Descomposición LU y Métodos de Gauss-Seidel

2. Objetivo
   general
3. Objetivos
   específicos
4. Descomposición
   LU
5. Pasos para encontrar la matriz
   triangular superior (matriz [U])
6. Pasos para
   encontrar la matriz triangular inferior (matriz
   [L])
7. Método de
   Gauss-Seidel
8. Ejemplo del
   Método de Gauss-Seidel
9. Conclusión
10. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

En el presente documento se explican detalladamente dos
importantes temas:

1. Descomposición LU.

2. Método de
Gauss-Seidel.

Se trata de dos importantes herramientas
que sirven para encontrar soluciones de
sistemas de
ecuaciones.

A lo largo de las páginas de este trabajo se
presenta un marco
teórico que introduce a cada tema, al tiempo que se
muestran en total cuatro ejercicios resueltos con explicaciones
detalladas sobre cada proceso
realizado.

Además de las explicaciones, se muestran
continuamente imágenes y
matrices que
permiten comprender con toda claridad cada uno de los procesos que
se van siguiendo en el análisis de cada paso realizado.

Las explicaciones son detalladas y tienen el fin de
permitir al lector comprender cada tema aun cuando sea primera
vez que lo estudie.

Normalmente estos temas tienen procesos largos y por
ello son ideales para programar por computadora y
no solamente para hacerlos sobre el papel. Programar estos temas
permite incluso obtener una mejor comprensión de la
teoría
aquí presentada.

OBJETIVO
GENERAL

• Comprender las diferentes formas de solucionar
  sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos
  de descomposición LU y Gauss-Seidel.

OBJETIVOS
ESPECÍFICOS

• Proporcionar al estudiante una idea clara y
  comprensible de los métodos de descomposición LU
  y Gauss-Seidel.
• Mostrar cómo aplicar los métodos
  mencionados para facilitar la solución de sistemas de
  ecuaciones, y poder
  así programar dichos métodos en la
  computadora.

DESCOMPOSICIÓN
LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y
"Upper", que en español se
traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que
se sigue en la descomposición LU es posible comprender el
por qué de este nombre, analizando cómo una
matriz
original se descompone en dos matrices triangulares, una superior
y otra inferior.

La descomposición LU involucra solo operaciones sobre
los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio
eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de
álgebra
lineal.

Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz
[U].

[L] es una matriz diagonal inferior con números 1
sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que
sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber
números 1.

El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y
[U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la
matriz triangular superior [U].

PASOS PARA
ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ
[U])

1. Hacer cero todos los valores
   abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor
   el cual es necesario para convertir a cero los valores
   abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea
   convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego
   por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se
   encuentra en la posición a cambiar (el valor en la
   posición que se convertirá en cero). Esto
   es:

– factor * pivote + posición
a cambiar