Un sistema dinámico para calcular raíces cuadradas (página 2)

Partes: 1, 2

En particular, una elección a la vez natural y
sencilla para esta aproximación de partida es tomar
xo igual al menor natural tal que
xo2 > n, o dicho de otra forma,
tomar para xo la aproximación entera por
exceso de Ö n. En este
caso, se tiene xo2 > n > n/3,
y el algoritmo
siempre converge. Pero, no sólo converge, sino que
además lo hace de forma extremadamente rápida. Por
ejemplo, si se aplica este algoritmo al cálculo de
Ö 2, tomando como
aproximación inicial xo = 2, se
obtiene:

Tabla 1. Cinco iteraciones del
cálculo de la raíz cuadrada de 2 usando
calculadora

iteración	xk+1	xk	n/2xk	xk/2	n/2xk + xk/2
1	2.5	2	0.5	1	2.5
2	1.65	2.5	0.4	1.25	1.65
3	1.4310606	1.65	0.60606060	0.825	1.4310606
4	1.414312727	1.4310606	0.698782427	0.7155303	1.414312727
5	1.414213565	1.414312727	0.707057202	0.707156363	1.414213565 *

donde todas las cifras anotadas con rojo en cada
aproximación, son cifras exactas de Ö 2. A la quinta iteración se
han obtenido más de 9 dígitos exactos, cuando el
algoritmo clásico hubiera dado sólo cinco, como
puede verse en la tabla 1. ¡La eficacia de este
algoritmo resulta verdaderamente impresionante! En
términos de la teoría de
sistemas dinámicos se debe a que Ö 2 es un punto fijo
superatractivo (atractor), para el sistema
dinámico:

xk+1 = n/2xk
+ xk/2

Ojalá lo hubiéramos sabido antes para
sustituir el viejo método por
éste, pues demuestra ser muy útil, aún
teniendo calculadora, ya que ésta no nos proporciona
más de 12 cifras significativas o menos y hace que la
convergencia sea más lenta por los errores de redondeo o
truncamiento cometidos

CÁLCULO DE Ö 2 CON COMPUTADORA

Se sabe que Ö 2
es un número irracional, pero si se desea ver expresado
con mil dígitos significativos (o más), para
observar que no existe una secuencia o período que se
repita (como es el caso de los números racionales), se
puede utilizar un pequeño programa MATLAB
para corroborarlo.

¿Será que Ö 3 es igualmente
superatractivo (o que Ö
3 es un atractor)? Usted mismo puede verificarlo,
mirando el grado de convergencia, con el programa
raices.m

El lector puede tratar también de repetir el
razonamiento (si es posible), para obtener la raíz
cúbica de un número entero positivo (o racional
positivo) de una manera fácil y eficiente e implementar el
algoritmo en MATLAB y ver si se comporta como un atractor,
como es el caso de Ö 2
(dado que sea posible).

El siguiente archivo MATLAB
denominado raices.m permite calcular la raíz
de un número racional positivo con las iteraciones
deseadas y el número de dígitos significativos
deseados:

%este programa calcula la raiz cuadrada
de un numero racional positivo

clc;

disp(' ');

format long;

n=input(' ENTRE EL NUMERO "n" A CALCULAR
LA RAIZ CUADRADA: ');

disp(' ');

it=input(' ¿CUANTAS ITERACIONES
DESEA REALIZAR? ');

disp(' ');

dig=input(' ¿CON CUANTOS DIGITOS
DESEA EXPRESAR LA RAIZ? ');

x0=round(sqrt(n));

xk=x0;xk1=0;

for i=1:it

xk1=n/(2*xk) + xk/2;

xk=xk1;

end

vpa(xk,dig)

El siguiente es el número Ö 2 con 1,000 dígitos
significativos (por razones de espacio no se anotan más).
Ahora, se va a utilizar el algoritmo anterior para ver
cuántos dígitos significativos se obtienen en cada
iteración:

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847

Utilizando el computador y
el pequeño programa en MATLAB, se obtiene la siguiente
secuencia:

Con una iteración un dígito
significativo:

1.5000000000000000000000000000000000000000000000000

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

Con dos iteraciones se obtienen tres dígitos
significativos:

1.4166666666666666666666666666666666666666666666667

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

Con tres iteraciones, se obtienen 6 dígitos
significativos:

1.4142156862745098039215686274509803921568627450980

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

Con cuatro iteraciones, se obtienen 12 dígitos
significativos:

1.41421356237468986982719343359349295496940612792968750000000000000000000000000000000000

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038

Con cinco iteraciones, se obtienen más de
20000 dígitos significativos (hasta donde se hicieron
estos cálculos y hasta donde permitió la
máquina!). Por razones de espacio solamente se escriben
a continuación, mil dígitos de
√2.

ES INCREÍBLE, QUE CON TAN POCAS ITERACIONES SE
TENGAN TANTOS DÍGITOS SIGNIFICATIVOS!

*********************

El lector puede utilizar este mismo programa
(raices.m) en MATLAB, para realizar el mismo
procedimiento
con √3 y comprobar si √3 converge más o menos
rápido que √2 (es decir, si es más o menos
superatractivo que √2 o si simplemente no es
atractor).

Calcular √2 con más de 20,000
dígitos significativos manualmente, seguro nos
llevaría toda una vida, pero con este sencillo algoritmo
en cinco iteraciones permite calcular decenas de miles de
dígitos significativos en muy poco tiempo,
utilizando el computador y MATLAB.

En el Espacio de Trabajo de
MATLAB, el programa se ejecuta de la siguiente manera:

>> raices [intro]

ENTRE EL NUMERO "n" A CALCULAR LA RAIZ CUADRADA:
2 [Intro]

¿CUANTAS ITERACIONES DESEA REALIZAR? 5
[Intro]

¿CON CUANTOS DIGITOS DESEA EXPRESAR LA RAIZ?
100 [Intro]

ans =

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573

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Por:

MsC. Héctor José Pabón
Ángel

Profesor Titular de la Facultad de
Ingeniería

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA, COLOMBIA

Partes: 1, 2

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