INTRODUCCIÓN
No hace mucho tiempo, era
una "tortura china"
calcular la raíz cuadrada de un número en forma
manual, como
se hacía en la escuela primaria
y los primeros grados de secundaria. Y qué decir del
algoritmo para
obtener la raíz cúbica. Eran pocos los estudiantes
que lograban dominar este algoritmo muy dispendioso y
"difícil" para un chico adolescente. La regla de
cálculo para estudiantes de ciencias e
ingeniería, quienes la sabían
utilizar bien, proporcionaba una forma de resolver raíces
de una manera aproximada, pero no con muchos dígitos
significativos. La redención para los estudiantes que no
pudieron dominar estos algoritmos fue
la calculadora electrónica que apareció en los
primeros años de la década del setenta en Colombia.
La computadora
personal
aún no había irrumpido en los medios
estudiantiles y por tanto era una herramienta que tan solo se
encontraba en algunas universidades y empresas con
buena solvencia económica.
CÁLCULO MANUAL DE RAÍZ DE
DOS
El algoritmo que permite calcular en cada paso un nuevo
dígito de la raíz cuadrada de un número a
través de un tanteo no era del todo sencillo, como ya se
dijo antes. El siguiente es un ejemplo en el que se calcula la
raíz cuadrada del número entero 2 con cinco
decimales.
Figura 1. Cálculo de
Ö 2 en forma manual con cinco
cifras decimales.
Se mostrará enseguida un algoritmo alternativo
para el cálculo de raíces cuadradas, que ilustra la
sencillez, la elegancia y la potencia de los
métodos
basados en sistemas dinámicos.
Si se quiere calcular la raíz cuadrada de un
número n, para ello se parte de una
estimación inicial xo. Si se
llama ε al error
cometido, se tiene:
(xo +
ε)2 =
xo2 + 2 xo
ε + ε 2
= n
de forma que suponiendo xo ¹ 0, se tiene:
ε =
n/2xo –
xo/2 – ε
2/2xo
Si esta estimación inicial es suficientemente
buena, se puede suponer que, ε
2/2xo
es mucho menor que
ε, de modo que:
ε » n/2xo –
xo/2
con lo que es natural tomar como nueva
aproximación:
x1 = xo +
n/2xo – xo/2 = n/2xo +
xo/2
y en general:
(k = 0, 1, 2, 3, …)
Basándose en consideraciones matemáticas que por ahora no se justifican,
es posible probar que este sencillo algoritmo converge, siempre
que se verifique la condición:
xo2 >
n/3
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