Material de apoyo a la docencia: estudio didáctico de la relación de la Matemática de los griegos en el proyecto escolar (Cuba) (página 2)
El material condensa los resultados investigados del
levantamiento de varias informaciones y detalla los comentarios
que se consideran irrefutables en su enfoque cultural; por esta
razón el lector puede profundizar, según sus
intereses, siguiendo la bibliografía que se plantea
al finalizar el
trabajo.
El Período Jónico posibilitará el
encuentro de usos ingeniosos para tratar dentro del trabajo con
variables, la
forma en que se resolvieron problemas de
formulaciones como la obtención del cuadrado de una suma o
una diferencia de dos segmentos, el fundamento del enunciado del
teorema demostrado por la escuela de
Pitágoras a partir de lo anterior y que permite una
vía más en la cual no hay necesidad de utilizar las
relaciones de igualdad de
triángulos que planteara siglos
después Euclides de Alejandría y que aparece
reflejada en la edición
de Matemática de séptimo grado para la
demostración de dicho teorema; además es
aconsejable familiarizar a los alumnos con la formación de
las ternas pitagóricas de las escuelas
mesopotámica, pitagórica y platónica y
valorar la inteligencia
desarrollada por todos estos matemáticos para solucionar
todos los problemas en los cuales hay sorprendentes resultados
como los que son detallados en la geometría de Tales, la teoría
de los números pares e impares de los pitagóricos,
la esencia inicial del mínimo común
múltiplo, su ideología compenetrada con la
armonía de los números naturales y su creencia a la
no existencia de otros números no medibles con la unidad
que detallan los inicios de los enfrentamientos en los
fundamentos de la Matemática.
Es difícil abordar en nuestra escuela el
planteamiento de los tres problemas clásicos dados en esta
etapa, pero conocerlos por los maestros es un paso de avance
hacia la comprensión de las relaciones de la
Matemática y la Filosofía y la
estructuración dialéctica hacia su análisis lógico.
Si se tiene en cuenta que en el noveno grado de nuestra
escuela el alumno debe recibir como contenidos los relativos a la
semejanza de figuras cuya esencia cardinal está orientada
por el
conocimiento de proporcionalidad, entonces se hace importante
el estudio de la obra de Tales y también valorar
cómo utilizando este recurso resolvían los griegos
problemas relativos a la determinación de la
solución de ecuaciones del
tipo a.b = c.x donde a, b y c eran cantidades conocidas y x la
incógnita, pero que permiten mostrar cómo eran
resueltas las ecuaciones lineales a.x = b si se tiene en
consideración que c = 1 en este caso.
Para el maestro ya está dada en este momento la
situación asociada a la concepción
ideológica dentro de la Matemática a partir del
pensamiento
filosófico jónico en sus inicios y su
contraposición a los procedimientos
que fueron empleados por los pitagóricos al renunciar al
criterio de la práctica en el campo de esta ciencia y que
se enraiza posteriormente en la obra de Platón
y su continua crítica
a las formulaciones atomistas de Demócrito.
El Período Ateniense debe centrar su atención en las concepciones que tienen sus
puntos iniciales en la desintegración de la sociedad de
los pitagóricos y la creación de los fundamentos de
los irracionales a partir de los segmentos inconmensurables; en
este sentido debe destacarse la tarea desarrollada por los
principales exponentes de este subdominio que pudo resolver
sólo parcialmente la situación dada, pero que si se
condensa a los planteamientos anteriores de los
pitagóricos encuentran en la clase una
salida positiva que es viable en la conducción del
proceso de
enseñanza.
Desde el punto de vista ideológico se debe
valorar la actitud de
Platón
para la ciencia y
en especial para el futuro de la Matemática como ciencia,
pues su concepción filosófica idealista
encontró y aún encuentra seguidores que se abren
paso haciendo escuelas y enfrentando sus doctrinas
dogmáticas a los fundamentos de las escuelas marxistas de
vanguardia.
Al tratar los números irracionales puede hacerse
mención a la manera con la cual los griegos de esta etapa
mostraron la "creación de la construcción de los números
inconmensurables" para lo cual se puede hacer uso de la
formulación geométrico-aritmética de Teodoro
de Cirene.
El período más rico de la creación
matemática de los griegos, es sin dudas, el Período
Alejandrino o Helenístico, los nombres de Euclides,
Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo,
Herón y Diofantos deben significar los resultados de esta
ciencia en su paso a la perfección constante del tiempo y de
los hombres.
En Euclides lo más significativo se relaciona con
los contenidos geométricos del curso, pues como
sistematizador de la ciencia tuvo un destacado papel que lo
convierte en un representante necesario en la Matemática,
sus trabajos deben estar en la preparación
metodológica cuando de explicar la demostración de
la no existencia de número racional cuyo cuadrado sea
igual a 2 lo cual podrá tomarse para hablar del conocido
método de
extracción alterna que emplearan los antiguos para arribar
a la conclusión de la existencia de
irracionalidades.
Cuando se enfoque lo relativo a la determinación
del valor
de
puede darse una
explicación ilustrativa de cómo la humanidad a
través de tantos años conquistó los
resultados tan expresivos de dicha relación dado el objeto
donde surgió, Arquímedes es uno de los
representantes primeros de esta creación a la cual se
pueden aliar los elementos del hombre
físico, pero también patriota y resaltar sus
habilidades científicas para dar a su método de
pensamiento heurístico connotación
universal.
Para todo profesor
resulta agradable relacionarse con aquellos elementos
estructurales de la formación de la Matemática y
por lo tanto el estudio de los trabajos de Apolonio, Ptolomeo,
Herón y Diofantos resultan muy necesarios, sobre todo si
se tiene en cuenta lo notable para la cultura
general del educador.
En el pensamiento matemático de Herón y
sus trabajos hay una abundante carga de conocimientos
políticos para enfrentar al esclavismo como
sistema brutal de
explotación, pero también se puede remarcar en esto
la esencia del porqué algunos hombres, pocos en este
momento, se podían dedicar a las ciencias.
Siempre que se habla de Grecia y del
desarrollo de
la Matemática aparecen los criterios de algunos
investigadores de la Matemática de denominar a este
último momento de la formación económica
esclavista como Período de la Decadencia lo cual no es
aceptado desde una concepción abierta hacia el materialismo ?
dialéctico, pues ello no reconocería el papel
preponderante de los trabajos de personajes célebres como
Theón, Pappus, e Hipatya le brindaron la oportunidad al
mundo moderno de conocer, tras sus hermosos comentarios, la
maravillosa creación aritmética, geométrica,
algebraica y astronómica que fueron enriquecidas desde que
los hilos dejados por los egipcios y mesopotámicos, como
tesoros de la cultura de la humanidad, fuesen continuados por los
pueblos asentados en los territorios ocupados por los
griegos.
INTRODUCCIÓN
La Matemática es la disciplina
escolar que más horas ocupa en el trabajo de
formación intelectual de los estudiantes y por esta
razón conduce a veces a la reiteración de hechos
que hacen de las actividades de los alumnos procesos
mecánicos al no interiorizar los procedimientos de
solución de forma consciente y segura.
Lo que a nuestro modo de analizar una determinada
situación resulta elemental puede ser tan abstracto para
los escolares que la atención en la tarea se desvía
producto de
la
motivación para la actividad; cuya orientación
para la acción
no ha sido pensada con un fundamento psico – pedagógico
adecuado por el maestro.
No sólo el dominio del
contenido por parte del docente, ni los años de
experiencia impartiendo clases de Matemática a determinado
nivel son suficientes para lograr una concentración
eficiente en la tarea prevista para cada complejo de materia que se
presente; en auxilio de la información científica siempre es
importante la ayuda del conjunto de recursos
didáctico – pedagógicos que partiendo de los
propósitos de nuestra labor se utilizan, con una
efectividad correcta y que responden a los conocidos métodos,
medios y
procedimientos que apoyan tanto a las funciones
didácticas de la clase como a las situaciones
típicas de la enseñanza de la
Matemática.
Contribuye a la cultura general del estudiante y
desarrolla ciertos valores
humanos, el conocimiento
de la historia de la
humanidad y como parte inherente de ella lo que se refiere a las
ciencias, luego no se debe renunciar a este elemento tan
significativo de la docencia y
ello obliga al maestro a convertirse en un estudioso del origen,
formación y desarrollo de la materia que explica a sus
alumnos.
¿Dónde dejamos el importante pedazo de la
historia de las ciencias en que nos sorprende el universo
matemático de egipcios antiguos, de mesopotámicos,
griegos y tantas otras civilizaciones que dejaron una profunda e
incuestionable huella en la cultura humana?
El uso de manera frecuente de los recursos
didácticos, con elementos historiográficos, en las
clases de Matemática puede contribuir a despertar en los
alumnos el interés
por la lectura y
moverlos hacia la investigación, conducirlos a valorar dando
más importancia a todas aquellas cosas que aparecen como
métodos y fundamentos del desarrollo histórico –
científico de la humanidad y que repercuten en la
asimilación de sus propios conocimientos.
Sustituciones sencillas y comprensibles que faciliten el
camino hacia el dominio del contenido son fuentes de
valor inigualable cuando de enseñar a trabajar en
Matemática se trata, por ello se hace necesario acudir de
forma casi cotidiana al uso de materiales que
refuercen los objetivos
instructivos de la clase: retrotransparencias, comentarios de
libros y
películas que reflejen cuestiones interesantes de la
historia de las civilizaciones así como el
magnífico recurso que hoy da la computación educacional al desarrollo
intelectual del hombre.
La valoración de lo ya planteado permite la
presentación de las siguientes interrogantes:
¿Cómo puede combinar de modo activo y
creador el docente, la función
instructiva de la clase con los recursos de la
historiografía para desarrollar en sus alumnos, desde una
posición materialista, la concepción
científica del mundo?
¿Cómo puede auxiliar la Historia de la
Matemática el tratamiento de conceptos y definiciones,
así como de teoremas y sus demostraciones, desde una
posición didácticamente viva para el
alumno?
En el marco en que se dan todas estas situaciones se
producen los motivos que nos han conducido a " brindar a los
docentes un
material de apoyo a la docencia relacionado con el origen,
desarrollo y evolución de los principales complejos de
materia que estas presentes en la Matemática de nuestra
escuela secundaria con la vigencia del acontecer de la Grecia
Antigua y la presencia de sus principales exponentes
".
Todo esto lo hemos podido considerar desde el
análisis realizado a los planes de estudios de las
carreras pedagógicas que tienen perfil matemático ?
Profesoral Superior, Profesoral de Secundaria Superior (de
Matemática ) y Licenciatura en Educación de las
variantes A, B, C y C modificado ? de cuyo estudio hemos evaluado
el nivel de preparación de nuestros profesionales en
relación con los conocimientos de la Historia de la
Matemática.
El conocimiento de la Historia de la Matemática
posibilita el desarrollo técnico- metodológico para
lograr con su mayor efectividad el proceso de enseñanza a
la vez que permite la elevación del nivel
científico – cultural de los colectivos
escolares.
Se sabe que la situación académica actual
de los alumnos obliga a todos los colectivos de maestros a hacer
un análisis pedagógico de la motivación, con el propósito de
describir el proceso de enseñanza – aprendizaje como
actividad dialéctica, como proceso que tiene sus fines
bien definidos y que deja en el alumno una huella donde se
aprecian no sólo valores
académicos sino también de respeto a los
hombres, con una cultura tal que les permita vivir en sociedad,
reconociendo que cada generación ha dado su aporte al
desarrollo de la civilización humana y que por ello merece
una alta estimación, seguros de que en
tales circunstancias el conocimiento de la historia de la ciencia
es un elemento dinámico en manos de un buen
profesor.
Por sus valores heurísticos, la historia nos
brinda un panorama general de las direcciones principales de
investigación en diferentes momentos, bajo determinadas
condiciones de carácter socio – económico relativas
al propio desarrollo lógico de conceptos y teorías. La metodología nos posibilita tomar conciencia sobre
el método dialéctico de formación y
fundamentación del conocimiento matemático: la
historia y metodología de la Matemática nos ayudan
a introducirnos en el laboratorio de
la creación científica y en la lucha de ideas
dentro del proceso de investigación.
Por su valor comunicativo, el conocimiento de la
Historia de la Matemática nos brinda un lenguaje
común para todos, un vínculo y un modo fácil
de intercambio de ideas, además, desde el punto de vista
pedagógico, a través de las referencias
históricas, en la introducción de un nuevo concepto o
teoría, tanto en la enseñanza media como en la
superior, podemos activar el proceso del pensamiento y convertir
la clase en una verdadera "fiesta intelectual".
Por su valor educativo, la Historia de la
Matemática pone ante nuestros ojos ejemplos ilustrativos
de la vida intelectual de los grandes matemáticos lo cual
no sólo posee un inmenso valor heurístico, como
antes señalamos, sino es un magnífico recurso para
la
educación integral: en los ejemplos del pasado se
educa a la juventud en el
arte del
descubrimiento, pero también en el espíritu de
sacrificio y de consagración a la ciencia, de la honradez
y la modestia, de los valores
morales necesarios de todo el acontecer
científico.
No se está brindando una formación
integral desde la enseñanza de la Matemática si
sólo le presentamos a los educandos sus bellos teoremas
expuestos por los eminentes hombres de la historia como
sorprendentes y acabados resultados – ¡ qué
realmente lo son! – sin exponer los fallidos intentos, las
diferentes variantes experimentales y las motivaciones de cada
investigador. ¡Cuánto valor heurístico y
educativo se oculta en el análisis de la forma de trabajo
de nuestros antiguos investigadores!
En resumen, la Historia de la Matemática apoyada
en unos profundos conocimientos metodológicos debe ser un
ingrediente fundamental de todos los cursos: al nivel de la
enseñanza general porque ayuda a la motivación del escolar medio – superior,
pues evita la enajenación que los enfoques
contemporáneos más abstractos y formales ofrecen y
humaniza el proceso de enseñanza – aprendizaje de la
Matemática, dándole a la fría osamenta de
las estructuras y
teoremas, la sangre vital y
los canales comunicativos que necesita la clase para su real
activación.
Como se ha de suponer todo esto nos obligó a
ejecutar un número importante de tareas que pudieran
posibilitarnos el cumplimiento de nuestro
propósito:
- Hacer un levantamiento bibliográfico para
comprobar si existen trabajos en esta dirección en nuestro ISP y territorio con
la óptica del auxilio para el
maestro. - Realizar un estudio de los programas de la
secundaria básica cubana, identificando desde él
las invariantes más significativas. - Constatar la situación del personal
docente en relación con el uso de medios de
enseñanza en las clases a partir de la concepción
de los sistemas de
clases. - Valorar la utilización de los recursos
históricos de la Matemática para presentar
contenidos de esta asignatura y responder a la actividad de
formación de valores. - Fichar información actualizada sobre la
Matemática en la Grecia Antigua. - Solicitar criterios a profesores de experiencia sobre
la utilización e importancia de los recursos
históricos en la clase de Matemática. - Redactar el material.
CAPÍTULO
1
La parte teórica de las Matemáticas tiene sus orígenes en
las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia
antigua. La contribución de estas escuelas al desarrollo
de la ciencia es tan significativa que incluso en nuestra
época "las ciencias
naturales teóricas, si quieren seguir la historia del
surgimiento y desarrollo de sus tesis
generales actuales, están obligadas a dirigirse a los
griegos"[1;51p]
No es asombroso que en la Matemática los griegos
vieran, no sólo un medio práctico útil, sino
ante todo, la expresión de la profunda esencia del mundo,
algo relacionado con la verdad y la naturaleza de
las cosas. En el contexto de concepciones antropomórficas
y mitológicas donde lo real estaba muy cerca de lo
fantástico, ella aparece como un conocimiento de una
naturaleza completamente distinta, cuya veracidad no
promovía ninguna duda, cuyos hechos primarios eran claros
y las conclusiones eran irrevocables, absolutas.
Así se mistificó la Matemática,
haciendo de ellas el punto de partida para todas las reflexiones
en la descripción de la realidad.
Con las características del pitagorismo y el
atomismo matemático se comienza el análisis del
surgimiento y desarrollo de las principales crisis en los
fundamentos de la Matemática; la crisis en estos, dentro
del período de su formación como ciencia ligada al
descubrimiento de los "inconmensurables", produjo constantes
reflexiones entre los matemáticos y filósofos sobre los principios
teóricos del conocimiento matemático. Para salvar
estas contradicciones, bien apuntadas por Zenón y
más tarde por Aristóteles, entre otros, los
matemáticos del mundo antiguo se negaron a la
utilización en la Matemática de la idea de infinito
y de movimiento o
tratar de utilizar tales ideas en un mínimo. Así
surgen las matemáticas de las magnitudes constantes que
con la obra de Euclides reciben un impulso considerable el cual
se va a concretar con su influencia en toda la Matemática
hasta la aparición de la Geometría
Analítica Cartesiana y más tarde con la
Geometría no – euclidiana. En los
"Elementos" de Euclides, la crisis en los fundamentos de la
matemática se supera, pero sólo, por supuesto,
desde el punto de vista del mundo antiguo, pues ni en todos sus
aspectos ni de una forma precisa se resuelven todas las
contradicciones, como el mismo Euclides tuvo que
reconocer.
La exigencia objetiva del tratamiento riguroso del
"arte" del pensamiento matemático impuso a los
matemáticos de la Antigua Grecia, la realización de
un análisis del conglomerado de hechos matemáticos
acumulados. Este análisis permitiría:
– Encontrar las más simples y usadas concepciones
matemáticas, las cuales juegan en el arte del pensamiento
matemático el mismo papel que las categorías
más simples de la gramática en el discurso
humano.
– Clasificar, organizar y unificar estos "elementos" del
pensamiento matemático.
– Formular, explícita, sucesiva y
unívocamente, las reglas típicas de constitución de estos "elementos" en
concepciones matemáticas más complejas.
Así, al comienzo, la forma deductiva de la
organización de los resultados matemáticos no
tenía como objetivo la
absoluta fundamentación de la matemática ni el
descubrimiento de nuevos hechos, lo principal era permitir el
efectivo estudio del arte de operar con las concepciones
matemáticas ya descubiertas, y la sistematización
de los resultados encontrados: el canon de los fundamentos de la
matemática aparece en las etapas del desarrollo de esta
ciencia vinculada a las diferentes revoluciones o crisis que se
produjeron al entrar en contradicción el caudal de
conocimientos acumulados con las nuevas exigencias de la
práctica social.
En fin de cuentas, lo que
interesa actualmente, tanto para la formación de
investigadores como de profesores de Matemática, es
encontrar los recursos didácticos conducentes a una
educación activa y que brinden amplias perspectivas al
futuro profesional de esta asignatura, en tales condiciones el
enfoque histórico – metodológico emerge como un
recurso insoslayable.
Las matemáticas constituyen una de las formas
más abstractas de la creación intelectual, sin
embargo, están íntimamente asociadas al lenguaje y
a la escritura de
los hombres y forman parte de sus interrogantes prácticas
o teóricas, es decir, de la historia de sus
culturas.
En el desarrollo de estas se destacaron los egipcios,
mesopotámicos y griegos. Los dos primeros eran expertos en
métodos prácticos y ya habían acumulado una
gran riqueza de resultados geométricos y
aritméticos antes que los primeros viajeros griegos
trabaran conocimientos con las matemáticas. Las antiguas
civilizaciones no cedieron sus secretos maravillosos, ni
descubrieron su naturaleza interna hasta que su visión
imaginativa se percató de ello.
Desde los siglos VIII y VII a.n.e se desarrolla en
Grecia la sociedad esclavista antigua. Esto trajo consigo una
agudización de la explotación. Los esclavos,
catalogados como herramientas
parlantes o animales,
constituyeron entonces la base de partes esenciales de la
producción. En Atenas, de 320 000
habitantes solamente 172 000 eran jurídicamente libres, de
estos, aproximadamente una tercera parte estaba en
posesión de la ciudadanía ateniense que le permitiera
participar en la vida política. La
agudización de la explotación ofrecía a un
determinado número de personas, naturalmente esclavista,
la posibilidad de separarse del proceso de producción
directo y dedicarse al arte, la cultura, la filosofía y la
ciencia.
Dos sistemas de
numeración emplearon los griegos; uno, probablemente
el más antiguo de los dos, constaba de signos
especiales, la mayoría de los cuales eran las iniciales de
los nombres de los números, el otro estaba formado por las
letras del alfabeto y unos cuantos símbolos más; se dividía en
tres grupos:
Téngase presente que los griegos no cultivaron la
noción del "cero". La geometría fue el primer
cuerpo de doctrina científica que ellos separaron de la
filosofía.
Acerca de las causas de la transformación de las
matemáticas en una ciencia existen varias hipótesis. Al parecer, no hay dudas que las
primeras teorías surgen en la Antigua Grecia,
aproximadamente en el siglo VII a.n.e. Se diferencian cuatro
períodos en lo que se refiere a método, contenido y
alcance.
PERÍODO
JÓNICO
Un primer período, temprano o de
preparación, se denominó por su estrecha
relación con los naturalistas jonios, Período
Jónico, y se remonta desde las postrimerías del
siglo VII a.n.e hasta mediados del siglo V a.n.e.
Los pobladores de la zona Egea, que abarcaba desde el
Ática a Quíos y Samos, y la vecina costa de
Asia Menor, se
convirtieron en los griegos jonios ( anexo ? 1 y 2 ). La Grecia
Jónica constituyó la principal creadora de la
cultura helénica.
En esta época se forma en las ciudades – estado
jónico – griegas una atmósfera intelectual
favorable para el surgimiento del pensamiento científico.
Así lograron los griegos el mérito de desarrollar
partiendo de una matemática surgida casi
empíricamente y practicada a modo de recetas, una ciencia
matemática sistemática, independiente y expuesta de
forma lógico – deductiva, con métodos y objetivos
específicos.
Los institutos griegos de " enseñanza superior ",
en el ambiente de la
intelectualidad de las ciudades jónicas, se convirtieron
simplemente en grupos de personas que se agruparían para
discutir asuntos filosóficos o charlar acerca de temas
interesantes.
Los conocimientos matemáticos en este
período estaban totalmente incluidos en la
filosofía. Se introducen demostraciones de teoremas sobre
la base de la acumulación y el conocimiento de las
relaciones matemáticas. El tesoro de sus experiencias, que
en parte pudo tomarse de Mesopotamia y
Egipto,
adquirió entonces una estructura
lógica,
y se llevó a la clara diferenciación conceptual de
los términos premisa, teorema y demostración:
había nacido la Matemática.
Sobre la base de una posición materialista –
espontánea y dialéctica en la búsqueda de
las causas los filósofos de esta época consumaron
el tránsito de la clasificación y
acumulación de fenómenos naturales hacia el intento
de comprensión y explicación de la naturaleza. En
esta filosofía se trataba del comienzo de una nueva etapa
en la que a la pregunta sobre el origen del mundo se le trata de
dar una respuesta sin misticismo, producto del intento de no
sólo describir el mundo sino también de
explicarlo.
La ciudad de Mileto, por los contactos que tenía
con el interior de Asia Menor, se convirtió en centro de
distribución de productos
comerciales. En ella actuaban los filósofos naturalistas
jónicos más notables, entre ellos Tales de Mileto,
Anaximandro y Anaxímenes. También pertenecen a este
período Demócrito de Abdera e Hipócrates de
Quíos. Por otra parte, se fundó en Italia
Meridional, la escuela pitagórica, bajo la
dirección de Pitágoras. Sus seguidores brindaron
notables aportes al desarrollo de la Matemática. Al final
de esta etapa se destacó Arquitas, poderoso señor
de la ciudad de Tarento ( anexo ? 1 y 2 ).
Entre los primeros viajeros griegos se encontraba Tales,
de la ciudad de Mileto (640-550 a.n.e). Fue el primero de los
filósofos de la naturaleza que conoció bien los
datos
compilados de los babilonios. Como muchos comerciantes de su
tiempo, se retiró pronto de los negocios, pero
diferenciándose de otros, dedicó su ocio a la
filosofía y a las matemáticas. Comprendió lo
que había visto en sus viajes,
particularmente en sus relaciones con los sacerdotes de Egipto,
fue uno de los siete sabios de Grecia y el primero en poner de
relieve el
verdadero significado del saber científico egipcio.
Según dicen introdujo en el mundo griego la
geometría tomada de Egipto. Se le han atribuido las
proposiciones:
- Todo diámetro biseca al
círculo. - El ángulo inscrito en un semicírculo es
recto - Los ángulos de la base de un triángulo
isósceles son iguales. - Los lados correspondientes a ángulos iguales
en triángulos semejantes son proporcionales.
Además, los teoremas de igualdad de los
ángulos opuestos por el vértice y el de la
congruencia de los triángulos que tienen respectivamente
iguales un lado y los ángulos adyacentes a
él.
Aunque simples, estas proposiciones marcan una
época y elevan los infinitos detalles de la medición egipcia a verdades
generales.
En esta "Geometría de Tales" también
tenemos el origen del álgebra;
así el teorema de que el diámetro biseca al
círculo, constituye una verdadera ecuación y en su
experiencia para determinar la altura de la gran pirámide
comparando su sombra con la de una vara vertical, se aprecia la
noción de razones iguales o proporciones, a él se
debe la idea de abstraer todo volumen y
extensión superficial de una figura material y
considerarla un modelo de
línea. Indicó la importancia del lugar
geométrico o curva trazada por un punto que se mueve
según una ley definida; se
conoce como el padre de la matemática, la astronomía y la filosofía griegas,
combinó una perspicacia práctica con la
sabiduría auténtica, pues sustentó la
existencia de lo abstracto y más general lo cual para
él era más valioso para un estudio profundo que lo
intuitivo o sensible. Lo anterior le es atribuible como
filósofo.
Los inicios de la matemática griega se
caracterizaron por una mezcla particular de los razonamientos e
ideas aritméticas y geométricas, que corresponden
más bien a nuestra actual estructuración de la
Matemática que a las circunstancias históricas en
que la geometría y la aritmética o el
álgebra se tratan por separado.
La tradición aritmético – algebraica
mesopotámica se hace particularmente evidente en la
escuela pitagórica, (Samos) donde se brindó un
notable aporte al desarrollo de la Matemática. El efecto
social de las enseñanzas pitagóricas fue una clase
dirigente nueva, cuyos miembros eran seleccionados según
la educación, pero que poseían, la mayoría,
los atributos del sacerdocio. Contribuyó de gran manera al
progreso de la noción racional del universo.
Las fuentes para el estudio del pitagorismo son escasas
pues Pitágoras (569 ? 500), más que una escuela
libre, como eran las de todos los filósofos griegos,
fundó un misterio con pruebas,
iniciaciones, lenguajes simbólicos y obediencias
exageradas a la palabra del maestro, en la asociación
pitagórica entre los amigos se observaba una completa
fidelidad, era condición esencial de la escuela la
incomunicabilidad del pensamiento, se sabe que Aristóteles
escribió varios libros sobre el pitagorismo, pero estos no
han llegado hasta nosotros, y hoy todas las fuentes antiguas para
el conocimiento de tan importante escuela filosófica se
reducen a lo recopilado por Stobeo, un compilador griego de la
época, que ha conservado los fragmentos de Arquitas y los
de Filolao, pero ninguno fue discípulo directo de
Pitágoras, y en Arquitas, uno de los más
próximos al tiempo en que floreció el
filósofo de Crotona, se ve clara y palpable la influencia
socrática de donde se piensa que lo enseñado como
doctrina de Pitágoras tal vez no sea más que una
evolución o transformación del verdadero
pitagorismo.
En la actualidad se conoce que la doctrina de
Pitágoras es principalmente matemática, que surge
de la consideración de los números y las figuras,
el número es la unión de lo uno y lo vario, o de lo
par y de lo impar, a su vez los cuerpos sólidos se
componen de superficies y líneas y estas de un determinado
número de puntos que son simples y semejantes a las
unidades aritméticas. El pitagorismo coloca la unidad,
consecuencia necesaria de sus deducciones matemáticas, por
encima de todo lo que es, como principio y como elemento; esto
pasó de Platón a los filósofos alejandrinos
y aún en la Edad Media se
hallan vestigios de él.
Encontramos el uso de la media aritmética
,
geométrica 
y armónica 
.
Se conocía el trío de soluciones a
la ecuación de las variables a, b y c que tiene la
forma:
a2+b2=c2, donde
los valores de
a, b, c se determinan por las expresiones:
a=u2-v2 ; b=2uv y
c=u2+v2 , donde u y v son dos
números enteros, con u mayor que v; esta fórmula da
solamente la llamada serie primitiva, ( aportada por los
estudiosos de Mesopotamia) en la que a, b y c no tienen
ningún factor común.
Los pitagóricos encontraron el método de
hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números
pitagóricos que tienen la forma:
a=
b= m
c=
, donde
m es un número impar.
Posteriormente Platón daría a conocer una
nueva serie con la siguiente forma:
a=
b = n
c = 
,
donde n es un número par.
De época relativamente temprana data la llamada
"Teoría del par o impar"; esta apareció
posteriormente en el libro IX de
los Elementos de Euclides.
Allí se demuestran teoremas tales
como:
"Toda suma de números pares es
par"
"La suma de una cantidad par (impar) de
números impares es par (impar)"
"Un número impar que divide a un número
par divide también a sus mitades". [2;32p]
El punto culminante de la teoría
pitagórica del "par" o "impar" es el teorema que plantea
que los números de la forma: 2n
(1+2+22+… +2n) son perfectos si la
expresión del paréntesis es un número primo
– un número "a" es perfecto si es igual a la suma de sus
divisores incluyendo al 1, pero no a sí mismo -. Los
pitagóricos daban como ejemplos: 1, 6, 28, 496 y
8128.
Posteriormente aparece la teoría de las razones
numéricas y la de la divisibilidad, estas partes se
incluyeron en el libro VII de los Elementos del griego Euclides,
siglos después.
Se halló un equivalente para las fracciones,
precisamente el de las razones numéricas: en lugar de
simplificar una fracción se "simplificaban" razones
numéricas. La acción de igualar los denominadores
condujo lógicamente al estudio del mínimo
común múltiplo de los números. La
teoría de las proporciones, de los números
naturales, se basaba en la siguiente definición: "Los
números se encuentran en proporciones, si el primero es
del segundo múltiplo o la misma parte o el mismo conjunto
de partes como el tercero es del cuarto".[2;32p]
La teoría de la divisibilidad se basaba en las
siguientes definiciones:
"Número primo es un número que
solamente puede medirse por la unidad".
"Primos entre sí, son los números que
solamente pueden medirse por la unidad como medida
común".[2;32p]
En lugar de la formulación más abstracta
de un teorema (actualmente usual y posible) sobre la unicidad de
la descomposición en factores primos, aparece el teorema
siguiente (que presta igual servicio desde
el punto de vista de la técnica de la
demostración): "Si un número primo divide al
producto de dos números, entonces divide a uno de estos
números"[2;32p]. Este teorema se demuestra mediante el
empleo del
concepto "máximo común divisor".
Las noticias o
informaciones sobre la geometría pitagórica
temprana son bastante inseguras. Es posible que Pitágoras
haya conocido el núcleo del llamado teorema de
Pitágoras en Babilonia; de él o de sus alumnos
podría provenir una demostración.
Una forma en que aparece demostrado el teorema parte del
análisis geométrico a partir de la relación
de áreas y del método de anexión, conocido
ya, y es la siguiente:
Sobre un cuadrado ABCD (fig – 1) de lado AB = a + b se
sitúan sobre uno de ellos los segmentos a y b y sobre el
consecutivo b y a en ese orden y se trazan los segmentos que
determinan sobre el cuadrilátero dos rectángulos y
dos cuadrados, es decir, el área de esta figura se ha
dividido en forma tal que se corresponde con la conocida
expresión del Período Jónico: "(a +
b)2 =a2+ 2ab + b2"; luego se
toma el mismo cuadrado (fig – 2) y sobre este se sitúan a
partir de un vértice y de forma consecutiva los segmentos
a y b determinando sobre cada uno de los lados un punto que al
unirse forman un cuadrilátero para el cual es fácil
demostrar que es un cuadrado, o sea el área del cuadrado
es igual, si llamamos c al lado de este cuadradillo incluido, a
la expresión matemática: 
de ello se establece, en nuestra
notación, la siguiente igualdad:
de donde
resulta la relación pitagórica formulada en el
teorema.
La escuela pitagórica
formuló este teorema, el cual plantea: (fig-3) "En todo
triángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto a
un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, más
(menos) , el doble producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él"[3;326p] es
decir:
a2 = b2 +
c2 + 2bpc (b2 = a2 +
c2 – 2apc)
fig – 3
También fue encontrado un
enunciado análogo al teorema de Pitágoras, nombrado
Teorema de la Geometría del Espacio (fig-4) el cual
plantea que: la diagonal d de un paralelepípedo recto
de lados a, b, c cumple:
a2+b2+c2=d2
[3;326p]
fig – 4
De esta época debe datar también la
demostración actualmente utilizada del teorema sobre la
suma de los ángulos interiores de un triángulo
(fig-5), mediante el empleo del concepto ángulo
alterno.
SeaABD y se traza por A la paralela AE a
BD. Puesto que BD y CE son paralelas y los ángulos
alternos son iguales, 
CAB= 
ABD, y
EAD= ADB. Entonces: CAB + BAE =
1800
CAB+BAD+DAE =
CAB+BAE
Luego, BAD+ADB+DBA =
180O.
fig – 5
Los pitagóricos de la primera época
conocían ya el hexaedro regular, el tetraedro y el
dodecaedro. De este último es asombroso el conocimiento
que poseían.
Arquitas de Tarento que se encontraba muy cerca de los
pitagóricos y era señor de esta ciudad – estado del
sur de Italia, encontró tiempo para participar activamente
en la vida pública de su ciudad y fue conocido por su
ilustrada actitud en el tratamiento de los esclavos y en la
educación de los niños.
Mediante su obra Platón se familiarizó con la
Matemática. Con Arquitas, quien rindió por
sí mismo notables aportes a la Matemática,
especialmente a la teoría de la divisibilidad y al
problema que se reducía a encontrar la posición de
cierto punto en el espacio, llegó la fase más
importante de la asociación de los
pitagóricos.
En estrecha relación con su obra se da el hecho
de que en aquel momento se formó, como elemento unificador
de la asociación pitagórica un tipo de
ideología orientada por la Matemática, según
la cual la interpretación del mundo como un todo y
particularmente, esta ciencia, podía basarse en los
números enteros y las razones de estos: a lo cual
denominaron "arithmetica universalis".
Dentro de la escuela pitagórica, aunque no
posterior al 420 a.n.e se descubrió que existen segmentos
no medibles recíprocamente (inconmensurables), cuyas
longitudes no pueden expresarse mediante la razón de
números enteros (utilizando una expresión moderna:
existen números irracionales) . Este descubrimiento
incompatible con la idea de una "arithmetica universalis",
contribuyó, entre otros aspectos de orden social, a la
destrucción de la asociación de los
pitagóricos.
Es casi seguro que el
pentágono regular es la figura matemática en la
cual se puede demostrar relativamente fácil la
inconmensurabilidad (fig-6), precisamente con el antiguo
método de "extracción alterna ".
fig – 6
Las diagonales de un pentágono regular forman
nuevamente un pentágono regular y así
sucesivamente, entonces se cumplen en los pentágonos
surgidos mediante el encaje, las relaciones AE'=AB' y B'D=B'E' y
por eso AD-AE=B'E y análogamente AE=ED'=EA' y B'E'=B'D=B'E
y resulta AE-B'E'=B'A' y así sucesivamente, sin que se
llegue al final: la diferencia entre la diagonal y el lado del
pentágono mayor es igual a la diagonal del
pentágono menor, la diferencia entre el lado del
pentágono mayor y la diagonal del pentágono menor
es igual al lado del pentágono menor; la diferencia entre
la diagonal del pentágono menor y su lado es a su vez
igual a la diagonal del pentágono menor inmediato, y
así hasta el infinito. [2;34p] El proceso de
extracción alterna puede continuarse, y por eso no puede
hallarse una medida común máxima para la diagonal y
el lado del pentágono regular, por tanto: existen
segmentos recíprocamente inconmensurables.
Otro destacado matemático de este período
fue Demócrito de Abdera (460-370 a.n.e). Carlos Marx lo
llamó la primera mente enciclopédica de los
griegos; y Vladimir Ilich Lenin lo definió como el
más caracterizado representante del materialismo en la
Antigüedad. Gastó toda su fortuna heredada de su
padre en la búsqueda de conocimientos, pero su riqueza se
ha conservado y se multiplica, esta riqueza recibe el nombre de
ciencia. Con su propia vida, Demócrito demostró
qué constituye un verdadero valor, y qué un falso
valor; qué es eterno, y qué perecedero; qué
es digno del hombre, y qué indigno de él. Gracias a
él la filosofÍa de la naturaleza llega a su punto
culminante, con un esfuerzo de explicación del universo en
función de lo puramente fIsico y material. Ha sido famoso,
desde tiempos lejanos, como el creador de la teoría
atomista, su obra matemática sólo ha visto la
luz muy
recientemente, esto sucedió en 1906 cuando se
descubrió un libro perdido de Arquímedes titulado
"Método", donde él considera a Demócrito
como el primer matemático que estableció
correctamente la fórmula del volumen de un cono o de una
pirámide, "cada uno de estos es la tercera parte de un
cilindro o un prisma, circunscrito con la misma base" [4,42p]
. Para alcanzar estas conclusiones, consideró estos
sólidos como si estuvieran formados por innumerables capas
paralelas; en el caso del cilindro no había ninguna
dificultad, pues todas las capas serían iguales; pero en
el cono o en la pirámide el tamaño iría
disminuyendo de capa hasta llegar a un punto. Los tamaños
menguantes le confundían: " ¿ son iguales o
desiguales? ", Preguntaba: " pues si son desiguales, el
cono será irregular, como si tuviera muchas incisiones,
como escalones, y asperezas; pero si son iguales, las secciones
serán iguales y el cono tendrá la propiedad del
cilindro y estará formado por círculos iguales, y
no desiguales, lo cual es totalmente absurdo " [4,
42p].
La noción de que un cuerpo geométrico
podía considerarse como formado por una capa sobre otra,
se le aparece con toda naturalidad a Demócrito por ser
éste un físico. Esto no se le hubiera ocurrido tan
fácilmente a otros matemáticos con su modo de
pensamiento más algebraico, que les atraía hacia
las normas u orden de
las cosas, aquí el agudo pensamiento griego se muestra
impaciente una vez más, pues aparece la infancia del
cálculo
infinitesimal, ninguna aproximación tosca e inmediata
satisfará a Demócrito; existe una discrepancia
entre la pirámide estratificada y el acabado liso del
todo. La profundidad de la teoría de límites se
halla en sus inicios, pero no se sabe hasta qué punto
él instuyó alguna solución.
Sus escritos de Matemática se refieren, entre
otros, a los tratados "sobre
el contacto de la circunferencia y la esfera", "sobre
Geometría", "sobre números", "sobre desarrollo" (o
sea, aplicación de la superficie de la esfera sobre el
plano).
En este rico período de la Matemática hay
un notable aporte en los trabajos de Hipócrates quien vino
de Quíos a Atenas a mediados del siglo V a.n.e, llegando a
ser el geómetra más famoso de esta época.
Fue el primer autor conocido que haya escrito un tratado de
matemáticas elementales; dedicó especial
atención a las propiedades del círculo. En su obra
pueden hallarse resultados matemáticos interesantes:
reconoció el nexo entre el ángulo central y el
arco, pudo construir el hexágono regular y la
circunferencia circunscrita a un triángulo, empleó
el concepto de semejanza, sabía que las áreas de
figuras semejantes se comportaban como los cuadrados de lados
correspondientes. Su éxito
principal es la demostración de la hipótesis que
plantea que los círculos se hallan entre sí en la
misma razón que los cuadrados de sus diámetros.
Esto equivale al descubrimiento de la fórmula r2, del
área del círculo en función de su radio, lo cual
significa que existe determinado número y que es el mismo
para todos los círculos, si bien su método no da el
valor numérico real de . Llegó a estas conclusiones considerando el
círculo como el límite de un polígono
regular, ya sea inscrito o circunscrito. Este fue el primer
ejemplo del método exhaustivo, una utilización
particular de la aproximación por encima o por debajo del
límite deseado. La introducción de este
método fue un importante eslabón que culmina en la
obra de Eudoxio y Arquímedes, además acercó
un paso más a la perspectiva de descifrar el misterio de
los números irracionales.
Su nombre se relaciona estrechamente con dos de los
problemas clásicos más famosos de la
Matemática: la duplicación del cubo y la cuadratura
del círculo que se detallarán más
adelante.
La tradición aritmético – algebraica
mesopotámica nunca se perdió en la
Matemática Griega, las fuentes muestran que se
asimiló el contenido de los resultados, se pueden
encontrar las mismas formas normales para sistemas de ecuaciones
y ecuaciones cuadráticas, ejemplos con los mismos
coeficientes numéricos, el empleo, entre otras cosas, de
la media aritmética, geométrica y armónica
entre otros detalles.
PERÍODO
ATENIENSE
El segundo período de la Matemática Griega
según nuestra periodización se le conoce como
Periodo Ateniense y se enmarca aproximadamente entre los
años (550-320/300) a.n.e.
En esta época Atenas alcanzó un lugar
dirigente entre las ciudades – estado griegas, la democracia
esclavista llegó a su máximo esplendor. Esta no se
puede comparar con la moderna, la expansión
económica griega tampoco puede compararse con
ningún sistema de economía moderna. Los
artesanos extranjeros encontraban allí empleo en empresas
manufactureras y en el comercio. En
esta ciudad existía una democracia esclavista, fundada en
un excedente económico, donde se desarrollaba la minería y
la industria, la
cual no era manejada por sus ciudadanos. La sociedad ateniense
era del todo masculina, pues la mujer era
excluida de todas las labores sociales.
El contacto de los griegos con Egipto, Mesopotamia y
Siria se estableció y se mantuvo merced a los marinos,
mercenarios, comerciantes y viajeros que ya por el año 600
a.n.e eran bien conocidos.
En la cultura
griega, sobre todo en la democracia, se consideraba que las
obras realizadas por los individuos, representaban un servicio
estimable; en Atenas se consideraban útiles el desarrollo
de las aptitudes y energías individuales en actividades de
toda suerte. El notable desarrollo intelectual y artístico
fomentado por su régimen democrático fue producto
de esa libertad. La
concepción griega acerca del papel que desempeña el
individuo en
la vida del grupo tuvo sin
duda hondas raíces en las circunstancias históricas
de la evolución del pueblo helénico.
Hacia el año 460 a.n.e, al convertirse Atenas (
anexo 1 y 2 ) en el centro intelectual, comercial y
político del mundo griego, empezaron a influir en el
desarrollo de la filosofía circunstancias nuevas que
dejaron libres las energías de los ciudadanos comunes. La
victoria alcanzada contra los persas, en la batalla de
Maratón y Salamina, inspiró a los griegos un
sentimiento de superioridad con respecto a los pueblos del
Antiguo Oriente, a quienes durante mucho tiempo habían
considerado superiores. Con la expansión del comercio y la
industria el acopio de riquezas se hizo más fácil,
pero también provocó una emulación
más intensa. En esta época la obra de los sofistas
fue mucho más que un movimiento pedagógico: fue un
movimiento ético preocupado por los problemas
prácticos acerca de la virtud más grande, la
validez subjetiva de la verdad.
En este período Atenas vivió un
florecimiento cultural se edificó la Acrópolis, se
crearon obras maestras de escultura, surgieron obras
dramáticas, Sócrates,
Platón y Aristóteles fundaron influyentes escuelas
de filosofía. El idealismo
filosófico especialmente el de Platón obtuvo el
predominio sobre las tradiciones materialistas de la
filosofía naturalista jónica.
Las relaciones de Platón con la Matemática
datan de la época de su estancia junto a Arquitas. A
partir de entonces Platón consideró la
Matemática como el ejemplo de una ciencia que puede llegar
a sus resultados mediante el simple pensamiento; esta actitud
filosófica, significaba, por una parte, un fortalecimiento
de la base metodológica de esta ciencia, la cual
desarrolla deductivamente sus demostraciones a partir de
definiciones y premisas, por otro lado, significaba,
además, el fortalecimiento del idealismo objetivo
filosófico. El platonismo estableció el
subjetivismo como contenido del conocimiento y desde entonces
penetró en el proceder de muchas corrientes y escuelas que
se enfrentaron desde sus puntos de vistas.
En este contexto general comenzó la
búsqueda de medios para superar las dificultades internas
de la Matemática de este tiempo: existen segmentos
recíprocamente inconmensurables, se les puede construir,
pero no existe un número natural ni razón alguna de
números que pueda ser equivalente aritmético del
objeto geométrico. [2;36p]
Una salida a esta contradicción interna
podría haber sido la elaboración del concepto
número irracional, sin embargo, no se le dio
solución en la antigüedad ya que conceptualmente no
se manejaban los pasos al límite de forma general
necesarios para su formulación completa. Así, la
Matemática antigua avanzó más bien en otra
dirección, mediante la elaboración del
método bautizado por el historiador de las ciencias
Zeuthen como "álgebra – geométrica", es decir, un
tipo de Matemática que aborda los problemas algebraicos
mediante construcciones geométricas, y que perduró
por muchos siglos como lineamiento metodológico para
solucionar gran cantidad de problemas.
Los elementos primarios del álgebra –
geométrica resultaron los segmentos de rectas, con ellos
fueron definidas todas las operaciones del
cálculo:
– la suma se interpretaba como la adición de
segmentos.( fig ? 7 )
fig – 7
– la diferencia como la eliminación de una parte
del segmento igual al segmento sustrayendo.( fig ? 8 )
fig – 8
La multiplicación de segmentos condujo a la
construcción de una representación bidimensional y
el producto de los segmentos a y b se consideraba un
rectángulo con lados a y b. El producto de tres segmentos
daba un paralelepípedo, y el producto de un número
mayor de factores en el álgebra – geométrica no
podía considerarse. La división resultaba posible
sólo bajo la condición de que la dimensión
del dividendo fuera mayor que la dimensión del divisor.
Ella se interpretaba como equivalente al problema de
anexión de áreas:
Anexar al segmento c un rectángulo equivalente
al dado (ab). La resolución del problema ( fig-9)
consiste en la adjunción uno a otro de los
rectángulos ab y bc en la construcción de un nuevo
rectángulo, la diagonal del cual es la diagonal del
rectángulo bc prolongada hasta la intersección con
la prolongación del lado b, entonces los
rectángulos ab y cx resultan equivalentes por tener sus
áreas iguales y el problema está resuelto. El
método de anexión de áreas descrito
aquí, permitió resolver problemas que
conducían a ecuaciones lineales y llevaba el nombre de
método parabólico.
Con conocimientos elementales de
geometría plana puede demostrarse que los
rectángulos de área ab y cx son iguales, a partir
de la relación entre los lados homólogos de los
triángulos semejantes que se forman al trazar la
diagonal.
fig – 9
En el álgebra – geométrica también
se incluía el conjunto de proposiciones que interpretaban
las identidades algebraicas (fig-10). Por ejemplo las
interpretaciones geométricas de las
identidades:
(a+b)2 = a2 + 2ab +
b2
(a + b + c)2 =
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
(a ? b)2 = a2-2ab +
b2
fig – 10
(a ? b)2 = a2 ?
2b(a ? b) ? b2
= a2 ? 2ab +
2b2 ? b2
= a2 ? 2ab +
b2
El método de anexión de áreas fue
extendido también al caso en que la resolución del
problema conduce a una ecuación cuadrática,
ejemplos de tales problemas lo constituyen la
determinación del lado del polígono regular
inscrito: la llamada "división áurea" del segmento,
esto es, la división del segmento a en dos partes: x y (a
– x) que satisfacen la relación 
, además otro problema de la
época constituyó la determinación de la
arista cuya expresión x2= a ( a ? x ) da una
forma de escribir con nuestra notación una ecuación
cuadrática de la forma x2 + ax = a2,
que tiene en sus inicios solución geométrica y
sólo muchos siglos después solución
aritmético ? geométrica y finalmente algebraica y
otro caso es la expresión de la arista de un poliedro
regular a través del diámetro de la esfera
circunscrita.
Es evidente que este método sólo daba una
raíz positiva de la ecuación cuadrática. Los
matemáticos antiguos comprendían la necesidad de
formular las condiciones del problema del álgebra ?
geométrica de manera que ellos, a ciencia cierta, tuvieran
una solución positiva, por eso en los casos necesarios
imponían limitaciones a las condiciones del problema.
Estas circunstancias determinaban la limitación del campo
de aplicación de este método. Aún más
se limitaban sus posibilidades debido a que sus objetos eran
figuras de dimensión no mayor que dos, los medios de
construcción eran sólo el compás y la regla.
Era posible imaginarse en los límites del álgebra ?
geométrica operaciones con figuras tridimensionales. Los
problemas que conducían a ecuaciones de grado mayor que el
tercero, eran simplemente imposibles.
La insuficiencia del "álgebra ?
geométrica" como teoría matemática general
fue especialmente subrayada por la distinción de una clase
de problemas que no admitían solución. Entre estos
los más conocidos eran:
1- La duplicación del cubo, que está dado
por la construcción de un cubo con arista desconocida x,
pero que tiene un volumen el doble que el dado; este se reduce a
la resolución de la ecuación cúbica:
.
El primer éxito en la resolución de este
problema lo alcanzó Hipócrates de Quíos
(mediados del siglo V a.n.e) quien lo redujo al problema de la
búsqueda de dos medias proporcionales. No se debe olvidar
que los griegos no tenían notación algebraica
adecuada como la actual sin embargo, hicieron el mismo
razonamiento y llegaron a importantísimas conclusiones: el
efecto fue, el paralelepípedo de volumen 
transformado en otro con
base cuadrada de V=a2b, lo que se realiza con medios
del álgebra – geométrica, es decir 
. La arista del cubo
buscado se determina, según Hipócrates, por la
proporción: 
, que incluye en su solución lo que en la
teoría de las secciones cónicas define Apolonio,
muchos años después como parábola e
hipérbola y cuyas ecuaciones son x2 = ay, xy =
2 a2,, las cuales, al ser consideradas en conjunto,
determinan un punto de intersección que es la clave del
problema. Este es un ejemplo de solución sólida de
la duplicación del cubo.
Las dos medias proporcionales entre a y b se
determinaban como las coordenadas del punto de
intersección de dos de estos lugares geométricos.
Esto último recibió a su vez una
interpretación estereométrica como secciones de
conos de revolución.
Para la resolución del problema planteado por
Hipócrates fueron elaborados nuevos métodos, en su
mayoría se reducían a la investigación de
lugares geométricos: x2 = ay, y = bx, xy = ab.
La influencia de este problema expresa las causas para que las
secciones cónicas entraran en las matemáticas,
sólo después de muchos años el problema de
la duplicación del cubo recibió solución
definitiva. La historia de este problema constituye uno de los
ejemplos de cómo transcurre el enriquecimiento de los
métodos matemáticos, a partir de la
manifestación clara de contradicciones surgidas en el
plano de las relaciones sociales.
2-El problema sobre la trisección del
ángulo, o sea, sobre la división de un
ángulo arbitrario en tres partes iguales.
Este problema como el anterior, se reduce a la
resolución de una ecuación cúbica, (lo que
resulta al plantear la siguiente relación
trigonométrica) cuya solución como planteamiento
formulado obligó a los matemáticos de esta
época al intento de crear dispositivos de trabajo que
dieron respuesta efectiva, pues en el dominio del álgebra
la ecuación a= 
no tuvo respuesta hasta que después de Cardano (1501
? 1576 ) se perfilara la teoría de las ecuaciones
algebraicas.
En términos trigonométricos se cumple que
cos 
= 
, identidad que
puede tomarse con facilidad de la expresión equivalente
, la cual se
puede probar con facilidad asumiendo que 3x = 2x + x y aplicando
para el miembro derecho la identidad 
y sus consecuentes
procedimientos.
Es así que en el siglo V a.n.e se aplicó,
para la resolución del problema de la trisección
del ángulo, una curva trascendente, la cuadratriz,
definida de la forma siguiente:
Supongamos que en el rectángulo ABCD (fig-11), el
lado BC se traslada paralela y uniformemente hasta coincidir con
AD. Durante este mismo tiempo el lado AB gira alrededor de A en
sentido de las agujas del reloj hasta su coincidencia con AD. El
lugar geométrico de la intersección de estos dos
lados forma una curva, la cuadratriz, cuya existencia permite
reducir el problema de la división de un ángulo en
cualquier número de partes iguales al problema de la
división del segmento AB (CD) en partes
iguales. El punto G es la intersección de la cuadratriz
con el lado AB.
fig – 11
3-El tercer problema famoso de la antigüedad es el
de la cuadratura del círculo, o sea, el problema sobre la
búsqueda de un cuadrado de área equivalente a la de
un círculo dado.
Este problema en la Grecia Antigua lo consideraban en
dos aspectos: uno exacto y otro aproximado. El último
enfoque del problema condujo a la introducción de
aproximaciones del área del círculo por polígonos inscritos y circunscritos y al
cálculo aproximado del número .
La enorme cantidad de esfuerzos por cuadrar exactamente
el círculo no pudo conducir al éxito como
consecuencia de la naturaleza trascendente de este problema. Los
matemáticos antiguos, que se esforzaron por resolver con
una exactitud teórica el problema, con sus trabajos
trajeron al desarrollo de la Matemática gran utilidad,
enriqueciéndola con nuevos hechos y métodos, como
fue el de exhaución que es considerado por los
investigadores de la ciencia como el predecesor del método
de los límites; por vez primera en la Historia de la
Matemática fueron halladas figuras cuadrables determinadas
por líneas curvas.
Tenemos en cuenta aquí las lúnulas de
Hipócrates de Quíos, formadas por arcos de
circunferencias. En la (fig-12), la lúnula resulta ser
igual al área del triángulo rectángulo
isósceles ABC, cuya hipotenusa es el diámetro del
círculo.
fig – 12
En la (fig-13), se puede enunciar la siguiente
propiedad: si sobre los lados de un triángulo
rectángulo, se construyen circunferencias, entonces la
suma de las áreas de las lúnulas, que se apoyan
sobre los catetos, será igual al área del
triángulo, es decir, es cuadrable.
fig – 13
Vista históricamente el "álgebra –
geométrica" se nos presenta como una solución
exitosa en el trabajo con números irracionales, el cual ha
hecho posible la perpetuación de la matemática
griego – helenística. Los trabajos decisivos para la
formación del "álgebra – geométrica" los
realizaron tres matemáticos, los cuales, en
correspondencia con los resultados de los pitagóricos,
estaban vinculados a la escuela platónica o
procedían de ella: Teodoro de Cirene, Theaitetos y Eudoxio
de Cnido.
Teodoro de Cirene demostró ( fig – 14),
formulándolo de forma moderna, que 
, 
, 
, .
. . , 
son
números irracionales. En su cita no ofrece
información segura acerca de cómo se realizó
la demostración, una suposición explica que su
método consistía en una aplicación continua
del teorema de Pitágoras para la construcción de
segmentos con las longitudes 
, ,
, . . . ,
, y posteriormente
en la aplicación del método de extracción
alterna Del trazado se desprende inmediatamente por qué
Teodoro terminó en 
, pues no se haría clara la idea de dichos
trazados si se superpondrían los últimos sobre los
primeros.
fig – 14
A partir de los casos especiales de longitudes
irracionales de segmentos de Teodoro, Theaitetos expuso lo
siguiente:
"…entonces se nos ocurrió, como los
cuadrados en su conjunto parecen infinitos, tratar de
agruparlos en un concepto común, para poder
designar con este a todos sus cuadrados… Todos los
números los separamos en dos clases: Aquellos que
corresponden al producto de números iguales; a ellos los
comparamos según su configuración con el cuadrado
y los denominamos cuadráticos y equiláteros…
los números intermedios a los que pertenecen el 3 y el 5
y todo aquel que no pueda corresponder al producto de
números iguales sino al múltiplo de un
número mayor y otro menor o de uno menor y otro mayor,
de forma que en su representación abarque siempre uno
mayor y uno menor, los comparamos con la configuración
longitudinal del rectángulo y los denominamos
números oblongos… todas las líneas que forman
un cuadrado conmensurable por los lados y áreas las
determinamos como longitudes; pero existen las que forman un
polígono no equilátero, como aquellos cuadrados
que no son conmensurables con otros en las longitudes, pero
sí por el área cuyos cuadrados forman. Y con los
números cúbicos es también
similar".[2;39p]
Los resultados de Theaitetos constituyen el contenido
del libro X de los "Elementos". En este libro las complejas
situaciones aritmético – algebraicas de la
clasificación de cierto tipo de irracionalidad se
realizó de forma geométrica y todo sin usar
fórmulas ni símbolos. Si se utiliza el lenguaje
moderno puede explicarse que en ese libro la conmensurabilidad de
segmentos se trata como una relación de
equivalencia.
En estrecha relación con lo anterior, se aplican
en el libro XIII resultados sobre clases especiales de
irracionalidad cuadráticas al estudio de poliedros
regulares lo cual culmina con la demostración perfecta de
que existen exactamente cinco poliedros regulares los cuales se
nombraron, según Platón, como formas fundamentales
de los elementos y asoció el cubo con la tierra, el
octaedro con el aire, el
tetraedro con el fuego y el icosaedro con el agua; y que
el creador del mundo había dispuesto este en forma de
dodecaedro (fig – 15). La principal obra matemática de la
antigüedad se vincula así a un enunciado sobre la
concepción del mundo.
Fig – 15
Después de Teodoro y Theaitetos se mantuvo
abierta aún la solución aritmética del
problema de las irracionalidades; este lo trató de
resolver Eudoxio; el matemático más importante de
su época. Creó una teoría de magnitudes que
incluía también magnitudes irracionales, aunque sin
poder llegar explícitamente al concepto número
irracional. Hasta ese momento el concepto proporción
estaba unido a la premisa de que los números que se
encontraban en proporción poseían una medida
común, Eudoxio se liberó de esa definición
al plantear: "… las magnitudes que tienen la misma
razón deben llamarse magnitudes que están en
proporción". [2;39]
Si empleamos la forma de escritura actual sería.
Si a:b = c:d, entonces resulta para m,n mayores o iguales a 1 y
ambos naturales cualesquiera: de na > mb resulta siempre nc
> md; de na = mb resulta siempre nc = md; de na < mb
resulta siempre nc < md. Esta definición de
proporción no necesita premisa alguna sobre la
conmensurabilidad de las magnitudes. Al mismo tiempo es adecuada
para poder demostrar todos los teoremas conocidos sobre
proporcionalidad.
Entre ellos halló la demostración, de los
teoremas ya enunciados anteriormente por Demócrito de
Abdera, que el cono es la tercera parte del cilindro y la
pirámide la tercera parte del prisma cuyas alturas y bases
coinciden.
Sobre este nuevo y seguro fundamento pudo alcanzar la
Matemática alturas asombrosas durante el período
siguiente, sin embargo quedaba un largo camino por recorrer hasta
llegar al concepto exacto de número irracional.
En relación directa con esto, Eudoxio
realizó una labor precursora en la creación de un
tipo de análisis. Este tiene como base la idea de poder
aproximar el área o superficie de figuras limitadas por
líneas curvas mediante la inscripción o la
circunscripción de polígonos, precisamente en el
sentido de una aproximación arbitrariamente buena. Con
estos principios para el tratamiento de valores extremos que
existen desde un punto de vista geométricos, los cuales
descansan en una demostración matemática antigua,
especialmente con Arquímedes, probaron su utilidad y han
llegado hasta la era moderna oponiendo desde el ingenio de sus
creadores la utilidad del método heurístico como
auxilio de aquellos que pertenecen al tipo denominado reductivo y
que son principios estables del proceso de investigación científica.
CAPÍTULO 2
PERÍODO
ALEJANDRINO O HELENÍSTICO
Se habla de una cultura y ciencia del helenismo, la
misma surgió por la fusión y
penetración de los resultados científicos y
culturales de los griegos con las diferentes culturas de los
pueblos del vasto territorio que abarca Macedonia, Grecia, Asia
Menor y Central, zonas del sur y oeste de Europa, norte de
África y partes de la India ( anexo
1 y 2 ).
En un lugar propicio, en la desembocadura de un afluente
del Nilo se fundó en el año 331 a.n.e una de las
muchas "ciudades de Alejandro", la cual conserva aún su
nombre; Alejandría de Egipto. El joven príncipe y
soldado Alejandro de Macedonia conquistó el mundo griego
por medio de una serie extraordinaria de brillantes victorias y
concibió la idea de formar un gran imperio.
Geográficamente, Alejandría era el lugar de
reunión adecuado para griegos, judíos
y árabes. Allí se conservó, en grandes
bibliotecas, lo
más admirable de la filosofía griega, se
perfeccionaron las matemáticas de los antiguos, esta se
convirtió en el estado
más importante del imperio de Alejandro, y en el centro
científico cultural del mundo del helenismo.
Ocasionalmente se habla de Período Alejandrino
porque en este tiempo el punto central e indiscutible de la vida
cultural de esta región lo constituía
Alejandría, pero a criterio de algunos historiadores de
las ciencias se debía llamar
Helenístico.
En los siglos III y II a.n.e, la ciencia
matemática experimentó un auge: en Atenas,
existía la Academia de Platón, el Liceo de
Aristóteles y el llamado Jardín del filósofo
materialista Epicuro, pero la mayoría de las obras que se
conservan de esta época pertenecen a matemáticos
relacionados de algún modo con Alejandría, capital de la
dinastía griega de los Lágides que gobernaba Egipto
desde el año 306 hasta el 301 a.n.e. Es sabido que esos
reyes fomentaron y crearon instituciones:
las más conocidas de las cuales son: el Museo y la
Biblioteca de
Alejandría. Se trata en este caso, de los primeros centros
docentes y de investigación, fundados y sostenidos por el
estado, con auditorios, locales de trabajo, con una
extraordinaria biblioteca, observatorios astronómicos,
jardín botánico y zoológico.
Los científicos más importantes de aquella
época se mantenían en contacto con
Alejandría. Muchos trabajaban o habían estudiado
allí. Esto atañe, también, a los
matemáticos del Período Helenístico, por
ejemplo Euclides, Arquímedes, Herón, Ptolomeo y
Diofantos.
Cuatro son los rasgos fundamentales que caracterizan
esta parte de la matemática griega, que por
convención hemos llamado "puras":
- Las organizaciones
deductivas: los tratados clásicos como "Los Elementos"
están organizados deductivamente; se llega a los
resultados por una demostración, bien partiendo de
resultados demostrados previamente, bien de principios
expuestos al comienzo; cabe decir que se trata de un procedimiento
axiomático parcial; este destaca el aspecto
lógico y necesario de la Matemática. Hay que
señalar, sin embargo, que no siempre es fácil
disociar el aspecto retórico que permite conseguir la
aquiescencia del lector o del alumno y persigue una eficacia
psicológica y pedagógica del aspecto
lógico que concentra en la arquitectura
necesaria y objetiva del razonamiento. - La orientación geométrica: incluso en
la teoría de los números, la estadística o la astronomía, la
orientación de los tratados demostrativos es
fundamentalmente geométrica. La matemática griega
recurrió a varios simbolismos para anotar los
números y las fracciones, también utilizaron
abreviaturas, pero fue en el empleo de las figuras
geométricas donde más lejos llevaron los griegos
sus investigaciones
sobre "representaciones simbólicas": la posibilidad de
descomponer las figuras en elementos, de determinar las reglas
de construcciones autorizadas y el descubrimiento de
propiedades que parecen estar ya "presentes" en la figura, son
aspectos todos ellos, que se combinan en la perfección
con la exposición deductiva. - El ideal de ciencia desinteresada: las
matemáticas deben estudiarse por afición al saber
en sí, como expresó Pitágoras: " . . .
la ciencia desinteresada es la mayor purificación".
[3;326p] - Matemática y FilosofÍa: este desarrollo
de las matemáticas puras es contemporáneo del de
la Filosofía, separada de esta de modo gradual nunca
dejó de tener vínculos con ella y es así
como se da en su constante evolución la relación
estrecha entre posición filosófica y
teoría conceptual de cada escuela.
En la época helenística se observa que la
Matemática constituye una comunidad
"internacional" cuyos miembros están diseminados en el
perímetro de la Cuenca Mediterránea ( anexo 1 y 2 )
(Grecia, Asia Menor, Egipto y Sicilia), con todos mantienen
relaciones personales, bien porque se visiten unos a otros, bien
gracias a la circulación de sus obras. Se trata ante todo
de plantear problemas a los colegas, de resolver los que ellos
mismos han planteado, de indicar incluso las soluciones
imperfectas que otros han propuesto, así algunos
matemáticos adquieren una autoridad
reconocida; las publicaciones se someten a sus dictámenes
y ellos se encargan de darlas a conocer a quienes estiman dignos
de sus contenidos.
A partir de la época romana los mejores autores
parecen preocuparse esencialmente por perfeccionar los resultados
ya obtenidos; aparentemente la competencia y la
búsqueda de la novedad que caracterizan al período
anterior han desaparecido.
En los albores del siglo III a.n.e hay un nombre que
oscurece a todos los otros en el dominio de las ciencias y en
especial de la Matemática: Euclides de Alejandría
quien representa a uno de los grandes de la historia de esta
disciplina, aunque su obra haya sido, y deba ser, apreciada de
diversas formas por los estudiosos e investigadores de la cultura
universal.
De Euclides (apr. 330-275 a.n.e) surgió el libro
matemático, indudablemente más exitoso de la
historia mundial, "Los Elementos". De su autor, por el contrario,
se sabe poco, ni siquiera su lugar de nacimiento. Se puede
afirmar con seguridad que
trabajó en Alejandría y allí escribió
su famosa obra alrededor del año 355 a.n.e. El historiador
debe hacer constar que ha sido y sigue siendo, con reserva, la
gran enciclopedia de la Geometría Elemental. El
método de "Los Elementos" ha sido por los siglos el
prototipo del método matemático y se identifica
evidentemente con éste. A lo largo de muchos siglos,
sirvieron como manual de
geometría para los escolares, en tanto para los
científicos, como modelo de rigurosidad
matemática.
Proclo ( 412 ? 485 ) nos da el significado exacto de lo
que los geómetras griegos entendían por
"Elementos":
" … dentro del conjunto de la Geometría, son
ciertos teoremas generales y capitales que conducen a los que
se limitan a deducir la consecuencia de un principio cuya
influencia se hace sentir por doquier y con los cuales se
aportan las pruebas de numerosas propiedades. Tales teoremas
recibieron el nombre de elementos; pues su función puede
ser comparada a la de las letras del alfabeto en su
relación con el lenguaje y a las que los griegos daban
el mismo nombre". [5, 122p]
De acuerdo con este significado de la expresión
"elementos", reunió Euclides sus conceptos tanto para la
Geometría Plana como para la Estereometría. De
igual manera muchos autores compusieron "Elementos" en
Aritmética y en Astronomía.
Resulta visible que Proclo caracteriza por esas
distinciones y este análisis los teoremas que deben
tenerse en cuenta en la composición de "Los Elementos" y
que compiló efectivamente Euclides, como los que pueden y
deben servir de principios en todas las investigaciones
geométricas, ya que estas siempre están enlazadas
con ellos por la relación de consecuencia a
principio.
Ciertamente, esta relación será
también de lo simple a lo complejo y de lo fácil a
lo difícil, y "Los Elementos" contienen las proposiciones
más simples que se deben conocer para desentrañar
los problemas más complejos. En ellos hay que conocer los
primeros teoremas para poder demostrar los segundos, o
también pueden fácilmente demostrarse los segundos
partiendo de los primeros, mientras que la inversa sería
más difícil o imposible.
"Los Elementos" no estaban destinados a los
principiantes, como podría pensarse por el título,
sino para estudiantes de un nivel avanzado. Casi todas las
matemáticas de aquella época se encontraban en
ellos, sin embargo, faltaba totalmente en el sentido de
Platón, la referencia a las aplicaciones de la
Matemática. Se componían de trece libros, que
Euclides estructura a partir de definiciones, postulados y
axiomas; le siguen teoremas con demostraciones, problemas, y
teoremas auxiliares. La definición, de los conceptos
fundamentales de la Geometría: punto, línea,
segmento y superficie, es de tipo gráfico y
descriptivo.
Si para comprender de los "Elementos" su orden, aunque
"elementos y orden" conforman una misma cosa, se busca el recurso
de la historia, entonces en compensación ella toma estos
"Elementos" como un precioso y valioso documento para la cultura
de la humanidad que sirve de testimonio para dar fe del
desarrollo alcanzado por los hombres de este período de la
civilización humana.
Los contenidos y períodos de los trece libros
"Los Elementos" aparecen distribuidos de la siguiente forma: [2;
46p]
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