente diremos que
Aunque esta relación no es del todo general es
correcta y nos será útil para incursionar el
análisis de este concepto.
Así por ejemplo podemos tener f1(x)=
3x y con ello f1´(x)dx=3dx por lo que
Pero podemos observar que si la función es
f2(x)= 3x+5= f1(x)+5 entonces
f2´(x)dx=3dx por lo que
Podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a
f1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial
por lo que una expresión más general a considerar
es la siguiente:
A la constante c que se agrega se le conoce como
constante de integración. A la expresión anterior
se le conoce como integral indefinida.
Retomemos el ejemplo:
Que sucede si aplicamos el operador de derivadas en
ambos miembros de la expresión:
Lo que hace pensar que al aplicar el operador de
derivada al operador de Integración obtenemos la
función a integrar. De forma más general
tendremos:
Como podemos observar el operador de derivada en un
operador inverso al de integración, hemos concluido esto
en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el
operador de integral antecede al símbolo de derivada la
expresión no siempre será cierta, y en ocasiones,
no siempre podremos obtener una solución.
Ejemplos:
1. 
2. 
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