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Medidas de dispersión (página 2)




Partes: 1, 2

El rango de la distribución de frecuencias se calcula así:

R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1)

= (93.910 – 7.420) = 86.49

  • Propiedades del Rango o Recorrido:
  • El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar puesto que simplemente es la distancia entre los valores extremos (máximo y mínimo) en una distribución
  • Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos éste tiende s ser errático. No es extraño que en una distribución de datos económicos o comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o grandes. Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión con respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás valores de la variable.
  • La principal desventaja del recorrido es que sólo esta influenciado por los valores extremos,, puesto que no cuenta con los demás valores de la variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión.
  • En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido cuando la distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un factor de importancia.

1.2.- LA VARIANZA (S2 ó δ2 ):

La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética, mayor es la varianza; cuando más cerca estén las Xi a su media menos es la varianza. Y se define y expresa matemáticamente de la siguiente manera:

La varianza para datos no agrupados

Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma) elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética"

Matemáticamente, se expresa como:

   

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 25, 27, y 34. Al calcular la media aritmética (promedio de las edades, se obtuvo 25.4 años, encontrar la varianza de las edades de estos estudiantes:

Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:

 

Xi

 

( Xi - )

( Xi - )2

18

(18 – 25.5)=-7.4

(-7.4)2=54.76

23

(23 – 25.5)=-2.4

(-2.4)2= 5.76

25

(25 – 25.5)=-0.4

(-0.4)2= 0.16

27

(27 – 25.5)= 1.6

( 1.64)2= 2.16

34

(34 – 25.5)= 8.6

( 8.6)2 =73.96

Total

xxxx

137.20

Respuesta: la varianza de las edades es de 27.4 años

La varianza para datos agrupados

Si en una tabla de distribución de frecuencias. Los puntos medios de las clases son X1, X2, … , Xn; y las frecuencias de las clases f1, f2, … , fn; la varianza se calcula así:

Σ(Xi-)2f1

δ2 = ----------------

Σfi

Sin embargo la formula anterior tiene algún inconveniente para su uso en la practica, sobre todo cuando se trabaja con números decimales o cuando la media aritmética es un número entero. Asimismo cuando se trabaja con máquinas calculadoras, La tarea de computar la varianza se simplifica utilizando la formula de computación que se da a continuación:

ΣXi2fi - [(ΣXifi)2/N]

δ2 = ----------------------------

N donde N=Σfi

Ejemplo:

Se tienen los datos de una muestra de 30 cuentas por cobrar de la tienda Cabrera’s y Asociados dispuestos en una tabla de distribución de frecuencias, a partir de los cuales se deberá calcular la varianza, para lo cual se construye la siguiente tabla estadística de trabajo, si se calculó anteriormente la media aritmética y se fijó en 43.458 (ver ejemplo del calculo en "media aritmética para datos agrupados) de la siguiente manera

 

clases

Punto medios

Xi

fi

Xi2

Xifi

X2fi

7.420 – 21.835

14.628

10

213.978

146.280

2,139.780

21.835 – 36.250

29.043

4

843,496

116.172

3,373.984

36.250 – 50.665

43.458

5

1,888.598

217.270

9,442.990

50.665 – 65.080

57.873

3

3,349.284

173.619

10,047.852

65.080 – 79.495

72.288

3

5,225.555

216.864

15,676.665

79.495 – 93.910

86.703

5

7,533.025

433.965

37,665.125

Total

XXX

30

19,053.936

1,304.190

78,346.396


    = 21,649.344 / 30 = 721.645

    Respuesta: la varianza de las cuentas por cobrar es igual B/.721.645

    • Propiedades de la varianza :
    • s siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando Xi=
    • La varianza es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la menor de todas.
    • Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la varianza no se modifica. Veámoslo:

    Si a xi le sumamos una constante xi’ = xi + k tendremos (sabiendo que )

    • Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante. Veámoslo:

    Si a xi’ = xi · k tendremos (sabiendo que )

    • Si en una distribución obtenemos una serie de subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se relaciona con la varianza de cada uno de los subconjuntos mediante la expresión

    Siendo

    Ni è el nº de elementos del subconjunto (i)

    S2i è la varianza del subconjunto (i)

    1.3.- LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S ó δ)

    Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se estima con respecto a este valor.

    Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega "sigma" ( δ ) ó por la letra S mayúscula, según otros analistas.

    Cálculo de la Desviación Estándar

    δ = √δ2 ó S = √S2

    Ejemplo:

    Del calculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de primer año se obtuvo δ2=27.44, como la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √27.44 = 5.29 años.

    Igual procedimiento se aplica para encontrar le desviación estándar de las cuentas por cobrar de la Tienda Cabrera’s y Asociados, recordemos que la varianza obtenida fue de 721.645, luego entonces la desviación estándar es igual a δ =√721.645 = 26.86 balboas.

    • Propiedades de la Desviación Estándar

    A su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

    • La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será siempre ³ 0 por definición. Cuando S = 0 è X = xi (para todo i).
    • Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.
    • La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable
    • Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía.
    • Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.

    1.4.- El Coeficiente de Variación de Pearson (C.V.)

    Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

    El problema de las medidas de dispersión absolutas es que normalmente son un indicador que nos da problemas a la hora de comparar. Comparar muestras de variables que entre sí no tienen cantidades en las mismas unidades, de ahí que en ocasiones se recurra a medidas de dispersión relativas.

    Un problema que se plantea, tanto la varianza como la desviación estándar, especialmente a efectos de comparaciones entre distribuciones, es el de la dependencia respecto a las unidades de medida de la variable. Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el llamado "Coeficiente de Variación de Pearson", del que se demuestra que nos da un número independiente de las unidades de medidas empleadas, por lo que entre dos distribuciones dadas diremos que posee menor dispersión aquella cuyo coeficiente de variación sea menor., y que se define como la relación por cociente entre la desviación estándar y la media aritmética; o en otras palabras es la desviación estándar expresada como porcentaje de la media aritmética.

    Definición del Coeficiente de Variación

    Donde: C.V. representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media.

    • Propiedades del Coeficiente de Variación :
    • Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante el coeficiente de variación queda alterado .

    Ejemplo:

    Suponga que Usted trabaja en una compañía de ventas, que ofrece como premio de incentivo al mejor vendedor del trimestre anterior las entradas al palco empresarial en la serie final de béisbol de las grandes ligas en los Estados Unidos (E,E,U,A,).

    De los registros de ventas se tienen los siguientes datos de ventas, expresados en porcentajes de cumplimiento de las metas fijadas mensualmente:

    Vendedor A 95 105 100

    Vendedor B 100 90 110

    El promedio trimestral de cumplimiento de las metas de ventas de ambos vendedores es igual y equivale al 100%, pero Ud. Sólo le puede dar el premio de incentivo a uno de ellos. ¿Cuál usted escogería?. ¿En base a que criterio’. Explique.

    Este problema se resuelve utilizando el coeficiente de variación, para estos efectos es necesario encontrar la desviación estándar trimestral de las ventas de cada uno de la siguiente manera:

    Vendedor A

    Xi

    ( Xi -  )

    ( Xi -  )2

    95

    95 – 100 = -5

    (-5)2 = 25

    105

    105 – 100 = 5

    ( 5)2 = 25

    100

    100 – 100 = 0

    ( 0)2 = 0

    Total

    XXX

    50

    La desviación estándar es δ=√(50/3) = √16.667 = 4.08, luego entonces el coeficiente de variación es igual a:

    δ 4.08

    C.VA= --------- = ----------- = 0.0408

     100

    Vendedor B

    Xi

    ( Xi -  )

    ( Xi -  )2

    100

    100 – 100 = 0

    ( 0 )2 = 0

    90

    90 – 100 = -10

    (-10)2 = 100

    110

    110 – 100 = 10

    ( 10)2 = 100

    Total

    XXX

    200

    La desviación estándar es δ=√(200/3) = √66.667 = 8.16, luego entonces el coeficiente de variación es igual a:

    Respuesta: Dado que el vendedor A tiene menor coeficiente de variación, A él le corresponde recibir el premio de incentivo.

    LABORATORIO

    (Resolver y entregar en grupos de tres estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

    Problema #1:Datos no agrupados

    Calcule el rango, la varianza y la desviación estándar de las observaciones que se presentan a continuación.

    63 45 39 55 69 21 50 25 33 25

    Problema #2:

    Un profesor hace un examen a tres estudiantes y las puntuaciones resultantes (Xi) son: 73, 75 y 77.

    1. Hallar la media, la varianza y la desviación estándar de esta población de valores
    2. En la clase hacia un calor terrible, y hubo alarma por la amenaza de incendio durante el examen. El profesor quisiera aumentar las puntuaciones para tener en cuenta estas condiciones desafortunadas de ambientación. Un primer aumento suma 10 puntos a cada puntuación. Sea Yi = Xi+10. Halle , δ2 y δ.
    3. Un segundo aumento incrementa cada puntuación en un 10%. Sea Pi =1.1(Xi). Halle , δ2 y δ.
    4. El último aumento es una combinación de los dos primeros. Est es, cada puntuación se incrementa en un 10% y luego se suman 10 puntos más. Sea Zi = 1.1(Xi)+10. Halle . δ2 y δ..

    Problema #3:Datos Agrupados

    La distribución de frecuencias que se presenta a continuación muestra el tiempo que se necesita para envolver 130 paquetes que fueron enviados por correo en Macondo.

    Calcule el rango, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución de frecuencias de los datos:

    Tiempo

    (en minutos)

    No.de paquetes

    envueltos

    0.5 a menos de 1.0

    6

    1.0 a menos de 1.5

    12

    1.5 a menos de 2.0

    30

    2.0 a menos de 2.5

    42

    2.5 a menos de 3.0

    28

    3.0 a menos de 3.5

    12

    Total

    130

    Problema #4:Coeficiente de Variación

    Los datos a continuación describen las distribuciones de puntuaciones en determinados grupos ocupacionales sometidos a la prueba general de clasificaciones del ejercito durante el último año.

    Ocupaciones

    N

    S

    Rango

    Contador

    172

    128.1

    11.7

    94-157

    Abogado

    94

    127.1

    10.9

    96-157

    Periodista

    45

    124.5

    11.7

    100-157

    Vendedor

    492

    109.2

    16.3

    42-149

    Plomero

    128

    102.7

    16.0

    56-139

    Camionero

    817

    96.2

    19.7

    16-149

    Campesino

    817

    91.4

    20.7

    24-141

    Carpintero

    77

    89.0

    19.6

    45-145

    Compare los resultados obtenidos para cada grupo ocupacional utilizando el coeficiente de variación y el rango o recorrido. Comente los resultados.

    Problema #5: Coeficiente de Variación

    La tabla a continuación indica los salarios básicos por hora (en unidades monetarias) en abril 200X para ciertas categorías ocupacionales de obreros sindicalizados en cierto sector de la construcción. Determine cuál es la ocupación en la que existe la mayor variación en los salarios básicos y cuál es la que muestra la menor variación. Para hacer estas comparaciones deberá utilizar el coeficiente de variación.

    Salarios básicos por hora, según tipo de trabajo y lugares encuestados

    Ocupación

    A

    B

    C

    D

    Albañiles

    6.290

    7.375

    5.750

    7.500

    Carpinteros

    5.900

    7.020

    5.370

    6.660

    Electricistas

    7.500

    7.600

    6.700

    7.335

    Pintores

    7.170

    6.735

    4.750

    6.110

    Enyesadotes

    5.920

    7.045

    5.940

    6.825

    Plomeros

    8.000

    4.450

    6.250

    7.080

    Ayudantes

    4.020

    4.780

    3.180

    4.700

     

    Francisco Antonio Cabrera González

    f_cabrera51[arroba]hotmail.com

    Graduado en mayo de 1980 de Economista-Organizador de la Producción Agrícola y Master en Ciencias Económicas en la Academia Agrícola K. A. Timiriazev de Moscú –Rusia.

    Profesor de la Universidad de Panamá desde 1981. Ha ejercido la docencia universitaria en los Centros Regionales de Azuero (Chitré), Los Santos, Veraguas, Coclé y San Miguelito. Catedratico (Profesor Regular) desde 1991 del Departamento de Estadística Económica y Social de la Facultad de Economía.

    En su vida universitaria, como docente, ha sido representante de los profesores del CRU-Azuero (Chitré) ante el Consejo General Universitario -CGU (1990-1992), Vicepresidente de la Asociación de Profesores de la Universidad de Panamá –APUDEP (1991-1993), Presidente de la APUDEP (1993-1995), Director del Centro Regional Universitario de San Miguelito –CRUSAM (1995-2000) y en la actualidad es docente investigador de la Universidad de Panamá.

    UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

    CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN MIGUELITO

    FACULTAD DE ECONOMÍA

    DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ECONÓMICO Y SOCIAL

    Curso: Est.115 : "Estadística Económica I".


    Partes: 1, 2


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