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Medidas de dispersión (página 2)



Partes: 1, 2

El rango de la distribución de frecuencias se calcula
así:

R= (lim. Sup. de la clase n
– lim. Inf. De la clase 1)

= (93.910 – 7.420) =
86.49

  • Propiedades del Rango o
    Recorrido:
  • El recorrido es la medida de dispersión
    más sencilla de calcular e interpretar puesto que
    simplemente es la distancia entre los valores
    extremos (máximo y mínimo) en una
    distribución
  • Puesto que el recorrido se basa en los
    valores extremos éste tiende s ser
    errático. No es extraño que en una
    distribución de datos
    económicos o comerciales incluya a unos pocos valores
    en extremo pequeños o grandes. Cuando tal cosa sucede,
    entonces el recorrido solamente mide la dispersión con
    respecto a esos valores anormales, ignorando a los
    demás valores de la variable.
  • La principal desventaja del recorrido es que
    sólo esta influenciado por los valores extremos,,
    puesto que no cuenta con los demás valores de la
    variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de
    que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la
    dispersión.
  • En el control de
    la calidad se
    hace un uso extenso del recorrido cuando la
    distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando
    el ahorro del
    tiempo al
    hacer los cálculos es un factor de
    importancia.

1.2.-
LA VARIANZA (S2 ó δ2
):

La varianza es una medida de dispersión relativa
a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la
media aritmética de la distribución. Más
específicamente, la varianza es una medida de que tan
cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su
propia media aritmética. Cuando más lejos
están las Xi de su propia media
aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca
estén las Xi a su media menos es la varianza. Y
se define y expresa matemáticamente de la siguiente
manera:

La varianza para datos no
agrupados

Dado un conjunto de observaciones, tales como
X1, X2, … , Xn, la
varianza denotada usualmente por la letra minúscula
griega δ (sigma) elevada al cuadrado
(δ2)
y
en otros casos S2 según otros
analistas, se define como: el cuadrado
medio de las desviaciones con respecto a su media
aritmética"

Matemáticamente, se expresa como:

   

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes
universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 25, 27, y
34. Al calcular la media aritmética (promedio de las
edades, se obtuvo 25.4 años, encontrar la varianza de
las edades de estos estudiantes:

Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de
la siguiente manera:

 

Xi

 

( Xi –
)

( Xi –
)2

18

(18 – 25.5)=-7.4

(-7.4)2=54.76

23

(23 – 25.5)=-2.4

(-2.4)2=
5.76

25

(25 – 25.5)=-0.4

(-0.4)2=
0.16

27

(27 – 25.5)= 1.6

( 1.64)2=
2.16

34

(34 – 25.5)= 8.6

( 8.6)2
=73.96

Total

xxxx

137.20

Respuesta: la varianza de las edades es de 27.4
años

La varianza para datos
agrupados

Si en una tabla de distribución de frecuencias.
Los puntos medios de
las clases son X1, X2, … ,
Xn; y las frecuencias de las clases f1,
f2, … , fn; la varianza se calcula
así:

Σ(Xi-)2f1

δ2
= —————-

Σfi

Sin embargo la formula anterior tiene
algún inconveniente para su uso en la practica, sobre
todo cuando se trabaja con números decimales o cuando la
media aritmética es un número entero. Asimismo
cuando se trabaja con máquinas
calculadoras, La tarea de computar la varianza se simplifica
utilizando la formula de computación que se da a
continuación:

ΣXi2fi

[(ΣXifi)2/N]

δ2 =
—————————-

N donde
N=Σfi

Ejemplo:

Se tienen los datos de una muestra de 30
cuentas por
cobrar de la tienda Cabrera’s y
Asociados
dispuestos en una tabla de
distribución de frecuencias, a partir de los cuales se
deberá calcular la varianza, para lo cual se construye
la siguiente tabla estadística de trabajo, si se
calculó anteriormente la media aritmética y se
fijó en 43.458 (ver ejemplo del calculo en "media
aritmética para datos agrupados) de la siguiente
manera

 

clases

Punto
medios

Xi

fi

Xi2

Xifi

X2fi

7.420 – 21.835

14.628

10

213.978

146.280

2,139.780

21.835 – 36.250

29.043

4

843,496

116.172

3,373.984

36.250 – 50.665

43.458

5

1,888.598

217.270

9,442.990

50.665 – 65.080

57.873

3

3,349.284

173.619

10,047.852

65.080 – 79.495

72.288

3

5,225.555

216.864

15,676.665

79.495 – 93.910

86.703

5

7,533.025

433.965

37,665.125

Total

XXX

30

19,053.936

1,304.190

78,346.396


    = 21,649.344 / 30 = 721.645

    Respuesta: la varianza de las cuentas por
    cobrar es igual B/.721.645

    • Propiedades de la varianza :
    • s siempre un valor no
      negativo, que puede ser igual o distinta de 0. Será 0
      solamente cuando Xi=
    • La varianza es la medida de dispersión
      cuadrática optima por ser la menor de
      todas.
    • Si a todos los valores de la variable se le suma
      una constante la varianza no se modifica.
      Veámoslo:

    Si a xi le sumamos una constante xi’ = xi + k
    tendremos (sabiendo que )

    • Si todos los valores de la variable se multiplican
      por una constante la varianza queda multiplicada por el
      cuadrado de dicha constante. Veámoslo:

    Si a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que
    )

    • Si en una distribución obtenemos una serie
      de subconjuntos disjuntos, la varianza de la
      distribución inicial se relaciona con la varianza de
      cada uno de los subconjuntos mediante la
      expresión

    Siendo

    Ni è el nº
    de elementos del subconjunto (i)

    S2i è la
    varianza del subconjunto (i)

    1.3.- LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S
    ó δ)

    Es una medida de la cantidad típica en la
    que los valores del conjunto de datos difieren de la
    media.
    Es la medida de dispersión más
    utilizada, se le llama también desviación
    típica. La desviación estándar siempre se
    calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se
    estima con respecto a este valor.

    Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza,
    por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la
    desviación se le representa por la letra minúscula
    griega "sigma" ( δ ) ó por
    la letra S mayúscula, según otros
    analistas.

    Cálculo de la
    Desviación Estándar

    δ =
    √δ2 ó S =
    √S2

    Ejemplo:

    Del calculo de la varianza de las
    edades de cinco estudiantes universitarios de primer año
    se obtuvo δ2=27.44, como la desviación
    estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces
    δ = √27.44 = 5.29 años.

    Igual procedimiento
    se aplica para encontrar le desviación estándar
    de las cuentas por cobrar de la Tienda Cabrera’s y
    Asociados, recordemos que la varianza obtenida fue de 721.645,
    luego entonces la desviación estándar es igual a
    δ =√721.645 = 26.86 balboas.

    • Propiedades de la Desviación
      Estándar

    A su vez la desviación estándar,
    también tiene una serie de propiedades que se deducen
    fácilmente de las de la varianza (ya que la
    desviación típica es la raíz cuadrada
    positiva de la varianza):

    • La desviación estándar es siempre un
      valor no negativo S será siempre ³ 0 por definición. Cuando S = 0
      è X = xi (para todo
      i).
    • Es la medida de dispersión óptima por
      ser la más pequeña.
    • La desviación estándar toma en cuenta
      las desviaciones de todos los valores de la
      variable
    • Si a todos los valores de la variable se le suma
      una misma constante la desviación estándar no
      varía.
    • Si a todos los valores de la variable se
      multiplican por una misma constante, la desviación
      estándar queda multiplicada por el valor absoluto de
      dicha constante.

    1.4.- El Coeficiente de Variación de Pearson
    (C.V.)

    Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el
    sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de
    dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de
    tendencia central son representativas como síntesis
    de la información. Las medidas de
    dispersión cuantifican la separación, la
    dispersión, la variabilidad de los valores de la
    distribución respecto al valor central. Distinguimos entre
    medidas de dispersión absolutas, que no son comparables
    entre diferentes muestras y las relativas que nos
    permitirán comparar varias muestras.

    El problema de las medidas de dispersión
    absolutas es que normalmente son un indicador que nos da problemas a la
    hora de comparar. Comparar muestras de variables que
    entre sí no tienen cantidades en las mismas unidades, de
    ahí que en ocasiones se recurra a medidas de
    dispersión relativas.

    Un problema que se plantea, tanto la varianza como la
    desviación estándar, especialmente a efectos de
    comparaciones entre distribuciones, es el de la dependencia
    respecto a las unidades de medida de la variable. Cuando se
    quiere comparar el grado de dispersión de dos
    distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que
    las medias no son iguales se utiliza el llamado
    "Coeficiente de Variación de Pearson", del
    que se demuestra que nos da un número independiente de las
    unidades de medidas empleadas, por lo que entre dos
    distribuciones dadas diremos que posee menor dispersión
    aquella cuyo coeficiente de variación sea menor., y que
    se define como la relación por cociente entre la
    desviación estándar y la media aritmética; o
    en otras palabras es la desviación estándar
    expresada como porcentaje de la media
    aritmética.

    Definición del Coeficiente
    de Variación

    Donde: C.V. representa el
    número de veces que la desviación típica
    contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto
    mayor es CV mayor es la dispersión y menor la
    representatividad de la media.

    • Propiedades del Coeficiente de Variación
      :
    • Si a todos los valores de la variable se le suma
      una misma constante el coeficiente de variación queda
      alterado .

    Ejemplo:

    Suponga que Usted trabaja en una
    compañía de ventas, que
    ofrece como premio de incentivo al mejor vendedor del trimestre
    anterior las entradas al palco empresarial en la serie final de
    béisbol de las grandes ligas en los Estados Unidos
    (E,E,U,A,).

    De los registros de
    ventas se tienen los siguientes datos de ventas, expresados en
    porcentajes de cumplimiento de las metas fijadas
    mensualmente:

    Vendedor A 95 105 100

    Vendedor B 100 90 110

    El promedio trimestral de cumplimiento de las metas de
    ventas de ambos vendedores es igual y equivale al 100%, pero
    Ud. Sólo le puede dar el premio de incentivo a uno de
    ellos. ¿Cuál usted escogería?. ¿En
    base a que criterio’. Explique.

    Este problema se resuelve utilizando el coeficiente de
    variación, para estos efectos es necesario encontrar la
    desviación estándar trimestral de las ventas de
    cada uno de la siguiente manera:

    Vendedor A

    Xi

    ( Xi –
     )

    ( Xi –

    )2

    95

    95 – 100 = -5

    (-5)2 = 25

    105

    105 – 100 = 5

    ( 5)2 = 25

    100

    100 – 100 = 0

    ( 0)2 = 0

    Total

    XXX

    50

    La desviación estándar es
    δ=√(50/3) = √16.667 = 4.08, luego entonces el
    coeficiente de variación es igual a:

    δ 4.08

    C.VA= ——— =
    ———– = 0.0408

     100

    Vendedor B

    Xi

    ( Xi –
     )

    ( Xi –

    )2

    100

    100 – 100 = 0

    ( 0 )2 = 0

    90

    90 – 100 = -10

    (-10)2 =
    100

    110

    110 – 100 = 10

    ( 10)2 =
    100

    Total

    XXX

    200

    La desviación estándar es
    δ=√(200/3) = √66.667 = 8.16, luego entonces
    el coeficiente de variación es igual a:

    Respuesta: Dado que el vendedor A tiene menor
    coeficiente de variación, A él le corresponde
    recibir el premio de incentivo.

    LABORATORIO

    (Resolver y entregar en grupos de tres
    estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

    Problema #1:Datos no agrupados

    Calcule el rango, la varianza y la desviación
    estándar de las observaciones que se presentan a
    continuación.

    63 45 39 55 69 21 50 25 33 25

    Problema #2:

    Un profesor hace
    un examen a tres estudiantes y las puntuaciones resultantes
    (Xi) son: 73, 75 y 77.

    1. Hallar la media, la varianza y la desviación
      estándar de esta población de valores
    2. En la clase hacia un calor
      terrible, y hubo alarma por la amenaza de incendio durante el
      examen. El profesor quisiera aumentar las puntuaciones para
      tener en cuenta estas condiciones desafortunadas de
      ambientación. Un primer aumento suma 10 puntos a cada
      puntuación. Sea Yi = Xi+10.
      Halle ,
      δ2 y
      δ.
    3. Un segundo aumento incrementa cada puntuación
      en un 10%. Sea Pi =1.1(Xi). Halle
      ,
      δ2 y
      δ.
    4. El último aumento es una combinación de
      los dos primeros. Est es, cada puntuación se incrementa
      en un 10% y luego se suman 10 puntos más. Sea
      Zi = 1.1(Xi)+10. Halle .
      δ2 y
      δ..

    Problema #3:Datos Agrupados

    La distribución de frecuencias que se presenta a
    continuación muestra el tiempo que se necesita para
    envolver 130 paquetes que fueron enviados por correo en
    Macondo.

    Calcule el rango, la varianza y la desviación
    estándar de la siguiente distribución de
    frecuencias de los datos:

    Tiempo

    (en
    minutos)

    No.de
    paquetes

    envueltos

    0.5 a menos de 1.0

    6

    1.0 a menos de 1.5

    12

    1.5 a menos de 2.0

    30

    2.0 a menos de 2.5

    42

    2.5 a menos de 3.0

    28

    3.0 a menos de 3.5

    12

    Total

    130

    Problema #4:Coeficiente de
    Variación

    Los datos a continuación describen las
    distribuciones de puntuaciones en determinados grupos
    ocupacionales sometidos a la prueba general de clasificaciones
    del ejercito durante el último año.

    Ocupaciones

    N

    S

    Rango

    Contador

    172

    128.1

    11.7

    94-157

    Abogado

    94

    127.1

    10.9

    96-157

    Periodista

    45

    124.5

    11.7

    100-157

    Vendedor

    492

    109.2

    16.3

    42-149

    Plomero

    128

    102.7

    16.0

    56-139

    Camionero

    817

    96.2

    19.7

    16-149

    Campesino

    817

    91.4

    20.7

    24-141

    Carpintero

    77

    89.0

    19.6

    45-145

    Compare los resultados obtenidos para cada grupo
    ocupacional utilizando el coeficiente de variación y el
    rango o recorrido. Comente los resultados.

    Problema #5: Coeficiente de
    Variación

    La tabla a continuación indica los salarios
    básicos por hora (en unidades monetarias) en abril 200X
    para ciertas categorías ocupacionales de obreros
    sindicalizados en cierto sector de la construcción. Determine cuál es la
    ocupación en la que existe la mayor variación en
    los salarios básicos y cuál es la que muestra la
    menor variación. Para hacer estas comparaciones
    deberá utilizar el coeficiente de
    variación.

    Salarios básicos por hora,
    según tipo de trabajo y lugares
    encuestados

    Ocupación

    A

    B

    C

    D

    Albañiles

    6.290

    7.375

    5.750

    7.500

    Carpinteros

    5.900

    7.020

    5.370

    6.660

    Electricistas

    7.500

    7.600

    6.700

    7.335

    Pintores

    7.170

    6.735

    4.750

    6.110

    Enyesadotes

    5.920

    7.045

    5.940

    6.825

    Plomeros

    8.000

    4.450

    6.250

    7.080

    Ayudantes

    4.020

    4.780

    3.180

    4.700

     

    Francisco Antonio Cabrera
    González

    f_cabrera51[arroba]hotmail.com

    Graduado en mayo de 1980 de Economista-Organizador de la
    Producción Agrícola y Master en
    Ciencias
    Económicas en la Academia Agrícola K. A. Timiriazev
    de Moscú –Rusia.

    Profesor de la Universidad de
    Panamá
    desde 1981. Ha ejercido la docencia
    universitaria en los Centros Regionales de Azuero
    (Chitré), Los Santos, Veraguas, Coclé y San
    Miguelito. Catedratico (Profesor Regular) desde 1991 del
    Departamento de Estadística Económica y Social de
    la Facultad de Economía.

    En su vida universitaria, como docente, ha sido
    representante de los profesores del CRU-Azuero (Chitré)
    ante el Consejo General Universitario -CGU (1990-1992),
    Vicepresidente de la Asociación de Profesores de la
    Universidad de Panamá –APUDEP (1991-1993),
    Presidente de la APUDEP (1993-1995), Director del Centro Regional
    Universitario de San Miguelito –CRUSAM (1995-2000) y en la
    actualidad es docente investigador de la Universidad de
    Panamá.

    UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

    CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN
    MIGUELITO

    FACULTAD DE ECONOMÍA

    DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ECONÓMICO Y
    SOCIAL

    Curso: Est.115 : "Estadística Económica
    I".

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