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Un sistema dinámico para calcular raíces cuadradas



Partes: 1, 2

    1. Cálculo manual de
      raíz de dos
    2. Cálculo de
      Ö 2 con
      computadora
    3. Bibliografía

    INTRODUCCIÓN

    No hace mucho tiempo, era
    una "tortura china"
    calcular la raíz cuadrada de un número en forma
    manual, como
    se hacía en la escuela primaria
    y los primeros grados de secundaria. Y qué decir del
    algoritmo para
    obtener la raíz cúbica. Eran pocos los estudiantes
    que lograban dominar este algoritmo muy dispendioso y
    "difícil" para un chico adolescente. La regla de
    cálculo
    para estudiantes de ciencias e
    ingeniería, quienes la sabían
    utilizar bien, proporcionaba una forma de resolver raíces
    de una manera aproximada, pero no con muchos dígitos
    significativos. La redención para los estudiantes que no
    pudieron dominar estos algoritmos fue
    la calculadora electrónica que apareció en los
    primeros años de la década del setenta en Colombia.
    La computadora
    personal
    aún no había irrumpido en los medios
    estudiantiles y por tanto era una herramienta que tan solo se
    encontraba en algunas universidades y empresas con
    buena solvencia económica.

    CÁLCULO MANUAL DE RAÍZ DE
    DOS

    El algoritmo que permite calcular en cada paso un nuevo
    dígito de la raíz cuadrada de un número a
    través de un tanteo no era del todo sencillo, como ya se
    dijo antes. El siguiente es un ejemplo en el que se calcula la
    raíz cuadrada del número entero 2 con cinco
    decimales.

    Figura 1. Cálculo de
    Ö 2 en forma manual con cinco
    cifras decimales.

    Se mostrará enseguida un algoritmo alternativo
    para el cálculo de raíces cuadradas, que ilustra la
    sencillez, la elegancia y la potencia de los
    métodos
    basados en sistemas dinámicos.

    Si se quiere calcular la raíz cuadrada de un
    número n, para ello se parte de una
    estimación inicial xo. Si se
    llama ε al error
    cometido, se tiene:

    (xo +
    ε)2 =
    xo2 + 2 xo
    ε + ε 2
    = n

    de forma que suponiendo xo ¹ 0, se tiene:

    ε =
    n/2xo –
    xo/2 – ε
    2/2xo

    Si esta estimación inicial es suficientemente
    buena, se puede suponer que, ε
    2/2xo

    es mucho menor que
    ε, de modo que:

    ε » n/2xo –
    xo/2

    con lo que es natural tomar como nueva
    aproximación:

    x1 = xo +
    n/2xo – xo/2 = n/2xo +
    xo/2

    y en general:

     (k = 0, 1, 2, 3, …)

    Basándose en consideraciones matemáticas que por ahora no se justifican,
    es posible probar que este sencillo algoritmo converge, siempre
    que se verifique la condición:

    xo2 >
    n/3

    Partes: 1, 2

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