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Un sistema dinámico para calcular raíces cuadradas




Partes: 1, 2

  1. Cálculo manual de raíz de dos
  2. Cálculo de Ö 2 con computadora
  3. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

No hace mucho tiempo, era una "tortura china" calcular la raíz cuadrada de un número en forma manual, como se hacía en la escuela primaria y los primeros grados de secundaria. Y qué decir del algoritmo para obtener la raíz cúbica. Eran pocos los estudiantes que lograban dominar este algoritmo muy dispendioso y "difícil" para un chico adolescente. La regla de cálculo para estudiantes de ciencias e ingeniería, quienes la sabían utilizar bien, proporcionaba una forma de resolver raíces de una manera aproximada, pero no con muchos dígitos significativos. La redención para los estudiantes que no pudieron dominar estos algoritmos fue la calculadora electrónica que apareció en los primeros años de la década del setenta en Colombia. La computadora personal aún no había irrumpido en los medios estudiantiles y por tanto era una herramienta que tan solo se encontraba en algunas universidades y empresas con buena solvencia económica.

CÁLCULO MANUAL DE RAÍZ DE DOS

El algoritmo que permite calcular en cada paso un nuevo dígito de la raíz cuadrada de un número a través de un tanteo no era del todo sencillo, como ya se dijo antes. El siguiente es un ejemplo en el que se calcula la raíz cuadrada del número entero 2 con cinco decimales.

Figura 1. Cálculo de Ö 2 en forma manual con cinco cifras decimales.

Se mostrará enseguida un algoritmo alternativo para el cálculo de raíces cuadradas, que ilustra la sencillez, la elegancia y la potencia de los métodos basados en sistemas dinámicos.

Si se quiere calcular la raíz cuadrada de un número n, para ello se parte de una estimación inicial xo. Si se llama ε al error cometido, se tiene:

(xo + ε)2 = xo2 + 2 xo ε + ε 2 = n

de forma que suponiendo xo ¹ 0, se tiene:

ε = n/2xo – xo/2 – ε 2/2xo

Si esta estimación inicial es suficientemente buena, se puede suponer que, ε 2/2xo es mucho menor que ε, de modo que:

ε » n/2xo – xo/2

con lo que es natural tomar como nueva aproximación:

x1 = xo + n/2xo – xo/2 = n/2xo + xo/2

y en general:

 (k = 0, 1, 2, 3, ...)

Basándose en consideraciones matemáticas que por ahora no se justifican, es posible probar que este sencillo algoritmo converge, siempre que se verifique la condición:

xo2 > n/3


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